toan_4_Bai4_PTVPC1_(phan_2).pdf

Chia sẻ kiến thức bổ ích môn toán 4 Đại học Bách khoa.

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

(SINH VIÊN)

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007)

NỘI DUNG

TỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139)

Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x

& các đạo hàm (hoặc vi phân) y (k) , k = 0, 1 … n

e x

y y

y ''+4 '+3 = (x + y)dx −(x − y)dy = 0

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1:

(x, y x , y' x , y '' x , , y x )= 0

Dạng tổng quát cấp n:

( ) ( ) (x, y x , y' x )= 0

F

NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1

Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số:

Đồ thị nghiệm: đường cong tích phân

(x, C1, , C n )

(c) Dạng tham số

(a) Dạng hiện: y = f(x)

(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0

( ) ( )

⎩

⎨

⎧

=

=

t y y

t x x

Nghiệm PTVP:

Hàm số y = y(x),

x ∈ khoảng I ⊂ R

e

y dx

e

e Ce

2 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ

-Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn)

VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình a / y'= xy

/ x2 y + dx + y2 x − dy =

( ) ( )

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

= +

= +

=

=

=

0 0

' , ) ( '

), ( '

2 2

1

f

dy y g dx

x f

y g x f y

y g y

x f y

3 dạng (hay gặp)

phương trình vi

phân phân ly biến số

Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable)

→ Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: xdy − dx y2 = 0

2 GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ

-VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ

thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí

Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ

từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút Hỏi sau bao lâu kể

từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C?

e y

b / '=

x

y y

VD: a / (2x + cos x)dx +5y4dy = 0

/ y2 + xy2 dx + x2 − yx2 dy =

2 ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY

-VD: (x 2 + y 2 )dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x 2 + y 2 ), Q = xy!

Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1) 2 – 2(2x + 3y + 1)

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

x

y f

x

y

Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xαyβ, α + β = n ⇒

Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)!

VD:

xy

xy

y y

2 +

=

x

y y

3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

-Ph/trình vi phân cấp 1:

( )x, y dx +Q( )x, y dy = 0

P

( ) ( ) ( )

⎩

⎨

⎧

=

=

2 ,

'

1 )

, ( '

y x Q

u

y x P

u

y

x 1/ T/phân (1) theo x ⇒ u = ∫ Pdx +C( )( )y 3

2/ Đ/hàm (3) theo y , phối hợp (2) ⇒ C(y)

Tìm u:

PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔

Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy

( )*

y

P

∂

∂

x

Q

∂

∂

=

y

x x

Q y

P

,

∀

∂

∂

=

∂

∂

Thoả ĐK (*) ⇒ ∃u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒ Nghiệm u = C

3 THỪA SỐ TÍCH PHÂN

-Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒ Tìm

μ(x, y) để (μPdx+μQdy) vi phân tphần ⇔ ∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂y

phân & Giải ptrình vphân (x 2 + y 2 +x)dx + xydy = 0

⇒

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

dx x f

e x

x

f Q

x

Q y

P

) (

)

⇒

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

− g y dy

e y

y

g P

x

Q y

P

) (

)

VD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0

VD: Giải (3e 3x y – 2x)dx + (e 3x + siny) dy = 0

SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ(x 2 + y 2 ): dạng cho trước!

4 PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH

-y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒

PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E 0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số)

y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y

Tuyến tính theo x = x(y)!

VD: Xác định phương trình tuyến tính:

x

e xy

y

c 3+ =

' /

3

2 '

/ y x

x

y

2 / ydx + y2 − x dy =

d

3 2

'

/ y e y x

Không tuyến tính: Chứa y 2 , (y’) 3

4 NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT

-VD: Giải các PTVP thuần nhất:

x

y y

PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E 0 )

có nghiệm tổng quát dạng: y = Cy0( )x , C : hằng số

VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất

3

3 '

x

y y

x

e x

y y

b

x

cos

tg '

/ = ⋅ +

N0 riêng y r = C(x)y 0 (x): biến thiên hằng số y tq.tn = Cy 0 (x) Thay y r = C(x)y 0 (x) vào (*) ⇒ C'( ) ( ) ( )x y0 x = b x

4 TỔNG KẾT

-Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = -Nghiệm tổng quát PT thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó)

PTVP cấp 1 t/tính (E):

2/ Biến thiên hằng số C = C(x)

1/ PT thuần nhất:

3/ Nghiệm sau cùng:

( )x y b( )x y p( )x y q( )x a

y'= + hoặc '+ =

a

y'= hoặc '+ = 0 ⇒ = 0

=

⇒ C' y0 b x C x K

( ) ( )x y x C

y = 0 (chứa hằng số C: t/phân)

x y

x

b x

y Ce

y x

b y x a

0 0

) (

) (

'

( )x

y0

Ng/hàm không C

4 VÍ DỤ

1 2

'

1 − = + + y y x x

x

1

2

+

−

2/ Biến thiên hằng số: C = C( )x ⇒ C ( )x y = (x + )3 ⇒ C( )x

'

1 2

1

1 + + +

= C x x y

VD: Giải các phương trình

x

x y

x

y

(x y ) y

y

'

/

VD: Tính y(2) với hàm y thoả: '+ = 3x , y( )1 =1

x

y y

1 1

2

+

−

x y

5 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI (PHI TUYẾN)

-y’ = p(x)y + q(x)yα , α ≠ 0, 1: vế phải chứa thừa số yα

P/trình Bernoulli

y x q y

x p

y'= +

Giải PT TTính u'= (1−α ) ( ) (p x u + 1−α ) ( )q x ⇒ u( )x ⇒ y( )x

u = −α − α ⋅

α

α

−

=

⋅

⇒ −

1

' ' u

y y

Thay vào phương trình đầu:

( ) ( ): tuyến tính theo u 1

'

x q u

x p

u

+

=

−α

Đổi biến: u(x) = y 1 – α Đạo hàm ⇒

x q y

x p y

y x

q y

y x p y

α α

1

' '

5 VÍ DỤ

x

x y

y

2/ Đổi biến đưa về PT vi phân cấp 1 ttính: u = y

3/ Giải phương trình:

Ngh k0 thuần nhất: C = C(x) ⇒

u theo tính

tuyến 1

cấp Pt

:

4 '

2 2

'

x

u u

y

y

2

2

x

u

0

2

x

dx u

du x

u

2 ' 2

Nghiệm tổng quát: u = C(x).x 2 ⇒ y(x) = u 2 (x)

TỔNG KẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

-Phân ly: f 1 (x)g 1 (y)dx + f 2 (x)g 2 (y)dy = 0 ⇒ 1 vế: x, 1 vế: y

f

y x

y u

x

y f

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

'

Cấp 1 tuyến tính: y’ = a(x)y + b(x) 1/ Thuần nhất 2/ Biến thiên C = C(x) Bernulli: y’ = a(x)y + b(x)yα ⇒ Chia yα

Vi phân toàn phần P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ĐK:

Nghiệm u(x, y) = C với u:

x

Q y

P

∂

∂

=

∂

∂

⎩

⎨

⎧

=

=

Q u

P u

y

x

'

'

Thừa số tphân μ = μ(x) … PTVPC1:

y’ = f(x, y)