Đề thi CH Toán (từ năm 1998-2003)

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 1 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho (G, ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G bởi: x y (g G, g 1 xg = y ). Với mỗi x G, đặt H x = {g G | g 1 xg = x} và O x = {g 1 xg | g G}. a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G. b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng tỏ rằng O 1 G = {1 G },H x là một nhóm con của G và |G| = |H x |. |O x |, với mọi x G. c) Chứng tỏ nếu |G| = p n , với p là một số nguyên tố và n là số tự nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg, x G. Câu 2. Giả sử M n (R) là vành các ma trận vuông thực cấp n. a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M n (R) khi và chỉ khi det(A)=0. b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M n (R) mà mọi phần tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành con của M n (R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của không trong N. c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái. Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc tr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là r A , đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. a) Chứng minh rằng, r A bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến tính của A. b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính A x 1 . . . x n = b 1 . . . b n ,b i K (). 1 Send from ROBINHOOD - Typeset By PCT E Xv.5 1 Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm cột b 1 . . . b n vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi và chỉ khi r A = r B . Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V n+1 là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xét ánh xạ: : V V g fg gf trong đó f ,g là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng. a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker và chứng tỏ rằng (V r+1 )=(V r ). b) Tìm dim((V r+1 )). 2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm n=1 1 n 2 2 n (x n + x n ) trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là 1 2 |x|2. b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm n=1 ( n n +1 ) n 2 x n . Câu 2. Cho C [a,b] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. a) Đặt d(x, y) = max atb |x(t) y(t)|,x,y C [a,b] . Chứng minh rằng, d là một metric trên C [a,b] và với metric d, C [a,b] là một không gian đầy đủ. b) Đặt (x, y)= b a |x(t) y(t)|dt, x, y C [a,b] . Chứng minh rằng, là một metric trên C [a,b] và với metric đó C [a,b] là một không gian không đầy đủ. Câu 3. a) Đặt C 0 [0, 1] = {x C [0,1] : x(0) = 0}, trong đó C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với chuẩn "max". Chứng minh rằng, C 0 [0, 1] là không gian con đóng của C [0,1] và A : C 0 [0, 1] C 0 [0, 1] x Ax 3 cho bởi (Ax)(t)= 1 2 [x(t 2 )+tx(1)],t [0, 1] là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A. b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toán tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y Y , ta có y A X . Chứng minh rằng, A L(X, Y ). Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert. a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng, A 2 = A 2 , với A = A A. b) Cho (A n ) nN L(H) thỏa mãn điều kiện sup nN |A n x, y| < + với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup nN A < +. 4 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng với n = p r 1 1 p r h h trong đó p i là các số nguyên tố và r i > 1. Cho G là một nhóm giao hoán (với phần tử đơn vị e)cón phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợc thỏa mãn: "Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | x d = e} có nhiều nhất d phần tử." Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại a i G thỏa mãn a p r i i i = e và a p r i 1 i i = e. Suy ra a i có bậc là p r i i . Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt R = {I | I là idean cực đại của A}, N = IR I. Chứng tỏ: a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng. b) N = {x A |y A, z A, (1 xy)z =1}. c) Giả sử A có tính chất: x A, n>1 thuộc N sao cho x n = x. Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại. Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào tr-ờng K. Chứng tỏ: rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}. Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với mỗi không gian con U của E, đặt U = {x E | f(x, y)=0, y U}; U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x)=0, x U. Không 5 gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác. a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi và chỉ khi U U . b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằng với mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng. c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy ra các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều. 6 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Ký hiệu GL(n, R n ) là nhóm nhân các ma trận thực không suy biến cấp n. Chứng tỏ: a) Tập hợp SL(n, R n ) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R n ). b) ánh xạ f : GL(n, R n ) R A det(A) từ nhóm GL(n, R n ) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu. Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R n )/SL(n, R n ) đẳng cấu với nhóm R . Câu 2. Cho R = Z p [x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số trong tr-ờng Z p các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét f Rvới: f = 1+[x p1 +(x + 1) p1 + ããã+(x + p 1) p1 ]. a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Z p là nghiệm của ph-ơng trình f(x)=0. Do đó f =0. b) Suy ra công thức sau: 1 k + ããã+(p 2) k +(p 1) k 0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1), 1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1). Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng K. Chứng tỏ: |rank(A) rank(B)|rank(A + B) rank(A) + rank(B). Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là một đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x 0 , với W là một không gian vector con của V và x 0 V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của D. Chứng tỏ rằng 7 a) Với x 0 ,x 1 , ,x n là một hệ vector cho tr-ớc trong V thì tập hợp D = {x = a 0 x 0 + a 1 x 1 + ããã+ a n x n | a 0 + a 1 + ããã+ a n =1} là một đa tạp tuyến tính của V chứa các vector x 0 ,x 1 , ,x n . b) Tập hợp các nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính t-ơng thích n ẩn hạng r với hệ tử thuộc tr-ờng số thực R lập thành một đa tạp tuyến tính có số chiều là n r trong không gian vector R n . 8 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. Cho (X, d) là một không gian metric. Ta đặt (x, y)= d(x, y) 1+d(x.y) ,x,y X. Hãy chứng minh: a) (X, ) là một không gian metric. b) Không gian (X, ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ. c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũng là một tập compact trong (X, ). Câu 2. Cho f 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A. Với mỗi n N ta đặt f n (x)= f(x) nếu f(x) <n n nếu f(x) n. Chứng minh lim n A f n dà = A fdà. Câu 3. Ký hiệu X = C [0,1] là không gian định chuẩn với chuẩn max. a) Giả sử x X, với mỗi n N ta đặt x n (t)=x(t 1+ 1 n ), t [0, 1]. Chứng minh rằng, dãy (x n ) n hội tụ về hàm x trong X. b) Đặt A : X X cho bởi công thức x Ax, (Ax)(t)=x(0) tx(t), với mọi t [0, 1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính A. Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f X ,f=0. Ký hiệu = inf{x : x X, f(x)=1}. Chứng minh rằng, f = 1 . Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {e n ,n N} là một cơ sở trực chuẩn của H. Đặt A : H H xác định bởi x H, Ax = n=1 x, e n+1 e n . Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm A và xác định toán tử liên hợp A . 9 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây: n=1 ln(1+n) n ,>1. 2) Cho f : R R là hàm số xác định bởi: f = 0, nếu x/ (0, 1], n, nếu x ( 1 n +1 , 1 n ], với n N. Tính R fdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue trên R. Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X X là một ánh xạ liên tục. Giả sử (K n ) là một dãy giảm các tập đóng không rỗng của X. Chứng minh rằng, f( n=1 K n )= n=1 f(K n ). Câu 3. Ký hiệu C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 1] với chuẩn max. Đặt M = {x C [0,1] : x(0) = 0, 0 x(t) 1, t [0, 1]}. 1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C [0,1] . 2) Xét hàm số f : C [0,1] R xác định bởi công thức f(x)= 1 0 x 2 (t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt đ-ợc giá trị bé nhất trên M. Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X R là một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f X khi và chỉ khi tập M = {x X : f(x) 1} là một tập đóng trong X. Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {e n , : n N} và X là một không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho n=1 Ae n 2 < 10 [...]... Y thì sup An < + nN Câu 5 Cho {en , n N} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H và (n)n là một dãy số bị ch n 15 1 Ch ng minh rằng, với mọi x H, chuỗi trong H 2 Đặt Ax = n=1 n=1 n x, en en hội tụ n x, en en với mọi x H Ch ng minh rằng, A là toán tử tuyến tính liên tục trên H Tính A 16 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Giải T ch Thời gian 180' Câu 1 Cho A là một tập đo đ-ợc và... X Y là một toán ánh liên tục từ X lên Y Cho A X sao cho A = X Ch ng minh rằng f (A) = Y Câu 3 Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các giá trị của A a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn Ch ng minh rằng, nếu tồn tại số m > 0 sao cho Ax m x với mọi x X thì R(A) là một không gian con đóng của Y b) Giả sử X, Y là các không gian Banach và R(A) là... là không suy biến Ch ng tỏ nếu f không suy biến thì dim L = n k 14 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Giải T ch Thời gian 180' Câu 1 1 Cho (xn )n là một dãy tăng, bị ch n trên và xn > 0 với mọi n N Ch ng minh rằng, chuỗi số (1 n=1 xn ) xn+1 hội tụ 2 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa: n=1 x2n 2n1 Câu 2 Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian metric, trong đó X compact Ký... nhất một ánh xạ liên tục u từ X vào R sao cho u(x) = (x, u(x)), x X Câu 4 1 Cho X là một không gian định chuẩn và M là một tập con của X Giả sử với mọi f X ta có sup |f (x)| < + Ch ng minh rằng, M là xM một tập bị ch n trong X 2 Cho X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn, (An )n là một dãy toán tử tuyến tính liên tục trong không gian L(X, Y ) Ch ng minh rằng, nếu với mọi x X, (An x)n... xác định bởi An x = n k=1 x, ek Aek , x H Ch ng tỏ rằng a) Với mọi n N, An là một toán tử tuyến tính liên tục b) An A trong không gian L(H, X) và từ đây suy ra A là một toán tử compact 11 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Cho G là tập tất cả các bộ số nguyên dạng (k1 , k2 , k3 ) Ch ng minh rằng, a) G là một nhóm với phép toán (k1 , k2 , k3 ).(l1 , l2 , l3 ) = (k1... a) Nếu U là một không gian vector con k-chiều của V sao cho U ker là không gian con p-chiều thì dim (U ) = k p b) Nếu T là một không gian vector con của W sao cho T Im() là không gian con r-chiều thì dim 1 (T ) = n + r rank(A) 12 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 a) Tồn tại hay không một thể (K, +, ì) có đặt số khác 2 sao cho các nhóm con (K, +) và (K , ì), với... Gk a) Ch ng tỏ rằng G là một nhóm con cấp vô hạn không cyclic của C và mọi nhóm con thực sự của G đều là nhóm con cyclic hữu hạn b) Trên G, xét hai phép toán , nh- sau: x, y G, x y = xy, x y = 0 Ch ng minh rằng, (G, , ) là một vành giao hoán, không ch a đơn vị và không có idean tối đại Câu 2 Cho D là một miền nguyên với đơn vị e sao cho mỗi nhóm con của nhóm cộng của D là một idean của D Ch ng minh... các phần tử nằm trên đ-ờng ch o ch nh của A Ch ng minh rằng, a) Với mọi A Mn(K), ánh xạ A : Mn (K) K xác định bởi A (X) = Tr(AX), X Mn (K) là một phần tử của không gian đối ngẫu (Mn(K)) b) ánh xạ : Mn (K) (Mn (K)) A A là một đẳng cấu giữa các không gian vector Câu 4 Cho : V W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n-chiều V vào không gian vector m-chiều W Ch ng minh rằng, a) Nếu U là... (x), g(x)) Ch ng minh rằng, (x) là một hàm liên tục trên X 2 Với f, g C(X, Y ), đặt d(f, g) = max (x) Ch ng minh rằng, xX C(X, Y ) là một không gian metric Hơn nữa, C(X, Y ) là không gian đầy đủ khi và ch khi Y đầy đủ Bài 3 Cho X là một không gian metric đầy đủ và là ánh xạ liên tục bị ch n từ X ì R vào R Giả sử tồn tại (0, 1) sao cho x X, y1 , y2 R : |(x, y1 ) (x, y2 )| |y1 y2| Ch ng minh... và R(A) là tập đóng trong Y Ch ng minh rằng, tồn tại số m > 0 sao cho với mỗi y R(A), tồn tại x X để y = Ax và y m x Câu 4 Ký hiệu H là không gian Hilbert a) Giả sử A là không gian con 1-chiều của H và a là một phần tử khác 0 của A Ch ng minh rằng, với mọi x H ta có d(x, A ) = inf x u , u A = | x, a | a b) Cho M H sao cho không gian con sinh bởi M trù mật trong H Ch ng minh rằng, nếu x H và . V. Tìm ker và ch ng tỏ rằng (V r+1 )=(V r ). b) Tìm dim((V r+1 )). 2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải T ch Thời gian 180' Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm n=1 1 n 2 2 n (x n +. xác định toán tử liên hợp A . 9 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Giải T ch Thời gian 180' Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây: n=1 ln(1+n) n ,>1. 2) Cho f :. n k. 14 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Giải T ch Thời gian 180' Câu 1. 1. Cho (x n ) n là một dãy tăng, bị ch n trên và x n > 0 với mọi n N . Ch ng minh rằng, chuỗi số n=1 (1