Hướng dẫn giải bài tập chuỗi

Hướng dẫn giải bài tập chuỗi tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

CHUỖI

CHUỖI SỐ

𝑢𝑛

+∞

𝑛=1

𝑆𝑛 = 𝑢𝑖

𝑛

𝑖=1

CÁC LOẠI BÀI TOÁN VỀ CHUỖI

1.1 Tìm số hạng tổng quát

Dựa vào các số hạng ban đầu, phân tích để tìm ra quy luật và từ đó tìm ra số hạng tổng quát của chuỗi

Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi sau:

a, 12+34+56+78+ ⋯

b, 12+44+78+1016+ ⋯

c, 3!

2.4+2.4.65! +2.4.6.87! + ⋯

Giải

a, Tử số là các số tự nhiên lẻ, mẫu số là các số tự nhiên chẵn, tử số kém mẫu số 1 nên phần tử tổng quát là: 𝑢𝑛 = 2𝑛−12𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …

b, Tử số lập thành cấp số cộng với công sai là d = 3, do đó số hạng tổng quát của nó là

𝑎𝑛 = 𝑎1+ 𝑑 𝑛 − 1 = 1 + 3 𝑛 − 1 = 3𝑛 − 2, còn mẫu số lập thành cấp số nhân với công bội q = 2, 𝑏𝑛 = 2𝑛 Vậy số hạng tổng quát là: 𝑢𝑛 = 3𝑛−22𝑛 , 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …

c, Ta dễ dàng thấy:

𝑢𝑛 = (2𝑛 + 1)!

2 (𝑛 + 1)!, 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, … 1.2 Tìm tổng của chuỗi số hội tụ

Cách giải

Chuỗi số chỉ có tổng khi nó hội tụ

Phương pháp thường dùng là xác định 𝑆𝑛 sau đó tìm giới hạn: lim𝑛→∞𝑆𝑛

Ngoài ra có thể tìm bằng cách xác định thong qua tổng của chuỗi hàm (phần này ta sẽ đề cập

ở mục chuỗi hàm)

Tìm tổng của các chuỗi sau:(nễu có)

Ví dụ 2:

1 2𝑛 − 3 (2𝑛 − 1)

+∞

𝑛=1

Giải

Xét tổng riêng thứ n:

𝑆𝑛 = 1

2𝑖 − 3 2𝑖 − 1

𝑛

𝑖=2

= 1

2

1 2𝑖 − 3−

1 2𝑖 − 1

𝑛

𝑖=2

𝑆𝑛 = 1

2 1 −

1

3+

1

3−

1

5+ ⋯ +

1 2𝑛 − 3−

1 2𝑛 − 1 =

1

2 1 −

1 2𝑛 − 1

Suy ra:

lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 = 1

2 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 12

Ví dụ 3:

1 𝑛(𝑛 + 1)

+∞

𝑛=4

Giải

Xét tổng riêng thứ n:

𝑆𝑛 = 1

𝑖(𝑖 + 1)

𝑛

𝑖=4

= 1

𝑖 −

1

𝑖 + 1

𝑛

𝑖=4

𝑆𝑛 = 1

4−

1

5+

1

5−

1

6+ ⋯ +

1

𝑛−

1

𝑛 + 1=

1

4−

1

𝑛 + 1 Nên

lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 = 1

4 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 14

Ví dụ 4:

1 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)

+∞

𝑛=1

Giải

1 2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)=

1

8(

𝐴

𝑛+

𝐵

𝑛 + 1+

𝐶

𝑛 + 2) Đồng nhất hệ số ta tìm được: =12, 𝐵 = −1, 𝐶 =12 thay vào ta có:

1

2𝑛 2𝑛 + 2 (2𝑛 + 4)=

1 8

1

𝑛−

2

𝑛 + 1+

1

𝑛 + 2 =

1

16((

1

𝑛−

1

𝑛 + 1) − (

1

𝑛 + 1−

1

𝑛 + 2))

𝑆𝑛 = 1

2𝑖 2𝑖 + 2 (2𝑖 + 4)

𝑛

𝑖=1

= 1

16 ((

1

𝑖 −

1

𝑖 + 1) − (

1

𝑖 + 1−

1

𝑖 + 2))

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑛 = 1

16 (

1

𝑖 −

1

𝑖 + 1)

𝑛

𝑖=1

− 1

16 (

1

𝑖 + 1−

1

𝑖 + 2)

𝑛

𝑖=1

𝑆𝑛 = 1

16 1 −

1

𝑛 + 1 −

1

16(

1

2−

1

𝑛 + 2) lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 = 1

16−

1

32=

1 32 Vậy tổng của chuỗi đã cho là: 𝑆 = 321

Ví dụ 5:

3𝑛2+ 3𝑛 + 1

𝑛3(𝑛 + 1)3 +∞

𝑛=1

Giải

Bằng phương pháp phân tích như ví dụ 4 ta có thể tách 𝑢𝑛 ra hoặc có thể thực hiện:

3𝑛2+ 3𝑛 + 1

𝑛3(𝑛 + 1)3 = 𝑛

3+ 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 − 𝑛3

𝑛3(𝑛 + 1)3 = 1

𝑛3 − 1 (𝑛 + 1)3

Nên

𝑆𝑛 = (1

𝑖3− 1 (𝑖 + 1)3)

𝑛

𝑖=1

= 1 − 1 (𝑛 + 1)3

lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 = 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số:

Các chuỗi +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 và +∞ 𝑎𝑢𝑛

𝑛=1 , (𝑎 ≠ 0) luôn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Khi xét sự hội tụ của chuỗi số, ta cần lưu ý đến điều kiên cần để chuỗi số hội tụ, tức là

từ điều kiện lim𝑛→∞𝑢𝑛 ≠ 0 thì kết luận chuỗi đã cho phân kỳ, còn nếu lim𝑛→∞𝑢𝑛 = 0 thì ta phải tiếp tục xét bằng các tiêu chuẩn khác

Khi áp dung tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hôi tụ của chuỗi số, ta chú ý rằng nếu chỉ ra rằng lim𝑛→+∞|𝑆𝑚 − 𝑆𝑛| ≠ 0 thì có thể kết luận chuỗi đã cho phân kỳ, còn

nếulim𝑛→+∞|𝑆𝑚 − 𝑆𝑛| thì chuỗi đãcho hội tụ

Đối với chuỗi số dương có 5 tiêu chuẩn để xét sự hội tụ

Tiêu chuẩn 1

Cho hai chuỗi số dương +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 , +∞ 𝑣𝑛

𝑛=1 Nếu 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 thì:

Chuỗi +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 phân kỳ thì +∞ 𝑣𝑛

𝑛=1 phân kỳ

Chuỗi +∞𝑛=1𝑣𝑛 hội tụ thì +∞𝑛=1𝑢𝑛 hội tụ

Tiêu chuẩn 2

Cho hai chuỗi số dương +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 , +∞ 𝑣𝑛

𝑛=1 Đặt 𝑘 = lim𝑛→+∞𝑢𝑛

𝑣𝑛, nếu 0 < 𝑘 < +∞ thì hai chuỗi +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 , +∞ 𝑣𝑛

𝑛=1 luôn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Chú ý một số nhận xét:

Khi 𝑥 → 0+ thì:

tg(x)~ sin 𝑥 ~𝑥; ln 1 + 𝑥 ~𝑥; (1 + 𝑥)𝛼 − 1~𝛼𝑥; 𝑒𝑥 − 1~𝑥; 1 − cos⁡(𝑥)~𝑥

2

2 Khi 𝑥 → +∞ thì:

sin 𝑥 ≤ 𝑥; ln 𝑥 ≤ 𝑥𝛼, 𝛼 > 0 ; 𝑒𝑥 − 1 ≤ 𝑥 Nếu 𝑢𝑛 = 𝑄(𝑛)𝑃(𝑛), với 𝑃 𝑛 , 𝑄(𝑛) là các đa thức theo n thì ta đánh giá

𝑢𝑛~ 1

𝑛𝛼

với 𝛼 = deg 𝑃 − deg⁡(𝑄)

Có thể áp dụng khai triển Mac Laurin vào để dánh giá các số hạng Đặc biệt chú ý các khai triển

1 + 𝑥 𝛼 = 1 +𝛼𝑥

1! +

𝛼 𝛼 − 1 𝑥2

2! + ⋯

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥

1!+

𝑥2

2! +

𝑥3

3! + ⋯ , −∞ < 𝑥 < ∞

ln 1 + 𝑥 = 𝑥 −𝑥

2

2 +

𝑥3

3 −

𝑥4

4 + ⋯ sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3! +

𝑥5

5! − ⋯ cos 𝑥 = 1 −𝑥

2

2! +

𝑥4

4! −

𝑥6

6! + ⋯ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3 +

𝑥5

5 −

𝑥7

7 + ⋯ Tiêu chuẩn 3

Cho chuỗi số dương +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 , đặt 𝑑 = lim𝑛→+∞𝑢𝑛 +1

𝑢𝑛 , nếu :

𝑑 < 1 chuỗi đã cho hội tụ

𝑑 > 1 chuỗi đã cho phân kỳ

Tiêu chuẩn 4

Cho chuỗi số dương +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 , đặt 𝑐 = lim𝑛→+∞ 𝑛 𝑢𝑛

, nếu :

𝑐 < 1 chuỗi đã cho hội tụ

𝑐 > 1 chuỗi đã cho phân kỳ

Chú ý :

Nếu lim𝑛→+∞𝑢𝑛 +1

𝑢𝑛 = 1 (lim𝑛→+∞ 𝑛 𝑢𝑛 = 1) và 𝑢𝑛 +1

𝑢𝑛 ≥ 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 (𝑛 𝑢𝑛 ≥ 1) thì chuỗi đã cho phân kỳ vì 𝑢𝑛 tăng nên lim𝑛→∞𝑢𝑛 ≠ 0

Tiêu chuẩn 5

Cho chuỗi số dương +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 , nếu tồn tại hàm 𝑓(𝑥) sao cho 𝑢𝑛 = 𝑓 𝑛 , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 và 𝑓(𝑥) liên tục, đơn điệu giảm trên (𝑛0, +∞) thì 𝑛+∞f x dx

0 và +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Khi ta xét sự hội tụ của một chuỗi có dấu bất kỳ +∞𝑛=1𝑢𝑛, ta có thể xét chuỗi

𝑢𝑛

+∞

𝑛=1 bằng các tiêu chuẩn của chuỗi số dương Nếu chuỗi +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 hội tụ thì kết luận chuỗi đã cho +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 hội tụ còn nếu chuỗi +∞ 𝑢𝑛

𝑛=1 phân kỳ thì ta chưa kết luận mà phải dùng các tiêu chuẩn khác

Khi xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu +∞(−1)𝑛−1𝑢𝑛

𝑛=1 , ta xét tiêu chuẩn Leibnitz Tiêu chuẩn Leibnitz

Chuỗi đan dấu +∞(−1)𝑛−1𝑢𝑛

𝑛=1 hội tụ nếu 𝑢𝑛 đơn điệu giảm và lim𝑛→+∞𝑢𝑛 = 0 Xét sự hội tụ của các chuỗi :

Ví dụ 6 :

𝑎𝑛

+∞

𝑛=1

, 𝑎 > 0

Giải

Do lim𝑛→∞𝑢𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑛 𝑎= 1 ≠ 0 nên chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 7 :

1 𝑛

+∞

𝑛=1

Giải

Xét 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = 2𝑛 1𝑖

𝑖=𝑛+1 ≤ 𝑛 2𝑛𝑖=𝑛+12𝑛1 = 12⟹ lim𝑛→∞ 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 ≠ 0, vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 8 :

𝑙𝑛𝑛

𝑛3+ 𝑛2+ 2

+∞

𝑛=1

Giải

Ta đánh giá: Do 𝑙𝑛𝑛 ≤ 𝑛, ∀𝑛 ≥ 1 nên 𝑛3+𝑛𝑙𝑛𝑛2+2≤ 𝑛3+𝑛𝑛2+2≤ 𝑛12 mà chuỗi +∞𝑛=1𝑛12 hội

tụ nên theo chuẩn 1 thì chuỗi đã cho hội tụ

Ví dụ 9:

𝑛𝑙𝑛𝑛

𝑛2− 1

+∞

𝑛=1

Giải

Ta có: 𝑛𝑛𝑙𝑛𝑛2−1 ≥𝑛𝑛2 =𝑛1 mà chuỗi điều hòa +∞𝑛=11𝑛 phân kỳ, vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 10:

𝑛𝑠𝑖𝑛( −1 𝑛

𝑛3 )

+∞

𝑛=1

Giải

Đây không là chuỗi số dương nhưng chuỗi +∞ |𝑛𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛3𝑛 |

𝑛=1 nên ta đánh giá:

Do 𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛3𝑛 ~ −1 𝑛3𝑛 =𝑛13 nên |𝑛𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛3𝑛 |~𝑛12, chuỗi +∞𝑛=1𝑛12 hội tụ nên chuỗi

|𝑛𝑠𝑖𝑛 −1 𝑛3𝑛 |

+∞

𝑛=1 hội tụ và suy ra +∞ 𝑛𝑠𝑖𝑛( −1 𝑛3𝑛)

𝑛=1 hội tụ

Ví dụ 11:

(𝑛!)2

2𝑛 !

+∞

𝑛=1

Giải

Áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert ta xét:

lim

𝑛→+∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛 = lim𝑛→+∞

((𝑛 + 1)!)2

2(𝑛 + 1) !

2𝑛 ! (𝑛!)2 = lim

𝑛→+∞

((𝑛 + 1)!)2

2(𝑛 + 1) !

2𝑛 ! (𝑛!)2

lim

𝑛→+∞

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛 = lim𝑛→+∞

(𝑛 + 1)2

2𝑛 + 1 (2𝑛 + 2)=

1

4< 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ

Ví dụ 12:

(1 +1

𝑛)𝑛

2 1

2𝑛 +∞

𝑛=1

Giải

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy ta xét:

𝑛→+∞𝑛 𝑢𝑛 = lim

𝑛→+∞ (1 +1

𝑛)𝑛

2 1

2𝑛

𝑛

= lim

𝑛→+∞(1 +1

𝑛)𝑛

1

2=

𝑒

2> 1 Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ 13:

(−1)𝑛 𝑛!

𝑛𝑛𝑒𝑛 +∞

𝑛=1

Giải

Xét chuỗi chuỗi dương : | −1 𝑛 𝑛!

𝑛 𝑛𝑒𝑛|

+∞

𝑛=1 Nếu áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert thì lim𝑛→+∞𝑢𝑛 +1

𝑢 𝑛 = 1 chưa thể kết luận nhưng ta có thể dánh giá :

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛 = 𝑒 (

𝑛

𝑛 + 1)𝑛 =

𝑒 (1 +1𝑛)𝑛

Nhưng do dãy (1 +𝑛1)𝑛 đơn điệu tăng dần đến e nên

𝑢𝑛+1

𝑢𝑛 =

𝑒 (1 +1𝑛)𝑛 ≥ 1 ⇒ 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛, ∀𝑛 nên 𝑢𝑛 tăng nên lim𝑛→∞𝑢𝑛 ≠ 0 ⇒ lim𝑛→∞(−1)𝑛𝑢𝑛 ≠ 0

Vậy chuỗi (−1)𝑛 𝑛!

𝑛 𝑛𝑒𝑛

+∞

𝑛=1 phân kỳ

Ví dụ 14:

(−1)𝑛sin⁡(𝜋

3𝑛)

+∞

𝑛=1

Giải

Do sin⁡(3𝜋𝑛)~3𝜋𝑛 và chuỗi +∞𝑛=13𝜋𝑛 hội tụ nên chuỗi +∞ |(−1)𝑛sin⁡(3𝜋𝑛)

𝑛=1 | suy ra chuỗi đã cho hội tụ

Hơn thế do chuỗi trị tuyệt đối +∞ |(−1)𝑛sin⁡(3𝜋𝑛)

𝑛=1 | hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối

Ví dụ 15:

(−1)𝑛𝑙𝑛𝑛

𝑛

+∞

𝑛=1

Giải

Xét hàm số 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛𝑥𝑥 , ⇒ 𝑓′ 𝑥 =1−𝑙𝑛𝑥𝑥2 , ∀𝑥 ≥ 3 nên 𝑓 𝑥 đơn điệu giảm , ∀𝑥 ≥ 3 suy ra 𝑙𝑛𝑛𝑛 đơn điệu giảm ∀𝑛 ≥ 3 và lim𝑛→+∞𝑙𝑛𝑛𝑛 = lim𝑛→+∞1𝑛 = 0 (Áp dụng L’Hospitale)

Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đã cho hội tụ

Do −1 𝑛 𝑙𝑛𝑛

𝑛 =

+∞

𝑛=1 +∞𝑛=1𝑙𝑛𝑛𝑛 > +∞ 1𝑛

𝑛=1 phân kỳ nên chuỗi đã cho bán hội tụ

CHUỖI HÀM

𝑢𝑛(𝑥)

+∞

𝑛=1

Có tổng riêng thứ n

𝑆𝑛(𝑥) = 𝑢𝑖(𝑥)

𝑛

𝑖=1

2.1 Hội tụ đều

Cách giải

Sự hội tụ của chuỗi hàm +∞ 𝑢𝑛(𝑥)

𝑛=1 trên tập X chính là sự hội tụ của dãy hàm {𝑆𝑛(𝑥)} trên tập X, do vậy ta có thể dùng định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm để xét trực tiêp

Định nghĩa sự hội tụ của dãy hàm

Dãy hàm số {𝑆𝑛(𝑥)} được gọi là hội tụ đều trên X tới hàm số 𝑆(𝑥) (𝑆𝑛(𝑥) ⇉ 𝑆(𝑥)) nếu với mọi số 𝜀 > 0, tìm được một số 𝑛0 𝜀 ∈ 𝑁, ∀𝑛 ≥ 𝑛0, ∀𝑥 ∈ 𝑋 sao cho 𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 < 𝜀 Điều kiện trên tương đương với điều kiện sup𝑋 𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 → 0, (𝑛 → +∞)

Chú ý: Phủ định của định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm là:

Dãy hàm số {𝑆𝑛(𝑥)} không hội tụ đều trên X tới hàm số 𝑆(𝑥) nếu với tồn tại 𝜀 > 0, tìm

được 𝑥0 ∈ 𝑋 ∀𝑛0 𝜀, 𝑥0 ∈ 𝑁, ∃𝑛 ≥ 𝑛0 sao cho 𝑆𝑛 𝑥0 − 𝑆 𝑥0 ≥ 𝜀

Hoặc ta có thể áp dụng sự hội tụ đều của chuỗi hàm liên tục là: nếu 𝑢𝑛 𝑥 liên tục trên X

và 𝑆𝑛 𝑥 ⇉ 𝑆 𝑥 trên X thì 𝑆 𝑥 liên tục trên X

Từ đó suy ra phủ định của tính chất trên là: nếu 𝑢𝑛 𝑥 liên tục trên X và 𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥 trên X và 𝑆 𝑥 không liên tục trên X thì 𝑆𝑛 𝑥 không hội tụ đề đến 𝑆 𝑥 trên X

Khi ta chưa biết 𝑆(𝑥) thì có thể áp dụng định lý Cauchy hoặc định lý Weierstrass để đánh giá sự hội tụ đều của chuỗi hàm

Định lý Cauchy

Chuỗi hàm +∞ 𝑢𝑛(𝑥)

𝑛=1 hội tụ đều trên X khi và chỉ khi ∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 𝜀 : ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 thì 𝑆𝑚 𝑥0 − 𝑆𝑛 𝑥0 < 𝜀 Điều kiện trên tương đương với sup𝑋 𝑆𝑚 𝑥 − 𝑆𝑛 𝑥 →

0, (𝑚, 𝑛 → +∞)

Vậy, nếu ta chỉ ra rằng ∃𝑥0 ∈ 𝑋, ∀𝑛0 > 0, ∃𝑚, 𝑛 ≥ 0 sao cho 𝑆𝑚 𝑥0 − 𝑆𝑛 𝑥0 ↛

0, , (𝑚, 𝑛 → +∞) thì chuỗi đã cho không hội tụ đều trên X

Tiêu chuẩn Weierstrass:

Nếu ∃𝑛0 >: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 thì 𝑢𝑛 𝑥 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑥 ∈ 𝑋 và chuỗi số +∞ 𝑎𝑛

𝑛=1 hội tụ thì chuỗi hàm +∞ 𝑢𝑛 𝑥

𝑛=1 hội tụ đều trên X

Ví dụ : Cho chuỗi hàm:

1 − 𝑥 𝑥𝑛 +∞

𝑛=1

Xét tính hội tụ đều trên [0,1]

Giải

Ta xét tổng riêng thứ n: 𝑆𝑛(𝑥) = 𝑛 1 − 𝑥 𝑥𝑖

𝑖=1 = 1 − 𝑥 (1 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛)

𝑆𝑛 𝑥 = 1 − 𝑥𝑛+10,, 0 ≤ 𝑥 < 1𝑥 = 1

𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥 = 1,0, 0 ≤ 𝑥 < 1𝑥 = 1 , (𝑛 → +∞)

Do 𝑢𝑛 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑥𝑛 là các hàm liên tục và 𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥 và 𝑆 𝑥 không liên tục nên 𝑆𝑛 𝑥 không hội tụ đều đến 𝑆 𝑥 trên [0,1] nên chuỗi đã cho hội tụ đều trên [0,1]

Hoặc ta có thể lập luận như sau: Lấy 𝑥 = 1 −𝑛+11 ∈ [0,1], xét hiệu 𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 = (1 −𝑛+11 )𝑛+1→1𝑒 ≠ 0(𝑛 → ∞) nên chuỗi đã cho hội tụ đều

Nếu 𝑥 ∈ 0, 𝑎 , 0 < 𝑎 < 1 thì 𝑆𝑛 𝑥 ⇉ 𝑆 𝑥 vì 1 − 𝑥 𝑥𝑛 ≤ 𝑎𝑛 và chuỗi +∞ 𝑎𝑛

𝑛=1 hội

tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi đã cho hội tụ đều trên [0,1]

Hoặc ta có thể áp dụng phủ định của định lý Cauchy để đánh giá

Đặt 𝑓 𝑥 = 𝑆2𝑛 𝑥 − 𝑆𝑛 𝑥 = 𝑥2𝑛+1 − 𝑥𝑛+1, 𝑥 ∈ 0,1

𝑓′ 𝑥 = 2𝑛 + 1 𝑥2𝑛− 𝑛 + 1 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 2𝑛 + 1 𝑥𝑛 − 𝑛 + 1

𝑓′ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2𝑛 + 1𝑛 + 1

1 𝑛

, 𝑓 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

1 𝑛

= − 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

𝑛+1

2𝑛 + 1 Bảng biến thiên:

2𝑛 + 1

1

𝑓(𝑥)

0

𝑓 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

1 𝑛

0

sup

0,1 𝑓𝑥 | = 𝑓 𝑛 + 1

2𝑛 + 1

1 𝑛

= 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

𝑛+1

2𝑛 + 1→

1

4, (𝑛 → +∞)

Ví dụ: Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R

𝑥𝑛

𝑛2 +∞

𝑛=1

Giải

Do 𝑢𝑛 𝑥 =𝑥𝑛𝑛2 ≤𝑛12, ∀𝑥 ∈ [−1,1], chuỗi Riemann +∞ 𝑛12

𝑛=1 hội tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass chuỗi 𝑥

𝑛

𝑛 2

+∞

𝑛=1 hội tụ đều trên [−1,1]

Nếu |𝑥| ≥ 1 thì lim𝑛→+∞|𝑢𝑛 𝑥 | = ∞ ≠ 0 chuỗi đã cho phân kỳ

Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trên [−1,1]

Ví dụ: Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm sau trên R

−1 𝑛sin 𝑛𝑥

2𝑛2+ 1

+∞

𝑛=1

Giải

Với mỗi x cố định, để chuỗi đang xét là chuỗi đan dấu thì sin 2𝑛𝑛𝑥2+1 ≥ 0 Do vậy ta xét:

Với 𝑥 ∈ 0, 𝐴 , 𝐴 > 0 thì đây là chuỗi đan dấu có sin 2𝑛𝑛𝑥2+1 đơn điệu giảm (do 2𝑛𝑛𝑥2+1 đơn điệu giảm trong (0,𝜋2)) và lim𝑛→+∞sin 2𝑛𝑛𝑥2+1 = 0 nên theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đã cho hội tụ Gọi 𝑆(𝑥) là tổng, khi đó ta có:

𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 = ∞ −1 𝑖𝑢𝑖

2𝑛2+ 1 ≤

𝑛𝑥 2𝑛2+ 1 ≤

𝑛𝐴 2𝑛2 = 𝐴

2𝑛

𝑆𝑛 𝑥 − 𝑆 𝑥 ≤ 𝐴

2𝑛→ 0, 𝑛 → +∞ , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐴]

Nên chuỗi đã cho hội tụ đều trên 0, 𝐴 , 𝐴 > 0

Nếu 𝑥 > 𝐴 > 0 thì chuỗi đang xét không hội tụ đều vì:

𝑆𝑛 𝑛𝜋 − 𝑆𝑛−1 𝑛𝜋 = sin 𝑛2𝜋

2𝑛2 + 1 → 1 ≠ 0, (𝑛 → +∞) Với 𝑥 ∈ −𝐴, 0 , 𝐴 > 0 thì ta biến đổi +∞ −1 𝑛sin 2𝑛𝑛𝑥2+1

𝑛=1 = − +∞ −1 𝑛sin 2𝑛𝑛|𝑥|2+1

với |𝑥| ∈ 0, 𝐴 , 𝐴 > 0 nên theo chứng minh thì chuỗi hội tụ đều

Vậy chuỗi đã cho hội tụ đều trên −𝐴, 𝐴 , 𝐴 > 0 hữu hạn

2.2 Miền hội tụ của chuỗi hàm:

a, Miền hội tụ của chuỗi bất kỳ

𝑢𝑛(𝑥)

+∞

𝑛=1

Cách giải

- Trước tiên ta tìm miền xác định D của hàm 𝑢𝑛(𝑥)

- Tìm lim𝑛→+∞|𝑢𝑛 +1 (𝑥)

𝑢 𝑛 (𝑥) | = |𝜑 𝑥 |(lim𝑛→+∞ 𝑛 |𝑢𝑛(𝑥)|= |𝜑 𝑥 |)

- Giải bất phương trình 𝜑 𝑥 < 1 ta tìm được tập nghiệm A

- Xét tính hội tụ của chuỗi số tại các điểm biên (Điểm biên là nghiệm của phương trình

𝑢𝑛 𝑥 = 0)

- Miền hội tụ của chuỗi chính là các điểm thuộc giao của D, A và hợp với các điểm hội tụ trên biên

b, Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

𝑎𝑛𝑥𝑛 +∞

𝑛=1

Cách giải

Do các phần tử của chuỗi lũy thừa có tập xác định là R và miền xác định có tính “đối xứng” chuỗi nên:

- Trước hết ta tìm bán kính hội tụ R

𝑅 =

1

𝜌 ,0 < 𝜌 < +∞

0 𝜌 = +∞

+∞ 𝜌 = 0

𝑣ớ𝑖 𝜌 = lim

𝑛→+∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 , (𝜌 = lim𝑛→+∞ 𝑛 𝑎𝑛 )

- Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 điểm biên 𝑥 = ±𝑅

- Kết luận miền hội tụ chuỗi là khoảng (−𝑅, 𝑅) hợp với các điểm biên hội tụ

Chú ý:

Nếu chuỗi hàm dạng +∞ 𝑎𝑛[𝑓 𝑥 ]𝑛

𝑛=1 ta đặt 𝑦 = 𝑓(𝑥) thì chuỗi đã cho đưa về được chuỗi lũy thừa Giả sử tìm được miền hội tụ 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] Giải hệ bất phương trình : 𝑎 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑏 ta tìm được tập nghiệm X chính là miền hội tụ của chuỗi ban đầu

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Ví dụ :

1 𝑛(𝑙𝑛𝑥)𝑛 +∞

𝑛=1

Giải

Hàm 𝑢𝑛(𝑥) =𝑛(𝑙𝑛𝑥 )1 𝑛 xác định ∀𝑥 ∈ (0, +∞)

Ta xét lim𝑛→+∞|𝑢𝑛 +1

𝑢 𝑛 | = lim𝑛→+∞|(𝑛+1)(𝑙𝑛𝑥 )1 𝑛 +1𝑛(𝑙𝑛𝑥 )1 𝑛| =|𝑙𝑛𝑥 |1 < 1 ⇒ 0 < 𝑥 <𝑥 > 𝑒 1

𝑒

Tại 𝑥 = 𝑒 chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa +∞ 𝑛1

𝑛=1 nên phân kỳ

Tại 𝑥 =1𝑒 chuỗi đã cho là (−1)𝑛 1

𝑛

+∞

𝑛=1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Vậy miền hội tụ là: 0,1𝑒 ∪ (𝑒, +∞)

Hoặc ta có thể đưa chuỗi đã cho về chuỗi lũy thừa bằng cách đặt: 𝑦 =𝑙𝑛𝑥1 Khi đó, chuỗi đã cho có dạng:

1

𝑛𝑦𝑛

+∞

𝑛=1

𝜌 = lim

𝑛→+∞|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 | = lim𝑛→+∞| 1

𝑛 + 1

𝑛

1| = 1 Suy ra bán kính hội tụ của chuỗi là R = 1

Xét với y = 1 ta có chuỗi điều hòa +∞𝑛=11𝑛 nên phân kỳ

Xét với y = -1 ta có chuỗi (−1)𝑛 1

𝑛

+∞

𝑛=1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Vậy chuỗi đã cho có miền hội tụ là ∀𝑦 ∈ −1,1 ⇒ −1 ≤𝑙𝑛𝑥1 < 1 ⇒ 0 < 𝑥 ≤𝑥 > 𝑒 1

𝑒

Vậy miền hội tụ của chuỗi là : 0,1𝑒 ∪ (𝑒, +∞)

Ví dụ :

4𝑛

𝑛

+∞

𝑛=1

𝑥2𝑛sin⁡(𝑥 + 𝑛𝜋) Giải

Với 𝑥 = 𝑘𝜋 thì 𝑢𝑛 𝑘𝜋 = 0 nên chuỗi đã cho hội tụ

Với 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, chuỗi có dạng: (−1)𝑛 4𝑛

𝑛

+∞

𝑛=1 𝑥2𝑛sin⁡(𝑥) lim

𝑛→+∞

𝑢𝑛+1 𝑥

𝑢𝑛 𝑥 = lim𝑛→+∞| 4𝑛

𝑛 + 1𝑥2| = 4𝑥2 < 1 ⟺ −

1

2< 𝑥 <

1 2

Tại 𝑥 = ±12 ta có chuỗi sin(±12) (−1)𝑛 1

𝑛

+∞

𝑛=1 , đây là chuỗi đan dấu hội tụ ( do 𝑛1 đơn điệu giảm và dần về 0)

Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên đoạn [-1,1] và các điểm 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍

2.3 Tìm tổng của một chuỗi hàm va áp dụng tìm tổng của một chuỗi số

a, Tổng của một chuỗi hàm

Tổng của chuỗi hàm chỉ có nghĩa trên miền hội tụ nên trước khi đi tìm tổng, ta phải xác định được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Ta thường sử dụng các phương pháp sau:

- Phân tích thành những chuỗi dễ tìm tổng

Chú ý về việc đổi chỉ số của chuỗi:

𝑢𝑘

+∞

𝑘=1

= 𝑢𝑘−1

+∞

𝑘=0

= 𝑢𝑛−1

+∞

𝑛=0

= 𝑢𝑚 −𝑝

+∞

𝑚=𝑝

Ví dụ: Tìm tổng chuỗi hàm:

𝑛 − 1 (2𝑛)‼𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

Chú ý: 2𝑛 ‼ = 2.4.6 … 2𝑛

Giải

Do lim𝑛→+∞ 𝑎𝑛 +1

𝑎𝑛 = lim𝑛→+∞|𝑛−1𝑛 4𝑛1 | = 0 nên miền hội tụ của chuỗi đã cho là R

∀𝑥 ∈ 𝑅 đặt:

𝑆 𝑥 = 𝑛 − 1

2𝑛 ‼𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

= 𝑛 − 1

2𝑛𝑛! 𝑥𝑛+1

+∞

𝑛=1

= 2 𝑛 − 1

𝑛!

𝑥 2

𝑛+1 +∞

𝑛=1

𝑆 𝑥 = 2 1

𝑛 − 1 !−

1 𝑛!

𝑥 2

𝑛+1 +∞

𝑛=1

=𝑥2 2

1

𝑛 − 1 !

𝑥 2

𝑛−1 +∞

𝑛=1

− 𝑥 1

𝑛!

𝑥 2

𝑛 +∞

𝑛=0

+ 𝑥

𝑆 𝑥 = 𝑥2

2 𝑒

𝑥

2− 𝑥𝑒𝑥2+ 𝑥

- Dùng đạo hàm và tích phân để tìm tổng

Chú ý: Khi tìm tổng của chuỗi hàm dạng:

𝑃 𝑛 𝑥𝑄(𝑥) +∞

𝑛=1

Ta biến đổi 𝑄 𝑥 = 𝑃 𝑥 − 1 + 𝑐, chuỗi được biến đổi về dạng :

𝑥𝑐 𝑃 𝑛 𝑥𝑃 𝑛 −1 +∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐 (𝑥𝑃 𝑛 )′

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐( 𝑥𝑃 𝑛 +∞

𝑛=1

)′

Khi tìm tổng của chuỗi hàm dạng:

𝑥𝑄(𝑥)

𝑅(𝑥)

+∞

𝑛=1

Ta biến đổi 𝑄 𝑥 = 𝑅 𝑥 + 𝑐, chuỗi được biến đổi về dạng :

𝑥𝑐 𝑥𝑅(𝑥)

𝑅(𝑥)

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐 𝑥𝑅(𝑥)𝑑𝑥

+∞

𝑛=1

= 𝑥𝑐 𝑥𝑅(𝑥)

+∞

𝑛=1

𝑑𝑥