Tớnh tỉ số của bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp và đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC theo .. Bài 3 6 điểm: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, cỏc nửa đường thẳng Bm, Dn vuụng gúc với mặt phẳng A
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh - -
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2011-2012
Đề thi chính thức
môn : Toán ( bảng A )
Họ và tờn, chữ ký của giỏm thị số 1
Thời gian làm bài : 180 phỳt
(khụng kể thời gian giao đề) ………
(Đề thi này cú 01 trang)
Bài 1 (5 điểm):
1) Tỡm trờn đồ thị (C) của hàm số 1
2
x y
x
hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn thẳng
AB bằng 2 6 và đường thẳng AB vuụng gúc với đường thẳng y = x
2) Tỡm cỏc nghiệm thực của hệ phương trỡnh: 3 2
1
x y x y
x y x y
Bài 2 (3 điểm):
Tam giỏc ABC vuụng ở A, cú ã
ABC= a Tớnh tỉ số của bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp và đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC theo Xỏc định để tỉ số đú đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bài 3 (6 điểm):
Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, cỏc nửa đường thẳng Bm, Dn vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và ở về cựng một phớa với mặt phẳng ấy Lấy điểm M thuộc Bm và điểm N thuộc Dn Đặt BM = x, DN = y
a, Tỡm hệ thức giữa x, y để hai mặt phẳng (ACM) và (ACN) vuụng gúc với nhau
b, Chứng minh rằng khi x, y thay đổi nhưng luụn thỏa món điều kiện nờu ở phần a, đoạn
vuụng gúc chung của AC và MN cú độ dài khụng đổi
Bài 4 (3 điểm):
Tỡm số nguyờn dương n nhỏ nhất sao cho trong khai triển của nhị thức New ton (1 + x)n
cú hai số hạng liờn tiếp mà tỉ số cỏc hệ số của nú bằng 7
15
Bài 5 (3điểm):
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa món điều kiện 2 xy xz 1
Chứng minh rằng : 3yz 4zx 5xy 4
x y z Khi nào dấu đẳng thức xảy ra ?
- Hết -
Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Trang 2sở giáo dục và đào tạo quảng ninh
h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2011-2012
môn toán bảng A đề chính thức
Bài 1a
2,5
điểm
Vỡ AB vuụng gúc với : y = x nờn AB cú dạng y = – x + m
Gọi hoành độ của A,B lần lượt là a và b => A(a; m – a) , B(b; m – b)
(b a) (a b) 2(b a)
AB =
=> AB2 = 2(b – a)2 = 24 (b – a)2 = 12 (a + b)2 – 4ab = 12 (1)
0,5
Mặt khỏc phương trỡnh hoành độ điểm chung của (C) và d là :
( ) ( 3) 2 1 0 2
x
x
Để cú A, B phõn biệt thỡ 2 2 5 0
(2) 0
f
(2) 1 0
f m
0,5
Với đ/k (*) theo Vi-et ta cú 3
2 1
thế vào (1) được m
2 – 2m – 7 = 0
1 2 2
1 2 2
m
m
0,5
Với m = 1-2 2 => A(2- 2- 3 ; –1 + 3- 2)
B(2- 2 3 ; -1- 2- 3 ) 0,5 Với m = 1+2 2 => A(2+ 2+ 3 ; –1 - 3+ 2)
B(2+ 2 3 ; -1+ 2+ 3 ) 0,5
Bài 1b
2,5
điểm
x y
x y (*)
Đặt 3xy = a ; xy = b => Hệ trở thành : 2 (1)
1 (2)
́ù + = ù
ỡù + - = ùợ
0,5
b
ù < = > = > =
ùợ
0,5
Thế vào (2) ta được : 2 1 <=> 2 (3)
-+ - = < = > = = Thế (3) vào (1) ta được x+ y + x- y= 1< = > 3y + y= 1
0,5
Đặt 3y = ³t 0 ta được : 2
3 21 2
3 3 0
21 3 2
) )
t
t
ộ -
-ờ = ờ ờ + - = < = >
-ờ = ờở
(loại (nhận
0,5
t = - = > y = - và x = 5 - 21 (thỏa món điều kiện * ) 0,5
Trang 3Vậy hệ có nghiệm 5 21 5 21
2
Bài 2
3 điểm
Gọi bán kính các đường tròn ngoại tiếp và
nội tiếp tam giác ABC là R và r
Ta có : 2R = BC = BH + HC
BH =
2
r cot a ; HC =
4 2
r cot ( p - a)
=>2
R= rcot a + rcot (p - a) 2R
r H
A
C
I
B
0,5
=> 1
2 cot 2 cot 4 2
R r
é æç ö÷ ù
= ê + çç - ÷ú
÷
çè ø
2
cos sin( ) cos ( ) sin
sin sin( )
-0,5
4 cos(a p)
=
-
-1
4 cos(a p)
=
=>R
4 os( )
c a - p = tức là khi
4
p
a = (vì 0
2
p a
2 1
R
Bài 3a
3 điểm
m
n
K
H
C
A
B D
N
M
́ï ^ ï
AC (BDMN) =>
·
MHN
= > là góc giữa hai mp(ACM) và mp (ACN)
0,75
Dođó
·
2 (ACM) ^ (ACN) < = > MHN = p
< = > =
0,75
< = > D : D
2
2
2 2
a x
y a
< = > = < = > = 0,75
Bài 3b
3 điểm
Từ H kẻ HK MN , theo trên AC (BDMN) => AC HK Vậy HK là đường vuông
Ta có BHKM và DHKN là các tứ giác nội tiếp =>
́ï = ïï
ìï =
Trang 4Mà theo trờn ta cú ã ã
2
a
BD =
H cố định cũn HK khụng đổi
( cú thể dựng biến đổi đại số dể chứng minh HK = 2
2
a
)
0,75
Bài 4
3 điểm
Hai số hạng liờn tiếp của khai triển là :
1
C và Ck n k n+ theo giả thiết ta cú : 1 1 7
15
C C
!
!( ) !
! ( ) !( ) !
k n k n
n
k
+
+
-1
Để n ẻ Z*+ là số nguyên dương nhỏ nhất khi k ẻ Z*+
thỡ số nguyờn dương k nhỏ nhất để 1
7
*
k
+
+
ẻ Z là k = 6
Từ đú tỡm được giỏ trị của n = 21
1
Bài 5
z
2 4 6 2 ( ) 2( )
2 2 xz 4 xy 4 2 xy xz 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
Cỏc chỳ ý khi chấm:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi tiết,lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được điểm tối đa
2 Cỏc cỏch giải khỏc nếu đỳng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thụng nhất chi tiết nhưng khụng được quỏ số điểm dành cho cõu, phần đú
3.Cú thể chia điểm thành từng phần nhưng khụng dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm
4 Điểm toàn bài là tổng số điểm cỏc phần đó chấm Khụng làm trũn điểm
5 Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo
sự thống nhất của cả tổ