SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Điều kiên đủ: Nếu > 0, thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) Nếu < 0, thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì 0 Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì 0 (trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn đúng) Phương pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Tính .Tìm các điểm xi ( i = 1,2,…,n) mà tại đó = 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng xét dấu của 4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Chuyên đề 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ @ Điều kiên đủ: Nếu / f (x) > 0, x (a;b) ∀ ∈ thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) Nếu / f (x) < 0, x (a;b) ∀ ∈ thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) @ Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì / f (x) ≥ 0 x (a;b) ∀ ∈ Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì / f (x) ≤ 0 x (a;b) ∀ ∈ (trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn đúng) @ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Tính f '(x) .Tìm các điểm x i ( i = 1,2,…,n) mà tại đó f '(x) = 0 hoặc f '(x) không xác định. 3. Lập bảng xét dấu của f '(x) 4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến. BÀI TẬP Bài 1: Tìm m để hs 3 2 1 y x mx (m 6)x (2m 1) 3 = + + + − + đồng biến trên R Bài 2: Tìm m để hs 3 y x mx m 2 = + − − luôn đồng biến trên R Bài 3: Tìm m để hs 3 y mx (2m 1)x 2m 1 = − − + + − luôn đồng biến trên R Bài 4: Cho hàm số 3 2 y x 3mx 3(2m 1)x 1= − + − − . Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. Bài 5: Tìm m để hs mx 1 y x 2 − = + nghịch biến trên từng khoảng xác định Bài 6: Tìm m để hs (m 2)x 1 y x m + + = + đồng biến trên từng khoảng xác định CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ @ Nếu qua điểm x 0 mà ( )f x ¢ đổi dấu thì x 0 là điểm cực trị @ Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x x= thì 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x f x ì ¢ ï = ï í ¢¢ ï > ï î @ Để hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x x= thì 0 0 ( ) 0 ( ) 0 f x f x ì ¢ ï = ï í ¢¢ ï < ï î @ Qui tắc tìm cực trị của một hàm số Quy tắc 1 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0= 3) Lập bảng biến thiên. Kết luận Quy tắc 2 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f '(x) . Giải f '(x) = 0 tìm nghiệm x i 3) Tính f ''(x) và i f ''(x ). Kết luận. BÀI TẬP Bài 1: Tìm m để hs 3 2 1 y x mx mx 1 3 = + − + không có cực trị Bài 2: Tìm m để hs 4 2 2 y mx (m 9)x 10 = + − + có 3 cực trị Bài 3: Cho hàm số 3 2 y x (m 1)x (m 2)x 1= + − − + − . CMR hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu. Bài 4: Tìm m để hs 4 2 y x 2mx m 1 = − + + + có cực đại và cực tiểu. Bài 5: Tìm m để hs 3 2 2 1 y x mx (m m 1)x 1 3 = − + − + + đạt cực đại tại x= 1 Bài 6: Tìm m để hs 3 y x 3mx m = − + − đạt cực tiểu tại x= -1 Bài 7: Tìm m để hs 3 2 1 y x mx (2m 1)x m 1 3 = − + − − + có 2 điểm cực trị có hoành độ dương. Bài 8: Tìm m, n để hs 4 2 y x mx n = − + đạt cực trị bằng 2 khi x=1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Trên đoạn [ a; b] Trên khoảng ( a; b ) 1) Hàm số liên tục trên đoạn [a;b] 2) Tính f '(x). Giải f '(x) 0= tìm nghiệm ( ; ) i x a bÎ 3) Tính f(a), f(b), f(x i ) 4) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có [a;b] [a;b] maxf (x) M ,min f (x) m= = 1) Tính f '(x). Giải pt f '(x) = 0 2) Lập bảng biến thiên 3) Dựa vảo BBT để kết luận : CD CT (a;b) (a;b) maxf (x) y ,min f (x) y= = BÀI TẬP Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hs y= 3 2 2x 3x 12x 2+ − + trên đoạn [-1;2] Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hs 2x 1 y x 2 − = + trên đọan [ ] 2;4 Bài 3: Tìm GTLN- GTNN của hs 2 f (x) x ln(1 2x)= − − trên đoạn [ ] 2;0− Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của hs y= x – e 2x trên đoạn [-1;0] Bài 5: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y= 2 x 1 1 x + + Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của hs y= 2 cos x cosx 2− + Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của hs y= 2sin x sin 2x+ trên đoạn 3 0; 2 π Bài 8: Tìm GTLN, GTNN của hs y= x x e e e+ trên đoạn [ln2;ln4] Bài 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y= 2 x 1 x+ − ĐƯỜNG TIỆM CẬN + Nếu 0 x lim f (x) y ±¥® = thì y = y 0 là tiệm cận ngang của (C): y = f(x). + Nếu 0 x x lim f(x) + ® = ±¥ hoặc 0 x x lim f (x) - ® = ±¥ thì x = x 0 là tiệm cận đứng của (C): y = f(x). BÀI TẬP (SGK) HẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1. Tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên • Tìm giới hạn ⇒ tiệm cận (nếu có) • Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0 • Lập bảng biến thiên • Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị. 3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) a > 0 A < 0 Ph.trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ph.trình y’ = 0 Có nghiệm kép. Ph.trình y’ = 0 vô nghiệm. Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng qua điểm uốn 0 0 ( ; ),I x y với 0 x là nghiệm pt 0y ′′ = và 0 0 ( ).y f x= Dạng của đồ thị hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) a > 0 a < 0 Ph.trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ph.trình y’ = 0 có một nghiệm . Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương đối xứng qua Oy Dạng của đồ thị hàm số ax b y (c 0,ad bc 0) cx d + = -¹ ¹ + D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0 Chú ý: Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG Cho hai đường cong (C 1 ): y = f (x) và (C 2 ): y = g (x) . Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ). BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0 B1)Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 Û f (x)=g(m) (*) B2)Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m) Þ Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d. B3)Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số). PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). PTTT của (C) tại ( ) ( ) 0 0 0 M x ;y C ∈ có là / 0 0 0 y f (x )(x x ) y= − + . Khi đó: ( ) 0 0 0 M x ;y với y 0 =f(x 0 ) được gọi là tiếp điểm. 0 f '(x ) là hệ số góc của tiếp tuyến. Dạng 1: TT của (C) tại điểm ( ) ( ) 0 0 0 M x ;y C ∈ Dạng 2: TT của (C) có hệ số góc k cho trước Tìm f '(x) ® tính 0 f '(x ) Viết ph.trình tiếp tuyến. Tìm f '(x), giải ph.trình: / 0 f (x ) = k tìm x 0 Tìm y 0 = f (x 0 ). Viết ph.trình tiếp tuyến. Lưu ý: Nếu đề bài chỉ cho biết hoành độ x 0 ( hay tung độ y 0 ) thì ta thay tọa độ đã biết vào phương trình y = f (x) để tìm tọa độ còn lại; tiếp tục tính 0 f '(x ) để thay vào công thức. Lưu ý: * Nếu tt d // D : y = ax + b thì ( ) / 0 f x a= * Nếu tt d ^ D : y = ax + b thì ( ) / 0 f x .a 1=- BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y=x(3–x) 2 1. KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số. x y O x y O 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C): a. Tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng f ’’(x 0 )=0. b. Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. c. Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đ.thẳng y 9x 2= + . 3. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 6x 9x 1 m 0− + − + − = Bài 2: Cho hàm số 3 2 y x 3mx 3(2m 1)x 1= − + − − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1 b. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng f’(x 0 )=3. Bài 3: Cho hàm số 3 2 y x (m 1)x (m 2)x 1= + − − + − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 1 b. Viết ph.trình đ.thẳngd đi qua hai điểm cực trị của (C). c. Viết ph.trình đ.thẳng (d) vuông góc với đ.thẳng x 3y 0− = và tiếp xúc với đồ thị (C). d. Dựa vào (C), biện luận theo k, số nghiệm của ph.trình 3 x 3x k− = . Bài 4: Cho hs 3 2 y x 3x 1= − + − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 3x m 0− + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 5: Cho hs 3 y x 3x 1= − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 x 3x m 0− + + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 6: Cho hs 3 y x 3x= − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 x 3x 2 m 0− + − = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 7: Cho hs 3 y x 3x 2= − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 x 3x 2 m 0− + − + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại ðiểm có hoành ðộ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 8: Cho hs 3 2 y x x x 1= − − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x x x 2 m 0− + + − + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 9: Cho hs 3 2 y x 6x 9x 1= − + + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 6x 9x m 0− + + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 10: Cho hs 3 2 y x 3x 4= − + − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 3x 2 m 0− + − = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 11: Cho hs 3 2 y x 3x 2= + − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 3x 1 m 0− − + + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 12: Cho hs 3 2 y x 3x= + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 13:Cho hs 3 2 y x 3x 4= − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 14:Cho hs 3 2 y x 6x 9x 4= + + + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 6x 9x 2 m 0− − − − + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 15:Cho hs 3 2 x y 2x 3x 1 3 = − + + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 3 2 x 6x 9x 3 m 0− + + + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f ' x 0= . Bài 16: Cho hàm số y = - x 4 + 2x 2 + 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. 2. Định m để ph.trình 4 2 x 2x 1 m 0− + + = có 4 nghiệm phân biệt. 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -1. Bài 17: Cho hàm số 4 2 1 1 y x x 1 4 2 = − + 1. KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm ph.trình 4 2 x 2x 4 m 0− + + = . 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng 3. Bài 18: Cho hs 4 2 x 5 y 3x 2 2 = − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hs 2. Biện luận theo m số nghiệm của ph.trình: 4 2 x 6x 5 m 0− + − = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng 0 f "(x ) 0= Bài 19: Cho hs 4 2 y x x 2= + − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs 2. Định m để ph.trình 4 2 x x 1 m 0− − + + = có 2 nghiệm phân biệt. 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 =1. Bài 24: Cho hs 4 2 y x 2x 3= − − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 4 2 x 2x 2 m 0− + + + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 dương. Biết ( ) 0 f ' x 0= Bài 25: Cho hs 4 2 y x 4x 5= − − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 4 2 x 4x 3 m 0− − + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -2 Bài 26: Cho hs 4 2 x y 2x 1 2 = + − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình 4 2 x 4x 2 m 0+ − + = 3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 âm. Biết rằng ( ) 0 f " x 10= Bài 27: Cho hs 4 2 x y x 2 = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 =1. Bài 28: Cho hs 4 2 x 3 y x 2 2 = − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 . Biết rằng ( ) 0 f " x 2= − . Bài 29: Cho hs x 3 y x 1 + = + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a) Tại điểm có tung độ bằng 2 b) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành c) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung 3) CMR với mọi giá trị m, đường thẳng y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 30: Cho hs 2x 3 y 2 x + = − 1) KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= -x+m Bài 31: Cho hs 2x 1 y x 2 − = + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 =2 3) Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx-2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt Bài 32: Cho hs x 1 y x 1 − = + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 = 2 Bài 33: Cho hs 2x 2 y x 1 − = + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 = 4 Bài 34: Cho hs x 2 y x 1 + = + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 2 Bài 35: Cho hs x 2 y x 2 + = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 3 Bài 36: Cho hs 2x 1 y x 1 + = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 =3 3. Tìm m để đường thẳng d:y=-x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt Bài 37: Cho hs 3 2x y x 1 − = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng y=mx+2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt Bài 38: Cho hs x 2 y 2x 1 − = + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 5 Bài 39: Cho hs 2 2x y x 2 − = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 3 Bài 40: Cho hs 6 x y x 3 − = + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 = 2 Bài 41: Cho hs 4 2x y x 4 + = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = -4 Bài 42: Cho hs 2x 4 y x 3 − = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Xác định m để đường thẳng 2y mx= + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 43: Cho hs 2x 4 y x 1 + = + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 = 2 Bài 44: Cho hs 2x 4 y x 4 − = − 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 =-2 ################## Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT LŨY THỪA a 0 = 1 a .a a +a b a b = ( ) . a a b a a b = ( ) a .b ab a a a = n n 1 a a - = a a a a -a b b = a a b b a a a æö ÷ç = ÷ç ÷ç è ø m m n n a a= khi a 1 a a khi 0 a 1 a b ì > >a b ï ï > Û í ï < < <a b ï î LOGARIT a log b a b a = =aÛ a log 1 0= a log a 1= a log b a b= a a log b log b a = a a a 1 log b log b a = a a 1 2 a 1 a 2 log (b b ) log b log b= + 1 a a 1 a 2 2 b log log b log b b æ ö ÷ç = - ÷ç ÷ç ÷ç è ø c a c log b log b log a = Khi cơ số a = 10 thì 10 log b (logarit thập phân) thường được viết là logb hay lgb Khi cơ số a = e thì e log b (logarit tự nhiên) được viết là lnb BÀI TẬP Bài 1: Đơn giản a) 1 1 4 1 3 3 3 3 2n 3n 4n : 2n − − ÷ ÷ ÷ ÷ b) 4 1 2 1 3 1 3 3 3 4 4 4 a a a : a a a − − + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Bài 2: Cho 30 log 8 qua 30 log 5 và 30 log 3 Bài 3: Cho lg392=a; lg112=b. Tính lg7 và lg5 theo a,b Bi 4: Tớnh a) 2 5 4 3 a 4 a . a. a log a ữ ữ b) 5 5 5 5 5 n log log 5 142 43 HM S M_HM S LOGARIT c im Hm s m y = a x ( a > 0, a ạ 1) Hm s lụgarit y = log a x ( a > 0, a ạ 1) Tp xỏc nh Ă ( ) 0;+ Ơ Tp giỏ tr ( ) 0;+ Ơ Ă Chiu bin thiờn a > 1: hm s luụn ng bin 0 < a < 1: hm s luụn nghch bin a > 1: hm s luụn ng bin 0 < a < 1: hm s luụn nghch bin BNG CễNG THC O HM (c) 0,  = (x) 1  = (c.u) c.u   = (u v) u v    = (u.v) u .v v .u    = + 2 u u .v v .u v v  ổử   - ữỗ = ữỗ ữỗ ố ứ 2 1 1 .v v v  ổử ữỗ  =- ữỗ ữỗ ố ứ 2 1 1 x x  ổử ữỗ =- ữỗ ữỗ ố ứ 1 (x ) .x -a a  = a 1 (u ) .u .u -a a   = a 1 ( x) 2 x  = 1 ( u) .u 2 u   = (sin x) cosx  = (sinu) u .cosu   = (cosx) sin x  =- (cosu) u sinu   =- 2 1 (tan x) cos x  = 2 1 tan x= + 2 u (tanu) cos u   = 2 u (1 tan u)  = + 2 1 (cot x) sin x -  = 2 (1 cot x)=- + 2 2 u (cotu) u (1 cot u) sin u  -   = = + x x (a ) a lna  = u u (a ) a lna.u   = x x (e ) e  = u u (e ) e .u   = a 1 (log x) xlna  = a u (log u) u.lna   = 1 (ln x) x  = 1 (lnu) .u u   = BI TP (SGK) PHNG TRèNH M_LOGARIT a. Phng trỡnh m c bn : a x = b b > 0 : Pt cú nghim duy nht a x log b= b 0 : Phng trỡnh vụ nghim. a. Phng trỡnh lụgarit c bn: log a x = b Pt luụn cú nghim duy nht b x a= b. Phng trỡnh m n gin + a v cựng c s: f (x) g( x) a a f (x) g(x)= = b. Phng trỡnh logarit n gin + a v cựng c s: a a f (x) 0 log f (x) log g(x) g(x) 0 f (x) g(x) ỡ > ù ù ù ù = > ớ ù ù = ù ù ợ + t n ph: t x t a= (k t> 0), bin i phng trỡnh m thnh phng trỡnh i s theo t Gii phng trỡnh theo t v chn t > 0 Tỡm x t x a a t x log t= = + t n ph: t a t log x= a v phng trỡnh n t Gii phng trỡnh theo t Tỡm x t t a t log x x a= = + Lụgarit húa: Lụgarit 2 v ca pt cựng 1 c s + M húa: M 2 v ca pt cựng 1 c s c. Bt phng trỡnh m, bt phng trỡnh lụgarit: C s Bt phng trỡnh m Bt phng trỡnh lụgarit a > 1 f (x) g(x) a a f (x) g(x)> >Û a a log f(x) log g(x) f(x) g(x)> >Û 0 < a < 1 f (x) g(x) a a f (x) g(x)> <Û a a log f(x) log g(x) f(x) g(x)> <Û BÀI TẬP 1. Giải các ph.trình sau: (cùng cơ số) Bài 1: x 1 5x 7 2 1.5 3 + − = ÷ ĐS: x = 1 Bài 2: 2 x 5x 6 2 1 − + = ĐS: x = 2, x = 3 Bài 3: 2 x 6x 6 2 64 − + = ĐS: x = 0, x = 6 Bài 4: x 5 x 1 x 5 x 1 16 0,25.8 + + − − = ĐS: x= 20 385 3 ± Bài 5: 2 x 2x 3 x 1 1 7 7 − − + = ÷ ĐS: x= -1; x= 2 Bài 6: 2x 3 3x 7 7 11 11 7 − − = ÷ ÷ ĐS: x= 2 Bài 7: 2x 1 2x 3 3 108 − + = ĐS: x= 2 Bài 8: 3x 4 (2x 2) 3 9 − − = ĐS: x= 8 / 7 Bài 9: ( ) ( ) 2 2 log x 3 log x 1 3− + − = ĐS: x= 5 Bài 10: ln(4x 2) ln(x 1) ln x+ − − = ĐS: 5 33 2 + 2. Giải các ph.trình sau: (đặt ẩn phụ) Bài 1: x 1 x 1 4 6.2 8 0 + + − + = ĐS: x = 1; x= 0 Bài 2: ( ) ( ) x x 1 2 2 log 2 1 .log 2 2 12 + − − = ĐS: 2 2 17 x log 9;x log 16 = = Bài 3: x x 9 8.3 9 0 − − = ĐS: x=2 Bài 4: x x 1 4 2.2 3 0 + − + = Bài 5: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log x 1 3log x 1 log 32 0 + − + + = Bài 6: x x 16 17.4 16 0 − + = ĐS: x 0;x 2= = Bài 7: x x 4 5.2 4 0 − + = ĐS: x 0;x 2= = Bài 8: x x x 27 12 2.8 − = ĐS: x 0 = Bài 9: 2 3 2 2 log x log x 4 0 + − = Bài 10: x x 25 7.5 6 0 − + = Bài 11: 2 2 4 log x 6log x 4 + = Bài 12: x 1 x 2 4 2 3 0 + + − − = ĐS: 2 x log 3 1= − 3. Giải các ph.trình sau: (mũ hóa_logarit hóa) Bài 1: 2x 3 2x 3 2 3 2 − − = ĐS: x = 3 2 Bài 2: x 1 x 1 x 2 x x 1 x 2 2 2 2 3 3 3 + − − − − + + = − + Bài 3: x 3 x 2 x 1 2 .3 .5 400 + − + = Bài 4: x 1 x 1 x 2 2 2 28 + − + + = ĐS: x= 3 4. Giải các ph.trình sau: Bài 1: x x 12 3 6 3 3 80 0 − − − = ĐS: x 12= Bài 2: x x x 6.9 13.6 6.4 0 − + = ĐS: x 1;x 1= − = Bài 3: 2x x 2x x 5 7 5 .17 7 .17 0 − − + = Bài 4: 2 3 3 log x log 9x 9 + = ĐS: x= 3 Bài 5: x 1 3 x 5 5 26 − − + = ĐS: x = 1; x = 3 Bài 6: x x x 8 2.4 2 2 0 − + + − = ĐS: x = 0; x = 1 Bài 7: x x x 4.9 12 3.16 0 + − = ĐS: x = 1 Bài 8: x 4 x 2 x 1 x 2 2 5 3.5 + + + + = + ĐS: x = 1 Bài 9: 2 logx logx log9x + = ĐS: x= 3 Bài 10: 4 3 logx log4x 2 log x + = + ĐS: x= 5 Bài 11: 2 3 2 log (3x 1)log x 2log (3x 1) + = + Bài 12: 5 3 3 log (x 2)log x 2log (x 2) − = − Bài 13: [ ] 4 4 x 2 log (x 2)(x 3) log 2 x 3 − + + + = + Bài 14: x x 2 x 1 x 1 1 1 3.4 .9 6.4 .9 3 2 + + + + = − 5. Giải các ph.trình_bất ph.trình sau: Bài 1: 1 2 2x 1 log 0 x 1 − < + ĐS: x 1 x 2 < − > Bài 2: ( ) ( ) x 1 x 1 x 1 2 1 2 1 − − + + ≥ − ĐS: 2 x 1 x 1 − ≤ < − ≥ Bài 3: 2x 3 x 7 3x 1 6 2 .3 + + + < ĐS: 3 2 1 x 2 log 4 > + Bài 4: ( ) ln 1 sin 2 2 2 e log x 3x 0 π + ÷ − + ≥ ĐS: 4 x 3;0 x 1− ≤ ≤ − < ≤ Bài 5: 2 2 2 log x log (x 2)< − Bài 6: 2 2 log (x 3) log (x 2) 1− + − ≤ Bài 7: 3 3x 5 log 1 x 1 − ≤ + Bài 8: 2 3 2 2 log x log x 4 0+ − ≥ Bài 9: 1 x 1 x 3 3 10 + − + < Bài 10: 2 0,2 0,2 log x log x 6 0 − − ≤ Bài 11: 2 2 4 log x 6log x 4+ < Bài 12: x 1 x 7 2.7 9 0 − + − ≤ Bài 13: 2 2 1 log x 1 log x < + Bài 14: 2 1 2 log (x 2x 8) 8 + − ≥ − ĐS: 1 265 x 4 2 x 1 265 − − ≤ < − ∨ < ≤ − + Bài 15: x 1 x 1 4 6.2 8 0 + + − + > ĐS: x 0 x 1< ∨ > Bài 16: 1 4 3.2 8 0 + − + ≥ x x ĐS: x 1 x 2≤ ∨ ≥ Bài 17: x 2 x 1 2 4 − + > ĐS: 4 x 0 − < < Bài 18: ln x 2 ln x 4 3ln 2 − + + ≤ ĐS: 1 17 x 2 0 x 1 17− − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤ − + Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM @ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F'(x) f(x), x K= " Î . @ Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K @ Chú ý: k.f(x)dx k. f(x)dx = ∫ ∫ (k là hằng số khác 0) [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx ± = ± ∫ ∫ ∫ Bảng công thức nguyên hàm STT Nguyên hàm theo biến số x Nguyên hàm theo biến số u 1 1dx x C= + ò 1du u C= + ò 2 1 x x dx C 1 +a a = + +a ò ( 1)-a ¹ 1 u u du C 1 +a a = + +a ò ( 1)-a ¹ 3 1 dx ln x C x = + ò 1 du ln u C u = + ò 4 x x e dx e C= + ò u u e du e C= + ò 5 x x a a dx C lna = + ò u u a a du C lna = + ò 6 cosxdx sinx C= + ò cosudu sinu C= + ò 7 sinxdx cosx C=- + ò sinudu cosu C=- + ò 8 2 1 dx tan x C cos x = + ò 2 1 du tanu C cos u = + ò 9 2 1 dx cot x C sin x =- + ò 2 1 du co t u C sin u =- + ò @ Một số công thức nguyên hàm bổ sung 1 1 (ax b) (ax b) dx . C a 1 α+ α + + = + α + ∫ 1 sin(ax b)dx cos(ax b) C a + = − + + ∫ 1 1 dx ln ax b C ax b a = + + + ∫ 1 cos(ax b)dx sin(ax b) C a + = + + ∫ [...]... cu (S) dng 2 o Ln lt thay cỏc im vo phng trỡnh mt cu, ta c h phng D khụng ng phng (hay (S) ngoi tip t trỡnh vi cỏc n cn tỡm l A, B, C, D din ABCD) o Thay A, B, C, D vo phng trỡnh ca (S) o Nhn dng ta tõm I Nu I Ox thỡ I(A;0;0); I Oy thỡ I(0;B;0); I Oz thỡ I(0;0;C) (S) cú tõm thuc trc ta o Thay ta cỏc im vo ph.trỡnh (S) ta c h 2 ph.trỡnh 2 n v qua 2 im o Gii hpt tỡm 2 n thay vo ph.trỡnh (S) o Nhn... VTPT n u uuu r r = u d , AB o Thay vo pt (*) (nu (P) cha d thỡ thay A bi im thuc d v u r uuu r AB bi VTCP u d ' ; nu (P) cha trc ta thỡ x = x 0 + x u t y = y0 + y u t z = z + z t 0 u uuu r thay A bi O v AB bi vect n v trờn trc) u r Vit ph.trỡnh mp(P) qua 2 im phõn bit A, B v vuụng gúc vi mp (Q):Ax+By+Cz+D=0 o A (P) (hoc l B); VTPT n P r uuu r = nQ , AB o Thay vo pt (*) (Tng t trng hp trờn... thng hng (hay l 3 nh ca 1 tam giỏc) uuu uuu r r r o A, B, C khụng thng hng AB, AC 0 o Hoc vit ptts .thng BC, kim tra thy A khụng thuc BC (tc l khi thay ta ca A vo ph.trỡnh ng BC thy khụng tha) @ Chng minh A, B, C, D khụng ng phng (hay l 4 nh ca 1 t din) uuu uuu uuu r r r o A, B, C, D khụng ng phng AB, AC AD = 0 o Hoc vit pttq ca mp (BCD) Kim tra thy A khụng thuc mp (BCD) (tc l thay ta im... (cú th thay d bng trc ta ) Vit ph.trỡnh mp trung trc ca on AB vi o Gi I l trung im ca AB, ta cú A ( x A ; yA ; zA ) B ( x B ; yB ; zB ) Vit ph.trỡnh mp (P) tip xỳc mc (S) ti M 0 ( x 0 ; y0 ; z 0 ) x + xB y A + y B z A + z B I A ; ; (P) 2 2 2 ữ r uuu r uu r uu r o VTPT l n = AB ( hoc IA , hoc IB ) o Th vo pt (*) o Tỡm tõm I ca mt cu (S) uuur uuuu r o M 0 (P) ; VTPT l M 0 I (hay IM 0 ) o Thay vo... ; VTPT l r uuu uuu r r im A, B, C khụng thng n P = AB, AC hng Vit ph.trỡnh mp(P) i qua im M0(x0;y0;z0) v song song vi mp (Q):Ax+By+Cz+D=0 (cú th thay mp (Q) bng cỏc mp ta ) Vit ph.trỡnh mp(P) i qua im A ( x A ; y A ; z A ) v o Th vo pt (*) (cú th thay 2 im B,C bng .thng d nm trong (P)) Cỏch 1: r r o M 0 (P) ; VTPT l n P = n Q = (A;B;C) o Th vo pt (*) Cỏch 2: o Vỡ (P) // (Q) nờn ph.trỡnh (P) cú... im o Gii hpt tỡm 2 n thay vo ph.trỡnh (S) o Nhn dng ta tõm I Nu I (Oxy) thỡ I(A;B;0); I (Oyz) thỡ I(0;B;C); I (Oxz) thỡ I(A;0;C) (S) cú tõm thuc mp ta o Thay ta cỏc im vo ph.trỡnh (S) ta c h 3 ph.trỡnh 3 n v qua 3 im o Gii hpt tỡm 3 n thay vo ph.trỡnh (S) Tỡm ta tõm I v bỏn o Nu phng trỡnh mt cu dng 1: kớnh R Xỏc nh cỏc s a, b, c, R đ Tõm I(a; b;c) ; bỏn kớnh l R o Nu phng trỡnh mt cu dng 2:... tam giỏc u ABC.ABC cú tt c cỏc cnh u bng a Tớnh th tớch ca hỡnh lng tr v din tớch ca mt cu ngoi tip hỡnh lng tr theo a Bi 14: Hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A v AC=b, C = 60 0 ng thi ng chộo BC ca mt bờn (BBCC) to vi mp (AACC) mt gúc 30 0 a/ Tớnh di on AC b/ Tớnh th tớch khi lng tr Bi 15: Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B vi BA=BC= a, bit A'B... a2 6 6 Bi 22: Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy l r v ng cao l r 3 a/ Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh tr ( 1+ 3 ) S: Sxq = 2 3 r2 ; Stp = 2 r2 b/ Th tớch khi tr tng ng S: V= r3 3 Bi 23: Thit din qua trc ca mt hỡnh nún l mt tam giỏc vuụng cõn cú cnh gúc vuụng bng a a/ Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh nún b/ Tớnh th tớch khi nún tng ng S: Sxq = 2 +1 2 a 2 2 3 S: V = a... ) + ( b 1 b 2 ) i Nhõn 2 s phc z 1 z 2 = ( a1 + b1i ) ( a 2 + b 2 i ) = ( a1 a 2 b1b 2 ) + ( a1b 2 + a 2b1 ) i Chia s phc cho s phc z 1 z1 z 2 z1 z 2 z a + b 1 i ( a1 + b 1 i ) ( a 2 b 2 i ) = = = hay 1 = 1 2 2 z2 z2 z2 z 2 a 2 + b 2i a2 + b 2 z2 2 1 z = 2 z z Nghch o ca s phc 6 Phng trỡnh bc hai vi h s thc ax 2 + bx + c = 0 (a ạẻ 0) a, b, c R Tớnh D = b 2 - 4ac + Nu D >0 thỡ ph.trỡnh cú 2 nghim... phõn bit x1,2 = + Nu D =0 thỡ ph.trỡnh cú 1 nghim thc x = b 2a b 2a + Nu D < 0 thỡ ph.trỡnh cú 2 nghim phc phõn bit x = 1,2 b i 2a Chỳ ý: trờn tp s phc C mi ph.trỡnh bc hai u cú nghim (khụng nht thit phõn bit) BI TP Dng 1: Tớnh giỏ tr ca biu thc 2 2 1) Tớnh A= i(3 i)(3 + i) S: 10i 2) Tớnh P= S: -2 2+i 5 + 2i 5 B= 2 + 3i + (5 + i)(6 i) S: 33+4i ( ( 3) Tớnh Q= 1 i 2 ) + (1+ i 2 ) 2 2 S: -2 5) . AB c) Viết ph.trình mp (P) qua A và song song mp x-2y+z+4=0 Bài 2: Cho điểm M(2;-1;-1). Viết ph.trình mp (P) trong các trường hợp sau: a. Đi qua điểm M và song song với mp(Oxy). b. Đi qua 3 điểm. Tìm GTLN, GTNN của hs y= x – e 2x trên đoạn [-1;0] Bài 5: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y= 2 x 1 1 x + + Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của hs y= 2 cos x cosx 2− + Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của hs y=. vuông góc với mp(Oxy). d) Viết pt mp ( ) α qua A và song song (Oxy) Bài 6: Viết ph.trình mp (P) a) (P) qua 2 điểm M(1;2;3), N(2;-2;4) và song song với trục Oy. (Ox, Oy) b) (P) chứa d: x 1 2t y