3 BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI HÀM 1. Bài 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 n n a +/. Nếu 1a thì 2 1 1 n n n aa S a a a a +/. Nếu 1a thì 1 1 1 n Sn Khi 1a thì lim 0 n n a do đó lim 1 n n a S a Vậy chuỗi hội tụ và có 1 1 n n a a a Khi 1a thì lim n n S nên chuỗi phân kỳ và có 1 n n a Khi 1a thì không tồn tại lim n n S nên chuỗi phân kỳ. 2. Bài 2: CMR chuỗi 2 1 1 n n hội tụ Với n ta có: 22 11 1 2 n s n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1.2 2.3 1 . 2 2 3 1n n n n n Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ. 3. Bài 3: CMR chuỗi 1 21 32 n n n n hội tụ theo dấu hiệu Cauchy Vì 2 1 2 lim lim 1 3 2 3 n n nn n a n 4. Bài 4: Chứng minh rằng chuỗi 2 ln 1 n nn phân kỳ. Hàm số 1 ln fx xx ; 2,x là dương, giảm và 2 2 lnlnlim ln x xx dx nên chuỗi đã cho phân kỳ. 5. Bài 5: CMR chuỗi 1 ! n n n n hội tụ. Ta có 1 1 1 1 1 lim 1 limlim 1 e n n n a a n n n n Do đó chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert. 6. Bài 6: CMR chuỗi 1 ln 1 n n nn hội tụ. Ta có hàm xxxf ln với 1 ' 1 0fx x 1x Do đó nnnnn ln1ln1 Mặt khác n n nnn ln 1ln khi n thì 0 ln n n Tức là nn ln Vậy dãy 0 ln 1 nnn và chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz. 4 7. Bài 7: Xuất phát từ định nghĩa, chứng minh sự hội tụ của các chuỗi a/. 1 1212 1 n nn b/. 1 3 1 n nn a/. Với Zk ta có 12 1 12 1 2 1 1212 1 kkkk Ta viết lần lượt đẳng thức trên với nk , ,2,1 như sau: 12 1 12 1 2 1 1212 1 5 1 3 1 2 1 5.1 1 3 1 1 2 1 3.1 1 nnnn Từ đó có 1 12 1 1 2 1 1212 1 k n nkk S và 2 1 12 1 1 2 1 limlim n S n Vậy chuỗi 1 1212 1 n nn hội tụ. b/. Xét dãy tổng riêng n k n nnnkk S 1 3 1 2 11 3 1 3 1 2 1 1 3 1 3 1 và 18 11 lim n S Vậy chuỗi 1 3 1 n nn hội tụ. 8. Bài 8: Chứng minh chuỗi 1 1 2 n n ntg hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert. Đặt 1 2 n n ntga có 2 1 2 2 1 limlim 1 2 1 n n n n ntg tgn a a Vậy chuỗi đã cho hội tụ. 9. Bài 9: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây a/. 1 11 1 n nn b/. 1 2 sin n n a/. Chuỗi hội tụ vì 2 3 1 11 1 n nn a n b/. Vì 0 2 1 2 sin lim n n và chuỗi 1 1 n phân kỳ nên 1 2 sin n n phân kỳ 10. Bài 10: Tính tổng 1 2 3 2 cos n n n Từ hệ thức 3 sin1 3 2 cos 2 nn ta tính được 1 3 2 n cox với kn 3 và 2 1 3 2 n cox với kn 3 Vậy 1 23 1 13 1 3 1 kkkn aaaa 7 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 23 1 13 1 3 kkk 11. Bài 11: Xét sự hội tụ đều của các dãy hàm sau 5 a/. Dãy sin x n Ta có sin lim 0 x x xR n Do đó sin 0 x n trên R 1 0; ; ;N n N x R Ta có: sin 1 0 x nn Do đó ta có: sin 0 x n trên R b/. Dãy n x Đặt 0 0;1 11 x ux x thì ta có n n u x x u x trên 0;1 Với 0 1 2 thì mọi số tự nhiên n có 1 0;1 2 n n x để cho 2 0 11 2 2 n n n u x u x Nghĩa là không tồn tại số N để ; 0;1n N x đều có 1 2 n u x u x Tức là n ux không hội tụ đều đến ux 12. Bài 12: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 1 n n x Ta có 1 1 n n S x x x Nếu 1x thì 1 1 1 n n x Sx x Nếu 1x thì lim 0 n n x nên 1 1 1 1;1 1 n n xx x 13. Bài 13: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm 2nn n f x x x trên 0;1 * n fx hội tụ về 0f trên 0;1 * Chọn 0 1 4 và 1 ; 1,2, 2 n n xn 0 1 ; 4 n n n n n f x f x f x n Suy ra n fx không hội tụ đều trên 0;1 . 14. Bài 14: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 1 n n n x x (1) * 1 1 n n n x xa x không tiến đến 0 nên (1) phân kỳ * 1 1 1 1 . 1 1 n n n n a x x x x ax Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối nên (1) hội tụ với 1x , tức miền hội tụ của (1) là 1;1 15. Bài 15: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 2 n n n x x tg (2) * Với mỗi 0 xR Ta xét 0 0 1 2 n n n x x tg có 0 1 1 1 00 0 0 1 1 2 2 2 n n n n n n x tg a xx x a x tg khi n Vậy chuỗi hội tụ với 00 1 12 2 xx * 0 2x Chuỗi phân kỳ. Vậy (2) có miền hội tụ là 2;2 16. Bài 16: Cho 1 1,2, n n f x nx x n CMR: 11 00 lim lim nn nn f x dx f x dx 6 Ta thấy 0 n f x f trên 0;1 Mặt khác 1 1 1 0 0 0 1 1 12 n n n nn f x dx nx x dx n t t dt nn (đpcm) 17. Bài 17: Tính tổng 2 3 4 1 2 3 4 x x x x fx Vì chuỗi có bán kính bằng 1 nên nếu 1x thì '2 1 1 1 f x x x x Từ đó ln 1 1 dx f x x C x Với 00xC Vậy 1;1x ln 1f x x Chuỗi hội tụ tại 1x nên 1 1 1 1 lim ln 1 1 1 2 3 4 x fx Vậy ta có: 1 1 1 ln2 n n n 18. Bài 18: Khai triển Taylor hàm 1 1 f x x x Trong đó 2 1 0 00 x ex x x Ta có 00 k với 0,1,2, k và 1 1! 1 1 k k k x x Do đó 0 ! 0 ! k f k k Từ đó khai triển Taylor của fx là: 00 0 1 !1 n nn nn f S x x x nx 1;1 \ 0S x f x x 19. Bài 19: Tính tổng 46 3.4 5.6 xx x Ta cần tính 4 6 3 5 ' 1 3.4 5.6 3 5 x x x x S x x S x 22 '' 2 4 6 ' '' 22 ' 2 11 ; 0 1 1 1 xx S x x x x S x S x dx dx xx dx x x arctgx C S C x 2 ' 1 2 x S x S x dx x arctgx dx x arctgxdx 2 2 1 ln 1 22 x S x x xarctgx x 20. Bài 20: Chứng tỏ dãy hàm 1 n fx nx hội tụ đều trên mọi , , 0 nhưng không hội tụ đều trên 0, Ta có 1 nn f x x f x nx hội tụ đều trên , đến 0fx Do đó hội tụ điểm trên 0, Ta chọn 0 0 2 2 1 1 1 1 1 . n n n n n f x f x f x n x n n n 7 Vậy n fx không hội tụ đều đến hàm 0fx 21. Bài 21: Xét tính liên tục đều của tổng chuỗi hàm 1 1 n x n Với mọi sao cho 01 có 1 1 1 1 nn n nn x n n n Suy ra 1 1 n x n hội tụ tuyệt đối và đều trên ; . Vì bất kỳ có thể gần 1 nên tổng chuỗi hàm đã cho liên tục trên 1;1 22. Bài 22: Tính tổng của chuỗi luỹ thừa 23 1.2 2.3 3.4 x x x 23 1.2 2.3 3.4 S x x x x 23 1.2 2.3 3.4 F x S x dx xdx x dx x dx 2 3 4 2 2 0 0 2 2 3 1 2 3 C x x x C x x x x 2 0 22 2 2 3 00 1 22 ' 0 0 0 11 2 22 1 2 3 1 2 3 2 3 1 11 1 Fx C xx xx Fx CC dx x x dx x x x C x x x Fx C C C xx CC x x x x x x x 2 2 1 x Fx x Mặt khác có ' 2 ' 23 2 11 x xx S x F xx . 3 BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI HÀM 1. Bài 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 n n a +/. Nếu 1a thì 2 1 1 n n n aa S. nên chuỗi hội tụ. 3. Bài 3: CMR chuỗi 1 21 32 n n n n hội tụ theo dấu hiệu Cauchy Vì 2 1 2 lim lim 1 3 2 3 n n nn n a n 4. Bài 4: Chứng minh rằng chuỗi. 2 2 lnlnlim ln x xx dx nên chuỗi đã cho phân kỳ. 5. Bài 5: CMR chuỗi 1 ! n n n n hội tụ. Ta có 1 1 1 1 1 lim 1 limlim 1 e n n n a a n n n n Do đó chuỗi đã cho