Sai phân và bài toán tính tổng

SAI PHÂN VÀ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG I. Kí hiệu + ∆ được gọi là sai phân. + U x là hàm biến x + ∆U x = U x+1 − U x + U x = U 0 + x (1) ∆ 1 U 0 + x (2) 2! ∆ 2 U 0 + + x (n) n! ∆ n U 0 (**) II. Biến đổi đa thức dưới dạng chuỗi lũy thừa. Ví dụ: U x = 2x 3 − 3x 2 + 3x − 10 x U x ∆ ∆ 2 ∆ 3 x 0 = 0 U 0 = −10 2 6 12 x 1 = 1 U 1 = −8 8 18 x 2 = 2 U 2 = 0 26 x 3 = 3 U 3 = 26 • Giải thích: + ∆U 0 = U 0+1 − U 0 = U 1 − U 0 = 2 sai phân cấp 1. + ∆ 2 U 0 = ∆(∆U 0 ) = U 0+1+1 − U 0+1 − (U 0+1 − U 0 ) = U 2 − 2U 1 + U 0 = sai phân cấp 2. ∆U 1 − ∆U 0 = 6 + Tương tự ∆ 3 (U 0 ) = ∆ 2 U 1 − ∆ 2 U 0 = 12 sai phân cấp 3. Thay các giá trị ∆U 0 , ∆ 2 U 0 , ∆ 3 U 0 vào phương trình (**) ta được: U x = 2x (3) + 3x (2) + 2x (1) − 10 Chú ý: Đối với đa thức bậc n thì ứng với n + 1 mốc nội suy. Ví dụ như bậc 3 thì có 4 mốc nội suy. x 0 , x 1 , x 2 , x 3 III. Áp dụng sai phân vào tính tổng • Kí hiệu ∆ được hiểu như lấy đạo hàm cấp 1. Ví dụ: ∆( x (4) 4 + C) = x (3) • Kí hiệu ∆ −1 được hiểu như việc lấy nguyên hàm. Ví dụ: ∆ −1 (x (−3) ) = x (4) 4 + C • n−1  k=1 a k = ∆ (−1) a k | n 1 1 • Một số ví dụ: 1/ 2 + 4 + 6 + + 2n = A A = n  x=1 2x = ∆ (−1) (2x)| n+1 1 = 2∆ −1 (x (1) )| n+1 1 = 2. x (2) 2 | n+1 1 = (n + 1) (2) − (1) (2) = (n + 1)n 2/ n  x=1 x 2 = ∆ −1 x 2 | n+1 1 = ∆ −1 (x (2) + x (1) )| n+1 1 = (n + 1)n(2n + 1) 6 • Chú ý: 1 (2) = 0, (1) (1) = 1 • Cấp số cộng: Đặt S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n = n  x=1 U 1 + (x − 1)d (d là công sai) Ta có n  x=1 U 1 + (x − 1)d = ∆ − 1(xd + U 1 − d)| n+1 1 = ∆ −1 (dx (1) + U 1 − d)| n+1 1 = ( dx (2) 2 +(U 1 −d)x (1) )| n+1 1 = d(n + 1)n 2 +(U 1 −d)(n+1)− d(1) (2) 2 −(U 1 −d)(1) (1) = nU 1 + n(n − 1) 2 d = n(U 1 + U n ) 2 • Một số tính chất của tích phân bất định ∆ −1 + ∆ −1 (U x ± V x ) = ∆ −1 (U x ) ± ∆ −1 (V x ) + ∆ −1 (kU x ) = k∆ −1 (U x ) • Ví dụ: + ∆ −1 (0) = C 1. ∆ −1 (a x ) = a x a − 1 Chứng minh: ∆(a x ) = (a − 1)a x ⇒ a x = ∆ −1 ((a − 1)a x ) = (a − 1)∆ −1 a x ⇒ ∆ −1 (a x ) = a x a − 1 2. ∆x (n) = x (n+1) n + 1 + C Chứng minh: ∆x (n) = nx (n−1) ⇒ ∆ −1 (x (n−1) ) = x (n) n ⇒ ∆ −1 (x (n) ) = x (n+1) n + 1 3. ∆ −1 (a + bx) (n) = (a + bx) (n+1) b(n + 1) + C 2 4. Công thức tích phân từng phần: ∆ −1 (U x ∆V x ) = U x V x − ∆ −1 (V x+1 ∆U x ) + C Ví dụ: Tính ∆ −1 (x.2 x ) Giải: Đặt  U x = x ∆V x = 2 x ⇒    ∆U x = x + 1 − x = 1 V x = 2 x 2 − 1 = 2 x ∆ − 1(x.2 x ) = x.2 x − ∆ − 1(2 x+1 .1) = x.2 x − 2.∆ − 1(2 x ) = x.2 x − 2.2 x = 2 x (x − 2) Ghi nhớ: + Đối với đa thức thì chuyển sang dạng giai thừa mới tính ∆ −1 + Đối với hàm lũy thừa thì không cần chuyển mà tính ngay ∆ −1 bằng công thức • Cấp số nhân: Cho cấp số nhân (U n ) với công bội q = 1 Đặt S = n  x=1 U 1 .q x−1 = U 1 + U 2 + U 3 + + U n = ∆ −1 (U 1 q x−1 )| n+1 1 = U 1 ∆ −1 q x−1 | n+1 1 U 1 q x−1 q − 1 | n+1 1 = U 1 q n+1−1 q − 1 − U 1 q 1−1 q − 1 = U 1 (q n − 1) q − 1 = U 1 (1 − q n ) 1 − q 3 . SAI PHÂN VÀ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG I. Kí hiệu + ∆ được gọi là sai phân. + U x là hàm biến x + ∆U x = U x+1 − U x + U x = U 0 + x (1) ∆ 1 U 0 + x (2) 2! ∆ 2 U 0 +. U 0 = 2 sai phân cấp 1. + ∆ 2 U 0 = ∆(∆U 0 ) = U 0+1+1 − U 0+1 − (U 0+1 − U 0 ) = U 2 − 2U 1 + U 0 = sai phân cấp 2. ∆U 1 − ∆U 0 = 6 + Tương tự ∆ 3 (U 0 ) = ∆ 2 U 1 − ∆ 2 U 0 = 12 sai phân cấp. mốc nội suy. Ví dụ như bậc 3 thì có 4 mốc nội suy. x 0 , x 1 , x 2 , x 3 III. Áp dụng sai phân vào tính tổng • Kí hiệu ∆ được hiểu như lấy đạo hàm cấp 1. Ví dụ: ∆( x (4) 4 + C) = x (3) • Kí hiệu