AN BM =1 áp dụng định lý Menenauyt cho DABM thì F,I,C thẳng hàng.. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy... AE CE=1 áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AD, BE, CF đồng quy.. =1 áp dụng định lí
Trang 1Ce-va và Melenauyt
Một số ví dụ:
Bài tập1:
Cho DABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC MB = MC Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi AM ầ EF = K
Theo định lý Talét:
KM
AK
BF
AF = ;
AK
KM AE
CE = ; và = 1
CM BM
Suy ra
BF
AF
CM
BM
AE
CE = 1
áp dụng định lý Ceva cho DABC ta có: CF, BE , AM đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM ầ BE = I
Ta có
BF
AF =
BC
AN;
MC
BC =2;
AI
MI =
AN BM
Suy ra
BF
AF
MC
BC
AI
MI=
BC
AN.2
AN
BM =1
áp dụng định lý Menenauyt cho DABM thì F,I,C thẳng hàng
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy
Bài tập 2: Cho đường tròn nội tiếp DABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại
D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
A
F
M
K E
E
A
F
M
N
I
F
A
E
D
Trang 2AF
CD
BD
AE
CE=
BD
AE
CE
BD
AE
CE=1
áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AD, BE, CF đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD ầ CF = I Ta có :
CE
AE
DB
CB
AI
DI =
CD
AF
BF
CB
AN
CD=
BF
AF
AN
CB=
AN
CB CB
AN
. =1
áp dụng định lí Menenauyt cho DACD thì
AD, BE, CF đồng quy
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH
là phân giác góc DHE Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đường cao nên
AM = AN
Có:
BH
MA
BD
AD = ;
AN
CH AE
AN
CH CH
BH BH
MA AE
CE CH
BH BD
AD
áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AH, BE, CD đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lượt tại M, N, K
Gọi AH ầ BE = I
Ta có:
BD
AD=
BH
MA=
BH
AN và
AK
BH AI
HI =
BD
AD
CH
BH
AI
HI =
AK
BH HC
BC BH
AN
.
AK
BC HC
AN
AE
CE CE
AE
áp dụng định lí Menenauyt cho DABH thì D,I,C thẳng hàng
F
A
E
D
I
N
A
D
H
E
A
D
H
E
K
I
Trang 3Vậy AH, BE, CD đồng quy
Bài tập 4:Cho DABC vuông tại A, đường cao AK Dựng bên ngoài tam giác những
hình vuông ABEF và ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy
Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB ầ CE, I = AC ầ BG
Đặt AB = c, AC = b
Có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC ị
CK
BK = 22
b c
và
BD
AD=
c
b;
AI
CI=
c
b (do DAIB ~ DCIG)
ị
BD
AD
CK
BK
AI
CI =
c
b 22
b
c
c
b=1
áp dụng định lý Ceva cho DABC
thì AK, BG, CE đồng quy
Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC
cắt BG tại M AK ầ BG tại O
Ta có
BD
AD=
c
b;
AO
KO=
AM BK
suy ra
BD
AD
CK
BC
AO
KO=
c
b
CK
BC
AM
BK =
c
b
AM
BC
CK
BK =
c
b
AI
CI 22
b
c =
c
b
c
b
2
2
b
c =1
áp dụng định lý Menenauyt cho DABK thì D, O, C thẳng hàng
Vậy AK, BG, CE đồng quy
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
M
O