Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp

PHN 1: M U Li chon tai Cac bai toan tụ hp (hay goi la cac bai toan vờ giai tich tụ hp) chiờm mụt vi tri quan trong viờc phat triờn t duy, tinh sang tao cua hoc sinh Do s ly thu cua cac bai toan nờn chung luụn xuõt hiờn cac ki thi hoc sinh gioi, thi tuyờn sinh vao cac trng hoc va Cao ng Trong nụi dung nay, co bai toan tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp Khi gp bai toan thuục loai nay, hoc sinh thng rõt ngai tim cach giai, co tõm li s va rõt d co t tng bo qua bai toan Bng kinh nghiờm giang day, tụi rut c mụt sụ nguyờn nhõn sau õy dn ờn cac em hoc sinh co tõm li s cac bai toan vờ tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp: - Vi thi lng danh cho nụi dung qua it, nờn hoc sinh chi mi c lam quen vi mụt sụ bai toan mc ụ n gian - Cac tai liờu viờt vờ tụ hp trinh bay nhiờu cach giai bai toan nay, o co cach kờt hp kiờn thc tụ hp vi ao ham hoc tich phõn iờu o tao s kho khn nhõt inh cho hoc sinh vi li kiờn thc vờ tụ hp c hoc hoc ki I, ao ham c trinh bay cuụi hoc ki II cua lp 11, tich phõn c hoc cuụi chng trinh lp 12 - Hờ thụng bai minh hoa cho mi phng phap tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp cha phong phu, cha a cac em ti nhiờu tinh huụng - Cac bai ma cac em c tiờp cn cha phan anh c ban chõt va dõu hiờu cua mi phng phap tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp - Khi day hoc sinh tim li giai bai toan tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp, cac thy cụ giao cha hng dn hoc sinh hoat ụng mụt cach tich cc, cha phat huy c tinh t giac, nng lc sang tao cua hoc sinh Trong giai oan hiờn nay, viờc ụi mi phng phap day hoc toan trng trung hoc phụ thụng chu yờu theo hng phat huy cao ụ n lc ca nhõn hoc sinh, ca nhõn hoa viờc day hoc, tich cc hoa hoat ụng hoc cua hoc sinh Mụt nhng hoat ụng quan cua hoc sinh qua trinh giai toan o la hoat ụng nhn dang va thờ hiờn, hoat ụng phõn loai cac bai toan, hoat ụng tim toi, suy ngh li giai cac bai toan nhm nm vng cac khai niờm, cac tinh chõt, cac phng phap, cac thut toan, cac cụng thc Võn t õy la nờu chi dung kiờn thc tụ hp thun thi co giai c cac bai toan tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp khụng Sau nhiờu trn tr, tim toi, tụi a co cõu tra li: Co mụt cụng thc n gian liờn quan ờn sụ tụ hp co thờ giup ta giai c loai toan kờt hp no vi nhi thc Niu-tn, co thờ vi von cụng thc giụng nh mụt bao bụi cua ngi giai toan tụ hp No se c cp phn 2, muc I.3 giup hoc sinh dung cụng thc mụt cach linh hoat, giao viờn cn giup cac em nhn dang c nhng bai toan nao dung c cụng thc o Cn giup cac em nhin nhn, biờn ụi cụng thc o di nhiờu hinh thc khac giai c nhiờu bai toan kho hn, la hn Cn co mụt hờ thụng bai phong phu, phõn loai hoc sinh c ren luyờn ky nng T o gop phn phat triờn cho hoc sinh nng lc tim toi, suy ngh li giai cac bai toan tinh cac tụng liờn quan ờn sụ tụ hp, bi vi muc ich cua viờc giai toan khụng chi nm vng tng kiờu bai toan, thm chi tng bai ma ren luyờn kha nng giai bai noi chung co thờ ng vi nhng tinh huụng mi m, khụng phu thuục vao khuụn mu co sn Vi nhng li trờn, tụi chon tai nghiờn cu cua sang kiờn kinh nghiờm nh sau: Dung kiờn thc tụ hp thuõn hng dõn hoc sinh giai bai toan tinh tụng cac sụ tụ hp Muc ich nghiờn cu Tim hiờu nhu cu va nhng kho khn cua hoc sinh cac bai toan tinh tụng cac sụ tụ hp T o nghiờn cu, xuõt phng phap khc phuc nhng kho khn o, gop phn nõng cao chõt lng day va hoc mụn toan trng trung hoc phụ thụng ụi tng nghiờn cu Cac bai toan tinh tụng cac sụ tụ hp dung kiờn thc tụ hp thun giai quyờt Phng phap nghiờn cu a) Phng phap nghiờn cu xõy dng c s ly thuyờt: Nghiờn cu sach giao khoa, nhng tai liờu vờ phng phap day hoc toan, cac tai liờu vờ tõm ly hoc, giao duc hoc, cac cụng trinh nghiờn cu co liờn quan ờn tai cua mụt sụ tac gia, cac sach tham khao b) Phng phap iờu tra khao sat thc tờ: Tiờn hanh tim hiờu vờ cac sụ liờu thụng qua giao viờn toan cac trng phụ thụng, qua bai kiờm tra hoc sinh trng THPT Vnh Lục c) Phng phap thụng kờ, x ly sụ liờu: Tiờn hanh day thc nghiờm mụt sụ buụi trng THPT Vnh Lục PHN 2: NễI DUNG SANG KIấN KINH NGHIấM I C S Lí LUN CA SANG KIấN KINH NGHIấM Cụng thc nh thc Niu-tn n (a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n 1b + Cnk a n k b k + + Cnnb n = Cnk a n k b k k =0 Mụt sụ khai triờn va cụng thc suy t cụng thc nh thc Niu-tn (1 + x ) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n (1 x) n = Cn0 Cn1 x + Cn2 x Cn3 x3 + + (1) n Cnn x n (1 + x ) n = C20n + C21n x + C22n x + C23n x + + C22nn x n (1 x) n = C20n C21n x + C22n x C23n x + C22nn x n + C22nn x n (1 + x ) n +1 = C20n +1 + C21n+1 x + C22n +1 x + C23n+1 x3 + + C22nn++11 x n +1 (1 x) n +1 = C20n +1 C21n +1 x + C22n +1 x C23n+1 x + + C22nn+1 x n C22nn++11 x n +1 (1 + x) n + (1 x) 2n = C20n + C22n x + C24n x + + C22nn x n 2n (1 + x) (1 x) n = C21n x + C23n x3 + + C22nn x n 2 n +1 (1 + x) + (1 x) n +1 = C20n +1 + C22n +1 x + + C22nn+1 x n (1 + x) n +1 (1 x) n +1 = C21n +1 x + C23n +1 x3 + + C22nn++11 x n +1 Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn = 2n Cn0 Cn1 + Cn2 Cn3 + + (1) n Cnn = Cn0 + Cn2 + Cn4 + = Cn1 + Cn3 + Cn5 + = 2n Cụng thc quan dung tai kCnk = nC nk11 ( n Ơ * , n 2; k = 1, 2, , n) k +1 n +1 (I) (k + 1)C = (n + 1)C ( n Ơ * ; k = 0,1, , n) (II) 1 C nk = C nk++11 ( n Ơ * ; k = 0,1, , n) (III) k +1 n +1 Chu y - Cac cụng thc tng ng nhau, chi khac vờ hinh thc viờt d nh, chung ta chi cn nh cụng thc (I) Tuy viờc ap dung vao bai toan cu thờ, co thờ t cụng thc (I) biờn ụi cac cụng thc (II), (III) s dung cho phu hp - Cụng thc (I) c chng minh hờt sc n gian nh sau Vi n Ơ * , n va k = 1, 2, , n ta co k n n! k n.(n 1)! (n 1)! = = n = nCnk11 (pcm) k !(n k )! k (k 1)!(n k )! (k 1)!(n k )! n Trong cụng thc (I), thay bi n + va thay k bi k + ta thu c cụng thc kCnk = k (II) Cụng thc (III) co c t cụng thc (II) bng cach chia ca hai vờ cho (n + 1)(k + 1) Du hiu nhn biờt dung cac cụng thc (I), (II), (III) a mụt tụng liờn quan ờn sụ tụ hp vờ mụt tụng quen thuục S dung cac cụng thc (I), (II), (III) cho chung ta mụt phng phap hay va rõt co hiờu qua giai bai toan tinh tụng liờn quan ờn sụ tụ hp Cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn sụ tụ hp co thờ ap dung c phng phap nay, nờu nh sụ hang tụng quat cua cac tụng o co thờ biờn ụi biờu thc vờ trai cua mụt cac cụng thc (I), (II), (III) Cac bc thc hiờn tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp bng cach dung cac cụng thc (I), (II), (III): - Xac inh sụ hang tụng quat cua tụng cn tinh - Biờn ụi sụ hang tụng quat o lam xuõt hiờn biờu thc vờ trai cua mụt cac cụng thc (I), (II), (III) - Dung cac cụng thc (I), (II), (III) a tụng a cho vờ cac tụng quen thuục Chu y Chung ta cn chu y ờn c iờm nụi bt cua cac cụng thc (I), (II), (III) co nhng inh hng quan trong giai toan Trong cac cụng thc (I), (II), (III), k thay ụi n cụ inh Nh vy, ap dung cac cụng thc nay, ta co muc ich biờn ụi lng thay ụi k vờ lng cụ inh n T tng chung giup ta biờn ụi tụng cn tinh mụt tụng quen thuục II THC TRNG CA VN Toan hoc la mụn hoc ma day bao gi cng gn liờn gia li thuyờt vi bai ap dung Trong chng trinh sach giao khoa, kiờn thc va bai ap dung cac cụng thc (I), (II), (III) hu nh khụng co Vi thờ cac em hoc sinh rõt lung tung va co tõm li lo s gp dang toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp, dn ờn viờc bo qua bai toan thng xuõt hiờn cac k thi vao hoc va Cao ng, thi hoc sinh gioi S dung cac cụng thc (I), (II), (III) la mụt phng phap hay va rõt co hiờu qua giai bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp, tao nờn s ục ao, ngn gon va sang tao li giai cua bai toan Qua thc tờ day hoc, tụi thõy rng hoc sinh ang thiờu kinh nghiờm viờc ap dung cac cụng thc (I), (II), (III) giai toan noi chung va giai cac bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp noi riờng Khi s dung cac cụng thc (I), (II), (III) giai cac bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp hoc sinh gp nhiờu kho khn nh sau: - ng trc nhng tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp nao co thờ la chon s dung cac cụng thc (I), (II), (III) giai va nờu dung c cac cụng thc o thi bt u t õu biờn ụi c tụng o Kho khn o sinh hờ thụng cac bai sach giao khoa cha a dang, phong phu khc sõu phng phap s dung cac cụng thc (I), (II), (III) viờc giai cac bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp - Viờc inh hng ung, xac inh ung ng lụi giai cng nh chon la ung phng phap va cụng cu giai la mụt yờu cu phat triờn tri tuờ cho hoc sinh Viờc ren luyờn giai cac bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp bng phng phap s dung cac cụng thc (I), (II), (III) se gop phn phat triờn cho hoc sinh nng lc tim toi, suy ngh li giai cac bai toan, bi vi muc ich cua viờc giai toan khụng chi nm vng tng kiờu bai toan, thm chi tng bai ma ren luyờn kha nng giai bai noi chung co thờ ng vi nhng tinh huụng mi m, khụng phu thuục vao khuụn mu co sn Cac tai liờu viờt vờ phng phap s dung cac cụng thc (I), (II), (III) cha nhiờu, cha i sõu nghiờn cu cac bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp giai c bng phng phap s dung cac cụng thc (I), (II), (III) nờn cha thc s thun li cho thy va tro viờc day va hoc vờ loai toan nay, cha xõy dng c hờ thụng cac bai a dang, phong phu khc sõu phng phap s dung cac cụng thc (I), (II), (III), hoc sinh co c hụi ren luyờn k nng giai toan, tao nờn s nhay bộn nhiờu tinh huụng hoc III GII PHAP V T CHC THC HIấN Viờc nghiờn cu cac bai toan toan hoc s cõp bng cach ghộp nhng nhom bai toan giai c bng cung mụt phng phap la mụt viờc lam hờt sc cn thiờt va co y ngha Trờn c s ly thuyờt va bai sach giao khoa mụn toan phụ thụng va mụt sụ sach toan khac, ngi giao viờn bng kiờn thc va kinh nghiờm cua minh co thờ s dung cac phng phap phõn loai cac bai toan, vach s khac biờt gia cac bai toan theo tng kiờu giup ich cho hoc sinh giai toan gop phn nõng cao chõt lng day va hoc, tụi a ap dung tai tai cac lp 12A2, 12A3 hai nm hoc 2014-2015, 2015-2016 Khi c tiờp cn vi chuyờn nay, hoc sinh hoc rõt hng thu va co hiờu qua Bng cach kiờm tra, ụi chng tụi nhn thõy chuyờn a gop phn nõng cao k nng giai toan cho cac em hoc sinh, giup cac em nhay bộn viờc s dung cac cụng thc (I), (II), (III) thõy c vai tro quan cua cac cụng thc trờn, sau õy tụi xin trinh bay mụt sụ vi du dung Cac vi du c trich t cac thi hoc (vi du 7, 9, 17), thi th hoc, thi hoc sinh gioi va ờu c giai chi tiờt, kem theo nhng phõn tich va nhn xột hoc sinh thõy c ng dung rụng rai, cai hay, cai ep cua cac cụng thc (I), (II), (III) Vi du Tinh tụng S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n 1)Cnn + nCnn Li giai Tụng cn tinh hờt sc quen thuục Sau õy tụi xin a cach giai bai toan nay, o co cach giai s dung cụng thc kCnk = nCnk11 T o co thờ binh lun vờ u nhc iờm cua tng cach Cach Sụ hang tụng quat cua tụng S la kCnk , vi k = 1, 2, , n Sụ hang tụng quat lam ta nh ờn cụng thc kCnk = nCnk11 ( n Ơ * , n 2; k = 1, 2, , n) Ap dung cụng thc nay, ta biờn ụi c tụng S nh sau S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n 1)Cnn + nCnn = n ( Cn01 + Cn11 + Cn21 + + Cnn11 ) = n.2n Cach S dung cụng thc Cnk = Cnn k vi k = 0,1, , n , ta viờt lai tụng a cho nh sau: S = nCn0 + (n 1)Cn1 + (n 2)Cn2 + + 1Cnn Nh vy, ta co S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n 1)Cnn + nCnn S = nCn0 + (n 1)Cn1 + (n 2)Cn2 + + 1Cnn Cụng theo vờ hai ng thc trờn ta c S = nCn0 + nCn1 + nCn2 + + nCnn + nCnn 2S = n.2n Vy S = n.2n Cach Dung ao ham Ta co (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n + Cnn x n Lõy ao ham hai vờ cua (1) ta c (1) n(1 + x) n = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + (n 1)Cnn1 x n + nCnn x n (2) Trong (2), cho x = ta c S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n 1)Cnn + nCnn = n.2n Nhn xet - Viờc dung cach la hờt sc t nhiờn, tao nờn s n gian li giai bai toan Cach giai chi dung cac kiờn thc tụ hp thun tuy, khụng mang tinh k thut biờn ụi, tao nờn s nhe nhang, d hiờu ụi vi a sụ hoc sinh - Hai cach giai lai phai biờt kờt hp nhiờu kiờn thc, co nhiờu biờn ụi mang tinh k thut cao, thm chi phai kờt hp vi ao ham Vi vy, hai cach giai khụng hờ n gian ụi vi hoc sinh Vi du Chng minh rng 2C22n + 4C24n + 6C26n + + 2nC22nn = n.22 n Li giai Goi S la vờ trai cua ng thc cn chng minh Sụ hang tụng quat cua S la 2kC22nk , k = 1, 2, , n Vn dung cụng thc kCnk = nCnk11 (n Ơ * , n 2; k = 1, 2, , n) ta co 2kC22nk = 2nC22nk11 Do o S = 2n ( C21n + C23n + C25n + + C22nn11 ) = 2n.22 n = n.22 n1 2 4 6 2n 2n n Vi du Chng minh rng 1.2 C2 n + 2.2 C2 n + 3.2 C2 n + + n.2 C2 n = n ( + 1) Li giai Goi S la vờ trai cua ng thc cn chng minh Ta biờn ụi sụ hang tụng quat cua S nh sau: k 22 k C22nk = 22 k 1.2kC22nk = 22 k 1.2nC22nk11 , vi k = 1, 2, , n (1 + 2) n (1 2) n = n ( 32 n + 1) S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + (n 1).nCnn vi n Ơ va n > Do o S = 2n ( C21n 1.21 + C23n1.23 + + C22nn11.22 n ) = 2n Vi du Tinh tụng Li giai Sụ hang tụng quat cua S la (k 1).kCnk , k = 2,3, , n Vi n Ơ va n > va k = 2,3, , n ap dung cụng thc kCnk = nCnk11 hai ln ta co (k 1)kCnk = (k 1)nCnk11 = n( k 1)Cnk11 = n(n 1)Cnk22 Ap dung kờt qua va co, ta c S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + (n 1).nCnn = n(n 1) ( Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn22 ) = n(n 1).2n Nhn xet Ta hay xem xột cach giai bai toan trờn bng cach kờt hp kiờn thc tụ hp vi ao ham cõp hai sau õy Ta co (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x3 + + Cnn x n Lõy ao ham hai vờ cua (1) ta c (1) n(1 + x) n = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + nCnn x n1 (2) Lõy ao ham hai vờ cua (2) ta c n(n 1)(1 + x) n = 1.2Cn2 + 2.3Cn3 x + 3.4Cn4 x + + ( n 1)nCnn x n (3) Trong (3), cho x = ta c S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + (n 1).nCnn = n(n 1).2n Ro rang li giai trờn mang tinh k thut cao va kho ụi vi nhiờu hoc sinh Vi du Tinh tụng S = 1.2.3.Cn3 + 2.3.4.Cn4 + + (n 2)(n 1)nCnn Li giai Ap dung cụng thc kCnk = nCnk11 nhiờu ln biờn ụi sụ hang tụng quat cua S nh sau: (k 2)( k 1)kCnk = (k 2)(k 1)nCnk11 = n(k 2)(k 1)Cnk11 = n(k 2)(n 1)Cnk22 = n(n 1)(k 2)Cnk22 = n(n 1)(n 2)Cnk33 Suy S = n(n 1)(n 2) ( Cn03 + Cn13 + Cn23 + + Cnn33 ) = n(n 1)(n 2).2n Vi du Tinh tụng S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn vi n Ơ va n > Li giai Xột sụ hang tụng quat cua tụng S la k 2Cnk , vi k = 2,3, 4, , n Trong sụ hang tụng quat co biờu thc kCnk T o ap dung cụng thc kCnk = nCnk11 , ta co k 2Cnk = k kCnk = k nCnk11 = n[(k 1) + 1]Cnk11 = n(k 1)Cnk11 + nCnk11 = n(n 1)Cnk22 + nCnk11 Hoc: k 2Cnk = [k (k 1) + k ]Cnk = (k 1)kCnk + kCnk = n(n 1)Cnk22 + nCnk11 Ap dung kờt qua va chu y 12 Cn1 = nCn01 , ta co S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = n(n 1) ( Cn0 + Cn1 + + Cnn22 ) + n ( Cn01 + Cn11 + + Cnn11 ) = n(n 1).2n + n.2 n = n( n + 1).2 n Nhn xet Sau õy la hai cach tinh tụng trờn bng cach kờt hp kiờn thc tụ hp vi ao ham 1) Ta co k 2Cnk = [k (k 1) + k ]Cnk = (k 1)kCnk + kCnk nờn S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = ( 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + ( n 1).nCnn ) + ( 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn ) = n(n 1).2n + n.2 n = n( n + 1).2 n Cach giai s dung cac tụng Vi du va Vi du õy la k thut tach tụng cn tinh hai tụng quen thuục Nhng ban chõt cua cach giai la kờt hp kiờn thc tụ hp vi ao ham nờn khụng hờ n gian ụi vi hoc sinh 2) Ta co (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x3 + + Cnn x n (1) Lõy ao ham hai vờ cua (1) ta c n(1 + x) n = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + nCnn x n (2) Nhõn hai vờ cua (2) vi x ta c nx(1 + x) n = Cn1 x + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + nCnn x n (3) Lõy ao ham hai vờ cua (3) ta c n(1 + x) n + n(n 1) x(1 + x ) n = 12 Cn1 + 22 Cn2 x + 32 Cn3 x + + n 2Cnn x n1 (4) Trong (4), cho x = ta c S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = n.2n + n(n 1).2n = n(n + 1).2n Cach giai rõt kho ụi vi hoc sinh Vi du (H khụi A nm 2005) Tim sụ nguyờn dng n cho C21n +1 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 4.23 C24n +1 + + (2n + 1).2 n C22nn++11 = 2005 (1) Li giai Goi S la vờ trai cua PT (1) k Sụ hang tụng quat cua S la (k + 1) ( ) C2kn++11 , k = 0,1, , 2n c iờm cua sụ hang tụng quat lam ta nh ờn cụng thc (k + 1)Cnk++11 = (n + 1)Cnk ( n Ơ * ; k = 0,1, , n) Ap dung cụng thc nay, ta biờn ụi sụ hang tụng quat cua S nh sau k k k k (k + 1) ( ) C2kn++11 = ( ) (k + 1)C2kn++11 = ( ) (2n + 1)C2kn = (2n + 1).C2kn ( ) T o S = C21n +1 2.2C22n+1 + 3.2 C23n +1 4.23 C24n +1 + + (2n + 1).2 n C22nn++11 2n = (2n + 1) C20n ( ) + C21n ( ) + C22n ( ) + C23n ( ) + + C22nn ( ) = (2n + 1) ( ) 2n = 2n + Theo gia thiờt ta co 2n + = 2005 n = 1002 (thoa man) Vy gia tri cn tim cua n la n = 1002 Nhn xet +) Sau õy la li giai da vao ao ham Ta co (1 + x)2 n +1 = C20n +1 + C21n +1 x + C22n +1 x + C23n +1 x3 + + C22nn++11 x n +1 , x Ă ao ham hai vờ cua (1) ta co (2n + 1)(1 + x) n = C21n +1 + 2C22n +1 x + 3C23n +1 x + + (2n + 1)C22nn++11 x n , x Ă Trong (2), cho x = ta c C21n +1 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 4.23 C24n +1 + + (2n + 1).2 n C22nn++11 = 2n + Theo gia thiờt ta co 2n + = 2005 n = 1002 (thoa man) (1) (2) +) Viờc binh lun vờ hai cach giai trờn xin danh cho cac ban Vi du Tinh tụng 1 1 S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn (n Ơ * ) n +1 Cnk , k = 0,1, , n Li giai Xột sụ hang tụng quat cua tụng S la k +1 1 Cnk = Cnk++11 , ta co Ap dung cụng thc k +1 n +1 1 n +1 1 n +1 n +1 S= ( Cn+1 + Cn+1 + + Cn+1 ) = n + ( Cn +1 ) = n + n +1 Nhn xet +) Li giai trờn co u iờm la ngn gon, d trinh bay va co hng giai t nhiờn Quan hn ca la giao viờn co thờ hng dn hoc sinh giai bai toan ca cha hoc ao ham va tich phõn +) Sau õy la cach giai bai toan bng cach dung tich phõn cac ban xem xột Ta co (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n 1 0 n 2 3 n n Suy ra: (1 + x) dx = ( Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x ) dx (1 + x) n +1 2n +1 Ta co: (1 + x) dx = n + = n + 1 n Mt khac: x2 x3 x n +1 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n ) dx = x + Cn1 + Cn2 + + Cnn ữ n +1 1 = + Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 1 2n +1 Cnn = Vy: + Cn1 + Cn2 + + n +1 n +1 ( C n Vi du (H khụi A nm 2007) Chng minh rng 1 22 n C2 n + C2 n + + C22nn = 2n 2n + Li giai Goi S la vờ trai cua ng thc a cho k C2 n , k = 1, 2, , n 2k 1 k 1 Cnk = Cnk++11 , ta co C2 n = C22nk+1 Ap dung cụng thc k +1 n +1 2k 2n + Sụ hang tụng quat cua S la T o 1 1 S = C21n + C23n + + C22nn = C22n +1 + C24n +1 + + C22nn+1 ) ( 2n 2n + 1 22 n ( C20n +1 + C22n +1 + C24n +1 + + C22nn+1 ) C20n+1 = = 2n + 2n + Ta co pcm Nhn xet +) Cac ban hay xem xột li giai bai toan trờn da vao tich phõn nh sau Ta co (1 + x)2 n = C20n + C21n x + C22n x + + C22nn x n (1 x) n = C20n C21n x + C22n x + C22nn x n (1 + x) n (1 x) n = ( C21n x + C23n x + C25n x + + C22nn x n ) 1 (1 + x) n (1 x) n dx = ( C21n x + C23n x + C25n x + + C22nn x n ) dx 0 (1 + x) n (1 x) n (1 + x) 2n +1 + (1 x) 2n +1 2 n dx = = 2n + 2(2n + 1) (1) x2 x4 x6 x 2n x + C23n x + C25n x + + C22nn x n ) dx = C21n + C23n + C25n + + C22nn1 2n 1 1 = C21n + C23n + C25n + + C22nn (2) 2n ( C 2n ữ T (1) va (2) ta co iờu phai chng minh +) Ta thõy cach giai da vao tich phõn kha phc tap Li giai chi da vao cac cụng thc vờ tụ hp thun ngn gon hn va tiờp cn t nhiờn hn Vi du 10 Tinh tụng S = C20n + C22n + C24n + + Li giai Sụ hang tụng quat cua tụng S la C22nn 2n + 1 C22nk , k = 0,1, , n 2k + 1 Cnk = Cnk++11 , ta biờn ụi sụ hang tụng quat cua S nh k +1 n +1 1 C22nk = C22nk++11 sau: 2k + 2n + 1 22 n C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 ) = Suy S = ( 2n + 2n + 1 1 C22nn Vi du 11 Tinh tụng S = C20n + C22n + C24n + + 2n + Ap dung cụng thc Li giai Sụ hang tụng quat cua tụng S la C22nk , k = 0,1, , n 2k + 1 Cnk = Cnk++11 , ta co k +1 n +1 2k + 1 1 1 C22nk = C22nk = C22nk++11 = C22nk++11 C22nk++11 ữ 2k + 2k + 2k + k + 2 n + n + n + k + 1 = C22nk++11 C22nk++22 2n + n + 2n + 1 n +1 n+2 Suy S = 2n + ( C2 n +1 + C2n +1 + + C2 n +1 ) (2n + 1)(2n + 2) ( C2 n + + C2 n + + + C2 n + ) 22 n 22 n +1 n.22 n +1 + = = 2n + (2n + 1)(2n + 2) (2n + 1)(2n + 2) Ap dung cụng thc 22 2 n n Vi du 12 Tinh tụng S = C2 n + C2 n + C2 n + + C2n 2n 2k C22nk , k = 1, 2, , n Li giai Sụ hang tụng quat cua tụng S la 2k 1 Cnk = Cnk++11 , ta co Ap dung cụng thc k +1 n +1 2k 1 C22nk = 22 k C22nk = 22 k C22nk+1 2k 2k 2n + 10 Suy 3(32 n 1) 1 (1 + 2) n +1 + (1 2) n+1 2 4 2n 2n S= C2 n +1 = ( C2n+1.2 + C2n+1.2 + + C2 n+1.2 ) = 2n + 2n + 2(2n + 1) Vi du 13 Tim sụ nguyờn dng n thoa man 1 1 ( 1) n n Cn C n + C n C n + + Cn = n+2 156 Li giai Goi S la vờ trai cua PT a cho (1) k k Cn , k = 0,1, , n k+2 1 Cnk = Cnk++11 nhiờu ln ta co Ap dung cụng thc k +1 n +1 k (1) k k +1 1 Cn = ( 1) k Cnk = (1) k Cnk++11 ữ k+2 k + k +1 k + n +1 1 1 1 = ( 1) k Cnk++11 (1) k Cnk++11 = ( 1) k Cnk++11 (1) k Cnk++22 n +1 n +1 k+2 n +1 n +1 n + 1 1 (1) n n Cn T o S = Cn0 Cn1 + Cn2 Cn3 + + n+2 Sụ hang tụng quat cua S la 1 Cn1+1 Cn2+1 + Cn3+1 Cn4+1 + + (1) n Cnn++11 Cn2+1 Cn3+1 + Cn4+1 Cn5+1 + + (1) n Cnn++22 n +1 (n + 1)(n + 2) 1 1 1 = Cn0+1 Cn0+ + Cn1+ = (n + 1) = = n +1 ( n + 1)( n + 2) n + ( n + 1)( n + 2) n + n + ( n + 1)( n + 2) = ( ) ( ) 1 T o ta co (n + 1)(n + 2) = 156 (n + 1)(n + 2) = 12.13 n = 11 (vi n N* ) Nhn xet Mi cac ban xem xột li giai bai toan trờn bng cach kờt hp kiờn thc tụ hp vi tich phõn Vi moi x R va moi sụ nguyờn dng n, theo nhi thc Niu-tn ta co ( ) Cn0 x Cn1 x + + ( 1) n Cnn x n +1 = Cn0 Cn1 x + + ( 1) n Cnn x n x = (1 x) n x Suy ( C x C x n n ) + + ( 1) n Cnn x n +1 dx = (1 x) n xdx 1 1 1 1 ( 1) n n n +1 Hay Cn Cn + + n + Cn = (1 x) dx (1 x) dx = n + n + = (n + 1)(n + 2) , 0 moi n N* 1 T o ta co (n + 1)(n + 2) = 156 n + 3n 154 = n = 11 (vi n N* ) n vi Cn1 2Cn2 3Cn3 (1) n nCnn + + + 2.3 3.4 4.5 (n + 1)(n + 2) (1) k kCnk , k = 1, 2, , n Li giai Sụ hang tụng quat cua tụng S la (k + 1)(k + 2) 1 Cnk = Cnk++11 , ta co Ap dung cụng thc k +1 n +1 (1) k kCnk 1 1 = (1) k k Cnk = (1) k k Cnk++11 (k + 1)(k + 2) k + k +1 k + n +1 Vi du 14 Tinh tụng S = 11 = 1 1 (1) k k Cnk++11 = (1) k k Cnk++22 n +1 k+2 n +1 n+2 = 1 (1) k k Cnk++22 = (1)k [( k + 2) 2].Cnk++22 n +1 n + ( n + 1)(n + 2) = (1) k (k + 2)Cnk++22 2(1) k Cnk++22 (n + 1)(n + 2) = (1) k (n + 2)Cnk++11 2( 1) k Cnk++22 (n + 1)( n + 2) T o S= (n + 2) Cn2+1 + Cn3+1 Cn4+1 + + (1) n Cnn++11 Cn3+ + Cn4+ Cn5+ + + (1) n Cnn++22 (n + 1)(n + 2) ( ) ( = (n + 2) Cn +1 Cn1+1 + Cn2+1 Cn3+1 + Cn4+1 + + ( 1) n+1 Cnn++11 ) ( Cn0+1 Cn1+1 ) ( (n + 1)(n + 2) ( Cn0+ Cn1+ + Cn2+ Cn3+ + Cn4+ Cn5+ + + (1) n Cnn++22 ) ( Cn0+ Cn1+ + Cn2+ ) (n + 1)( n + 2) = (n + 2)( n + 1) n +1 n+ (n + 2) (1 1) ( n 1) (1 1) n + ữ (n + 1)( n + 2) ) n [ (n + 2)n + (n + 1)n] = (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) Nhn xet +) õy la bai toan rõt kho Cach giai chi dung kiờn thc tụ hp thun phn nao giam bt ụ kho o, tao s t nhiờn inh hng vờ phng phap giai quyờt bai toan +) Mi cac ban xem xột li giai bai toan co s dung kiờn thc tụ hp kờt hp vi ao ham va tich phõn Ta co (1 x)n = Cn0 Cn1 x + Cn2 x Cn3 x + Cn4 x + (1) n Cnn x n (1) Lõy ao ham hai vờ cua (1) c = n(1 x) n = Cn1 + 2Cn2 x 3Cn3 x + 4Cn4 x3 + (1) n nCnn x n nx(1 x ) n = Cn1 x + 2Cn2 x 3Cn3 x + 4Cn4 x + (1) n nCnn x n nx (1 x) n dx = Cn1 x + 2Cn2 x 3Cn3 x + 4Cn4 x + (1) n nCnn x n dx n (1 x) n (1 x)n dx = Cn1 x + 2Cn2 x 3Cn3 x + 4Cn4 x + (1) n nCnn x n dx (1 x) n +1 (1 x) n Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 ( 1) n nCnn n +1 n + = x + x x + x + x + C (2) n n +1 n +1 Ta xac inh hng sụ C bng cach (2) cho x = , ta c 1 n ữ= C C = n +1 n n +1 Lõy tich phõn trờn oan [0; 1] hai vờ cua (2) ta c 12 Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (1 x ) n +1 (1 x ) n ( 1) n nCnn n +1 n + dx = x + x x + x + x + dx n + n n +1 n + Hay: (1 x) n + (1) n nCnn n + (1 x)n +1 Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 1 n = x + x x + x + x + xữ 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) n +1 (n + 1)( n + 2) n( n + 1) 2.3 Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 ( 1) n nCnn 1 n = + + + + ( n + 1)( n + 2) n + n(n + 1) ( n + 1)(n + 2) 2.3 3.4 4.5 5.6 Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (1) n nCnn n + + + = 2.3 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2) Cach giai rõt kho ụi vi hoc sinh 1 1 n Vi du 15 Tinh tụng S = 1.2 Cn + 2.3 Cn + + ( n + 1).(n + 2) Cn Li giai Ap dung cụng thc quat cua S la 1 Cnk = Cnk++11 hai ln ta biờn ụi sụ hang tụng k +1 n +1 1 1 1 1 Cnk = Cnk ữ = Cnk++11 = Cnk++11 ữ = Cnk++22 (k + 1).( k + 2) k + k +1 k + n +1 n +1 k + n +1 n + Vy 1 2n + n 3 n+2 n+2 C + C + + C = C C = ( n+2 n +2 ( n+2 ) n+2 n+2 ) (n + 1)( n + 2) (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) 1 1 n Vi du 16 Tinh tụng S = 1.2.3 Cn + 2.3.4 Cn + + ( n + 1).(n + 2)( n + 3) Cn k Li giai Sụ hang tụng quat cua S la (k + 1)(k + 2)(k + 3) Cn , k = 0,1, , n 1 Cnk = Cnk++11 ba ln ta co Ap dung cụng thc k +1 n +1 S= 1 1 1 1 Cnk = Cnk = Cnk++11 = Cnk++11 (k + 1)(k + 2)( k + 3) (k + 2)( k + 3) k + ( k + 2)( k + 3) n + n +1 k + k + = 1 1 1 Cnk++22 = Cnk++33 n +1 n + k + n +1 n + n + Suy S= = 1 Cn3+3 + Cn4+3 + + Cnn++33 ) = 2n +3 Cn0+3 Cn1+3 Cn2+3 ) ( ( (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2n + n 7n 14 2(n + 1)(n + 2)(n + 3) Vi du 17 (H khụi B nm 2003) Cho n la sụ nguyờn dng Tinh tụng: 22 1 23 2n+1 n S = Cn + Cn + Cn + + Cn n+ 2k+1 k Li giai Sụ hang tụng quat cua S la Cn , k = 0,1, , n k+ 13 Ap dung cụng thc 1 Cnk = Cnk++11 , ta co k +1 n +1 2k+1 k k k+1 k+1 k+1 k+1 Cn = 2k+1 Cn = 2k+1 Cn+1 = Cn+1.2 Cn+1 k+ k+ n+ n+ n+ ( ) ( ) T o 1 Cn1+1.2 + Cn2+1.22 + + Cnn++11.2n +1 ) Cn1+1 + Cn2+1 + + Cnn++11 ) ( ( n +1 n +1 n +1 1 n +1 (1 + 2) n +1 = (2n +1 1) = n +1 n +1 n +1 S= Nhn xet +) Mi cac ban xem viờc tinh tụng trờn bng cach kờt hp kiờn thc tụ hp vi tich phõn va cho binh lun Ta co (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n 2 1 n 2 n n Suy (1 + x) dx = ( Cn + Cn x + Cn x + + Cn x ) dx x2 x3 x n +1 (1 + x) n +1 = Cn0 x + Cn1 + Cn2 + + Cnn ữ n +1 n +1 Cn0 + 22 1 23 2n+1 n 3n+1 2n+1 Cn + Cn + + Cn = n+ n+ +) Cach giai chi dung kiờn thc tụ hp thun co mụt sụ u iờm sau: - õy la cach tinh trc tiờp chi dung kiờn thc c ban cua giai tich tụ hp, khụng phai dung ờn cac kiờn thc vờ tich phõn - thi hiờn co muc tiờu la phõn loai hoc sinh, phat huy tinh sang tao, khụng dp khuụn, khụng theo lụi mon giai toan Cach giai trờn phn nao ap ng c muc tiờu o Hn na t cach giai trờn cng co thờ cac bai toan khac, chng han Tinh tụng: a2 1 a3 an+1 n (a 1)Cn + Cn + Cn + + Cn n+ Tinh: a2 b2 a3 b3 an+1 bn+1 n (a b)C + Cn + Cn + + Cn n+ n Vi du 18 Cho a thc P(x) = (2x 1)2015 viờt di dang khai triờn la P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + akxk + + a2015x2015 Tinh tụng S = a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 Li giai Ta co P(x) = (2x 1) 2015 = (1+ 2x) 2015 2015 k = C2015 (1)2015k (2x)k k= 2015 k , k = 0,1, ,2015 Hờ sụ cua sụ hang cha x la C (1) Sụ hang tụng quat cua tụng S la k ak, k = 1,2, ,2015 k k 2015 k 14 Ta co k k k k1 k2ak = k2C2015 (1)2015k.2k = C2015 (1)2015k 2k k.kC2015 = (1)2015k.2k k.2015.C2014 k1 k1 k1 = 2015.(1)2015k 2k.[(k 1) + 1]C2014 = 2015C2014 (1)2015k 2k + 2015.(1)2015k 2k.(k 1)C2014 k1 k = 2015C2014 (1)2015 k 2k + 2015.2014.(1)2015 k 2k.C2013 T o ( 2014 2015 a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 = 2015 C2014 C2014 22 + C2014 23 + C2014 2013 2015 +2015.2014.( C2013 22 + C2013 23 + C2013 ) ) = 2015.2.(1 2)2014 + 2015.2014.(22).(1 2)2013 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Nhn xet Mi cac ban xem li giai tinh tụng trờn bng ao ham va so sanh vi cach giai trờn Ta co P '(x) = 2015.(2x 1)2014.2 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + 2015.a2015x2014 P ''(x) = 2015.2014.(2x 1)2013.22 = 2a2 + 3.2a3x + + 2015.2014.a2015x2013 P '(1) = 2015.2 = a1 + 2a2 + 3a3 + + 2015a2015 (1) P ''(1) = 2015.2014.4 = 2a2 + 3.2a3 + + 2015.2014a2015 (2) Cộng (1) (2) theo vế ta đợc: a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Hoc: P '(x) = 2015.(2x 1)2014.2 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + 2015.a2015x2014 (3) Nhõn hai vờ cua (3) vi x 0, ta c 2015.x(2x 1)2014.2 = a1x + 2a2x2 + 3a3x3 + + 2015.a2015x2015 (4) Lõy ao ham hai vờ cua (4) ta co 2015.2(2x 1)2014 + 2015.2.2014(2x 1)2013.2x = a1 + 22 a2x + 32 a3x2 + + 20152.a2015x2014, x (5) Trong (5), cho x = ta c S = a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Vi du 19 Hay tim sụ t nhiờn n thoa man C20n 2.2.C21n + 3.22.C22n 2n.22n1.C22nn1 + (2n + 1).22n.C22nn = 2013 Li giai Goi S la vờ trai cua PT a cho Sụ hang tụng quat cua S la (1)k (k + 1).2k.C2kn, k = 0,1, ,2n Ta biờn ụi (1)k (k + 1).2k.C2kn = (1)k.2k.kC2kn + (1)k.2k.C2kn = (1)k.2k.2nC2kn11 + (1)k.2k.C2kn T o C20n 2.2.C21n + 3.22.C22n 2n.22n1.C22nn1 + (2n + 1).22n.C22nn ( ) ( = 2n C20n1.2 + C21n1.22 + C22nn11.22n + C20n C21n.2 + + C22nn.22n = 2n.(2).( 2) + ( 2) = 4n + Theo gia thiờt ta co 1+ 4n = 2013 n = 503 2n1 ) 2n 15 Nhn xet Sau õy la cach giai s dung ao ham cac ban so sanh Ta co (1 x)2 n = C20n C21n x + C22n x C23n x + C22nn x n + C22nn x n (1) Suy x(1 x) n = C20n x C21n x + C22n x C23n x + C22nn x n + C22nn x n +1 vi x (2) Lõy ao ham hai vờ cua (2) ta c (1 x) n 2n.x(1 x) n = C20n 2C21n x + 3C22n x 4C23n x + 2nC22nn1 x n + (2n + 1)C22nn x n (3) Trong (3) cho x = ta c 1+ 4n = C20n 2.2.C21n + 3.22.C22n 2n.22n1.C22nn1 + (2n + 1).22n.C22nn Theo gia thiờt ta co 1+ 4n = 2013 n = 503 Li giai co tinh k thut cao nờn rõt kho ụi vi hoc sinh Vi du 20 Tim sụ nguyờn dng n thoa man 2C22n+1 3.2.2C23n+1 + + (1)k.k(k 1).2k2.C2kn+1 + 2n(2n + 1).22n1.C22nn++11 = 40200 Li giai Goi S la vờ trai cua PT a cho Sụ hang tụng quat cua S la (1)k.k(k 1).2k2.C2kn+1, k = 2,3, ,2n + Ta co (1)k.k(k 1).2k2.C2kn+1 = (1)k.2k2.(k 1).kC2kn+1 = (1)k.2k2.(k 1).(2n + 1)C2kn1 = (2n + 1).(1)k.2k2.(k 1)C2kn1 = (2n + 1).(1)k 2k2.2nC 2kn21 = (2n + 1).2n.(1)k.2k2C2kn21 T o 2C22n+1 3.2.2C23n+1 + + (1)k.k(k 1).2k2.C2kn+1 + 2n(2n + 1).22n1.C22nn++11 ( = (2n + 1).2n C20n1 C21n1.2 + C22n1.22 C22nn11.22n1 = (2n + 1).2n.( 2) 2n1 ) = (2n + 1).2n Do o, theo gia thiờt ta co (2n + 1).2n = 40200 (2n + 1).2n = 201.200 2n = 200 n = 100 (vi n Ơ * ) Nhn xet Mi cac ban xem cach s dung ao ham giai bai toan va cho binh lun Ta co (1 x)2 n +1 = C20n +1 C21n +1 x + C22n +1 x C23n+1 x + + C22nn+1 x n C22nn++11 x n +1 (1) Lõy ao ham hai vờ cua (1) ta c (2n + 1)(1 x) n = C21n +1 + 2C22n +1 x 3C23n +1 x + + 2nC22nn+1 x 2n (2n + 1)C22nn++11 x n (2) Lõy ao ham hai vờ cua (1) ta c 2n(2n + 1)(1 x) n = 2C22n +1 3.2C23n+1 x + 2n(2n + 1)C22nn++11 x n1 (3) Trong (3) cho x = ta c 2C22n+1 3.2.2C23n+1 + + (1)k.k(k 1).2k2.C2kn+1 + 2n(2n + 1).22n1.C22nn++11 = 2n(2n + 1) Theo gia thiờt ta co 2n(2n + 1) = 40200 2n2 + n 20100 = n = 100 BI TP VN DUNG Bai Tinh cac tụng sau õy S1 = 1Cn1 2Cn2 + 3Cn3 + (1) n nCnn vi n Ơ * , n > 16 S2 = 1Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + nCnn S3 = 1Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + + (n 1)Cnn vi n Ơ * , n > S4 = 1Cn2 2Cn3 + 3Cn4 + (1) n (n 1)Cnn vi n Ơ * , n > S5 = Cn1 + 2.aCn2 + 3.a 2Cn3 + 4.a 3Cn4 + + n.a n 1Cnn , n Ơ * S6 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + (n + 1)Cnn, n Ơ * S7 = Cn0 2Cn1 + 3Cn2 + (1) n (n + 1)Cnn , n Ơ * S8 = 1.Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + + (n 1)Cnn , n Ơ * , n S9 = n.2nCn0 + (n 1).2n1Cn1 + + 2Cnn1 2014 + 8C2014 + 12C2014 + + 4028C2014 10 S10 = 4C2014 11 S11 = 22.Cn2 32.Cn3 + 42.Cn4 + (1)n.n2.Cnn 2 2 n2 n 12 S12 = n Cn + (n 1) Cn + (n 2) Cn + + Cn + Cn n 1 n2 n 3 n 4 n n 13 S13 = Cn 2.5 Cn + 3.5 Cn 4.5 Cn + (1) nCn , n Ơ * n 2 n 2 n 1 n 14 S14 = Cn a + Cn a + + (n 1) Cn a + n Cn a , n Ơ * 15 S15 = 13 Cn1 + 23 Cn2 + 33 Cn3 + + n3Cnn 16 S16 = 1.2Cn1+1 + 3.4.a 2Cn2+1 + 5.6.a 4Cn3+1 + 7.8.a 6Cn4+1 + + (2n + 1)(2n + 2).a nCnn++11 vi a > 0, n Ơ * 1 ( 1) n +1 n Cn vi n Ơ * n +1 1 1 S18 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn vi n Ơ * n+2 1 S19 = C2 n + C2 n + C2 n + + C22nn 2n + 2 2 2 2n +1 n S 20 = Cn + Cn + Cn + + Cn vi n Ơ * n +1 1 1 S 21 = + + + + vi n Ơ * 1!.(2n 1)! 3!.(2n 3)! 5!.(2n 5)! (2n 1)!.1! 17 S17 = Cn1 Cn2 + Cn3 + 18 19 20 21 1 n C2 n , n Ơ * 2n a2 a3 a4 an a n +1 n Cn , n Ơ * 23 S23 = Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn + n n +1 1 1 Cnn 24 S24 = 2.Cn0 + 22 Cn1 + 23 Cn2 + 24 Cn3 + + n Cnn + 2n +1 n n +1 22 S22 = C21n + C23n + + 1 1 n 25 S25 = 1.2 Cn + 2.3 Cn + + n.(n + 1) Cn Bai Cho < a < b, n Ơ * Chng minh rng b a b2 a b3 a b n +1 a n +1 n (1 + b) n +1 (1 + a ) n +1 Cn + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 17 An3 + Cn3 = 35 (n 3) Tinh tụng Bai Cho sụ nguyờn n thoa man (n 1)(n 2) S = 22.Cn2 32.Cn3 + 42.Cn4 + (1)n.n2.Cnn Bai Tim hờ sụ cua x3 khai triờn P( x) = (1 + x + x + x )n , biờt n la sụ 1 1 Cn Cn + Cn + (1)n Cnn = n+ n n 2014 Bai Chng minh rng vi n la sụ nguyờn dng ta co nguyờn dng thoa man 2n.Cn0 2n1.Cn1 20.Cnn 3n+1 + + + = n+ n 2(n + 1) IV HIấU QU CA SANG KIấN KINH NGHIấM Thc nghim s pham Muc ich cua viờc thc nghiờm la anh gia tinh kha thi, kiờm tra tinh ung n cua gia thuyờt khoa hoc, tinh hiờu qua cua viờc s dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp Nụi dung va cach thc tiờn hanh thc nghim c s cho phộp cua Hiờu trng trng THPT Vnh Lục, tụi a tiờn hanh day buụi cho hoc sinh lp 12A vi nụi dung: S dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp Sau qua trinh day hoc, tụi a tiờn hanh kiờm tra tai lp 12A3 Chon lp ụi chng tai lp 12A2 trng THPT Vnh Lục Di õy la nụi dung bai kiờm tra (thi gian: 60 phut) Bai Tinh tụng S = 1C21n +1 + 3C23n +1 + 5C25n+1 + + (2n + 1)C22nn++11 Bai Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn 1.30.22n.C20n 2.3.22n1.C21n + 3.32.22n2.C22n 4.33.22n3.C23n + + (2n + 1).32n.20.C22nn = 73 Bai Tinh tụng S = C2n + C2n + C2n + + C22nn 2n + Dung y cua cac bai trờn: Nhm kiờm tra kha nng dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp Kờt qua thc nghim Trong lp 12A3 ma tụi tiờn hanh day thc nghiờm khụng co hoc sinh gioi, co khoang 12 ờn 15 em hoc tng ụi kha, lai la mc trung binh Bi vy, phn ln cac em cho rng phng phap cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp la tng ụi kho Vờ bai kiờm tra, tụi chõm k va thu c kờt qua nh sau Lp S s 12 A3 45 Gii SL % 20 Khỏ SL % 22 48, Trung bỡnh SL % 20 Yu SL Kộm % SL % 11,1 0 18 12 A2 45 4,4 12 26, 15 33,3 14 31, 4,4 Kờt qua s bụ: + Lp thc nghiờm, ti lờ hoc sinh at iờm t trung binh tr lờn la 88,9%, o co 68,9% loai kha, gioi + Lp ụi chng, ti lờ hoc sinh at iờm t trung binh tr lờn la 64,4%, o co 31,1% loai kha, gioi Hiu qua cua sang kiờn kinh nghim Qua qua trinh thc nghiờm, tụi rut mụt sụ kờt qua sau - Viờc day hoc phng phap s dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp co tac dung ren luyờn nng lc giai bai toan cho hoc sinh - Viờc day hoc phng phap o giup cho hoc sinh kha nng nhin nhn bai toan cng nh la chon phng phap va cụng cu giai toan mụt cach co hiờu qua hn - Viờc tụ chc day hoc phng phap o co tac dung tụt viờc gõy hng thu hoc cho hoc sinh, tao iờu kiờn phat huy tinh tich cc cua hoc sinh viờc suy ngh, tim toi li giai cua bai toan va giai bai toan o - Viờc tụ chc day hoc phng phap s dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp tao cho hoc sinh co niờm tin, co t linh hoat, nhay bộn, chu ụng tim hng giai quyờt bai toan theo nhiờu cach va la chon c cach giai co li nhõt PHN 3: KấT LUN V KIấN NGHI Kờt lun Qua qua trinh nghiờn cu tai Dung kiờn thc tụ hp thuõn hng dõn hoc sinh giai bai toan tinh tụng cac sụ tụ hp, tụi a thu c mụt sụ kờt qua sau - Sang kiờn kinh nghiờm a lam sang to cac cn c ly lun cua viờc ren luyờn nng lc giai bai toan - Sang kiờn kinh nghiờm a xõy dng c hờ thụng cac bai toan minh hoa cho viờc ap dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp nhiờu tinh huụng khac Giup cac em hoc sinh ren luyờn k nng, phat triờn t sang tao, nhay bộn giai quyờt cac võn mi - Sang kiờn kinh nghiờm chng to phng phap s dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp la mụt phng phap quan trong hoat ụng giai cac bai toan - Sang kiờn kinh nghiờm ap ng c yờu cu cua hoat ụng ụi mi phng phap day hoc: phat huy tinh tich cc, t giac, chu ụng, t sang tao, linh hoat cua ngi hoc Bi dng nng lc t hoc, long say mờ hoc va y chi lờn cua hoc sinh 19 - Kờt qua thc nghiờm cho phộp xac nhn gia thuyờt khoa hoc cua tai la chõp nhn c, co tinh hiờu qua va muc ich nghiờn cu a hoan - Tụi hi vong sang kiờn kinh nghiờm co thờ lam tai liờu tham khao cho giao viờn va hoc sinh viờc day hoc toan va mong c quy ng nghiờp trao ụi, gop y Kiờn ngh Qua qua trinh thc hiờn, tụi co kiờn nghi nh sau: - Sach giao khoa va sach bai nờn xõy dng hờ thụng cac bai a dang, phong phu khc sõu phng phap s dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tinh tụng liờn quan ờn cac sụ tụ hp, hoc sinh co c hụi ren luyờn k nng giai toan - Cac thy cụ giao nờn danh mụt sụ buụi hoat ụng ngoai khoa vờ phng phap s dung cac cụng thc tụ hp thun giai cac bai toan tụ hp, hoc sinh c trang bi tng ụi y u vờ phng phap nay, t o cac em co s nhay bộn viờc giai cac bai toan bng phng phap Tụi hi vong sang kiờn kinh nghiờm co thờ lam tai liờu tham khao cho cac ng nghiờp va hoc sinh qua trinh day hoc vờ chu tụ hp Mc du a co nhiờu cụ gng nhng ban thõn cha co nhiờu kinh nghiờm nờn kho tranh c thiờu sot Tụi rõt mong nhn c s trao ụi, gop y cua quy ng nghiờp va cac ban Tụi xin chõn thnh cm n ! XAC NHN CA TH TRNG N V Thanh Hoỏ, ngy 08 thỏng 05 nm 2016 Tụi xin cam oan õy la sang kiờn kinh nghiờm cua minh viờt, khụng chộp nụi dung cua ngi khac Ngi vit Hoang Vn Khanh 20 TI LIấU THAM KHO Ban tụ chc k thi Olynpic 30-4 t nm 2009 ờn nm 2015 Phan c Chinh, V Dng Thuy, ao Tam, Lờ Thụng Nhõt, Cac bai giang luyờn thi mụn Toan 3, NXB Giao duc sụ va giai tich 11 nõng cao, NXB Giao duc Bai nõng cao va mụt sụ chuyờn sụ va giai tich 11, NXB Giao duc Phan Huy Khai, Cac phng phap giai toan s cõp Giai tich tụ hp, NXB Giao duc Nguyn Ba Kim, V Dng Thuy, Phng phap day hoc mụn toan Phan Huy Khai, Toan nõng cao sụ va giai tich 11, NXB HQG Ha Nụi Trn Vn Hao (chu biờn), Chuyờn luyờn thi vao hoc, Tich phõn va sụ tụ hp G.POLYA, Sang tao toan hoc, Giai mụt bai toan nh thờ nao?, Toan hoc va nhng suy lun co ly, NXB Giao duc 10 Tap chi toan hoc va tuụi tr 21 ... nh sau: Dung kiờn thc tụ hp thuõn hng dõn hoc sinh giai bai toan tinh tụng cac sụ tụ hp Muc ich nghiờn cu Tim hiờu nhu cu va nhng kho khn cua hoc sinh cac bai toan tinh tụng cac sụ tụ hp T o nghiờn... thờ cac em hoc sinh rõt lung tung va co tõm li lo s gp dang toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp, dn ờn viờc bo qua bai toan thng xuõt hiờn cac k thi vao hoc va Cao ng, thi hoc sinh gioi S dung... triờn tri tuờ cho hoc sinh Viờc ren luyờn giai cac bai toan tinh tụng co liờn quan ờn sụ tụ hp bng phng phap s dung cac cụng thc (I), (II), (III) se gop phn phat triờn cho hoc sinh nng lc tim toi,