Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier .................................................................................................................275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier ....................................................... 276 8.1.2. Tính đầy đủcủa các hệ đa thức ..................................................................................... 279 8.1.3. Tính chất của các hệsốFourier..................................................................................... 282 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụcủa chuỗi Fourier .................................................... 284 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier ........................................................................................ 288 8.1.6. Thí dụ............................................................................................................................ 289 8.2. Tích phân Fourier .........................................................................................................290 8.2.1. Biểu diễn hàm sốbằng tích phân Fourier...................................................................... 290 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier ................................................................................. 293 8.3. Biến đổi Fourier ............................................................................................................ 295 8.3.1. Định nghĩa..................................................................................................................... 295 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................................................ 296 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier................................... 297 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299 8.4. Một sốví dụvề ứng dụng........................................................................................ 301 8.4.1. Bộlọc điện .................................................................................................................... 301 8.4.2. Sựtruyền nhiệt trong thanh kim loại............................................................................. 302 8.1. Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm sốmột biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khảtích và xem xét sơbộtính hội tụcủa nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơhọc, Kỹthuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quảvềlĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉlà những kiến thức ban đầu. 276 Giải tích các hàm nhiều biến Toàn bộchương này chúng ta dành đểtiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị đó. 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm fkhảtích tuần hoàn trên đoạn , ππ − là chuỗi lượng giác 0 1 cos sin 2 nn n a anxbnx ∞ = ++∑ , trong đó các hệsố được tính bởi các công thức sau đây 1 ( ) cos , 0,1,2,3,... n afxnxdxn π π π − ==∫ 1 ( ) sin , 1,2,3,... n bfxnxdxn π π π − ==∫ . Tổng riêng của chuỗi này là 0 1 () cos sin 2 n nkkk a Sx a kx b kx = =+ + = ∑ 1 1 1 2 (cos cos sin .sin ) ( ) 2 n k kt kx kt kx f t dt π π π = − =+ + ∑ ∫ = 1 1 1 2 cos ( ) ( ) 2 n k kt x f tdt π π π = − =+ − ∑ ∫ . Đểý rằng 1 sin(2 1) 2 12 cos sin( 2) n k nu ku u = + +=∑ khi 2 umπ ≠ , m ∈ , ta suy ra 1 () ( ) () 2 nn Sx Dt xftdt π π π − = − ∫ , trong đó ()21 sin 2 () sin 2 n n u Du u + = , có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ởvế phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễthấy rằng nhân Dirichletlà một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ2πvà 0 1 () 1 n Dudu π π = ∫ . Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 277 01() () ... () 1 n n Sx Sx Sx n σ +++ = + , 01() () ... () () 1 n n D xDx Dx x n Φ +++ = + , và gọi () n x Φ là nhân Fejer, còn ( ) n x σ là tổng Fejer, và từcác công thức tích phân Dirichlet ta có 1 () () ( ) 2 nnx ufx udu π π σΦπ − =+∫ . Bổ đề. Nhân Fejer () n x Φ có những tính chất sau đây: (i) Nhân Fejer () n x Φ là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ2π; (ii) () 0, n x x Φ ≥∀; (iii) 1 () 1 2 n xdx π π Φ π − = ∫ ; (iv) Với mỗi (0, ) δπ∈ ta có || lim max ( ) 0 n n x x δπΦ →∞≤≤ = . Chứng minh. Từ định nghĩa ta có 001 (1)() () sin(21)2 sin( 2) nn nkkk nxDx kx x Φ == += = += ∑∑ 2200 112sin(2 1) 2sin( 2) cos cos( 1) 2sin ( 2) 2sin ( 2) nn kkkx x kx kx xx== =+=− + ∑∑ 2 22 1cos( 1) 2.sin( 1)2 2sin ( 2) 2sin ( 2) nx nx xx − ++ == . Từ đây suy ra 2 2 sin ( 1) 2 () (1)sin(2) n nx x nx Φ + = + . Đẳng thức trên đúng với mọi xkhác 0. Nhưng do vếphải là hàm liên tục và vếtrái có giới hạn là n+1 khi xtiến tới 0, cho nên ta suy ra (0) 1 n n Φ =+. Từcông thức trên ta suy ra các tính chất (i)(ii). Tính chất (iii) có ngay từcông thức tích phân nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra từnhận xét sau đây: 278 Giải tích các hàm nhiều biến 2 22 || || sin ( 1) 2 11 max ( ) max 1 sin( 2) ( 1)sin( 2) n xxnx x n xn δπ δπ Φ δ ≤≤ ≤≤ + = ≤ + + . Bổ đề đã được chứng minh xong. Định lý. (Fejer) Nếu hàm sốf là liên tục trên đoạn, ππ − và() () f f ππ − = thì tổng Fejer () n x σ hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khin→∞. Chứng minh. Do các điều kiện của định lý, ta có thểthác triển hàm fthành một hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộtrục số(với chu kỳ2π). Từbổ đềtrên ta suy ra 11 |() ()| (). () ()( ) 22 nnn f x x f x udu u f x udu ππ ππ σΦΦ ππ−− − = − += ∫∫ 11() () ( ) ()| () ( )| 22nnufxfxudu ufxfxudu ππ ππΦΦ ππ−− = − + ≤−+ ∫∫. Do hàm flà liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số. Suy ra, với mỗi số0 ε> cho trước, tồn tại số0 δ> sao cho || (; ): max| () ( )| 3 −≤ = −≤ xy ffxfy δ ϖδ ε . Từcông thức trên, bằng cách tách tích phân vếphải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có 111 |() ()| 222 n fx x δ δπ π δδ σ πππ − −− −≤++ ∫ ∫∫. Đối với tích phân ởgiữa ta có đánh giá 11()| () ( )| (; ) () 22nnu f x f x u du f u du δδ δδΦϖδΦ ππ−−− + ≤≤ ∫∫ 1 (; ) () . 23n fudu π π ε ϖδ Φ π − ≤ < ∫ Dễthấy rằng hàm fbịchặn bởi một số Mnào đó cho nên, từtính chất (iv) trong bổ đềtrên, ta suy ra tồn tại sốtựnhiên n ε đủlớn sao cho với nnε ≥ thì 2 tích phân còn lại đều nhỏhơn 3 ε , và tổng hợp lại ta có |() ()| , n f xx nnε σε −≤ ∀≥. Định lý đã được chứng minh xong. Nhận xét.Ta đã biết rằng chuỗi Fourier của một hàm liên tục không nhất thiết hội tụtại mỗi điểm, và do đó khảnăng thiết lập lại hàm sốtừchuỗi Fourier của nó là rất mỏng manh. Tuy nhiên, định lý trên đây đã đưa ra một phương pháp mới, thiết Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 279 lập lại hàm sốkhông phải trực tiếp từ tổng riêngcủa chuỗi Fourier, mà từcác trung bình cộngcủa chúng (tức là các tổng Fejer). Phương pháp này ưu việt ởchỗnó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều, tới chính hàm f. Nhưvậy, việc nghiên cứu các chuỗi phân kỳcũng có lúc đem lại hiệu quảbất ngờ. Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ(không nhất thiết là chuỗi lượng giác) bằng cách thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và khảo sát tính hội tụcủa chúng được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng. 8.1.2. Tính đầy đủcủa các hệ đa thức Ta đã biết thếnào là đa thức đại sốbậc n. Bây giờta có thêm khái niệm đa thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng 22 0 1 cos sin , 0 n kk nn k AAkxBkxAB = ++ +≠ ∑ . Định lý.(Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn , ππ − và () () f f ππ − = thì, với mỗi 0 ε> , tồn tại đa thức lượng giác () Tx sao cho |() ()| , , fx Tx x ε ππ − < ∀∈− . Chứng minh. Suy ra từ định lý trên, vì mỗi tổng Fejer cũng là một đa thức lượng giác. Định lý. (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục trên đoạn a,bthì, với mỗi 0 ε> , tồn tại đa thức đại số () Px sao cho |() ()| , , f xPx xab ε − < ∀∈ . Chứng minh. Dùng phép đổi biến ba x atπ − =+ với 0, t π ∈ , ta được hàm số () ( ) ba f tfa tπ − =+ xác định trên đoạn 0,π. Thác triển hàm này vềphía trái trục sốtheo công thức ( ) ( ) f tft − = ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn , ππ − và thỏa mãn ( ) ( ) ffπ π − = . Từ định lý trên, với mỗi số 0 ε> , ta tìm được đa thức lượng giác () Txthỏa mãn điều kiện | () ()| 2, , ftTt t ε ππ − < ∀∈− . Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích,khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa (hội tụ đều trên toàn trục số), cho nên tồn tại sốtựnhiên nεsao cho với mọi nnε ≥ đa thức Taylor bậc ncủa () Tx, ký hiệu là () n P t , thỏa mãn điều kiện |() ()| 2, , − < ∀∈− n Tt P t t ε ππ. Lấy đa thức () () n PtPtε = ta có 280 Giải tích các hàm nhiều biến | () ()| | () ()| | () ()| 22 ft Pt ftTt Tt Pt ε ε ε −≤ −+ − , tồn tại hữu hạncác hàm i ϕvà các số( 1,2,..., ) i ik λ = sao cho 11 | ( ) ( ) ... | , , kk f xx xab λϕ λ ϕ ε − ++ < ∀∈ . Từcác định lý trên ta có các mệnh đềsau. Mệnh đề. Hệcác hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,...,cos ,sin ,... x xxx nxnx là đầy đủtheo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn, ππ − và nhận giá trịnhưnhau ở2 đầu mút của đoạn này. Chứng minh. Suy ra từ định lý Weierstrass I. Mệnh đề. Hệcác hàm lũy thừa 2 1, , , ... , , ... n xx x là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ (theo nghĩa xấp xỉ đều). Chứng minh. Suy ra từ định lý Weierstrass II. Chú ý.Hệcác hàm lượng giác không thểlà đầy đủtheo nghĩa xấp xỉ đều đối với họcác hàm liên tục trên đoạn , ππ − (bởi vì nếu không thì từtính chất () () TTππ − = của các đa thức lượng giác sẽkéo theo ( ) ( ) f f π π − = với mọi hàm liên tục f ). Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 281 Người ta coi độlệch toàn phương trung bìnhgiữa 2 hàm fvà gxác định trên đoạn a,b là đại lượng 2 () () b a f xgxdx − ∫ . Đại lượng này còn có tên gọi là độlệch toàn phương trung bìnhcủa fso với g (hay là của gso với f ). Định nghĩa. Một hệcác hàm số 12, ,..., ,... n ϕϕ ϕ xác định trên đoạna,b được gọi là đầy đủ đối với họcác hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉtoàn phương trung bình nếu như, với mỗi hàm f ∈ ℜvà với mọi số 0 ε> , tồn tại một tổhợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệnói trên có độlệch toàn phương trung bình so với hàm f nhỏhơn ε. Mệnh đề. Hệcác hàm lượng giác 1, cos , sin , cos 2 , sin 2 ,...,cos ,sin ,... x xxx nxnx là đầy đủtheo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn, ππ − và nhận giá trịnhưnhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Chứng minh. Từtính đầy đủcủa hệcác hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta suy ra, với mỗi số 0 ε> , tồn tại đa thức lượng giác ( ) Txsao cho |() ()| 2, , fx Tx x ε πππ − < ∀∈− . Từ đây ta suy ra 2 () () 2 f x T x dx dx ππ ππε ε π −−− , tồn tại đa thức lượng giác ( ) Txthỏa mãn 2 1 () () fx Tx dx π π ε π − − < ∫ . 284 Giải tích các hàm nhiều biến Theo định lý trên ta có 22 11() () () () n fx S x dx fx Tx dx ππ ππε ππ−−−≤−< ∫∫, và áp dụng đẳng thức () đối với n S suy ra 22 222222 0011 11() ( ) () ( ) 22n kk kk kk aa f x dx a b f x dx a b ππ ππ∞ == −− − ++≤−++= ∑∑ ∫∫22 11() () () () n fx S x dx fx Tx dx ππ ππε ππ−− = −≤−< ∫∫. Do εlà sốdương nhỏbao nhiêu tuỳý mà vếtrái luôn luôn không âm (theo bất đẳng thức Bessel), nên nó phải bằng 0 . Định lý được chứng minh. Hệquả. Với các giả thiếtcủa định lý, chúng ta có 2 lim () () 0 n n fx S x dx π π →∞ − − = ∫ . Chứng minh. Suy ra từchứng minh của định lý trên. 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụcủa chuỗi Fourier Lưu ý rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽdùng biểu thức 0 1 () ( cos sin ) 2 nn n a f xanxbnx ∞ = ≈ ++∑ đểbiểu thịrằng hàm fcó khai triển Fourier là chuỗi ởvếphải. Mệnh đề. Cho hàm f liên tục trên đoạn , ππ − với () () f f π π − = và có khai triển Fourier là 0 1 () ( cos sin ) 2 nn n a f xanxbnx ∞ = ≈ ++∑ . Nếu hàm f làkhảvi từng khúc trên đoạn , ππ − thì chuỗi Fourier của f bằng chuỗi của đạo hàm các sốhạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là 1 ( ) ( sin cos ) nn n f xnanxnbnx ∞ = ≈− + ∑ . Chứng minh. Giảsửhàm f có chuỗi Fourier là 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 nn n f xnxnx α αβ ∞ = ≈ ++∑ Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 285 trong đó, theo định nghĩa, ta có 0 11( ) ( ) ( ) 0 ftdt f f π π αππ ππ− ==−−= ∫ ; 1 ( ).cos( ) ( ) cos( ) ( ) sin( ) 0 . . n nn n f tntdtftnt ftntdt nbnb π π π α πππ − ==+=+= − ∫∫; 1 ( ).sin( ) ( )sin( ) ( ) cos( ) 0 . . . n nn n f tntdtftnt ftntdt na na π π π β πππ − ==− = − =− − ∫∫ Mệnh đề đã được chứng minh. Bổ đề. Cho hàm f là khảvi liên tục đến cấp (1) k− và khảvi từng khúc ởcấp k (1) k≥ , ngoài ra () () () () ii ffππ − = , với 1,..., 1 ik= −. Khi đó các hệsốFourier của f thỏa mãn | | , | | , 1, 2, ... nn nnkk abn nn ε ε ≤≤= , với các 0 n ε > saocho 2 1 n n ε ∞ = , ta xét tích phân 0 1 () ()cos( ) Sdyftyxtdt η η π ∞ −∞ = − ∫∫ . Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng lim ( ) S η η →∞ . Với mỗi số 0 ξ> , theo định lý vềtích phân của tích phân phụthuộc tham số, ta có 00sin ( ) ()cos ( ) () cos ( ) () . xt dy ft yx t dt ftdt yx t dy ft dt xt ηξ ξ η ξ ξξ ξη −− −− − = − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ () (Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f, ta có thểphân chia hình hộp t ξξ −≤≤, 0 y η ≤≤thành một sốhữu hạn các hộp nhỏ(bởi các đường song song với trục Oy) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả2 biến đến tận biên, nếu tại biên ta lấy các giá trịgiới hạn phải hoặc giới hạn trái của hàm). Lưu ý rằng | ( ) cos ( ) | | ( ) | f tyxt ft −≤ , cho nên do tính khảtích tuyệt đốicủa hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham sốy trên đoạn 0, ηcủa tích phân sau 292 Giải tích các hàm nhiều biến () ()cos( ) Fyftyxtdt ∞ −∞ = − ∫ . Nhưvậy, hàm số (,) ()cos( ) Fyftyxtdt ξ ξ ξ − = − ∫ hội tụ đều (trên đoạn0, η) đến hàm () Fy khiξ→∞. Dễdàng chứng minh rằng hàm (,) Fyξ là liên tục theo ycho nên từcông thức (), bằng cách cho qua giới hạn dưới dấu tích phân ởvếtrái, ta thu được sin ( ) 1 () () xt Sft dtxt η η π ∞ −∞ − = − ∫ . Đặt utx =− , ta có sin( ) 1 () ( ) u Sfuxduu η η π ∞ −∞ =+∫ . Bằng cách tách tích phân thành 2 khúc 0 0 ∞∞ −∞ −∞ =+ ∫ ∫∫và trong khúc thức nhất ta làm phép đổi biến ut=−thì ta sẽthu được 0 sin( ) 1 () ( ) ( ) t Sfxtfxtdtt η η π ∞ =++− ∫ . Trong mục nói vềtích phân Dirichlet (Chương 5) ta đã biết rằng 0 sin( ) 2 t dt t η π ∞ = ∫ , với mọi 0 η> , cho nên (0) (0) () 2 fx fx Sη ++− − = 00sin( ) ( 0) ( 0) sin 1 ( ) ( ) tfx fx t f xt fxt dt dt ttη η ππ∞∞++− =++−− ∫∫ 00()(0) ()(0) 11sin( ) sin( ) fx t fx fx t fx tdt tdt ttηη ππ∞∞+ − + −− − =+∫∫. Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉra rằng cả2 tích phân ởvếphải đều tiến tới 0 khiη→∞. Điều này được suy ra từcác nhận xét sau đây (chứng minh chi tiết xin dành cho người đọc). Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 293 Do sựtồn tại của các đạo hàm phải của hàm ftại điểm xmà hàm ()(0) fx t fx t + − + liên tục từng khúc (theo biến t) tại điểm 0 và do đó nó là khả tích (tuyệt đối) trên đoạn0,1. Do bổ đềta có 1 0 ()(0) lim sin( ) 0 fx t fx tdt t η η →∞ + − + = ∫ . Trên miền 1 t≥hàm số() f xtt + bịchặn bởi hàm khảtích | ( ) | f xt+ cho nên nó cũng khảtích, và do đó cũng theo bổ đềta có 1 () lim sin( ) 0 fx t tdt t η η ∞ →∞ + = ∫ . Vì 0 sinx dx x ∞ ∫ hội tụnên 1 (0) sin lim sin( ) ( 0) lim 0 fx u tdt fx du tu ηηη η ∞∞ →∞ →∞ + =+ = ∫∫. Kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh. Nhận xét.Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số flà liên tục tại xthì tích phân Fourier tại điểm xcho giá trịcủa chính hàm f. 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier Đểviệc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giảthiết rằng flà hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên. Khi ấy, theo nhận xét đã nêu, ta có công thức Fourier sau đây: 0 1 () ()cos( ) f xdyftyxtdt π ∞∞ −∞ = − ∫∫ () và do biểu thức dưới dấu tích phân theo dylà hàm chẵn theo ynên 1 () ()cos( ) 2 f xdyftyxtdt π ∞∞ −∞ −∞ = − ∫∫ . Lưu ý rằng |()sin( )| |()| f tyxt ft −≤ cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass, tích phân ()sin ( ) f tyxtdt ∞ −∞ − ∫ là hội tụ đều (theo ytrên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y. Vì vậy, với0 η> , tích phân 294 Giải tích các hàm nhiều biến ()sin ( ) dy f t y x t dt η η ∞ −−∞ − ∫∫ tồn tại và, do hàm dưới dấu tích phân là lẻtheo y, tích phân này bằng 0. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo cho sựtồn tại của tích phân suy rộng ()sin ( ) dy f t y x t dt ∞∞ −∞ −∞ − ∫∫ , (vì nó không định nghĩa nhưgiới hạn của tích phân với các cận đối xứng qua gốc, mà là với các cận tuỳý). Chính vì lẽnày, người ta đưa ra khái niệm giá trịchínhcủa tích phân ()xdx ϕ ∞ −∞ ∫ (với ϕlà hàm khảtích trên các đoạn hữu hạn bất kỳ) định nghĩa như sau .. () : .. () : lim () vp xdx vp xdx xdx η η η ϕϕϕ ∞∞→∞ −∞ −∞ − == ∫∫ ∫. Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trịchínhcủa tích phân suy rộng tại một điểm nào đó (chứkhông nhất thiết tại ∞nhưtrên). Rõ ràng, nếu tích phân hội tụthì giá trịchính của tích phân và bản thân tích phân là bằng nhau. Thí dụ. Các tích phân suy rộng xdx ∞ −∞ ∫ và 1 1 dx x − ∫ là không hội tụ, nhưng giá trị chínhcủa chúng vẫn tồn tại và bằng 0. Trởlại với tích phân Fourier ta có .. ()sin( ) 0 vp dy f t y x t dt ∞∞ −∞ −∞ − = ∫∫ . Nhân tích phân này với 2 i π và cộng với () ta suy ra () 1 () .. () 2 iy x t f xvp dyfte dt π ∞∞ − −∞ −∞ = ∫∫ . Đây chính là một dạng khác của công thức tích phân Fourier. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 295 8.3. Biến đổi Fourier 8.3.1. Định nghĩa Nếu ta đặt 1 () () 2 iyt yftedt Φ π ∞ − −∞ = ∫ , thì dạng nói trên của công thức tích phân Fourier trởthành 1 () .. () 2 ixy f xvp yedy Φ π ∞ −∞ = ∫ . Người ta gọi phép ứngmỗi hàm f với hàm số 1 ˆ (): () .. () 2 iyt f yyvp ftedt Φ π ∞ − −∞ == ∫ là phép biến đổi Fouriervà thường được ký hiệu là F. Nghĩa là ˆ fFfΦ ==. Nhưvậy, phép biến đổi Fourier được xác định với mọi hàm khảtích tuyệt đối. Trong định nghĩa này, fcó thểlà một hàm (với biến sốthực) nhận giá trịphức, và ảnh của nó Ff nói chung là hàm nhận giá trịphức ngay cảkhi flà hàm nhận giá trịthực. Tương tựnhưtrên người ta định nghĩa phép biến đổi Fourier ngượclà phép ứngmỗi hàm fvới hàm số 1 () .. () 2 iyt yvp ftedt Ψ π ∞ −∞ = ∫ , và thường ký hiệu nó là 1 F − . Nhưvậy 1 FfΨ − = . Tên gọi nhưtrên được bắt nguồn từmệnh đềsau. Mệnh đề. Nếu hàm f là liên tục, khảtích tuyệt đối trên toàn trục số, và có đạo hàm từng phía tại mỗi điểm, thì 11 F Ff FF f f −− == . Chứng minh. Công thức 1 F Ff f − = cũng chính là công thức tích phân Fourier dưới dạng khác. Ta chỉcòn phải chứng minh rằng 1 FFf f − = . Vì hàm cosinlà chẵn cho nên trong công thức tích phân Fourier (dạng thông thường) có thể đổi vịtrí giữa tvà x, nghĩa là 1 () ()cos( ) 2 f xdyftytxdt π ∞∞ −∞ −∞ = − ∫∫ . 296 Giải tích các hàm nhiều biến Mặt khác, do tính lẻcủa hàm sin, .. ()sin( ) 0 vp dy f t yt x dt ∞∞ −∞ −∞ − = ∫∫ . Cho nên, tích phân Fourier có thêm một dạng nữa () 1 () .. () 2 iy t x f xvp dyfte dt π ∞∞ − −∞ −∞ = ∫∫ , hay là 11 () .. () 22 iyt ixy f xvp ftedtedy ππ ∞∞ − −∞ −∞ = ∫∫ , đây chính là công thức cần chứng minh. 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Mệnh đề. Phép biến đổi Fourier (và ngược của nó) là tuyến tính, nghĩa là, 11 2 2 1 1 2 2 F f f Ff Ff λλ λ λ += + và 111 11 2 2 1 1 2 2 F ff Ff Ff λλ λ λ −−− += + ; (các công thức trên được hiểu theo nghĩa: nếu vếphải tồn tại thì vếtrái tồn tại và có đẳng thức xảy ra). Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa. Mệnh đề. Phép biến đổi Fourier (cũng nhưngược của nó)là phép ứng 11. Chứng minh. Thật vậy, 11 12 1 2 12 FfFf FFf FFf ff −− = ⇒ = ⇒ = (theo mệnh đềtrong phần trên). Mệnh đề. Biến đổi Fourier của một hàm khảtích tuyệt đối(trên toàn trục số)là một hàm bịchặn (trên toàn trục số), và ngoài ra 1 ˆ | ( )| | ( )| 2 f yfxdxπ ∞ −∞ ≤ ∫ . Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa với lưu ý rằng | | 1 ixy e − =. Hệquả. Nếu hàm khảtích tuyệt đối f và dãy hàm khảtích tuyệt đối {}n f thỏa mãn điều kiện Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 297 lim | () ()| 0 n n fx fxdx ∞ →∞ −∞ − = ∫ , thì dãy hàm {}ˆ () n f y hội tụ đều đến hàm ˆ () f y trên toàn trục sốthực. Chứng minh. Suy ngay từbất đẳng thức của mệnh đềtrên. Mệnh đề. Biến đổi Fourier của một hàm khảtích tuyệt đốitrên toàn trục số thực là một hàm liên tục và tiến tới 0khi biến sốtiến ra −∞hoặc +∞. Chứng minh. Ta biết rằng với một hàm ϕkhảtích tuyệt đối thì tìm được dãy các hàm bậc thang n ϕ thỏa mãn lim | ( ) ( ) | 0 n n xxdx ϕϕ ∞ →∞ −∞ − = ∫ , cho nên từhệquảtrên ta thấy chỉcần chứng minh mệnh đềcho lớp các hàm bậc thang. Mặt khác, ta lại biết rằng một hàm bậc thang bất kỳlà tổhợp tuyến tính (hữu hạn) của các hàm bậc thang đơn(nhận giá trị1 trên một nửa khoảng a,b) nào đó và bằng 0 trên miền còn lại). Từtính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta suy ra chỉcần chứng minh mệnh đềcho lớp các hàm bậc thang đơn. Giảsử ϖlà mộthàm bậc thang đơn, nghĩa là 1 () 0 axb x x abx ϖ khi khi hay ≤ < = < ≥ . Khi ấy ta có 11 ˆ() (cos sin ) 22 bbixy aa yedx xyixydx ϖ ππ− ==− = ∫∫ (sin sin ) (cos cos ) ( 2 ) 0 ()2 0 by ay i by ay y y ba y π π khi khi − + −≠ = − = . Dễdàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi ytiến ra vô cùng (vềcả hai phía). Mệnh đề đã được chứng minh xong. 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier Mệnh đề. Nếu hàm khảtích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấpn là liên tục và khảtích tuyệt đối trên toàn trục sốthì () (), 0,1,..., kk FfiyFfk n ==, 298 Giải tích các hàm nhiều biến và tồn tại số 0 M> saocho || ||n M Ff y ≤ . Chứng minh. Ta có 0 () (0) () x f xf ftdt =+∫ , nên, do tính khảtích của f trên toàn trục số, các giới hạn lim ( ) x f x →±∞ tồn tại và bằng 0 (do tính khảtích của bản thân hàm ftrên toàn trục số). Sửdụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân Fourier ta suy ra 11 () () () 222 ixy ixy ixy iy Ff f xe dx f xe f xe dx iyF f πππ +∞ +∞ +∞ −− − −∞ −∞ −∞ ==+= ∫∫. Nhưvậy mệnh đề đã được chứng minh với k = 1. Trường hợp tổng quát được chứng minh dễdàng bằng phương pháp quy nạp toán học. Lưu ý rằng hàm () n Ff là bịchặn trên toàn trục số(theo mệnh đề ởphần trên), cho nên tồn tại sốhữu hạn () sup n y MFf−∞1 1 thì c(ω) = u0 ∫ e−iωx dx = 2u0 sin ω , U (ω, t ) = 2u0 sin ω e−ω kt Nghiệm u ( x, t ) ω ω 2 −1 tính theo công thức u ( x, t ) = u0 π ∞ ∫ −∞ sin ω e−ω2 kt eiωx dx ω Trên đây là những ứng dụng đơn giản (nhưng không tầm thường chút nào) của chuỗi Fourier và tích phân Fourier trong việc giải quyết các bài toán... Chứng minh Giả sử ∞ a0 + ∑ (am cos mx + bm sin mx) , 2 m=1 f ( x) ≈ S n ( x; f ) = Theo bổ đề ta có | am | ≤ εm n a0 + ∑ (am cos mx + bm sin mx) 2 m=1 , | bm | ≤ εm , m = 1, 2, , và chuỗi mk mk tụ Ta đánh giá phần dư của chuỗi so với tổng Fourier như sau | rn ( x) | = ∞ ∑ ∞ ( am cos mx + bm sin mx) ≤ m=n+1 ∑ (| am | + | bm |) ≤ 2 m=n+1 ∞ ∑ ε2 m là hội m=1 ∞ ∑ εm m=n+1 m k = An Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski... n n = 1, 2, Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ (điểm) đến hàm f , cho nên rn ( x) cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier S n ( x; f ) Các đánh giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định lý đã được chứng minh Nhận xét Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc càng cao) thì chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh,... f ( x)dx = 0 , an = 1 ∫ f ( x) cos nxdx = 0 π π −π −π π Tìm bn theo công thức bn = 1 ∫ f ( x)sin nxdx = 2 π −π (−1) n+1 Như vậy chuỗi n Fourier của f ( x) = x trên khoảng (−π,π) là như sau ∞ x = ∑ −2 n=1 (−1) n sin nx n Để thấy được khả năng xấp xỉ của các tổng riêng của chuỗi Fourier đối với hàm số f ( x) = x trên khoảng bằng chu kỳ, ta quan sát đồ thị hàm số cùng với các tổng riêng này (các đồ thị... nhận thấy rằng các tổng riêng của chuỗi Fourier chỉ xấp xỉ tốt trên khoảng hở (vì tại các điểm đầu mút hàm số f là gián đoạn) 8.2 Tích phân Fourier 8.2.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên trục số thực Nếu, một cách hình thức, ta thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích... cos( yx) + b( y)sin( yx)] dy = 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 −∞ 0 −∞ = 1 ∫ dy ∫ f (t )[cos(ty ) cos( xy ) − sin(ty )sin( xy )] dt = 1 ∫ dy ∫ f (t ) cos[ y ( x − t )]dt π π 291 Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân Fourier của một hàm số cũng cho một... cuối chương sẽ cho chúng ta đi sâu về lĩnh vực này 301 Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.4 Một số ví dụ về ứng dụng 8.4.1 Bộ lọc điện R + Xét mạng điện RC như trong hình vẽ, trong đó R là điện trở và C là điện dung Giả sử v0 (t ) là điện thế cung cấp, I (t ) là dòng điện trong mạng v 0 (t ) và v(t ) là điện thế cho ra của bộ lọc Bài toán đặt ra là hãy tính v (t ) khi biết v0 (t ) − I (t ) . Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier 275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier 276 8.1.2. Tính đầy đủ của các. 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [,]ππ− là chuỗi lượng giác 0 1 [cos sin ] 2 nn n a anxbnx ∞ = ++ ∑ . chính hàm f. Như vậy, việc nghiên cứu các chuỗi phân kỳ cũng có lúc đem lại hiệu quả bất ngờ. Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ (không nhất thiết là chuỗi lượng giác) bằng cách thiết lập