SKKN 2011 môn Toán NQHoàn

sở giáo dục và đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011 sở giáo dục và đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011 mở đầu Giải ph-ơng trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh đ-ợc cho là khá giỏi nhiều khi còn lúng túng tr-ớc việc giải một ph-ơng trình; trong đó có ph-ơng trình chứa căn thức đ-ợc coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kỹ năng cần thiết để giải ph-ơng trình chứa căn thức nói riêng và các dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến môn toán. Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong ch-ơng trình Toán bậc THPT hiện hành. Một phần sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi chuyển sang bất ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 ph-ơng pháp giải toán khác nhau.   H 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Mét sè ph-¬ng ph¸p gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tû Bài toán mở đầu  2 2 1 1 (*) 3 x x x x       Giải  0  x  1 * Cách 1:         2 (*) 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 11 3 44 1 2 . 1 1 39 4 6 0 2 2 3 0 x0 3 x 2 0 1 4 4 9 0 1 4 4 9 0 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xx x x                                                              0, 1xx  trình có hai  0, 1xx . * Cách 2:  2 xx  x và 1 x    2 2 1 1 2x x x x       1t x x   , 12t   H 2 2 2 1 2 t xx     .  2 1 1 3 t t   2 1 3 3tt    2 3 2 0tt    1 2 t t       2t  ,  1t  , có 2 0 1 1 2 0 1 x x x x x x             0, 1xx   0, 1xx . * Cách 3: : x và 1 x      22 11xx     2 . 1 3 1 3 3x x x x     33 1 23 x x x      ( 9 4 x  vì thay 9 4 x    tx , nên 33 1 23 t x t    L     22 11xx   , nên 2 2 33 1 23 t t t         2 2 2 2 4 12 9 9 18 9 4 12 9t t t t t t t         4 3 2 4 12 14 6 0t t t t       32 2 6 7 3 0t t t t         2 1 2 4 3 0t t t t     0 1 t t       0 1 x x       0, 1xx   0, 1xx . * Cách 4: êm cách khác  ax , 1bx , 0, 0ab  22 2 1 3 1 ab a b ab              2 3 2a 3 (1) 2a 1 (2) b a b a b b               H 3 Thay (1) vào (2) có     2 3 3 1a b a b           2 3 2 0a b a b      1 2 ab ab        1ab , có .0ab 0 1 1 0 a b a b                   0 1 x x        2ab , có 3 . 2 ab ,  ,ab (Vì 2 3 4 2 4. 6 2    ) 0, 1xx   0, 1xx .  . * Cách 5:      22 11xx    22 sin cos 1aa Ta có thêm cách sau:  sin , 0 2 x a a      22 2 1 sin . 1 sin sin 1 sin 3 a a a a     3 2sin .cos 3sin 3cos a a a a    (Vì cos 0a  )     2 sin cos 3 sin cos 2 0a a a a      sin cos 1 sin +cos 2 aa aa       sin cos 1aa   2 2sin . os 2sin 0 2 2 2 a a a c   sin os sin 0 2 2 2 a a a c       sin 0 2 tan 1 2 a a          2 sin 2sin os 0 22 2tan 2 sin 1 1 tan 2 aa ac a a a             0 1 x x       0, 1xx    0, 1xx .                    vào  .   H 4   Bài toán 1:  1) 17 1 3xx   (1) 2) 3 3 3 2xx     (2) 3) 23 5 2 1 1x x x x x      (3) 4) 2 2 2 1 3 2 8 7x x x x x       (4) 5) 3 3 3 12 12 2 3x x x    (5) 6) 2 22xx   . (6) Bài toán 2: Tìm m  2 22x mx m   (I), . Bài toán 3: Tìm m  22x m x   (II),   Bài toán 4:  1) 2 5 2 2 7 3x x x x      (1) 2) 3 3 1 2 2 2x x x x      (2) 3) 3 2 1 11 x x x x x x        (3) 4) 33 11 4 1 1 1 4 1 xx xx xx        (4) 5) 3 3 3 3 3 5 2 1 2 6x x x x      . (5) Giải Bài toán 1 1) :   1 1 3 0 3 xx    . hai hai  :   2 17 1 3xx    1 3 x  . Do v  17 0x  .   (1) 2 1 3 0 17 1 3 x xx           2 1 3 17 1 6 9 x x x x            2 1 3 9 7 16 0 x xx           1 3 1 16 9 x x x                1x     1x  .   H 5 Chú ý:  ( ) ( )f x g x  2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) gx f x g x f x g x        17tx  t  0. 2)  31x   (2) 3 2 3 3xx         22 3 2 3 3xx     3 4 3 4 3 3x x x       31xx       2 10 31 x xx              2 1 3 2 1 x x x x          2 1 20 x xx         1 1 2 x x x             2x     2x  . 3)   (3) 2 23 10 5 2 1 1 x x x x x x              3 1 2 1 1 3 x x x x            32 1 1 3 0 2 1 (1 3 ) x x x x x              32 1 1 3 2 1 1 6 9 x x x x x               32 1 1 3 9 8 0 x x x x               2 1 1 3 9 8 0 x x x x             1 1 3 0 1 8 x x x x                      0x   0x  . Chú ý: Trong bài này t 23 3 5 2 1 0 2 1 0 x x x x xx              .   H 6 4)  1 7 1 x x x             (4) 22 2 2 2 1 3 2 8 7x x x x x        2 2 2 2 2 1 3 2 2. 1. 3 2 8 7x x x x x x x x                  2 2 1 1 . 1 2 5 6x x x x x x                 2 2 1 1 2 1 6x x x x x               2 2 2 2 16 4 1 2 1 6 x x x x x x                    2 22 16 1 4 4 8 12 36 0 x x x x x x                 2 16 1 3 16 44 0 x x xx                 16 1 2 22 3 x x x x                        1 2 x x       1, 2xx     1, 2xx   . Chú ý :           (4) 1 1 1 2 1 7x x x x x x         * T1: 1x   (4) *  1x  ,  1 2 7x x x         22 1 2 7x x x      1 2 1 2 2 7x x x x x         2 2 2 6x x x         2 2 60 4 2 6 x x x x            2 6 3 16 44 0 x xx           H 7 6 2 22 3 x x x                2x 2x  ,  *  7x  ,           1 1 1 2 1 7x x x x x x            1 2 7x x x            22 1 2 7x x x        1 2 1 2 2 7x x x x x           2 1 2 6 0x x x       (Vì 2 1 2 6 0, 7x x x x         ).  1, 2xx   . :  ab a b  ab a b khi 0a  và 0b  Còn ab a b   khi 0a  và 0b  . 5)     (5) 33 3 3 3 12 12 2 3x x x         3 3 3 3 12 12 2 3 3 12 12. 2 3. 12 12 2 3x x x x x x x               3 3 3 3 12 12. 2 3. 12 12 2 3 3 1x x x x x          33 3 12 1 . 2 3. 3( 1) (5*)x x x x          3 12 1 2 3 27 1x x x x           22 1 4 2 3 9 2 +1 0x x x x x             2 1 6 9 0x x x      2 10 6 9 0 x xx          1 3 x x       Thay 1, 3xx vào p  1, 3xx . Chú ý : , (5*) là   trình (5).   (5) . [...]... 4 x 2  7 x  1  2 x  2 (9) 5) 2 x  15  32 x 2  32 x  20 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 303) (10) 6) 3 3x  5  8x3  36 x 2  53x  25 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 303) (11) IV Bài toán 4 ư v hệ gần đối xứng Giải các phương trình sau: 2  x2  1  1)    3x  1  0  3  (12) 2) x  5  x  1  6 (13) Giải I Bài toán 1 Điều kiện x  4 Đặt a  2 x  8 , b  3 2 x  9 , a  0 , b  3... Phương pháp đặt ẩn phụ đư v hệ phương trình I Bài toán 1 ư v hệ thông thường Giải phương trình sau: 2 x  8  3 2 x  9  5 (1) II Bài toán 2 ư v hệ đối xứng loại 1 Giải các phương trình sau: 1) 2  x  3  x  1   2  x  3  x  (2) x  4 17  x  3 3 5  x  3 2  x  3  5  x  2  x   1 (3) (4) 2) 3) 4) 4  2  x2  2  x  2 (5) III Bài toán 3 ư v hệ đối xứng loại 2 Giải các phương trình... phương trình: x 3 35  x3 x  3 35  x3  30 (5)   (4) III Bài toán 3: Đặt ẩn phụ đưa về dạng phương trình thuần nhất Giải các phương trình: 1) 3 1  x3  2 x 2  4 x (6) (HSG Toán 10, NGT 2007) 2) x3  3x 2  2  x  2 3  6x  0 (7) 3) x2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1 (8) 2 2 4) 5x  14 x  9  x  x  20  5 x  1 (9) IV Bài toán 4: Dạng af  x   b.g  x  f  x   c.h  x   0 , abc ... Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Phương pháp 3: Phương pháp xuất hiện biểu thức liên hợp Giải các phuơng trình sau: 2x  7 1) 3x  4  x  3  3 2)  x 1  x  2  (1)  x2  x  2  1  3 (2) (HSG Toán 12 NGThiều 2011) 3) 3x 2  5x  1  x 2  2  3( x 2  x  1)  x 2  3x  4 4) 5) 6) 7) 8) x 2  12  5  3x  x 2  5 x 2  1  x  x3  2 4 x2  5x  1  2 x2  x  1  9 x  3 x  2  4  x  2 x 2 ... Gia Thiều Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ I Bài toán 1: Dạng af  x   b f  x   c  0 , a  0 Phương pháp chung là đặt t  f  x , t  0 1) Cho phương trình:  x  1 x  3  6  x  1 x  5  m  0 (1) a) Giải phương trình với m  0 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình: x  2  x 2  8x  2  x  8 (2) II Bài toán 2: Dạng a  f  x   g  x    b f  x  g  x... trình có hai nghiệm x  2 , x  Bài toán 2 *) Nếu m  0 thì phương trình (I) vô nghiệm *) Nếu m  0 thì: ( I ) m  0 m  0  2  2 2 2  x  2mx  2  m  x  2mx  2  m  0 (I*) m  1  m  1 (thoả mãn m  0 ) (I*) có nghiệm khi  '  m2  2  m2  0   m  1  Kết luận: m  1 thì phương trình (I) có nghiệm H8 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Bài toán 3 ( II )  x  2  0   2 2... phương trình có ba nghiệm x  , x  4 , x  2 2 Chú ý: Dạng bài tập này ta nên đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình và giải bằng phương pháp thế 3 2 x  9  1  2 x  9  1 II Bài toán 2 1) Đây chính là phương pháp 2, bài toán 2 đã biết Ở đây ta sẽ giải bằng cách khác Điều kiện 2  x  3 Đặt a  2  x , b  3  x , a  0 , b  0 (2.1) a  b  1  ab a  b  1  ab  Ta có hệ phương trình:  2 ... nghiệm x  2 , x  3 Chú ý: Ta có thể đặt y  3 35  x3 và đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải cũng được Phương pháp này sẽ được trình bày ở dưới Hoặc giải bằng cách mũ ba cả hai vế III Bài toán 3: 1) Điều kiện x  1 Để ý: 2 x 2  4 x  2  x 2  x  1  2 1  x  Đặt a  1  x , b  1  x  x 2 , a  0 , b  3 2 Phương trình (6) trở thành: 3ab  2b2  2a 2  2a 2  3ab  2b2  0 a 2... nghiệm x  8 , x  5  61 2 Chú ý: Ta giải được như trên vì 2 x 2  5 x  2  2  x 2  4 x  5  3 x  4  và:  x  1  x 2  x  20    x  1 x  4  x  5   x  4   x 2  4 x  5 IV Bài toán 4: 1)   x 2  2 x  3   x  1 x 2  2 x  3  2 x  2  0 (10) Đặt t  x 2  2 x  3 , t  2 H 20 Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Ta có: t 2   x  1 t  2 x  2  0   x 2  2 x...  x , có: 1  x  2  1  x  1  x  1  x  2  1  x  1  x  2 1  x2  4  1  x2  1  1  x2  1  x  0 (Thỏa mãn điều kiện) 3 Kết luận: phương trình có hai nghiệm x   , x  0 5 Chú ý: Bài toán này ta tách: 3x  2(1  x)  (1  x)  1 để phương trình bậc hai theo t có  là dạng bình phương 3) Điều kiện 2  x  2 (12)  4(2 x  4)  16(2  x)  16 2 x  4 2  x  9 x 2  16  16 2(4  x . Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011 mở đầu Giải ph-ơng trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học. liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến môn toán. Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong ch-ơng trình Toán bậc THPT hiện hành. Một phần sáng kiến kinh. 2 22xx   . (6) Bài toán 2: Tìm m  2 22x mx m   (I), . Bài toán 3: Tìm m  22x m x   (II),   Bài toán 4: 