Ví dụ tính toán phần tử hữ hạn

Bước 1: Chia nhỏ kết cấu thành các phần tử, đánh số nút và số phần tử như hình vẽ 1. Kết cấu làm việc theo trạng thái khung phẳng chịu lực. Khi mô hình hóa để tính toán bằng PP PTHH, sử dụng các phần tử thanh phẳng. Chia kết cấu thành 3 phần tử liên kết với nhau và với đất tại 4 nút (xem hình vẽ) 2. Sau khi đánh số nút, vì mỗi nút có 3 bậc tự do, đánh số bậc tự do tại các nút theo thứ tự

Ví dụ 2: E= 2,0.10 8 kN/m 2 ; A=0,12 m 2 ; I=1,6.10 -3 m 4 Cho số liệu như hình vẽ, tính toán nội lực trong kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. ==================================================================== Bước 1: Chia nhỏ kết cấu thành các phần tử, đánh số nút và số phần tử như hình vẽ 1. Kết cấu làm việc theo trạng thái khung phẳng chịu lực. Khi mô hình hóa để tính toán bằng PP PTHH, sử dụng các phần tử thanh phẳng. Chia kết cấu thành 3 phần tử liên kết v ới nhau và với đất tại 4 nút (xem hình vẽ) 2. Sau khi đánh số nút, vì mỗi nút có 3 bậc tự do, đánh số bậc tự do tại các nút theo thứ tự như sau: Nút btd_nut 1 1 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9 4 10 11 12 3. Xác định bậc tự do phần tử từ bậc tự do của các nút mà phần tử đó nối vào Bậc tự do phần tử nút đầu nút cuối 1 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 1 2 3 3 4 5 6 10 11 12 4. Góc giữa các hệ tọa độ Gắn với kết cấu là hệ tọa độ chung OXY như hình vẽ. Mỗi phần tử thanh có một hệ tọa độ cục bộ, hệ tọa độ này được sử dụng để xây dựng các công thức của ma trận độ cứng như đã học trng lý thuyết. Góc của 2 hệ tọa độ này ký hiệu là alpha là góc giữa hai trục X của hệ t ọa độ chung kết cấu và x của hệ tọa độ riêng phần tử. Góc được coi là dương nếu đi từ trục X đến trục x theo ngược chiều kim đồng hồ. Phần tử Nút đầu (nút I) Nút cuối (nút J) Góc alpha (độ) 1 1 2 0 2 3 1 90 3 2 4 -90 (hoặc 270) Bước 2: Xác định ma trận độ cứng của phần tử Phần tử 1: - Ma trận K1 trong hệ tọa độ cục bộ: 3.00E+6 0 0 -3.00E+6 0 0 0 7.50E+3 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 0 3.00E+4 1.60E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 -3.00E+6 0 0 3.00E+6 0 0 0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 7.50E+3 -3.00E+4 0 3.00E+4 8.00E+4 0 -3.00E+4 1.60E+5 - Ma trận chuyển hệ tọa độ T1 với góc alpha=0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Nhận xét: Phần tử 1 có hướng của hệ tọa độ cục bộ trùng với hướng của hệ tọa độ kết cấu nên ma trận T1 là ma trận đơn vị - Ma trận K1 trong hệ tọa độ chung: 3.00E+6 0 0 -3.00E+6 0 0 0 7.50E+3 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 0 3.00E+4 1.60E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 -3.00E+6 0 0 3.00E+6 0 0 0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 7.50E+3 -3.00E+4 0 3.00E+4 8.00E+4 0 -3.00E+4 1.60E+5 Phần tử 2: - Ma trận K2 trong hệ tọa độ cục bộ: 6.00E+6 0 0 -6.00E+6 0 0 0 6.00E+4 1.20E+5 0 -6.00E+4 1.20E+5 0 1.20E+5 3.20E+5 0 -1.20E+5 1.60E+5 -6.00E+6 0 0 6.00E+6 0 0 0 -6.00E+4 -1.20E+5 0 6.00E+4 -1.20E+5 0 1.20E+5 1.60E+5 0 -1.20E+5 3.20E+5 - Ma trận chuyển hệ tọa độ T2 với góc alpha=90 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 - Ma trận K2 trong hệ tọa độ chung: 6.00E+4 0 -1.20E+5 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 6.00E+6 0 0 -6.00E+6 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 1.20E+5 0 1.60E+5 -6.00E+4 0 1.20E+5 6.00E+4 0 1.20E+5 0 -6.00E+6 0 0 6.00E+6 0 -1.20E+5 0 1.60E+5 1.20E+5 0 3.20E+5 Phần tử 3: - Ma trận K3 trong hệ tọa độ cục bộ: 6.00E+6 0 0 -6.00E+6 0 0 0 6.00E+4 1.20E+5 0 -6.00E+4 1.20E+5 0 1.20E+5 3.20E+5 0 -1.20E+5 1.60E+5 -6.00E+6 0 0 6.00E+6 0 0 0 -6.00E+4 -1.20E+5 0 6.00E+4 -1.20E+5 0 1.20E+5 1.60E+5 0 -1.20E+5 3.20E+5 - Ma trận chuyển hệ tọa độ T3 với góc alpha=-90 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 - Ma trận K3 trong hệ tọa độ chung: 6.00E+4 0 1.20E+5 -6.00E+4 0 1.20E+5 0 6.00E+6 0 0 -6.00E+6 0 1.20E+5 0 3.20E+5 -1.20E+5 0 1.60E+5 -6.00E+4 0 -1.20E+5 6.00E+4 0 -1.20E+5 0 -6.00E+6 0 0 6.00E+6 0 1.20E+5 0 1.60E+5 -1.20E+5 0 3.20E+5 Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể và véc tơ lực của toàn kết cấu. 1. Ma trận độ cứng của toàn kết cấu bằng tổng các ma trận độ cứng của phần tử tại các bậc tự do trùng nhau. 3.06E+6 0 1.20E+5 -3.00E+6 0 0 -6.00E+4 0 1.20E+5 0 0 0 0 6.01E+6 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 0 -6.00E+6 0 0 0 0 1.20E+5 3.00E+4 4.80E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 -1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -3.00E+6 0 0 3.06E+6 0 1.20E+5 0 0 0 -6.00E+4 0 1.20E+5 0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 6.01E+6 -3.00E+4 0 0 0 0 -6.00E+6 0 0 3.00E+4 8.00E+4 1.20E+5 -3.00E+4 4.80E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 1.60E+5 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 0 -6.00E+6 0 0 0 0 0 6.00E+6 0 0 0 0 1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 0 0 0 0 0 0 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 0 -6.00E+6 0 0 0 0 0 6.00E+6 0 0 0 0 1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 2. Véc tơ tải trọng có kích thước bằng số bậc tự do của kết cấu. Tại nút 1 có tải trọng P tác dụng theo phương ngang tương ứng với bậc tự do được đánh số 1. Véc tơ lực có dạng: 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bước 4: Đưa điều kiện biên vào và Tính toán chuyển vị nút: 1. Ta có phương trình cân bằng theo phương pháp PTHH khi chưa kể đến điều kiện biên: 3.06E+6 0 1.20E+5 -3.00E+6 0 0 -6.00E+4 0 1.20E+5 0 0 0 u 1 10 0 6.01E+6 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 0 -6.00E+6 0 0 0 0 u 2 0 1.20E+5 3.00E+4 4.80E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 -1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 u 3 0 -3.00E+6 0 0 3.06E+6 0 1.20E+5 0 0 0 -6.00E+4 0 1.20E+5 u 4 0 0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 6.01E+6 -3.00E+4 0 0 0 0 -6.00E+6 0 u 5 0 0 3.00E+4 8.00E+4 1.20E+5 -3.00E+4 4.80E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 1.60E+5 x u 6 = 0 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 u 7 0 0 -6.00E+6 0 0 0 0 0 6.00E+6 0 0 0 0 u 8 0 1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 0 0 0 u 9 0 0 0 0 -6.00E+4 0 -1.20E+5 0 0 0 6.00E+4 0 -1.20E+5 u 10 0 0 0 0 0 -6.00E+6 0000 06.00E+6 0 u 11 0 0 0 0 1.20E+5 0 1.60E+5 0 0 0 -1.20E+5 0 3.20E+5 u 12 0 2. Điều kiện biên của bài toán phần tử hữu hạn là các ẩn số đã biết giá trị. Trong bài toán này, điều kiên biên xác định từ các liên kết nối đất. Tại nút 3 và 4, kết cấu được ngàm với đất, vì vậy tại các nút này các thành phần chuyển vị thẳng và xoay phải bằng không. Chúng ta có điều kiện biên là chuyển vị tương ứng với các bậc tự do tai hai nút 3 và 4 phải bằng không. {} 7 8 9 10 11 12 0 B u u u u u u u     ==      3. Chuyển vị tương ứng với các bậc tự do còn lại chưa biết và là ẩn số của bài toán. Để tìm chuyển vị, loại bỏ khỏi phương trình các ẩn số đã biết bằng không. Phương trình cân bằng sau khi áp dụng điều kiện biên có dạng: 3.06E+6 0 1.20E+5 -3.00E+6 0 0 u 1 10 0 6.01E+6 3.00E+4 0 -7.50E+3 3.00E+4 u 2 0 1.20E+5 3.00E+4 4.80E+5 0 -3.00E+4 8.00E+4 x u 3 =0 -3.00E+6 0 0 3.06E+6 0 1.20E+5 u 4 0 0 -7.50E+3 -3.00E+4 0 6.01E+6 -3.00E+4 u 5 0 0 3.00E+4 8.00E+4 1.20E+5 -3.00E+4 4.80E+5 u 6 0 4 Giải hệ phương trình cân bằng, nhận được Vec to chuyen vi nut u 1 1.47E-02 u 2 3.12E-05 u 3 = -3.16E-03 u 4 1.45E-02 u 5 -3.12E-05 u 6 -3.11E-03 5. Kể cả các chuyển vị bằng không tương ứng với các bậc tự do bị liên kết với đất, véc tơ chuyển vị đầy đủ của kết cấu có dạng u 1 1.47E-02 u 2 3.12E-05 u 3 = -3.16E-03 u 4 1.45E-02 u 5 -3.12E-05 u 6 -3.11E-03 u 7 0 u 8 0 u 9 0 u 10 0 u 11 0 u 12 0 Bước 5: Xác định nội lực trong phần tử: Nội lực phần tử xác định theo công thức: [ ] [ ] { } eee SKu=×. Trong đó, các ma trận độ cứng phần tử Ke được xác định từ bước 2. Véc tơ chuyển vị của phần tử lấy từ véc tơ chuyển vị của toàn kết cấu căn cứ theo bậc tự do của phần tử. Véc tơ chuyển vị phần tử được chuyển về hệ tọa độ cục bộ phần tử trước khi sử dụng để tính nội lực - Phần tử 1: + Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ chung: u 1 1.47E-02 u 2 3.12E-05 {U’1}= u 3 = -3.16E-03 u 4 1.45E-02 u 5 -3.12E-05 u 6 -3.11E-03 + Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử: 1.47E-02 3.12E-05 {U1}= -3.16E-03 1.45E-02 -3.12E-05 -3.11E-03 + Véc tơ nội lực phần tử: 4.98E+02 -1.87E+02 {S1}= -7.52E+02 -4.98E+02 1.87E+02 -7.48E+02 - Phần tử 2: + Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ chung: u 7 0 u 8 0 {U’2}= u 9 = 0 u 1 1.47E-02 u 2 3.12E-05 u 3 -3.16E-03 + Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử: 0 0 {U2}= 0 3.12E-05 -1.47E-02 -3.16E-03 + Véc tơ nội lực phần tử: -1.87E+02 5.02E+02 {S2}= 1.26E+03 1.87E+02 -5.02E+02 7.52E+02 - Phần tử 3: + Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ chung: u 7 1.45E-02 u 8 -3.12E-05 {U’3}= u 9 = -3.11E-03 u 1 0 u 2 0 u 3 0 [...]...+ Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa độ phần tử: 3.12E-05 1.45E-02 {U3}= -3.11E-03 0 0 0 + Véc tơ nội lực phần tử: 1.87E+02 4.98E+02 {S3}= 7.48E+02 -1.87E+02 -4.98E+02 1.24E+03 . toàn kết cấu căn cứ theo bậc tự do của phần tử. Véc tơ chuyển vị phần tử được chuyển về hệ tọa độ cục bộ phần tử trước khi sử dụng để tính nội lực - Phần tử 1: + Véc tơ chuyển vị trong hệ tọa. cấu thành các phần tử, đánh số nút và số phần tử như hình vẽ 1. Kết cấu làm việc theo trạng thái khung phẳng chịu lực. Khi mô hình hóa để tính toán bằng PP PTHH, sử dụng các phần tử thanh phẳng lực trong phần tử: Nội lực phần tử xác định theo công thức: [ ] [ ] { } eee SKu=×. Trong đó, các ma trận độ cứng phần tử Ke được xác định từ bước 2. Véc tơ chuyển vị của phần tử lấy từ véc