ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 Môn TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 21 21 x y x + = − . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. ()C 2) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị ( với đường thẳng . )C 2yx=+ Câu 2. (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 21 78.71 xx+ −+=0 . 2) Tính tích phân 1 45ln e x I dx x + = ∫ . 3) Xác định giá trị của tham số để hàm số đạt cực tiểu tại m 32 2yx x mx=− + +1 1x = . Câu 3. (1,0 điểm) Cho hình chóp có đáy .S ABCD ABCD là hình thang vuông tại A và D với ADCDa== , 3AB= a ABCD 0 . Cạnh bên vuông góc với mặt đáy và cạnh bên tạo với mặt đáy một góc . Tính thể tích khối chóp S theo a . SA SC 45 o . II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) . 1. Theo chương trình Chuẩn (3,0 điểm) Câu 4.a. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Oxyz (3;1;0)A và mặt phẳng có phương trình . ()P 22 1xyz+−+= 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm ()P ()Q A và song song với mặt phẳng . ()P 2) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng . ()P Câu 5.a. (1,0 điểm) Giải phương trình (1 trên tập số phức. ) (2 ) 4 5iz i i−+−=− 2. Theo chương trình Nâng cao (3,0 điểm) Câu 4.b. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và C . Oxyz (0;0;3)A (1;2;1)B −− (1;0;2)− 1) Viết phương trình mặt phẳng . ()ABC 2) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A . Câu 5.b. (1,0 điểm) Giải phương trình () trên tập số phức. 2 40zi−+= ------------------------ Hết ------------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Chữ kí của giám thị 1: . Chữ kí của giám thị 2: . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản gồm 04 trang) I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi. 3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm). II. Đáp án và thang điểm CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1. (2,0 điểm) a) Tập xác định : 1 \ 2 D ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩⎭ \ . 0,25 b) Sự biến thiên : • Chiều biến thiên : () 2 4 '0, 21 yx x − =<∀ − D∈ . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1 ; 2 ⎛⎞ −∞ ⎜⎟ ⎝⎠ và 1 ; 2 ⎛⎞ ⎜⎟ . +∞ ⎝⎠ 0,50 • Tiệm cận : 1 2 lim x y − ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠ =−∞ ; 1 2 lim x y + ⎛⎞ → ⎜⎟ ⎝⎠ =+∞ 1 2 x⇒ = là tiệm cận đứng. lim 1 x y →−∞ = ;lim 1 x y →+∞ = 1y⇒ = là tiệm cận ngang. 0,50 Câu 1 (3,0 điểm) • Bảng biến thiên : 1 x −∞ 1 2 +∞ − − 'y y −∞ +∞ 1 1 0,25 c) Đồ thị (C): 0,50 2. (1,0 điểm) Hoành độ giao điểm của với đường thẳng là nghiệm của phương trình ()C 2yx=+ 21 2 21 x x x + =+ − (1) (1) ⇔+ (2 (vì 21(21)(2xxx 2 )= − + ) 1 2 x = không là nghiệm của (2)) 2 230= 1 xx⇔+− x⇔= hoặc 3 2 x =− . 0,50 Với 3 2 x =− thì 1 2 y = . Với 1x = thì . 3 y = Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 31 ; 22 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ và ( . 1;3) 0,50 1. (1,0 điểm) Đặt 7 x t ( t ). = > 0 0,25 Phương trình đã cho trở thành 78 hoặc 2 10 1tt t−+=⇔= 1 7 t = . 0,25 Với t , ta có 7 . 1= 1 0 x x=⇔ = Với 1 7 t , ta có = 1 71. 7 x x=⇔=− Vậy nghiệm của phương trình là hoặc . 0x = 1x =− 0,50 2. ( 1,0 điểm ) Đặt 2 5 45ln 45ln 2 txtxtdtdx x =+ ⇒ =+ ⇒ = . 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) Đổi cận : 12x t= ⇒ = và 3x et= ⇒ = . 0,25 Do đó 3 3 23 33 2 2 222 32 51515 Itdtt ⎛⎞ ===−= ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 38 15 . 0,50 3. (1,0 điểm) Ta có 2 '3 4y xx=−+m. 0,25 Nếu hàm số đạt cực tiểu tại 1x = thì , suy ra . '(1) 0y = 1m = 0,25 Với thì 1m = 32 21y xxx=− ++, 2 '3 4 1y xx=−+ và " 6 4y x=−. Mà và nên hàm số đạt cực tiểu tại '(1) 0y = () "1 2 0y => 1x = . 0,25 Vậy là giá trị cần tìm. 1m = 0,25 Ta có nên là hình chiếu của trên ()SA ABCD⊥ AC SC ()ABCD . Do đó . n 45 o SCA = Tam giác vuông cân tại nên ACD D 2AC a= . Tam giác vuông cân tại SAC A nên 2SA a= . 0,50 Câu 3 ( 1,0 điểm ) Diện tích của hình thang vuông ABCD là 2 (3) 2 2 aaa a + = . Vậy 3 . 22 3 SABCD a V = . 0,50 1. ( 1,0 điểm ) Ta có () 22 2 2.3 2.1 1.0 1 ,( ) 3 22(1) dAP +−+ == ++− . 0,50 Ta có là vectơ pháp tuyến của . (2;2; 1)n =− G () P ()Q song song với ( nên ( nhận )P )Q (2;2; 1)n =− G làm vectơ pháp tuyến. 0,25 Câu 4.a (2,0 điểm) Mặt khác ( qua nên có phương trình )Q (3;1;0)A ( )Q 2( 3) 2( 1) 1( 0) 0 2 2 8 0xyz xyz−+ −− −=⇔ + −−=. 0,25 3 2. ( 1,0 điểm ) Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với thì d A ( )P (2;2; 1)n =− G là vectơ chỉ phương của . d Do đó phương trình tham số của là d 32 12 x t y t zt =+ ⎧ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =− ⎩ . 0,50 Gọi là hình chiếu của H A trên ( thì là giao điểm của và ( . ) P H d ) P Do nên . Hd∈ (3 2 ;1 2 ; ) Htt ++− t Mặt khác nên ta có . () HP ∈ 2(3 2 ) 2(1 2 ) ( ) 1 0 ttt +++−−+= 1t⇔=− Vậy . (1; 1;1) H − 0,50 Phương trình đã cho tương đương với phương trình ( 1 ) 2 4iz i−=− 0,25 24 (24)(1 ) 1(1)(1 ii zz ii −− ⇔= ⇔= −− ) i i + + 0,25 Câu 5.a (1,0 điểm) (2 4 )(1 ) 2 ii z −+ ⇔= 62 3 2 i zz − ⇔= ⇔=− i. Vậy nghiệm của phương trình là . 3zi=− 0,50 1. ( 1,0 điểm ) Ta có (1;2;2); (1;0;1)AB AC=− − − =− − JJJG JJJG , (2;1; 2)AB AC ⎡⎤ ⇒ =− ⎣⎦ JJJG JJJG . 0,50 Mặt phẳng qua , nhận ( )ABC A ,AB AC ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ JJJGJJJG làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình . 2(x 0) 1(y 0) 2(z 3) 0−+ −− −= 2x y 2z 6 0⇔+−+= 0,50 2. ( 1,0 điểm ) Ta có: ABC S Δ 1 , 2 AB AC ⎡⎤ = ⎣⎦ JJJG JJJG 22 2 13 21(2) 22 =++−= . 0,50 Câu 4.b (2,0 điểm) 222 ( 1 1) (0 2) (2 1) 5BC =−+ ++ +− = . Gọi AH là đường cao của tam giác thì ABC 2 3 5 ABC S AH BC Δ ==. 0,50 Phương trình đã cho tương đương với phương trình 2 230ziz−+=. Ta có . () 2 2 412164iiΔ= − =− = 0,50 Câu 5.b (1,0 điểm) Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 24 3 2 ii zi + == và 2 24 2 ii zi − == −. 0,50 --------------- Hết --------------- 4 . ch m thi. 3) Sau khi cộng đi m toàn bài, l m tròn đến 0,5 đi m (lẻ 0,25 l m tròn thành 0,5; lẻ 0,75 l m tròn thành 1,0 đi m) . II. Đáp án và thang đi m CÂU. số đi m từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang đi m trong hướng dẫn ch m phải đ m bảo không l m sai lệch hướng dẫn ch m và