Phương trình sai phân

Phơng trình sai phân: * Dạng a.x n+1 + b.x n = 0 ( n = 0;1;2 ) 1.1 - Nghiệm tổng quát: x n = C. ( ) n b a ( n = 0;1;23 ) C là một hằng số - Vậy muốn tìm nghiệm tổng quát thay giá trị x 0 ban đầu để tính C. + Phơng trình 1.1 có phơng trình đặc trng: . 0 b a b a + = = - Vậy nghiệm tổng quát có dạng : . n n x C = * Dạng : a.x n+1 + b.x n = d n ( n= 0;1;2; ) (1.7) ( trong đó a 0, b là hằng số, d n là các số nào đó.) Phơng trình còn đợc viết dới dạng: x n +1 = p.x n + d n . ( n = 0;1;2;3 ) (1.8) - Nghiệm tổng quát là: ,, n n n x x x = + - Trong đó . n n x C = là nghiệm tỏng quát của phơng trình sai phân thuần nhất. - x // là nghiệm riêng của phơng trình sai phơng không thuần nhất (1.7). + Thí dụ : Tìm nghiệm của phơng trình: 5x n+1 + 3x n = 2 n ( với x 0 = 1, n = 0;1;2;3 ) - Phơng trình đặc trng: 5. + 3 = 0; có nghiệm 3 5 = - Nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất: 3 . 5 n n x C = ữ - Ta tìm nghiệm riêng của phơng trình dới dạng x // = C 1 . 2 n - Thay vào phơng trình đã cho ta đợc: 5. C 1 . 2 n+1 + 3. C 1 . 2 n - 2 n - Từ đó suy ra: // 1 1 1 ; .2 13 13 n n C x = = - Vởy nghiệm tổng quát: 3 . 5 n n x C = ữ + 1 .2 13 n - Với x 0 = 1; ta tìm đợc 12 13 C = - Từ đó nghiệm tổng quát : 12 3 1 . .2 13 5 13 n n n x = + ữ Một số trờng hợp đặc biệt : - Giả sử d n là đa thức bậc k của n - Nếu a + b 0 thì nghiệm riên x // của phơng trình không thuần nhất( 1.7) dới dạng: x // = Q(k)n. - Nếu a + b = 0 thì nghiệm riên x // của phơng trình không thuần nhất( 1.7) dới dạng: x // = nQ(k)n.đa thức bậc k + 1 của n. + Thí dụ : Tìm số hạng tổng quát của dãy số : X 0 = 1; x n+1 2x n = n + 1 ( n = 0;1;2;3 ) Giải: - Phơng trình 3. - 2 = 0 có nghiệm 2 3 = - Nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất: 2 .( ) 3 n n x C = - Vì a + b = 1 0 và d n = n + 1 là đa thức bậc nhất n nên nghiệm riêng của phơng trình có dạng: x // = C 1 .n + C 2 - Thay vào phơng trình dã cho: ( ) [ ] 1 2 1 2 3 1 2C n C C n C + + + đúng mọi n: từ đó ta suy ra C 1 = 1; C 2 = -2. - Thay vào nghiệm tổng quát : ,, n n n x x x = + - Ta đợc: 3 2 2 n n x n C = + ữ vì x 0 = 1 nên thay vào tính đợc C = 3 - Vậy số hạng tổng quát là: 3 2 3 2 n n x n = + ữ + Thí dụ:Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình: x 0 = 1; x n+1 =x n + 2n 2 ; n 0 Giải: - Phơng trình đặc trng: - 1 = 0 có nghiệm = 1; - Nghiệm tổng quát phơng trình thuần nhất: x n = C - Vì a + b = 0 và d n = 2n 2 nên đa thức bậc hai với n - Nghiệm rieng của phơng trình là: x // = n(C 1 n 2 +C 2 n +C 3 ) Thay vào phơng trình đã cho ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2n C n C n C n C n C n C n + + + + + + + = - Từ đó ta suy ra: 1 2 3 2 4 ; 2; 3 3 C C C = = = - Nghiệm tổng quát của phơng trình đó là: 2 2 2 4 2 3 3 n x C n n n = + + - Thay điều kiện ban đầu n = 0; x 0 =1 tính đợc C = 1 - - Từ đó nghiệm tổng quát là: 3 2 2 4 1 2 3 3 n x n n n = + + *Chú ý: ; n n d d d d = , mọi n = 0;1;2;3 thì phơng trình (1.8) có dạng X n+1 =p.x n + d nếu p 1; a + b 0 do d n = d ) là đa thức bậc 0 mọi n nên phơng trình có nghiệm riêng x // = c - Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình: x n+1 = qx n + d có dạng 0 0 1 1 n n d d x Cq biet x C x q q = + = Phơng trình sai phân bậc hai: Dạng thuần nhất: - Dạng tổng quát: a.x n+2 +b.x n+1 + c.x n = 0 ( n = 0;1;2 ) (1.1) - Phơng trình đặc trng: a. 2 +b. + c = 0 (1.6) có nghiệm dặc trng 1 , 2 . - Nừu 1 2 Khi đó (1.1) có nghiệm: x n = C 1 1 n +C 2 2 n - Nh vậy để giải phơng trình sai phơng thuần nhất cấp II ta chỉ cần giải phơng trình đặc trng bậc hai : a. 2 +b. + c = 0 - Để tìm C 1 ; C 2 ta chỉ cần thay x 0 ; x 1 đã cho vào x n = C 1 1 n +C 2 2 n rồi giải hệ để tìm C 1 ; C 2 . + Thí dụ Tìm bghiệm của phơng trình sai phân: X n+2 = 3x n+1 + 28x n cho x 0 7 ; x 1 = -6 - Giải phơng trình đặc trng: 2 -3 - 28 = 0 có nghiệm 1 = -4; 2 = 7 - Nghiệm tổng quát có dạng: x n = c 1 (-4) n +c 2 7 n - Với n = 0 ta có : C 1 +C 2 = x 0 = 7 - Với n = 1tacó : C 1 + C 2 = x 1 =-6 Giải HPT ta có : C 1 = 5; C 2 = 2 - Nghiệm tổng quát là: x n = 5(-4) n + 2.7 n + Trờng hợp có nghiệm kép : Công thức có dạng: x n = C 1 1 n +C 2 n. 2 n = ( C 1 + C 2 n). n Thay hai giá trị ban đầu của n để tìm C 1 ; C 2 . + Thí dụ: Tìm nghiệm của phơng trình sai phân: x n+2 = 10.x n+1 25.x n ( x 0 = -1; x 1 = 2) - Phơng trình đặc trng: 2 - 10 + 25 = 0 có nghiệm 1 = 2 = 5 - Nghiệm tổng quát: x n = ( C 1 + C 2 n). 5 n - Với n = 0; x 0 = -1; - Với n = 1; x 1 = 2 vào nghiệm tổng quát tìm đợc C 1 = -1; C 2 = 7 5 - Vởy nghiệm tổng quát của x n+2 = 10.x n+1 25.x n ( x 0 = -1; x 1 = 2) Là: 7 1 . .5 5 n n x n = + ữ Phơng trình tuyến tính sai phơng không thuần nhất: - Dạng tổng quát: a.x n+2 +b.x n+1 + c.x n = d n ( n = 0;1;2 ) - Nghiệm tổng quát: vào x n = C 1 1 n +C 2 2 n + x // - Nh vậy bài toán chính là đi tìm nghiệm riêng x // . Sau đó tìm C 1 ; C 2 . - Trờng hợp d n d.p n nghiệm riêng // 1 2 2 1 1 2 1 2 ; ; ; ; ; ; 2 n n n n dq x khi q q aq bq c ndq x khi q q aqb = + + = = = Thí dụ: Tìm nghiệm riêng của phơng trình: x n+2 8x n+1 +15x n = 2.5 n+1 . - - Giải phơng trình đặc trng: 2 - 8 + 15 = 0 có nghiệm 1 = 3; 2 = 5. - Vì 2.5 n+1 = 10.5 n và q = 5 = 2 1 - áp dụng công thức: 1 1 10 .5 .5 2 2.1.5 8 n n n n ndq n x n aq b = = = + - - Trờng hợp : d n d phơng trình có dạng: a.x n+2 +b.x n+1 + c.x n = d ( n = 0;1;2 ) + Khi a + b + c 0 ( q = 1 không là nghiệm của phơng trình đặc trng ) - Nghiệm riêng có dạng: // n d x a b c = + + + Khi a +b +c = 0 nghiệm riêng có dạng: ( ) // 2 0 2 n dn x a b a b = + + ( 1) ; 2 0 2 n d x n n khi a b a = + = + Phơng trình sai phânkhông thuần nhất : x n+2 = 3x n+1 +28x n + 60. - Có nghiệm riêng 60 2 1 3 28 n x = = - Nghiệm tổng quát của : x n+2 = 3x n+1 +28x n là x n = C 1 (-4) n +C 2 .7 n - Vậy phơng trình đã cho có nghiệm tổng quát: x n = C 1 (-4) n +C 2 .7 n 2 - Thay giá trị ban đầu giải HPT tìm C 1 ; C 2 . KQ: x n = 3.(-4) n + 2.7 n 2 - . đó.) Phơng trình còn đợc viết dới dạng: x n +1 = p.x n + d n . ( n = 0;1;2;3 ) (1.8) - Nghiệm tổng quát là: ,, n n n x x x = + - Trong đó . n n x C = là nghiệm tỏng quát của phơng trình sai phân. là nghiệm riêng của phơng trình sai phơng không thuần nhất (1.7). + Thí dụ : Tìm nghiệm của phơng trình: 5x n+1 + 3x n = 2 n ( với x 0 = 1, n = 0;1;2;3 ) - Phơng trình đặc trng: 5. + 3 =. Cq biet x C x q q = + = Phơng trình sai phân bậc hai: Dạng thuần nhất: - Dạng tổng quát: a.x n+2 +b.x n+1 + c.x n = 0 ( n = 0;1;2 ) (1.1) - Phơng trình đặc trng: a. 2 +b. + c =