1 CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n 2 + n – 1 f(n) = n 3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số U n là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔU n = U n +1 - U n Sai phân cấp m của hàm số U n là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó : Δ m U n = Δ(Δ m-1 U n )= Δ m-1 U n +1 - Δ m-1 U n Chẳng hạn sai phân cấp 2 được tính : Δ 2 U n = Δ(ΔU n )= ΔU n +1 – ΔU n = (U n +2 - U n+1 )- (U n +1 – U n ) = U n +2 -2 U n +1 + U n Tương tự ta có thể biểu diễn Δ m U n qua U n , U n+1 , , U n+m I. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f(n) = U n có mặt dưới dạng sai phân các cấp. PT sai phân cấp m có dạng tổng quát : G(n, U n , ΔU n , Δ 2 U n , , Δ m U n ) = 0 Hay có thể viết dưới dạng : F(n, U n , U n+1 , , U n+m ) = 0 Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc U n =f(n) mà khi thay U n = f(n), U n+1 =f(n+1), , U n+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n 0. Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp n có dạng : U n =f(n, C 1 , C 2 , ,C n ) trong đó C 1 , C 2 , ,C n là các hằng số bất kì, khi gán cho mỗi kí tự C 1 , C 2 , ,C n một số xác định ta được một nghiệm riêng của PT. PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng U n+m = f(U n , U n+1 , , U n+m-1 ) 2 II. Phƣơng trình sai phân tuyến tính 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 Định nghĩa: Là phương trình có dạng: a n U n+1 + b n U n = f n (1) Trong đó a n , b n , f n là các hàm đối số nguyên. U n và U n+1 là hai giá trị kề nhau của hàm U n đối số nguyên cần tìm. Nếu a n và b n là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng. Phương trình a n U n+1 + b n U n = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của (1). Ví dụ: Một khách hàng có số tiền là A đồng, đem gửi tiết kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%. Lập mô hình về tình hình tiền vốn của khách hàng. Ta có u n+1 = u n + 1 100 u n = 1,01.u n u n+1 – 1,01.u n = 0, u 0 = A 2. Phương trình sai phân cấp cao a. Phương trình sai phân cấp 2 Dạng : a n .u n+2 + b n .u n+1 + c n .u n = f n Nếu a n , b n và c n là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng. Nếu f n = 0 thì ta có phương trình thuần nhất liên kết a n .u n+2 + b n .u n+1 + c n .u n = 0 Nếu U * n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất và U 1 n , U 2 n là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U * n + C 1 U 1 n + C 2 U 2 n Ví dụ: Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một bài toán như sau: “Hôm nay, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bắt đầu đẻ và sau đó mỗi tháng đẻ một lứa, mỗi lứa là một cặp thỏ. Hết năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?” Giải: Gọi F n là số cặp thỏ có được ở tháng thứ n. Tháng trước có F n-1 cặp, trong đó chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ F n = F n-1 + F n-2 với F 1 = 1, F 2 = 1. b. Phương trình sai phân cấp k Là phương trình có dạng: a k .U n+k + a k-1 .U n+k-1 + … + a 0 .U n = f n 3 III. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Dạng U n+1 + pU n = 0 U n+1 = - pU n Nghiệm tổng quát : U n = C(- p) n Ví dụ: Năm 1990 dân số Hà Nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% một năm. Hỏi dân số Hà Nội năm 2050 là bao nhiêu? Giải: Gọi u n là dân số Hà Nội năm thứ n + 1990 Ta có u n+1 = u n + 1 100 u n = 1,01.u n u n = u 0 .(1,01) n . Có u 0 = 1,6 triệu u 60 = 1,6.(1,01) 60 2.91 triệu. 2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Dạng U n+1 + pU n = q (1) với q 0. PT thuần nhất liên kết U n+1 + pU n = 0 (2). Định lý : Nếu U * n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất (1) và U 1 n là một nghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U 1 n + U * n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng U n = U * n + C(- p) n Ta tìm nghiệm riêng của (1) : +) Nếu p -1 nghiệm riêng là U * n = 1 q p +) Nếu p = -1 nghiệm riêng là U * n = qn. IV. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất : Xét phương trình: U n+2 + pU n+1 + qU n = 0 (3) Bổ đề 1: Nếu x n , y n là nghiệm của (3) thì A.x n + B.y n (A, B : const) cũng là nghiệm của (3). Chứng minh: Ta có: (A.x n+2 + B.y n+2 ) + p.(A.x n+1 + B.y n+1 ) + q.(A.x n + B.y n ) = A(x n+2 + p.x n+1 + q.x n ) + B(y n+2 + p.y n+1 + q.y n ) = 0 4 Hệ phương trình Định nghĩa: x 0 x 1 Nếu 0 thì x n và y n độc lập tuyến tính y 0 y 1 Bổ đề 2: Nếu x n , y n là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (3) thì U n = A.x n + B.y n là nghiệm tổng quát của (3). Chứng minh: Gọi U n là một nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng minh rằng tồn tại A u và B u sao cho U n = A u .x n + B u .y n (A u , B u là các hằng số phụ thuộc u n ). Ax 0 + By 0 = U 0 Ax 1 + By 1 = U 1 Có nghiệm duy nhất A u và B u . U 2 = p.U 1 + q.U 0 = A u x 2 + B u y 2 . Chứng minh bằng quy nạp, ta có U n = A u .x n + B u .y n mọi nghiệm của (3) đều biểu diễn qua x n và y n đ.p.c.m Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng x n = λ n (λ 0). Thay vào (3), ta có: λ n+2 + p.λ n+1 + q.λ n = 0 λ 2 + pλ + q = 0 (4). Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3). Trường hợp 1: Nếu (4) có hai nghiệm thực phân biệt λ 1 và λ 2 (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính x n = λ 1 n và y n = λ 2 n . Nghiệm tổng quát U n = C 1 λ 1 n + C 2 λ 2 n Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm kép là λ 0 , (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính x n = λ 0 n và y n = n.λ 0 n . Nghiệm tổng quát U n = (C 1 + nC 2 ) λ 0 n Trường hợp 3: Nếu (4) có hai nghiệm phức λ 1,2 = . 2 pi = A Bi (A = 2 p , B = 2 ) và với r = A 2 + B 2 và α = arctg B A . λ 1,2 = r(cosα i.sinα) PT (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là x n = r n .cosnα và y n = r n .sinnα Nghiệm tổng quát U n = r n [C 1 cosnα +C 2 sinnα]. 5 Ví dụ 1: Tìm nghiệm u n+2 = 5u n+1 + 6u n biết u 0 = 1, u 1 = 0 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 2 -5λ + 6 = 0 λ 1 =1 và λ 2 = 2 Vậy nghiệm tổng quát u n = A + B.2 n . u 0 = A + B = 1 u 1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. Vậy nghiệm riêng thoả mãn là u n = 2 – 2 n Ví dụ 2: Tìm nghiệm u n+2 = 5 2 u n+1 - u n biết u 0 = 0, u 1 = 1 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 2 - 5 2 λ+1 = 0 λ 1 = 1 2 và λ 2 = 2 Vậy nghiệm tổng quát u n = A 1 2 n + B.2 n . u 0 = A + B = 0 u 1 = A 2 + 2B = 1 A = - 2 3 và B = 2 3 . Vậy nghiệm riêng cần tìm là u n = 2 3 (2 -n – 2 n ) Ví dụ 3: Tìm nghiệm u n+2 = 10u n+1 - 25u n Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 2 - 10λ + 25 = 0 λ 1 = λ 2 = 5 Vậy nghiệm tổng quát u n = (A + Bn)5 n Ví dụ 4: Tìm nghiệm u n+2 - 2u n+1 + u n = 0 biết u 0 = 1, u 1 = 2 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 2 - 2λ+1 = 0 λ 1 = λ 2 = 1 Vậy nghiệm tổng quát u n = A + Bn u 0 = A = 1 u 1 = A + B = 2 A = B = 1. Vậy nghiệm riêng cần tìm là u n = 1 + n Ví dụ 5: Tìm nghiệm u n+2 - u n+1 + u n = 0 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 2 - λ+1 = 0 λ 1,2 = 1 i 3 2 , r = ( 1 2 ) 2 + ( 3 2 ) 2 = 1, tgα = 3 2 1 2 = 3 Hệ phương trình Hệ phương trình Hệ phương trình 6 α = 3 λ 1,2 = cos 3 i.sin 3 Vậy nghiệm tổng quát u n = Acos n. 3 + Bsin n. 3 Ví dụ 6: Tìm nghiệm u n+2 - 2u n+1 + 4u n = 0, u 0 = u 1 = 1 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 2 - 2λ+4 = 0 λ 1,2 = 1 i. 3 , r = 1 2 +( 3 ) 2 = 2, tgα = 3 α = 3 λ 1,2 = 2(cos 3 i.sin 3 ) Vậy nghiệm tổng quát u n = 2 n (Acos n. 3 + Bsin n. 3 ) u 0 = A = 1 u 1 = 2(cos 3 + Bsin 3 ) = 1 A = 1 và B = 0. Vậy nghiệm riêng cần tìm là u n = 2 n .cos n. 3 2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Dạng U n+2 + pU n+1 + qU n = r (5) (r 0) Ta tìm nghiệm riêng U * n của (5) : ? +) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng là : U * n = 1 r pq +) Nếu p+q = -1 Khi p -2 thì nghiệm riêng là : U * n = 2 rn p Khi p = -2 thì nghiệm riêng là : U * n = 2 2 rn Từ nghiệm của PT thuần nhất liên kết ta suy ra nghiệm tổng quát của (5). Trường hợp U n+2 + pU n+1 + qU n = f(n) ta xét ở dạng tổng quát cho PT sai phân tuyến tính hệ số hằng cấp k. V. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng. 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng: Là phương trình có dạng: a k .U n+k + a k-1 .U n+k-1 + … + a 0 .U n = 0 (6) Trong đó a 0 , a 1 , …, a k là các số thực. Hệ phương trình 7 Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng U n = λ n , thay vào (6) ta có phương trình đặc trưng: a k .λ k + a k-1 .λ k-1 + … + a 0 .λ = 0 (7) Trường hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực phân biệt λ 1 , λ 2 , … λ k ta có k nghiệm riêng độc lập tuyến tính x 1 n = λ 1 n , … x k n = λ k n . Nghiệm tổng quát : U n = C 1 . λ 1 n + C 2 . λ 2 n + … + C k . λ k n Trường hợp 2: Nếu (7) có nghiệm bội, chẳng hạn λ 1 có bội s và k-s nghiệm thực phân biệt: λ 1 = λ 2 = … = λ s , ta thay thế s nghiệm riêng x 1 n , x 2 n , …, x s n tương ứng bằng: x 1 n = λ 1 n , x 2 n = nλ 1 n , … , x s n = n s-1 .λ 1 n . Nghiệm tổng quát : U n = (C 1 +n C 2 + … + n s-1 C s ) λ 1 n + C s+1 λ 1 n + + C k . λ k n Trường hợp 3: Nếu phương trình (7) có nghiệm phức, chẳng hạn λ 1 = r(cosα +i.sinα) thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ 2 = r(cosα - i.sinα) và k-2 nghiệm thực phân biệt, khi đó tương ứng ta thay thế x 1 n = r n .cosnα và x 2 n = r n .sinnα trong nghiệm tổng quát. Nghiệm tổng quát : U n = r n [C 1 . cosnα + C 2 . sinnα]+ C 3 . λ 3 n … + C k . λ k n Ví dụ 1: Tìm nghiệm u n+3 – 10u n+2 + 31u n+1 - 30u n = 0. Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 3 -10λ 2 + 31λ -30 = 0 λ 1 =2, λ 2 = 3 và λ 3 = 5 Vậy nghiệm tổng quát u n = A 1 .2 n + A 2 .3 n + A 3 .5 n Ví dụ 2: Tìm nghiệm u n+3 – 7u n+2 + 16u n+1 - 12u n biết u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = -1 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 3 - 7λ 2 + 16λ -12 = 0 λ 1 = λ 2 = 2 và λ 3 = 3 Vậy nghiệm tổng quát u n = (A + n.B)2 n + C.3 n u 0 = A + C = 0 Có hệ phương trình u 1 = 2A + 2B + 3C = 1 u 2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 và C = -5. Vậy nghiệm riêng thoả mãn là u n = (5 + 3n).2 n – 5.3 n Ví dụ 3: Tìm nghiệm u n+3 – u n = 0 Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ 3 -1= 0 λ 1 = 1, λ 2,3 = 1 i 3 2 = cos 3 i.sin 3 Vậy nghiệm tổng quát u n = A + Bcos n. 3 + Csin n. 3 8 2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k hệ số hằng Là phương trình dạng: a k .U n+k + a k-1 .U n+k-1 + … + a 0 .U n = f n (8) Trong đó a 0 , a 1 , …, a k là các số thực, f n 0 n . Phương trình thuần nhất tương ứng a k .U n+k + a k-1 .U n+k-1 + … + a 0 .U n = 0 (6). Bổ đề: Nghiệm tổng quát của phương trình (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng với nghiệm riêng bất kỳ của (8). Chứng minh: Giả sử v n là nghiệm tổng quát của (6) và x n là nghiệm riêng của (8). Đặt u n = v n + x n . Ta có: a k .U n+k + a k-1 .U n+k-1 + … + a 0 .U n = a k (v n+k + x n+k ) + a k-1 (v n+k-1 + x n+k-1 ) … + a 0 (v n + x n ) = (a k .v n+k + a k-1 .v n+k-1 + … + a 0 .v n )+(a k .x n+k + a k-1 .x n+k-1 +…+ a 0 .x n ) = 0 + f n = f n u n = v n + x n . Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng bất kỳ của (8) cũng là nghiệm riêng của (6). Vậy nghiệm tổng quát của (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng với nghiệm riêng bất kỳ của (8). Cách tìm nghiệm riêng x n Trường hợp 1: f n = P m (n) = b m n m + b m-1 n m-1 + … + b 1 n + b 0 Nếu λ = 1 là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng (s có thể nhận giá trị 0) thì nghiệm riêng có dạng x n = n s (c m n m + c m-1 n m-1 +…+ c 1 n + c 0 ) và tìm c i bằng phương pháp hệ số bất định. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng x n = C m n m + C m-1 n m-1 +…+ C 1 n + C 0 và tìm C i bằng phương pháp hệ số bất định. Trường hợp 2: f n = P m (n).β n Nếu λ = β là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng (s có thể nhận giá trị 0) thì nghiệm riêng có dạng x n = Q m (n).n s .β n , thay vào phương trình tìm Q m (n) bằng phương pháp hệ số bất định. Nếu λ = β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có dạng x n = Q m (n).β n , thay vào phương trình tìm Q m (n) bằng phương pháp hệ số bất định. Trường hợp 3: f n = R l (n) + P m (n).β n Ta tìm nghiệm riêng dạng x n = x 1 n + x 2 n . 9 Trong đó x 1 n là nghiệm riêng ứng với f 1 (n) = R l (n) (đưa về trường hợp 1) và x 2 n là nghiệm riêng ứng với f 2 (n) = P m (n).β n (đưa về trường hợp 2). Ví dụ 1: Tìm một nghiệm riêng của phương trình u n+2 – 5 2 u n+1 + u n = n 2 + n + 1 Bài làm: Phương trình đặc trưng λ 2 – 5 2 λ+1 = 0 λ 1 = 2 và λ 2 = 1 2 λ = 1 không là nghiệm ta tìm nghiệm riêng dạng x n = an 2 + bn+ c Thay vào phương trình, ta có: a(n+2) 2 +b(n+2)+c - 5 2 [a(n+1) 2 +b(n+1) +c] + an 2 +bn+c = n 2 + n+1. Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 và c = -10 x n = -2n 2 + 2n - 10 Ví dụ 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình u n+2 – u n = 6n 2 + 12n + 8 Bài làm: Phương trình đặc trưng λ 2 –1 = 0 λ 1 = 1 và λ 2 = -1 λ = 1 là nghiệm đơn ta tìm nghiệm riêng dạng x n = n(an 2 +bn+c) Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 x n = n 3 Ví dụ 3: Tìm một nghiệm riêng của phương trình u n+2 – 5 2 u n+1 + u n = 3 n Bài làm: Phương trình đặc trưng λ 2 – 5 2 λ+1 = 0 λ 1 = 2 và λ 2 = 1 2 λ = 3 không là nghiệm ta tìm nghiệm riêng dạng x n = A.3 n Thay vào phương trình, ta có: A.3 n+2 - 5 2 A.3 n+1 + A.3 n = 3 n A = 2 5 x n = 2 5 .3 n Ví dụ 4: Tìm một nghiệm riêng của phương trình u n+2 – u n+1 - 2u n = -3. 2 n Bài làm: Phương trình đặc trưng λ 2 – λ - 2 = 0 λ 1 = 2 và λ 2 = -1 λ = 2 là nghiệm đơn ta tìm nghiệm riêng dạng x n = A.n.2 n Thay vào PT, ta có: A(n+2)2 n+2 – A(n+1)2 n+1 – 2A.n.2 n = -3.2 n A = - 1 2 x n = -n 2 .2 n Ví dụ 5: Tìm một nghiệm riêng của phương trình u n+2 – 5 2 u n+1 + u n = n 2 + n + 1 + 3 n Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 và ví dụ 3 nghiệm riêng x n = -2n 2 + 2n – 10 + 2 5 .3 n 6. Ứng dụng của phƣơng trình sai phân . 2. Phương trình sai phân cấp cao a. Phương trình sai phân cấp 2 Dạng : a n .u n+2 + b n .u n+1 + c n .u n = f n Nếu a n , b n và c n là các hằng số thì ta có phương trình sai phân. PT sai phân tuyến tính hệ số hằng cấp k. V. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng. 1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng: Là phương trình có dạng:. nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số U n là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔU n = U n +1 - U n Sai phân cấp m của hàm số U n là sai phân của sai phân