BÀI TẬP ĐẠO HÀM Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x 1− tại x 0 = 5 Giải: Tập xác định D = 1 x : x 2 ≥ • Với ∆ x là số gia của x 0 = 5 sao cho 5+ ∆ x ∈ ∆ thì • ∆ y = 2(5 x) 1+ ∆ − - 10 1− • Ta có: y x ∆ ∆ = 9 2 x 9 x + ∆ − ∆ Khi đó: y’(5)= x 0 y lim x ∆ → ∆ ∆ = ( ) ( ) ( ) x 0 9 2 x 3 9 2 x 3 lim x 9 2 x 3 ∆ → + ∆ − + ∆ + ∆ + ∆ + • = ( ) x 0 9 2 x 9 lim x 9 2 x 3 ∆ → + ∆ − ∆ + ∆ + = ( ) x 0 2 lim 9 2 x 3 ∆ → + ∆ + = 1 3 Bài 2 : Chứng minh hàm số x y x 1 = + liên tục tại x 0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. HD: Chú ý định nghĩa: x = x ,neáu x 0 -x ,neáu x<0 ≥ Cho x 0 = 0 một số gia ∆ x ∆ y = f(x 0 + ∆ x) –f(x 0 ) = f( ∆ x) –f(0) = x x 1 ∆ ∆ + y x ∆ ∆ = ( ) x x x 1 ∆ ∆ ∆ + • Khi ∆ x → 0 + ( thì ∆ x > 0) Ta có: x 0 y lim x + ∆ → ∆ ∆ = ( ) x 0 x lim x x 1 + ∆ → ∆ ∆ ∆ + = ( ) x 0 1 lim x 1 + ∆ → ∆ + =1 Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2 x , , − ≥ neáu x 0 x neáu x<0 a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0 b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao? Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = 2 (x 1) ,n ,n − ≥ 2 eáu x 0 -x eáu x<0 không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ? Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = 2 (x 1) , , 2 neáu x 0 (x+1) neáu x<0 − ≥ không có đạo hàm tại x 0 = 0, nhưng liên tục tại đó. HD:a) f(0) = (0-1) 2 = 1; x 0 y lim x + ∆ → ∆ ∆ = -2; x 0 y lim x − ∆ → ∆ ∆ = 2 ⇒ x 0 y lim x + ∆ → ∆ ∆ ≠ x 0 y lim x − ∆ → ∆ ∆ ⇒ hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0 1 1 b) Vì x 0 lim f (x) + ∆ → =1; x 0 lim f (x) − ∆ → =1; f(0) = 1 ⇒ x 0 lim f (x) + ∆ → = x 0 lim f (x) − ∆ → = f(0) = 1 ⇒ hàm số liên tục tại x 0 = 0 Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = cos x, sin x Neáu x 0 Neáu x<0 ≥ − a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0. b) Tính đạo hàm của f(x) tại x = 4 π HD:a) Vì x 0 lim f (x) + → = x 0 lim cos x + → =1 và x 0 lim f (x) − → = x 0 lim( sin x) − → − = 0; f(0) = cos0 = 1 ⇒ x 0 lim f (x) + → ≠ x 0 lim f (x) − → ⇒ hàm số không liên tục tại x 0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x 0 = 0) Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1. y = ( 2 x -3x+3)( 2 x +2x-1); Đs: y’ = 4x 3 -3x 2 – 8x+ 9 2. y = ( 3 x -3x+2)( 4 x + 2 x -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x 3. Tìm đạo hàm của hàm số: y = ( ) 2 3x x 1 x + − ÷ Giải: y’ = ( ) 2 3x ' x 1 x + − ÷ + ( ) 2 3x x 1 ' x + − ÷ = ( ) 2 2 3 x 1 x − + − ÷ = 2 1 3x x 2 x + ÷ ÷ = ( ) 2 2 3 x 1 x − + − ÷ + 1 3x x x 2 x + 3. y = ( ) 1 x 1 1 x + − ÷ 4. y = ( ) ( ) 3 2 3 x 2 1 x 3x+ + + 5. y = ( 2 x -1)( 2 x -4)( 2 x -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x 6. y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) 7. y = 1 x 1 2x + + 8. y = 3 3 1 2x 1 2x − + 9. y = x 1 x 1 + − ; Đs:- 3 1 (x 1)(x 1)+ − 10.y = 2 2 1 x 1 x − + ; Đs:- 2 2 3 2x (1 x )(1 x )− + 11.y = cos 2 1 x 1 x − ÷ ÷ + ; Đs: 2 1 1 x sin 2 x(1 x ) 1 x − ÷ ÷ + + 12.y = (1+sin 2 x) 4 ; Đs: 2 3 (1 sin x) sin 2x+ 13.y =sin 2 (cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x 2 2 14.y = sin x cos x sin x cos x − + ; Đs: 2 2 (sin x cos x)+ 15.y = 2 sin 3x sin x.cos x 518) y = f(x) = x 1 cos x− ; y’ = ( ) 2 1 cos x x sin x 1 cos x − − − 519) y = f(x) = tan x x ; y’ = 2 2 x sin x cosx x cos x − 522) y = f(x) = sin x 1 cos x+ ; y’ = 1 1 cos x+ 523) y = f(x) = x sin x cos x+ ; y’ = sin x cos x x(sin x cos x) 1 sin 2x + + − + 526) y = f(x) = 4 1 tan x 4 ; y’ = tan 3 x. 2 1 cos x 527) y = f(x) = cosx 3 1 cos x 3 − ; y’ = -sin 3 x 528) y = f(x) = 3sin 2 x –sin 3 x; y’ = 3 sin 2x(2 sin x) 2 − 529) y = f(x) = 1 3 tan 3 x –tanx + x; y’ = tan 4 x 535) y = f(x) = tan x 1 2 + ; y’ = 2 1 x 1 2cos 2 + 539) y = f(x) = cos 3 4x; y’ = -12cos 2 4x.sin4x 544) y = f(x) = 1 1 tan x x + + ÷ ; y’ = 2 2 2 x 1 1 1 2x cos x 1 tan x x x − + + + ÷ ÷ 672) y = f(x) = 3cos 2 x –cos 3 x; y’ = 3 2 sin2x(cosx-2) 682) y = f(x) = 2 2sin x cos2x ; y’ = 2 2sin 2x cos 2x 684) y = f(x) = x x tan cot 2 2 x + ; y’ = 2 2 2(x cos x sin x) x sin x + − 685) y = f(x) = 2 x x sin cot 3 2 ; y’ = 1 x 2x cot sin 3 2 3 2 1 x sin 2 2 − …. 689) y = f(x) = 2 4 1 tan x tan x+ + ; y’ = 2 2 2 4 tan x(1 2tan x) cos x 1 tan x tan x + + + 694) y = f(x) = 6 8 1 1 sin 3x sin 3x 18 24 − ; y’ = sin 5 3xcos 3 3x 705) y = f(x) = cosx. ( ) 2 1 sin x+ ; y’ = 3 2 2sin x 1 sin x − + 706) y = f(x) = 0.4 2 2x 1 cos sin 0.8x 2 + − ÷ ; y’ = -0.8 2x 1 cos sin 0.8x 2 + − ÷ 2x 1 sin cos0.8x 2 + + ÷ 3 3 713) y = f(x) = 2 1 1 sin x+ ; y’ = ( ) 3 2 sin 2x 2 1 sin x − + 721) y = f(x) = sin 2 x.sinx 2 ; y’ =2sinx(xsinx.cosx 2 +cosx.sinx 2 ) 722) y = f(x) = 2cos x cos2x ; y’ = 2sin x cos2x cos 2x BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG 1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = 1 2 x cot2x 2 2 x sin 2x − 2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin 2 xcosx+cos 2 x y’ = 2(sin 2 x)’cosx+3(sin 2 x)(cosx)’+(cos 2 x)’ = 6sinxcos 2 x-3sin 3 x-2cosxsinx =sinx(6cos 2 x-3sin 2 x-2cosx) 3. Cho hàm số : y = 2 x x x 1+ + Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R y’ = 2 2 2 2x 1 x x 1 x. 2 x x 1 x x 1 + + + − + + + + = ( ) 2 3 2 2(x x 1) x(2x 1) x x 1 + + − + + + =… Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin 6 x + cos 6 x +3sin 2 xcos 2 x; HD: Cách 1: y = (sin 2 x) 3 +(cos 2 x) 3 +3sin 2 xcos 2 x= (sin 2 x+cos 2 x)(sin 4 x-sin 2 xcos 2 x+cos 4 x) +3sin 2 xcos 2 x = [(sin 2 x) 2 +[(cos 2 x) 2 +2sin 2 xcos 2 x-3sin 2 xcos 2 x] +3sin 2 xcos 2 x =[(sin 2 x+cos 2 x) 2 -3sin 2 xcos 2 x] +3sin 2 xcos 2 x = 1 ⇒ y’ = 0 (đpcm) Cách 2: y’ = 6sin 5 x.(sinx)’ +6cos 5 x.(cosx)’+3[(sin 2 x)’.cos 2 x+sin 2 x(cos 2 x)’] = 6sin 5 x.cosx -6cos 5 x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos 2 x+sin 2 x.2cosx.(cosx)’] = 6sinx.cosx(sin 4 x-cos 4 x) + 3[2sinx.cosx. cos 2 x-sin 2 x.2cosx.sinx] = 6sinx.cosx(sin 4 x-cos 4 x) + 6sinx.cosx(cos 2 x – sin 2 x) b) y = cos 2 x 3 π − ÷ +cos 2 x 3 π + ÷ +cos 2 2 x 3 π − ÷ +cos 2 2 x 3 π − ÷ -2sin 2 x. Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos 2 (4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos 2 (6x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình : a) y = 2 2x x− ; y 3 y"+1 = 0. b) y = e 4x +2e -x ; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e 2x sin5x; y"-4y'+29y = 0 4 4 d) y = 3 x [cos(lnx)+sin(lnx)]; 2 x y"-5xy'+10y = 0. e) y = ( ) 2 2 x x 1+ + ; (1+ 2 x )y"+xy'-4y = 0 Bài : Cho hàm số y= f(x) = 2x 2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”( π ). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0. Bài : Cho hàm số y = f(x) = x 1 2 − cos 2 x a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: f(x) = 3x+ 60 x 3 64 x − +5; b) f(x) = sin 3x 3 +cosx- 3 cos3x sin x 3 + ÷ Giải: f’(x) = 3 2 60 x − + 2 6 64.3x x == 3 2 60 x − + 4 64.3 x == 3 2 4 20 64 1 x x − + ÷ f’(x) = 0 ⇔ 2 4 20 64 1 x x − + ÷ = 0 ⇔ x 4 -20x 2 +64 = 0 (x ≠ 0) ⇔ … { } 2; 4± ± 5 5 . = 2sin x cos2x cos 2x BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG 1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = 1 2 x cot2x 2 2 x sin 2x − 2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin 2 xcosx+cos 2 x y’. tại x = 0 b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao? Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = 2 (x 1) ,n ,n − ≥ 2 eáu x 0 -x eáu x<0 không có đạo hàm tại x = 0 hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ? Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = 2 (x 1) , , 2 neáu x 0 (x+1) neáu x<0 − ≥ không có đạo hàm tại x 0 = 0, nhưng