chung minh 3 dthang d quy Ceva and Menenauyt _1.rar

Ce-va v Melenauyt Một số ví dụ: Bài tập1: Cho DABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi AM ầ EF = K Theo định lý Talét: KM AK BF AF = ; AK KM AE CE = ; và 1= CM BM Suy ra BF AF . CM BM . AE CE = 1 áp dụng định lý Ceva cho DABC ta có: CF, BE , AM đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đ ờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM ầ BE = I Ta có BF AF = BC AN ; MC BC =2; AI MI = AN BM Suy ra BF AF . MC BC . AI MI = BC AN .2. AN BM =1 áp dụng định lý Menenauyt cho DABM thì F,I,C thẳng hàng. Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy. Bài tập 2: Cho đ ờng tròn nội tiếp DABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần l ợt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy ra: A F M B C K E E A F M B C N I B C F A E D BF AF . CD BD . AE CE = BD AE . CE BD . AE CE =1 áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AD, BE, CF đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N AD ầ CF = I. Ta có : CE AE . DB CB . AI DI = CD AF . BF CB . AN CD = BF AF . AN CB = AN CB CB AN . =1 áp dụng định lí Menenauyt cho DACD thì AD, BE, CF đồng quy. Bài tập 3: Cho tam giác ABC đ ờng cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N Vì HA là phân giác của góc A, HA là đ ờng cao nên AM = AN Có: BH MA BD AD = ; AN CH AE CE = ị 1 == AN CH CH BH BH MA AE CE CH BH BD AD . áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AH, BE, CD đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần l ợt tại M, N, K Gọi AH ầ BE = I Ta có: BD AD = BH MA = BH AN và AK BH AI HI = ị . BD AD CH BH . AI HI = AK BH HC BC BH AN = AK BC HC AN . = AE CE CE AE . =1 áp dụng định lí Menenauyt cho DABH thì D,I,C thẳng hàng. B C F A E D I N A B C D M N H E A B C D M N H E K I Vậy AH, BE, CD đồng quy. Bài tập 4:Cho DABC vuông tại A, đ ờng cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi D = AB ầ CE, I = AC ầ BG Đặt AB = c, AC = b. Có c 2 = BK.BC; b 2 = CK.BC ị CK BK = 2 2 b c và BD AD = c b ; AI CI = c b (do DAIB ~ DCIG) ị BD AD . CK BK . AI CI = c b . 2 2 b c . c b =1 áp dụng định lý Ceva cho DABC thì AK, BG, CE đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đ ờng thẳng song song với BC cắt BG tại M. AK ầ BG tại O. Ta có BD AD = c b ; AO KO = AM BK suy ra BD AD . CK BC . AO KO = c b . CK BC . AM BK = c b . AM BC . CK BK = c b . AI CI . 2 2 b c = c b . c b 2 2 b c =1 áp dụng định lý Menenauyt cho DABK thì D, O, C thẳng hàng. Vậy AK, BG, CE đồng quy. H A B G E C K D I F H A B G E C K D I F M O . D BF AF . CD BD . AE CE = BD AE . CE BD . AE CE =1 áp d ng định lý Ceva cho DABC suy ra AD, BE, CF đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N AD. CE AE . DB CB . AI DI = CD AF . BF CB . AN CD = BF AF . AN CB = AN CB CB AN . =1 áp d ng định lí Menenauyt cho DACD thì AD, BE, CF đồng quy. Bài tập 3: Cho tam giác ABC đ ờng cao AH. Lấy D, E. BD AD = c b ; AI CI = c b (do DAIB ~ DCIG) ị BD AD . CK BK . AI CI = c b . 2 2 b c . c b =1 áp d ng định lý Ceva cho DABC thì AK, BG, CE đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ