Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” A- ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN. Trong chương trình phổ thông, môn toán là môn chiếm nhiều thời gian về số tiết dạy trên lớp. Được đưa ngay vào năm đầu tiên của cấp tiểu học, nhưng đến năm cấp THCS mới đưa phần hình học vào chương trình. “ Hình học” có nghĩa là “ đạc điền”, “ đo đạc”, nhưng không phải người học sinh nào cũng hiểu được như vậy. Giải được một bài toán hình học là rất khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học. Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học sinh muốn học tốt môn hình học thì ngoài kiến thức sẵn có và ý thức học tập tốt cần phải xác định đúng đắn động cơ và phương pháp học tập tốt, đắc biệt là kích thích được sự “ hứng thú” học bộ môn này. 2. CƠ SỞ THỰC TẾ. Thực tế tháy rằng hầu như học sinh nào cũng trả lời rằng thích học đại số hơn hình học, có em còn cho rằng rất ngại học môn này và còn cho rằng rất không thích học. Qua thực tế đó để kích thích sự hứng thú học bộ môn hình học, từ đó hiểu sâu hơn bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý Py-ta- go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi tiếng, hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một bài toán hình học, ba là giúp học sinh thấy được sự phong phú của toán học. Từ đó học sinh sẽ thấy hứng thú học môn hình học nói riêng và học môn toán nói chung. B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” Pythagore sinh vào khoảng năm 580 TCN tại Samos-Hi lạp. Ông nghiên cứu nhiều môn khoa học như Triết học, Khoa học tự nhiên, Âm nhạc và đặc biệt là Toán học. Trong toán học ông đặc biệt thích thú với môn Hình học. Định lý Pythagore có một vị trí đặc sắc trong Hình học và đời sống, không những nó có nhiều ứng dụng cụ thể trong Toán học, trong các môn khoa học khác, trong thực tế mà ngay việc khai thác các bài toán xung quanh định lý này cũng đóng góp cho Toán học nói chung nhiều kết quả quan trọng. Tuy định lý mang tên ông , nhưng trước đó 2 ngàn năm người Trung Quốc và người Ấn Độ cũng đã phát hiện ra nó và đã ứng dụng vào việc đo đạc, nhất là khi xây cất các lâu đài, đình chùa, miếu mạo. Thời đó, người ta chứng minh định lý Pythagore bằng cách ghép hình. Đến nay, người ta đã sưu tập được khoảng 367 cách chứng minh. Trong chuyên đề này tôi xin đưa ra 20 cách chứng minh chủ yếu tập chung vào hai cách là ghép hình và suy luận toán học, giới hạn trong chương trình toán THCS. Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 20 c¸ch chøng minh ®Þnh lÝ Py-ta-go A. GHÉP HÌNH C¸ch 1. . b b c c b b a a M M P P N N A A D D E E B B C XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: S BCDE = S AMPN + 4.S ABC => a 2 = ( c – b ) 2 + 4. bc/2 <=> a 2 = c 2 – 2.bc + b 2 + 2.bc <=> a 2 = c 2 + b 2 . C¸ch 2. C b b b b a a c c Q Q P P C C B B E E F F D D A XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: S ADEF = S BCPQ + 4.S ABC => ( b + c ) 2 = a 2 + 4. bc/2 <=> b 2 + 2.bc + c 2 = a 2 + 2.bc <=> b 2 + c 2 = a 2 Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” C¸ch 3. C a a b b b b c c H H G G F F E E Q Q P P C C B B D D M M N N A XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: S BCPQ = S EFGH + 4.S ABC => a 2 = ( c – b ) 2 + 4.bc/2 (1) MÆt kh¸c: S ADMN = S BCPQ + 4.S ABC => S BCPQ = S ADMN – 4.S ABC <=> a 2 = ( b + c ) 2 – 4.bc/2 (2) Céng (1) vµ (2) ta ®îc: 2a 2 = ( c – b ) 2 + ( b + c ) 2 = 2b 2 + 2c 2 <=> a 2 = b 2 + c 2 C¸ch 4. C a a b b c c b b a a c c E E D D C C B B A XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: ABED lµ h×nh thang vu«ng, BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” S ABED = 2.S ABC + S BCE => 22 . .2 2 )).(( 2 acbcbcb += ++ <=> ( b + c) 2 = 2.bc + a 2 <=> b 2 + 2.bc + c 2 = a 2 + 2.bc <=> b 2 + c 2 = a 2 C¸ch 5. C b b a a a a c c a a a a c c b b b b c c H H F F E E D D C C B B A XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng tam gi¸c ABC nh h×nh vÏ => BDEF lµ h×nh thang => S BDEF = 1/2.( 2b + 2c ). ( b + c ) = ( b + c ) 2 (1) S ECF + S BCD + S ECD + S BCF = 222 .2 2 .2 22 aabccb +++ = 2bc + a 2 (2) Tõ (1) vµ (2) => ( b + c ) 2 = 2bc + a 2 <=> b 2 + c 2 = a 2 Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go B. Dựng hình-suy luận Cách 6. C H H C C B B A Kẻ AH vuông góc với BC. Ta có các tam giác vuông ABC, HAC, HBA đồng dạng => AB 2 = BC.BH Và AC 2 = BC.HC => AB 2 + AC 2 = BC.( BH + HC ) = BC 2 Cách 7. C b b c c x x c c 2 2 b b 2 2 a a a-x x F F H H E E D D C C B B A Dựng hình vuông BCDE. Kẻ AH vuông góc với BC, cắt DE tại F. Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: c 2 = a.x b 2 = ( a x ).x Mặt khác: S BHFE = BH.BE = x.a = c 2 Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” S CDFH = CH.CD = ( a – x ).a = b 2 => S BHFE + S CDFH = c 2 + b 2 <=> S BCDE = c 2 + b 2 <=> a 2 = c 2 + b 2 C¸ch 8. Qua B dung ®êng th¼ng vu«n gãc víi BC c¾t AC ë C’ Dùng c¸c h×nh b×nh hµnh ABCB’, BC’CA’ => ∆ ABC = ∆ AB’C S AB’C + S ABC’ = S BCC’ = S BCA’ <=> AB.AC + AB.AC’ = BC.CA’ (*) Ta cã: AC’ = AC AB 2 Vµ ∆ CA’B ~ ∆ ABC => CA’.CA = BA.BC => CA’ = CA BCBA. Thay vµo (*) ®îc: AB.AC + AB. AC AB 2 = BC. CA BCBA. <=> AC + AC AB 2 = CA BC 2 <=> AC 2 + AB 2 = BC 2 C¸ch 9. C B' ' A' ' C' ' C C B B A Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go C c c a a b b a-c c a a A A B B E E D D C Vẽ đờng tròn ( B; a ). Gọi DE là đờng kính qua B. Ta có : AE = a c ; BD = BC = a; AD = a + c Tam giác CDE vuông ở C => AC 2 = AD.AE <=> b 2 = ( a + c ).( a c ) <=> b 2 = a 2 c 2 <=> b 2 + c 2 = a 2 Cách 10. C A A C C D D B Kẻ đờng thẳng qua B vuông góc với BC cắt AC ở D. Ta có: S ABD + S ABC = S BDC AB.AD + AB.AC = BD.BC ( * ) Do AB 2 = AD.AC => AD = AB 2 /AC ABD và BDC đồng dạng => AB.DC = BD.BC => BD = AB.DC/BC Thay vào (*) ta đợc: AB. (AB 2 /AC) + AB.AC = BC. (AB.DC/BC) <=> AB 2 /AC + AC = DC <=> AB 2 + AC 2 = DC.AC = BC 2 Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” C¸ch 11. C c c a a b b b b a a c c F F E E D D C C B B A Dùng tam gi¸c EDF = tam gi¸c ABC ( h×nh vÏ ) Ta cã: ∆ CAF ~ ∆ DEF => c b c bb DE EFCA AF EF AF DE CA 2 ==== >= => BF = BA + AF = c + c b 2 S BDF = 2 . 2 . BFDEDFBC = <=> a.a = c.( c + c b 2 ) <=> a 2 = c 2 + b 2 C¸ch 12. C c c b b b b a a b b E E D D C C B B A Trªn BC lÊy D, E sao cho: CD = CE = CA = b => ∆ ADE vu«ng ë A ( v× cã AC = DE/2, CD = CE ) Ta cã: ∆ BAD ~ ∆ BEA ( g.g ) Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” (V× cã gãc B chung, vµ gãc BAD = gãc EAC = E) 222 222 )).(( abc bababac c ba ba c BA BD BE BA =+<= > −=−+== > − = + <= >= C¸ch 13. C c c b b a a c c b b G G E E F F D D C C B B A VÏ ®êng trßn (C;b) c¾t BC ë D, E VÏ ®êng trßn (B;c) c¾t BC ë G, F Ta cã: BA lµ tiÕp tuyÕn, BDE lµ c¸t tuyÕn víi ®êng trßn (C) => BA 2 = BD.BE <=> c 2 = ( a – b ).( a + b ) = a 2 – b 2 <=> c 2 + b 2 = a 2 [...]... 2 AC 2 AB 2 + AC 2 = BC 2 Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go Cách 16 C H b A b b b c a D L C E B Vẽ đờng tròn ( A; b ) cắt AB ở D; H, cắt BC ở E Kẻ AL EC Có: BD.BH = BE.BC ( c b ).(c + b ) = a.( a 2 CL ) (*) Mà AC2 = CL.CB => CL = AC2/BC = b2/a Thay vào (*) đợc: c2 b2 = a.( a 2.b2/a ) = a2 2b2 c2 + b2 = a2 Cách 17 Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go C C a b K c-b b B b... + SBDLM = SBCKD AC2 + AB2 = BC2 C- KT LUN V KIN NGH Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go Trờn õy l 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go, ngoi ra cũn nhiu cỏch khỏc mong cỏc ng nghip b sung chuyờn c phong phỳ hn na - Phm vi chuyờn c ỏp dng cho tt c cỏc i tng hc sinh t khi lp 7 9, cỏc em cú th nghiờn cu v tỡm thờm cỏc cỏch chng minh khỏc - Ngoi ra cỏc ng nghip cng cú th nghiờn cu v b sung thờm... hình ABIK, ACJK, BGDC, FGDE có diện tích bằng nhau Ta có: SABC = SKJI = SAFE = S (2) Từ (1) và (2) => SABIK + SACJK = SBGDC + SFGDE SBCJI + 2.S = SABGF + SACDE + 2.S BC2 Cách 20 = AB2 + AC2 (1) Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go C G H A F K C K M B L D Dựng các hình vuông ABKH, ACFG, BCKD => CBF = CKA ( c.g.c) Kẻ AM vuông góc với BC cắt DK tại L Ta có: SCBF = 1/2 SACFG ( chung cạnh... ).( c + b ) /2 a 2 c 2 b2 + b.c + c b.c = 2 2 2 2.c2 = a2 + c2 b2 c2 + b2 = a2 Cách 18 (2) Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go C Q R P M A c N b a B M C Dựng các hình vuông ABNP; ACMQ ABC = APQ ( c.g.c) => PQ = BC = a Gọi M là trung điểm BC; MA cắt PQ ở R Dễ c/m MA PQ tại R Do khoảng cách từ M đến AP = AB/2 = c/2 => SAMP = 1/2.c.c/2 = c2/4 Mặt khác: SAMP = 1/2.AM.PR = PR.a/4 Tơng... = c/2 => SAMP = 1/2.c.c/2 = c2/4 Mặt khác: SAMP = 1/2.AM.PR = PR.a/4 Tơng tự: SAMQ = b2/4 và SAMQ = QR.a/4 c 2 b 2 PR.a QR.a a.( PR + QR) a 2 + = + = = => 4 4 4 4 4 4 2 2 2 = >c + b = a Cách 19 Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go C E F A D G B C O I J K Dựng các hình vuông ABGF, ACDE, BCIJ Dựng tam giác vuông KIJ = tam giác vuông ABC ( hình vẽ ) Dễ c/m G, A, D thẳng hàng và GA là phân giác góc...Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go Cách 14 C A r r D c-r r B r r I r c-r r F E b-r r b-r r a C Gọi (I;r) là đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các canh AB, BC, CA tại D, E, F Dễ c/m ADIF là hình vuông => AD =... là nửa chu vi tam giác ABC ) => SABC = p.r = p.(p a) Mặt khác: SABC = 1/2.b.c => p.(p a ) = 1/2.bc a + b + c b + c a bc = 2 2 2 ( b + c )2 a2 = 2bc b2 + c2 = a2 Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go Cách 15 C F E A D C B Trên AC lấy F sao cho CF = CB Gọi D, E là trung điểm của BF, AF => CD BF, DE AF BFA ~ CD2E ( g.g) => AB AF = AB.DE = CE AF (*) CE DE Ta có: AF = CF AC = . Thời đó, người ta chứng minh định lý Pythagore bằng cách ghép hình. Đến nay, người ta đã sưu tập được khoảng 367 cách chứng minh. Trong chuyên đề này tôi xin đưa ra 20 cách chứng minh chủ yếu. BC 2 . C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. Chuyên đề 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” Trên đây là 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go, ngoài ra còn nhiều cách khác mong các đồng nghiệp bổ sung để. chủ yếu tập chung vào hai cách là ghép hình và suy luận toán học, giới hạn trong chương trình toán THCS. Chuyên đề 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 20 c¸ch chøng minh ®Þnh lÝ Py-ta-go A.