phuongtrinh duong thang CB

1 ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương trình tham số của đ. thẳng : qua M(x 0 ;y 0; z 0 ) , có VTCP u  = (a;b; c)  pt đường thẳng là : 0 0 0 x x at y y bt t R z z ct             với a 2 + b 2 + c 2  0 Nếu a,b, c khác không thì 2. Phương trình chính tắc của đ. thẳng  : 0 x x a  = 0 y y b  = 0 z z c   Phương trình tổng quát đ. thẳng  là : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 với (A 1 :B 1 : C 1 )  (A 2 :B 2 :C 2 ) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Có VTCP  u = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 B C C A A B ; ; B C C A A B       và chọn điểm M 0   Pt đường cao AH trong  ABC : +Tính n  ABC là VTPT của mp(ABC) +Đường cao AH đi qua A có VTCP AH u  =[ ABC n  , BC  ]  Pt đ. thẳng  / là hình chiếu của  lên mp  : + Tìm giao của  và mp() là A + Tính n   =[ u   , n   ] khi đó u    =[ n   , n   ] + Pt đ. thẳng  / qua A có VTCP là u     Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (d 1 ) và (d 2 ) (d 1 ) : 1 x x a  = 1 y y b  = 1 z z c  qua M 1 (x 1 ;y 1 ; z 1 ) ; VTCP 1 u  =(a 1 ;b 1 ; c 1 ) (d 2 ) : 2 x x a   = 2 y y b   = 2 z z c   qua M 2 (x 2 ;y 2 ; z 2 ) ;VTCP 2 u  =(a 2 ;b 2 ;c 2 ) MN ( đoạn vuông góc chung ) C 1 :Cách xác đònh toạ độ M ; N : M (d 1 ) ; N (d 2 ) và M(x 1 + at 1 ; y 1 + bt 1 ; z 1 + ct 1 ) ; N(x 2 + a 2. t 2 ; y 2 + b 2 .t 2 ; z 2 + c 2. t 2 ) Hệ ĐK :            1 2 MN u MN u             1 2 MN.u 0 MN.u 0 giải hệ tìm t 1 và t 2 Bài tập mẫu : N M d 1 d 2 2 Bài 1: Viết phương trình đường thẳng  qua A(1;1;1) và có VTCP u  =(2;1;3) Giải : Phương trình tham số đường thẳng : x 1 2t y 1 t z 1 3t            , t  R Bài 2: a) Viết phương trình đường thẳng AB , với A(3;1;4) , B(1;2;1) b) Viết phương trình đường thẳng  qua K(3;2;2) và song song với AB Giải : AB  =(2;3;5) là VTCP a) + Phương trình đường thẳng AB qua A nhận AB  làm VTCP : x 3 y 1 z 4 2 3 5        b) Đường thẳng  qua K nhận AB  làm VTCP : x 3 y 2 z 2 2 3 5        Bài 3: Viết phương trình đường thẳng  qua N(2;1;1) và song song với đường thẳng (d) : x 1 y z 1 2 3 1      Giải :  //(d) => u   = d u  =(2;3;1) P/ trình đường thẳng  qua N nhận u   làm VTCP : x 2 y 1 z 1 2 3 1       Bài 4: Viết phương trình đường thẳng  qua Q(4;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (α) : xy+5z 6=0 . Giải : Vì   (α) => u   = n   =(1;1;5) Phương trình đường thẳng  qua Q nhận u   làm VTCP: x 4 y 1 z 3 1 1 5       Bài 5: Lập phương trình tham số của đường thẳng  thỏa : a) qua K(2;4;3) và vuông góc trục z / Oz tại H b) qua A(3;2;4) và song song trục z / Oz Giải : a) Theo đề bài H là hình chiếu của K lên trục z’Oz => H(0 ; 0 ;3) Đường thẳng  qua K và H => HK  =(2;4;0) là VTCP +Pt đường thẳng  qua K nhận HK  làm VTCP : x 2 2t y 4 4t z 3            b) Vì  // trục z’Oz =>  nhận véc tơ k  làm VTCP 3 + Phương trình đường thẳng  qua A có k  là VTCP : x 3 y 2 z 4 t           Bài 6: Viết phương trình đường thẳng  qua C(3;1;5) ,  vuông góc và cắt đường thẳng (d) : x 1 2  = y 2 1   = z 1 Giải : + Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng (d) Ta có H  (d) => H( 1+2t ;2t ; t) CH  =(4+2t ; 3t ; t5) ; u  =(2;1;1) CH  . u  =0 <=> 2(4+2t) (3t) +t5=0 <=> t=1 Suy ra H( 1;1;1) + Đường thẳng  đi qua C và H có CH  =(2;2;6) là VTCP Phương trình : x 3 y 1 z 5 2 2 6        Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;1) , B(2;1;2) , C(5;4;2) a) Lập phương trình đường cao AH của tam giác ABC . b) Lập phương trình đường trung trực đoạn BC của tam giác ABC Giải : a) AB  = (1; 1; 3) ; AC  =(4;4;3) Ta có VTPT của mp(ABC) là ABC n  =(15; 9;8) + Đường cao AH nằm trong mp(ABC) = > u   ABC n  Và đường cao AH vuông góc BC => u   BC  Suy ra u  = [ ABC n  , BC  ] =(40;24;102) Phương trình đường cao AH qua A nhận u  làm VTCP : x 1 y z 1 40 24 102       b) Đường trung trực đoạn BC đi qua trung điểm I của BC ta có I( 7 2 ; 3 2 ;2) + Đường trung trực đoạn BC song song với AH => nhận u  =(40;24;102) làm VTCP Phương trình đường trung trực đoạn AB của tam giác ABC qua I nhận u  làm VTCP là : 7 x 2 40  = 3 x 2 24  = z 2 102   C H d 4 Bài 8: Viết phương trình đường thẳng  qua B(1;3;4) và song song với hai mặt phẳng (α) : xy+3z 2=0 , (β) : 3x z +1=0 Giải : n   =(1;1;3) ; n   =(3;0;1) Vì  // (α) => u   n   Và  // (β) => u   n   ; Do đó u  =[ n   , n   ]= 1 3 3 1 1 1 ; ; 0 1 1 3 3 0           = (1;10 ;3) Pt đường thẳng  qua B nhận u  làm VTCP : x 1 y 3 z 4 1 10 3      Bài 9: Viết phương trình đường thẳng  qua M(4;1;2) và đồng thời vuông góc với hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) , với (d 1 ) : x 1 2  = y 1 1   = z 3 3  và (d 2 ) : x 1 = y 1 2  = z 1 Giải : Đường thẳng (d 1 ) có VTCP 1 u  =(2;1;3) ; (d 2 ) có VTCP 2 u  =(1;2;1) Vì   (d 1 ) và   (d 2 ) => u   =[ 1 u  , 2 u  ] =(7;1; 5) Pt đường thẳng  qua M nhận u   làm VTCP : x 4 y 1 z 2 7 1 5       Bài 10: Viết phương trình đường thẳng  qua N(4;1;2),  vuông góc với đường thẳng (d 1 ) : x 1 1  = y 2 3   = z 1 1  và cắt đường thẳng (d 2 ): x 2 2  = y 1 = z 3 3  . Giải : + Mặt phẳng (α) qua N và vuông góc với (d 1 ) , n   = 1 u  =(1;3;1) : Phương trình mp(α) : (x4) 3(y1) +(z+2) =0 <=> x3y +z +1=0 + Giao của mp(α) và (d 2 ) là M : x 3y z 1 0 x 2 2t y t z 3 3t                  => (2+2t) 3t +3+3t +1=0 <=> t=1 => M(4;1;0) Đường thẳng  qua M, N có VTCP MN  =(8;2;2) d 1 d 2 α N * M 5 Phương trình  : x 4 y 1 z 8 2 2      Bài 11: Cho đường thẳng (d) : x 3 5t y 2 4t z 1 3t            . Viết phương trình các đường thẳng (d 1 ) , (d 2 ) , (d 3 ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy) ,(Oyz) và (Ozx) Giải : + Phương trình đường thẳng (d 1 ) : x 3 5t y 2 4t z 0           + Phương trình đường thẳng (d 2 ) : x 0 y 2 4t z 1 3t           + Phương trình đường thẳng (d 3 ) : x 3 5t y 0 z 1 3t           Bài 12: Cho đường thẳng (d) : x 1 2t y 3t z 2 t           và mp(α) : xy+z2=0 Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (α) . Giải : C 1 : + d  (α) ={A} Điểm A chiếu lên mp (α) là A Điểm M chiếu lên mp (α) là H Đường thẳng (d’) đi qua A và H . + A là giao điểm của (d) và (α) : x 1 2t y 3t z 2 t x y z 2 0                 => (12t) 3t +2+ t 2=0 <=> t= 1 4 ; A( 1 2 ; 3 4 ; 9 4 ) Đường thẳng (d) qua M(1;0;2) . Gọi H là hình chiếu của M lên mp(α) d α M * A d’ H 6 + Đường thẳng  qua M và vuông góc với (α) có pt: x 1 t y 0 t z 2 t            + Giao của  và (α) là : x 1 t y 0 t z 2 t x y z 2 0                  => t= 1 3 => H( 2 3 ; 1 3 ; 5 3 ) Ta có : AH  =( 1 6 ; 5 12 ; 7 12 ) // u  =(2;5;7) P/ trình đường thẳng (d’) qua A nhận u  làm VTCP 1 3 9 x y z 2 4 4 2 5 7        C 2 : + A là giao điểm của (d) và (α) : x 1 2t y 3t z 2 t x y z 2 0                 => (12t) 3t +2+ t 2=0 <=> t= 1 4 ; A( 1 2 ; 3 4 ; 9 4 ) + Đường thẳng (d) qua M(1;0;2) và có VTCP d u  =(2;3;1) Mặt phẳng (α) có VTPT : n   =(1;1;1) + Ta có n   =[ d u  , n   ]=(4;3;1) ; u   =[ n   , n   ]=(2;5;7) + Đường thẳng (d’) qua A nhận u   làm VTCP có pt là : 1 3 9 x y z 2 4 4 2 5 7        Bài 13: Cho đường thẳng (d 1 ) x 1 y z 1 3 2 1     ; (d 2 ) x y 1 z 2 1 5 1      và C(3;1;1) . Viết phương trình đường thẳng  qua C và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) . Giải : (d 1 ) qua M 1 (1;0;1) và có VTCP 1 u  =(3;2;1) (d 2 ) qua M 2 (0;1;2) và có VTCP 2 u  =(1;5;1) + Giả sử  cắt (d 1 ) tại A(1+3t 1 ; 2t 1 ; 1+t 1 )  cắt (d 2 ) tại B(t 2 ; 1+5t 2 ; 2t 2 ) 7 Ta có CA  =(4+3t 1 ; 2t 1 1; t 1 ) ; CB  =(t 2 3;2+5t 2 ; 3t 2 ) Vì C, A, B thẳng hàng => CA  =k. CB  <=> 1 2 1 2 1 2 4 3t k(t 3) 2t 1 k( 2 5t ) t k( 3 t )                 <=> 2 1 1 1 1 1 kt 3t 3k 4 2t 1 2k 5(3t 3k 4) t 3k (3t 3k 4)                    <=> 2 1 5 t 12 31 t 13 12 k 13               => CA  =( 41 13 ; 49 13 ; 31 13 ) là VTCP // u  =(41;49;31) Phương trình đường thẳng  qua A nhận u  làm VTCP : x 3 y 1 z 1 41 49 31      Bài 14: Cho đường thẳng (d) x 2 y 1 z 3 1 2 4       và () : x3y+2z 5=0 . Viết phương trình đường thẳng  qua M(2;0;1) , biết  // mp() và  cắt đường thẳng (d) . Giải : + Mp() qua M và song song với mp() có phương trình là : (x+2) 3(y0) +2(z1) =0 <=> x3y +2z =0 + Gọi N là giao của mp() và đường thẳng (d) : x 3y 2z 0 x 2 t y 1 2t z 3 4t                  => (2t)3(1+2t) +2(3+4t) =0 <=> t=1 => x 1 y 1 z 1            . Điểm N(1;1;1) + Đường thẳng  qua M,N có VTCP MN  =(1;1;2) Phương trình  : x 2 y z 1 1 1 2       d α M * N  8 Bài 15: Cho đường thẳng (d 1 ) x 2 y 1 z 3 1 2 4       ; (d 2 ) x y 3 z 1 2 1 1     và mp() : 3x +y2z 4=0 . Viết phương trình đường thẳng  đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) ,(d 2 ) và  vuông góc với mp() . Giải : Giả sử  cắt đường thẳng (d 1 ) tại A(2t 1 ; 1+2t 1 ; 3+4t 1 ) Và  cắt đường thẳng (d 2 ) tại B(2t 2 ; 3+t 2 ; 1+t 2 ) Véc tơ : AB  =(2t 2 +t 1 +2; t 2 2t 1 4;t 2 4t 1 4) Vì   mp() => AB  và n   cùng phương <=> 2 1 2 1 2 1 2t +t +2=3k t 2t 4=k t 4t 4= 2k           <=> 2 1 28 t 13 30 t 13 20 k 13                . Suy ra tọa độ điểm A 4 47 81 ; ; 13 13 13         ; AB  = 60 20 40 ; ; 13 13 13         cùng phương với u  =(3;1;2) Vậy phương trình đường thẳng  : 4 47 81 x y z 13 13 13 3 1 2        Bài 16: Cho đường thẳng (d 1 ) x 1 y z 1 3 2 1     ; (d 2 ) x y 1 z 2 1 5 1      . Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) . Giải : Đường thẳng (d 1 ) qua M 1 ( 1;0;1) , có VTCP 1 u  =(3;2;1) Đường thẳng (d 2 ) qua M 2 ( 0;1;2) , có VTCP 2 u  =(1;5;1) C 2 : Giả sử AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) A  (d 1 ) => A(1+3t 1 ; 2t 1 ; 1+t 1 ) ; B  (d 2 ) => B(t 2 ; 1+5t 2 ; 2t 2 ) Ta có : AB  =(t 2 3t 1 +1; 5t 2 2t 1 1; t 2 t 1 3) d 1 α Q  d 2 P A B 9 Vì AB là đoạn vuông góc chung => 1 2 AB.u 0 AB.u 0            <=> 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3(t 3t 1) 2(5t 2t 1) ( t t 3) 0 (t 3t 1) 5(5t 2t 1) 1.( t t 3) 0                        <=> 2 1 2 1 12t 14t 2 27t 12t 1        <=> 2 1 5 t 117 7 t 117            . Suy ra A 20 14 32 ; ; 13 39 13         Véc tơ AB  = 175 100 25 ; ; 117 117 9        cùng phương với u  =(7;4;13) Phương trình đường thẳng vuông góc chung chính là đường thẳng AB: 20 14 32 x y z 13 39 39 7 4 13        Bài 17: Cho mp() : x+y+z 1=0 và hai đường thẳng (d 1 ) : x y z 1 1 2 1    (d 2 ) : x 1 2t y t z t          . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mp() sao cho  cắt cả hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) . Giải : + Gọi M là giao của (d 1 ) và () : Hệ : x y z 1 0 x t y 2t z 1 t                => t=0 => M(0;0;1) + Gọi N là giao của (d 2 ) và () Hệ x y z 1 0 x 1 2t y t z t 4                 => t=1 => N(1;1;3) ; MN  =(1;1;2) d 2 M * N  d 1 10 ẹửụứng thaỳng can tỡm qua M nhaọn MN laứm VTCP : x y z 1 1 1 2 . 2t 2 ) 7 Ta có CA  =(4+3t 1 ; 2t 1 1; t 1 ) ; CB  =(t 2 3;2+5t 2 ; 3t 2 ) Vì C, A, B thẳng hàng => CA  =k. CB  <=> 1 2 1 2 1 2 4 3t k(t 3) 2t 1 k( 2 5t