Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu: a... HẠNG CỦA MA TRẬN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Bài 2.9 Tìm dạng bậc thang dòng rút gọn của ma trận: a... Bài 2.15 Tìm ma trận nghị
Trang 1MA TRẬN
A CÁC PHÉP TOÁN VỀ MA TRẬN:
Bài 2.1 Tích AB của các ma trận A và B sẽ thay ñổi như thế nào nếu:
a ðổi chỗ dòng i và dòng j của ma trận A
b Nhân dòng j của ma trận A với số c rồi cộng vào dòng i của nó
c ðổi chỗ cột i và cột j của ma trận B
d Nhân cột j của ma trận B với số c rồi cộng vào cột i của nó
Bài 2.2 Ký hiệu Ar x s là ma trận cấp r x s Tìm m, n trong các trường hợp sau:
Bài 2.3 Cho các ma trận :
A =
-1 2
-1 1 0 -4 1 3
, C =
-3 -1
, D =
4 -1
Tìm các ma trận sau (nếu tồn tại) A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D2
Bài 2.4 Cho các ma trận:
A =
2 -1 3
0 1 2 , B =
, C =
1 1
b Tính (AB)3, C n với n ∈ N
Bài 2.5 Cho các ma trận: A =
0 2 -1
1 1 -1 -2 -5 4
, B =
1 3 1
2 2 1
3 4 2
, C =
1 0 0
0 2 0
0 0 1
Bài 2.6 Cho X =
1 2
3 4
5 6
và Y =
-1 3 4 Tìm XXt, XtX, YYt, YtY
Bài 2.7 Cho ma trận A =
Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3
Trang 2Bài 2.8 Cho A =
-1 0 1
0 1 1 Nếu B3 x2 sao cho AB = I2 thì :
B =
-a-1 1 - b
∀ a, b ∈ R Khi ñó, CmR: (BA)2B = B
Bài 2.9 Cho A =
4 -3
n = 3
n
- 1
3 - 3n
2 I2, với mọi n ≥ 1, n ∈ N
B HẠNG CỦA MA TRẬN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 2.9 Tìm dạng bậc thang dòng rút gọn của ma trận:
a
Bài 2.10 Tìm hạng của ma trận:
a
-1 -2 1 -2
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
d
e
10 18 40 17
Bài 2.11 Tùy theo giá trị của m, tính hạng của ma trận sau:
a
b
m -1 1 -1 -1
m -1 1 -1 -1
d
1 10 17 4
-2 24 8 16
Bài 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss - Jordan:
a
x1 - x2 + x3 = -2
2x1 + x2 - 2x3 = 6
x1 + 2x2 + 3x3 = 2
-x1 + 2x2 = 8 3x1 + x2 + x3 = 2
Trang 3
c
2x1 - x2 + 3x3 - x4 = -1
-x1 + 2x2 - x3 + 3x4 = 3
x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 4
36.47x + 5.28y + 6.34z = 12.26
7.33x + 28.74y + 5.86z = 15.15 4.63x + 6.31y + 26.17z = 25.22
e
2x1 - 3x2 - 4x3 + 5x4 = -13
4x1 - 6x2 + x3 - x4 = 14
6x1 - 9x2 + x3 + 2x4 = 13
2x1 - 3x2 - 2x3 - 4x4 = 9
f
x1 - 4x2 + 3x3 = -22 2x1 + 3x2 + 5x3 = 12
x1 + 7x2 + 2x3 = 34 3x1 - x2 - 2x3 = 0
g
6x1 - 5x2 - 7x3 + 8x4 = 3
3x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 14
3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1
x1 + x2 + x3 = 0
h
x + 4y + 10z + 20u + 35t = 126
x + 5y + 15z + 35u + 70t = 210
Bài 2.13 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số thực m ∈ R:
a
3mx + (3m - 7)y + (m - 5)z = m - 1
(2m - 1)x + (4m - 1)y + 2mz = m + 1
4mx + (5m - 7)y + (2m - 5)z = 0
b
2x + 5y - 2z + 2t = 2m + 1
x + + 7y - 5z + t = -m
Bài 2.14 Cho A = (aij)n x n
a Nếu A2 = 0 thì A là ma trận suy biến (Không khả nghịch)
b Nếu A2 = A và A ≠ In thì A suy biến
Bài 2.15 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan)
a
-1 3 1
1 1 -1
0 0 2
1 2 6
3 7 9
d
-1 1 0
1 2 3
4 5 6
5 7 9
0 0 2
1 2 6
3 7 9
Bài 2.16 Tìm ma trận nghịch ñảo (nếu có) của các ma trận sau (bằng pp Gauss - Jordan)
a
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
1 1 1 1
1 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
Trang 4
d
1 2 4 6
0 1 2 0
0 0 1 2
0 0 0 2
Bài 2.17 Cho A =
CmR A2 – 2A + 13 I2 = 0 Từ ñó suy ra rằng A-1 = - 1
13 (A – 2 I2) Tính A-1
Bài 2.18 Cho A =
1 1 -1
a CmR A3 = 3A2 – 3A + I3
b Biểu diễn A4 theoA2, A và I3 Từ ñó xác ñịnh A4 dưới dạng tường minh
c Sử dụng câu a ñể chứng minh rằng A khả nghịch và tìm A-1
Bài 2.19
a Cho B là ma trận vuông cấp n thỏa B3 = 0 Nếu A = In – B, chứng minh rằng ma trận
A không suy biến và A-1 = In + B + B2
0 0 t
0 0 0
Tìm (I3 – B)-1