Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 1 LI NểI U Tht khú m phõn bit mt cỏch rch rũi gia cỏc loi toỏn: i s, Gii tớch, S hc, Hỡnh hc cng nh T hp. Tuy nhiờn, nu ủ ý trong thi gian qua, cỏc bi toỏn thi hc sinh gii cỏc cp núi chung thỡ hu nh bi toỏn thuc loi no ủu tn ti mt li gii thuc loi tng ng cho nú. Vỡ vy, nu nm ủc ý ny thỡ v ic ủnh hng tỡm li gii ca thớ sinh cng d dng hn. Trờn tinh thn ủú, Tụi cng ủó chia cỏc phng phỏp gii phng trỡnh hm ra thnh ba dng: Phng phỏp ủi s, Phng phỏp gii tớch v Phng phỏp s hc. Trong sỏng kin kinh nghim ln ny, Tụi la chn ba phng phỏp tng ủi ph bin ca ủi s ủ gii thiu ủú l: Chn giỏ tr ủc bit ca ủi s; Lp phng trỡnh, h phng trỡnh ủ gii v Vn dng tớnh ủn ỏnh, ton ỏnh ca hm s cng nh vic xem tp xỏc ủnh, tp giỏ tr ca hm s mt khớa cnh khỏc. Theo Tụi, ủi vi mt hc sinh gii, vic trỡnh by li li gii ca mt bi toỏn khi ủó bit cỏch gii khụng phi l vn ủ khú. Vỡ vy, ủ bi vit khụng quỏ di T ụi ch ủa ra cỏch phõn tớch tỡm li gii m khụng trỡnh by li gii chi tit. Mc dự rt nghiờm tỳc, c gng trong quỏ trỡnh lm sỏng kin kinh nghim ny nhng khú trỏnh khi thiu sút rt mong s gúp ý ca ủng nghip. Pleiku, Thỏng 03 nm 2011. Ngi vit. Hunh Thanh Luõn. www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 2 NI DUNG CC PHNG PHP Phng phỏp I: CHN GI TR C BIT CA I S. Trc tiờn hóy xem cỏch tỡm li gii ca cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 1: Tỡm hm s ( ) : 0; , f + tha món ủiu kin sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 3 , , 0 f f xy f x f f y f x y y x = = + > (1) Phõn tớch tỡm li gii: Trong tớnh cht ủ cho cú cha phộp toỏn nhõn v thng gia hai ủi s nờn ta s th chn mt ủi s bng ủn v ca phộp nhõn. Ch n 1 y = ta ủc mt tớnh cht ca hm: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 , 0 f x f f x f f x x = + > (2) Nh vy ta cú nhu cu tớnh ( ) ( ) 3 , 1 f f . T tớnh cht (2) ca hm s, khi chn ủi s ln lt l 3 v 1 ta ủc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 1 . 3 1 1 . 3 1 f f f f f f f f = + = + T ủú ta tớnh ủc ( ) ( ) 1 1 3 2 f f = = . Do ủú tớnh cht (2) tr thnh: ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 , 0 , 0 2 2 f x f x f x f f x x x x = + > = > (3) Theo tớnh cht (3) thỡ tớnh cht (1) ca hm s tr thnh: www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , 0 2 2 2 , , 0 f xy f x f y x y f xy f x f y x y = > = > (4) nhỡn cho d ta ủt ( ) ( ) ( ) 0; 2 , 0 x f x x + = > g: ;g . Khi ủú hm ( ) y g x = cú cỏc tớnh cht sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 3 , 0 1 3 1 g xy g x g y x y g g x x x g g = > = > = = Ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 . , 0 1 , 0 1, 0 g x g x g x g x x g x x x x = > = > = > Vỡ hm nhõn tớnh luụn nhn giỏ tr khụng õm. n ủõy ta ủó tỡm ra li gii cho bi toỏn. Lu ý: Dự hm ( ) y g x = nhõn tớnh nhng ta khụng suy ra ủc l hm ly tha vỡ ta ch a cú tớnh liờn tc ca nú. Bi toỏn 2: Tỡm hm s : , f tha ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , ,f x y x yf x f y x y = + (1) Phõn tớch tỡm li gii: T tớnh cht ca hm s m ủ cho ta s ngh ủn vic th chn hai ủi s bng nhau. Khi ủú ta ủc tớnh cht sau. ( ) ( ) 2 0 ,f f x x x = (2) Nh vy ta cú nhu cu tớnh ( ) 0 f . Theo tớnh ch t (2) ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 1 0 0 f f f f = = = hoặc ( ) 1: 0 0 TH f = www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 4 T tớnh cht (2) ta ủc ( ) , . f x x x = ( ) 2: 0 1 TH f = Theo tớnh cht (2) thỡ vi mi s thc bt k x thỡ ( ) 2 1 f x x = tc ( ) 1. f x x = Ta cn lu ý rng kt qu ta tỡm ủc trờn cha xỏc ủnh hm s vỡ vi mi phn t no ủú ca tp xỏc ủnh ta vn cha xỏc ủnh ủc nh ca nú. Khi gp trng hp ny ta gii quyt nh sau: u tiờn ta th xem hai hm s ( ) ( ) 1, 1, f x x x f x x x = + = cú phi l nghim ca phng trỡnh hay khụng. Nu chỳng l nghim thỡ ta s ủi chng minh hoc ( ) 1,f x x x = + hoc ( ) 1,f x x x = bng phn chng. Tc gi s tn ti hai s , a b sao cho ( ) ( ) 1 1 f a a f b b = + = ri ủi tỡm mõu thun. Cũn nu thy hm s no khụng ph i l nghim thỡ ta s chng minh khụng xy ra trng hp tng ng. Vớ d trong bi ny hm ( ) 1,f x x x = khụng l nghim nờn ta s chng minh ( ) 1,f x x x bng phn chng. Tht vy, gi s ( ) : 1 t f t t = ta cú: T tớnh cht (1) chn 0 x t y = = thỡ ta ủc ( ) 2 2 1 f t t = + , cũn chn 0 x y t = = thỡ ta li cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 1 f t t f t t t t t = + = + = + . Suy ra 2 2 1 4 1 0 t t t t + = + = Nh vy : ( ) 1 0 0 1 f = = (mõu thun). n ủõy ta ủó tỡm ra li gii cho bi toỏn. www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 5 Bi toỏn 3: Tỡm hm s : , f tha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , ,f x y f x f x y yf y x y + = + + (1) Phõn tớch tỡm li gii: T tớnh cht ca hm s m ủ cho ta s ngh ủn vic th chn hai ủi s ủi nhau. Khi ủú ta ủc cỏc tớnh cht sau. Trong (1) nu chn x t y t = = vi t bt k thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ,f f t f t tf t t = . (2) Cũn nu chn x t y t = = vi t bt k thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ,f f t f t tf t t = + (3) T ủú suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 tf t tf t t f t f t t = = (4) V do ủú cỏc tớnh cht (2), (3) ủc vit li. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 , 0 f f t tf t t = + (5) Ta cn tớnh ( ) 0 f . Vỡ tớnh cht (5) ch ủỳng vi 0 t nờn ủ tớnh ( ) 0 f ta s bin ủi (5) nh sau. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 , 0 0 , 0 0 0 2 4 4 t t t f t f t f t f = = V do ủú vi mi s thc bt k 0 t thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 f t f t tf t f t t = = + = n ủõy, ging nh ủó lu ý phn trc ta s th v nhn thy c hai hm ( ) ( ) 0, ,f x x f x x x = = và ủu l nghim ca phng trỡnh nờn ta s chn cỏch chng minh sau. www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 6 Gi s ( ) ( ) 0 0: f a ab f b b = = . Theo tớnh cht (1) nu chn x a y b = = thỡ ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 0 f a b b f a b a b + = + = + v do ủú ( ) 2 2 2 a b b a b b a b a b b + = + = = + = Cng li t (1) nu chn 2 x b y a b = = = thỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 3 0 3 3 3 0 f b f b f b bf b b bf b f b b f b b b b b = = = = = = >< Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii. Bi toỏn 4: Tỡm hm s : , f tha ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 , ,f f x y f x y yf x x y + = + (1) Phõn tớch tỡm li gii: Do trong tớnh cht ca hm m gi thit cho cú dng vi phõn cp 2 ( ) ( ) { } f f x y + nờn ta th chn ủi s sao cho hai s hng ( ) ( ) f f x y + v ( ) 2 f x y trit tiờu. Ta thy ( ) ( ) 2 2 1 2 f x y x y y x f x + = = , nờn vi t l mt s thc tựy ý theo tớnh ch t (1) chn ( ) 2 1 2 x t y x f x = = ta ủc www.VNMATH.com Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©n Trang 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f t t f t f t f t t = − = ⇒ = Cách giải quyết khi gặp tình huống này ta ñã biết. Gi ả sử: ( ) ( ) 2 0 0: f a ab f b b = ∃ ≠ = . Từ tính chất (1) của hàm số *) Nếu chọn x a y b = = thì có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 f f a b f a b bf a + = − + ( ) 2 2 0 f a b b ⇒ − = ≠ ( ) ( ) 2 2 2 f a b a b ⇒ − = − ( ) 2 2 2 2 2 a b b a b ⇒ − = → = T ức ta có tính chất sau: Nếu ( ) ( ) 2 0 0 ab f a f b b ≠ = = thì 2 2 a b = (2) *) Nếu chọn 2 x a y b = = thì có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 f f a b f a b bf a + = − + ( ) 2 0 f b ⇒ = Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 . 2 0 2 0 b b f b f b b ≠ = = theo (2) ta có ( ) 2 1 2 2 . 2 b b b = ⇒ = www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 8 Nh vy ta li ủc tớnh cht mi ca hm s ủó cho ( ) 2 1 1 1 2 2 4 1 0, 2 f f x x = = = . *) C ng li t (1) nu chn 1 2 0 x y = = thỡ ( ) 1 1 1 0 2 4 2 f f = >< =f Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii. Bi toỏn 5: Tỡm hm s : , f tha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f f x y f x f y f x f y xy x y = + (1) Phõn tớch tỡm li gii: Cng cú nhn xột tng t bi toỏn 4, tuy nhiờn vi gi thit ny Ta khụng ch n ủc giỏ tr ca ủi s lm cho hai s hng no ủú trit tiờu ủc nờn Ta ch cú th chn ủ xut hin cỏc s hng ủc bit, ri sau ủú tỡm cỏch tớnh giỏ tr hm tng ng ủ chuyn v dng vi phõn cp 1. Chn hai ủi s bng nhau: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 ,f f f x x x = . (2) Cn tớnh ( ) 0 f . t ( ) 0 f a = Ta ghi li tớnh cht (2) ( ) ( ) 2 2 ,f a f x x x = (3) T tớnh cht (3) ta cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 *) 0 , 0 *) 2 x f a a f x x a x a x a f a a a a a a a = = = = = = = = Ta d ủoỏn rng 0 a = . www.VNMATH.com Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân Huỳnh Thanh Luân Trang 9 Cng li t (3), ( ) 2 2 2 4 2 x a f a a a = = , cn tớnh ( ) 2 f a . Vỡ ( ) ( ) ( ) 2 f a f f a = nờn t (1) ta chn 0 x a y = = . Khi ủú, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 0 f f a f a f f a f f a a a a = + = + Suy ra ( ) 2 2 3 4 2 0 0 2 a a a a a a a a + = + = = = . Nh vy, (3) ủc vit li, vi mi s thc x bt k thỡ ( ) ( ) ( ) 2 2 f x x f x x f x x = = = . Cỏch x lý tớnh cht ny ủó tng ủi quen thuc. Do ta nhn thy hm ( ) ,f x x x = khụng l nghim ca phng trỡnh nờn Ta lm theo hng. Gi s ( ) 0 0 0 : . x f x x = T (1) cú: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 *) . 0 0 *) x x f x x y x f x f x y x = = = = = = Suy ra ( ) 0 0 0 0 x x x = = . Vi nhng tớnh cht ủó tỡm ra thỡ ta cú th tỡm ủc li gii cho bi toỏn. Tng kt: Mt cỏch tng t nh vic bin ủi khi gii Phng trỡnh s m Ta ủó quen thuc, nhm chuyn ủiu kin ca gi thit thnh cỏc ủiu kin ủn gin hn, thỡ trong gi i Phng trỡnh hm, vic la chn cỏc bin s phự hp vi mc ủớch t tớnh cht ca hm m ủ cho Ta thu ủc cỏc tớnh cht khỏc ca hm ủn gin hn m cú li trong vic tỡm ra hm s. www.VNMATH.com Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n Huúnh Thanh Lu©n Trang 10 Hai ñịnh hướng chính cho Ta chọn ñối số, một là: chọn ñối số sao cho xuất hiện các giá trị hàm có thể tính ñược; hai là: xuất hiện các số hạng có thể triệt tiêu nhau. Lưu ý rằng việc lựa chọn phải có tính kế thừa, tức là việc chọn ñối số sau phải lưu ý dùng kết quả ñã chọn trước. www.VNMATH.com