bài tiẻu luận các phép biến hình

Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. TIỂU LUẬN VỀ NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH *LỜI GIỚI THIỆU - Ở trung học phổ thông chúng ta được tìm hiểu về một số phép biến hình như: phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, phép đồng dạng.Trong bài tiểu luận này sẽ giúp chúng ta củng cố lại các kiến thức kĩ năng cơ bản đã được học trong sách giáo khoa lớp 11 và giới thiệu một số kiến thức về môn hình cao cấp. Đây cũng chính là cơ sở để xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình Nội dung của bài tiểu luận gồm: Chương I: Cơ sở lý thuyết -Phần này tóm tắt lại các kiến thức kĩ năng cơ bản cần nhớ về các phép biến hình . -Mối liên hệ giữa các phép biến hình thông qua nhóm các bài toán. Từ đó xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình Chương II: Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán. -Hệ thống lại các dạng toán thường gặp trong giải toán và nêu các phương pháp chủ yếu để giải -Đối với mỗi dạng có các bài tập điển hình riêng với từng phép biến hình. Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực tìm tòi, nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn. *MỤC LỤC Page 1 Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. Tên mục Trang Lời giới thiệu 1 Chương I:Cơ sở lý thuyết 3 I.Phép biến hình 3 1. Định nghĩa 3 2. Một số phép biến hình trong mặt phẳng 3-9 II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình 10 1. Nhóm bài toán 1 10-13 2. Nhóm bài toán 2 14-16 3. Nhóm bài toán 3 16-24 4. Nhóm bài toán 4 24-28 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phép biến hình 29 Chương II. Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán 29 I.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán chứng minh 29 1. Phương pháp giải toán chứng minh 29 2. Một số bài tập 29-38 II.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán quỹ tích 38 1. Phương pháp giải toán quỹ tích 38-40 2. Một số bài tập 40-46 III.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán dựng hình 46 1. Phương pháp giải toán dựng hình 46-47 2. Một số bài tập 47-62 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I: Phép biến hình 1:Định nghĩa - Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. - Kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) Page 2 Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. trong đó M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F - Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất 2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng 2.1: Phép dời hình *Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình. Nhận xét: -các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là phép dời hình. -phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình. * Các tính chất của phép dời hình: - Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm. - Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. - Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. - Phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. * Một số tính chất riêng khác: - Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một phép đồng nhất. - Tập hợp tất cả các phép dời hình trong mặt phẳng P làm thành một nhóm (Đó là 1 nhóm con của nhóm afin). - Tích của phép dời hình và các phép phản chiếu là một phép phản chiếu. a. Phép đồng nhất. *Định nghĩa: Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc biệt, nó biến mọi điểm M thành chính điểm M. f: P → P M  M Thì f = I d Page 3 Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. (Nghĩa là: mọi điểm M thuộc mặt phẳng P, I d (M) = M). b: Phép tịnh tiến: *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho =, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Kí hiệu: phép tịnh tiến theo vecto vecto tịnh tiến Vậy: (M) = M’ = *Tính chất: Phép tịnh tiến được hoàn toàn xác định nếu cho biết điểm ảnh M’ của một điểm M nào đó. Phép tịnh tiến biến vecto thành bằng nó = Phép tịnh tiến ( ≠) + Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d’ song song với d nếu d không song song với + Biến một đường thẳng thành chính nó nếu d song song với Như vậy, qua phép tịnh tiến theo vecto ≠ một đường thẳng là bất động khi và chỉ khi d song song với Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có điểm bất động. *Biểu thức tọa độ Page 4 V M M' v r ≠ 0 r v r v T r v T r ⇔ v T r v T r Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ( , )v a b r , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu v T r (M) = M’ thì ' ' x x a y y b = +   = +  c: Phép đối xứng trục: *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đ d . Vậy: Đ d (M) = M’ ( là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’). *Tính chất -Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. -Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng,biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR) - Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp. Tức là phép đảo ngược của phép đối xứng trục Đ d là chính nó Đ d -1 = Đ d hay Đ d o Đ d = Đ d 2 =e. Trong đó e là phép đồng nhất của mặt phẳng Euclide E -Trục của phép đối xứng trục Đ d là tập hợp các điểm bất động *Biểu thức toạ độ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu +) Đ Ox (M) = M’ thì ' ' x x y y =   = −  Page 5 d M' M ⇔ Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. +) Đ Oy (M) = M’ thì ' ' x x y y = −   =  d: Phép đối xứng tâm: *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm I. I được gọi là tâm đối xứng. Kí hiệu: Đ I . Vậy: Đ I (M) = M’ =- *Tính chất -Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp, nếu M’ = Đ I (M) thì M = Đ I (M’). với mọi điểm M của mặt phẳng. -Phép đối xứng tâm: Đ I biến vecto thành vecto đối của nó =- -Phép đối xứng tâm Đ I biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành một đường thẳng song song với d. phép đối xứng tâm Đ I biến một đường thẳng đi qua tâm thành chính nó. Vậy: qua phép đối xứng tâm Đ I một đường thẳng là bất biến khi và chỉ khi d đi qua tâm I. *Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ( , )I a b , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu Đ I (M) = M’ thì ' 2 ' 2 x a x y b y = −   = −  e.Phép quay Page 6 ⇔ Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay Kí hiệu: Q (O, ) là phép quay tâm O, góc quay . Nếu = π thì Q (O, ) là phép đối xứng tâm O Vậy: Q (O, ) (M)=M *Tính chất: - Phép quay bảo toàn khoảng cách giũa 2 điểm bất kì - Phép quay có điểm bất động di động duy nhất là tâm quay -Phép quay Q (O;α) biến một đường thẳng d bất kì thành đường d’ và góc định hướng giữa d và d’ bằng góc quay ; (d;d’) = +k2 -Phèp đảo ngược Q -1 (O;α) của phép quay Q (O;α) là một phèp quay có cùng tâm quay,có góc quay bằng –α 2.2 .Các phép đồng dạng a: Phép vị tự Page 7 α α α α α α Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. *Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu: V (O,k) Vậy: V (O,k) (M)=M’ -Khi k= -1 phép vị tự V (O,k) là một phép đối xứng tâm O O M P N M' N' P' -Từ định nghĩa ta có: phép vị tự bảo toàn sự thẳng hàn và bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm. Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số k (k≠0,k≠1) là một phép afin *Tính chất -Phép vị tự được hoàn toàn xác định nếu biết ảnh của hai điểm M và N phân biệt nào đó. -Phép vị tự V (O,k) biến thành k -Phép vị tự V (O,k) biến đường thẳng d (Od) thành đường thẳng d’ song song với d -Phép vị tự V (O,k) biến mọi đường thẳng đi qua tâm O thanh chính nó. Hay mọi đường thẳng qua O đều bất động. Nói cách khác qua phép vị tự V (O,k) dường thẳng d là đường thẳng bất động khi và chỉ khi d đi qua O -Cho hai đoạn thẳng song song với các độ dài khác nhau AB song song A’B’và AB≠A’B’duy nhất phép vị tự V (O,k) biến A,B thành A’,B’ Page 8 ≠ 'OM kOM= uuuuur uuuur ⇔ 'OM kOM= uuuuur uuuur Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. -Phép vị tự V (O,k) có tâm O là điểm bất động duy nhất. b: Phép đồng dạng: *Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN. B A C B' A' C' M N M' N' - Phép đẳng cự làphép đồng dạng tỉ số k=1 - Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k *Tính chất: -Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. -Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. -Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó. -Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR). *Biểu thức tọa độ. Trong mặt phẳng tọa độ Eculi cho mục tiêu trực chuẩn (o,i,j) phép đồng dạng f:E=E với tỉ số k>1 và k#1 ta đã biết f=Đ o V.Trong đó V là phép vị tự tâm O tỉ số k, còn Đ là phép đẳng cự. Qua phép vị tự V tâm O ảnh M(x,y) thành M”(x” , y”). Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng f đối với mục tiêu đã cho là: Page 9 Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương. Ma trận của phép đồng dạng f có dạng k. A trong đó k là số thực A là ma trận trực giao A= Tức là A t . A = I 2 , det A = 1 II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình *Nhóm các phép biến hình. Nhóm các phép biền hình. Mỗi phép biến hình f của E là song ánh nên tồn tại phép đảo ngược f -1, đó cũng là một song ánh của E, và gọi f -1 là song ánh đảo ngược của f, từ đó ta có: f o f -1 =f -1 o f=e  Tích 2 song ánh là song ánh tích 2 phép biến hình lá một phép biến hình Vì vậy tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng cùng với phép lấy tích lập thành một nhóm gọi là phép biến hình Dựa vào mối liên hệ giữa các phép biến hình hay các nhóm bài toán xây dựng ta có thể xây dựng nhóm các phép biến hình sau: 1.Nhóm bài toán 1: Bài toán 1.1: Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến. Chứng minh: Page 10 [...]... nhóm con của nhóm các phép biến hình SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC PHÉP BIẾN HÌNH: PHÉP BIẾN HÌNH Page 26 Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương k=1 Phép dời hình Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phé p quay Q(o;(2k+1)π) Phép đồng dạng Phép đối xứng tâm Phép vị tự k= -1 Q(0;k2π) T k= 1 Phép đồng nhất CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH I.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán... tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm aben Chứng minh; +Theo chứng minh trên: tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến => phép toán đóng kín + Phép tịnh tiến là phép biến hình nên có tình chất kết hợp + T+T = T+ = T+ = T + T  Phéo toán có tính chất giao hoán + Phần tử đơn vị e là phép tịnh tiến theo vecto + Phần tử nghịch đảo là phép tịnh tiến theo vecto Vậy (T,o) là nhóm aben *Tập hợp phép tịnh... Phương Thì Đd1oĐd3 là một phép tịnh tiến KL: Vậy tích của hai phép quay khác tâm là một phép quay hoặc phép tịnh tiến Bài toán 4.2,Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay là một phép quay Chứng minh Ta cần chứng minh QoT = T Thật vậy : ta phân tích phép tịnh tiến thành 2 phép đối xứng trục Đ 1 và Đ2 có trục d1 //d2 (theo chứng minh trên) Tương tự ta phân tích phép quay thành 2 phép đối xứng trục Đ2... hệ với điểm M(của quỹ tích ) qua phép biến hình f và chứng minh: M là một điểm của quỹ tích  M = f (N) Bước 3: xác định đường © là quỹ tích điểm N, ta kết luận được quỹ tích điểm M là ©’ = f(©) Cuối cùng ta nêu cách dựng quỹ tích Chú ý: để xác định phép biến hình f ta thường dựa trên những nhận xét như sau: Nếu các đường thẳng NM luôn đi qua điểm cố định thì phép biến hình f có điểm bất động, khi đó... M’N’ ,suy ra MN = PQ Bài 4 Trên các cạnh của tứ giác lồi bất kì dựng về phía ngoài các hình vuông Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối tâm của hình vuông đối nhau có độ dài bằng nhau và vuông góc với nhau a A M B M' b P O N' Q D Page 31 N C Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương Q C B P M O1 D A N Giải Giả sử P,Q,M,N là tâm các hình vuông dựng về phía ngoài trên các cạnh Ab,BC,CD Xét tích các phép quay : Q(M;90)oQ(Q;90)... các phép biến hình trong giải toán quỹ tĩch 1.Phương pháp giải toán quỹ tĩch a.Phương pháp sơ cấp Người ta sử dụng các bài toán quỹ tích cơ bản làm cơ sở trong việc giải bài toán quỹ tích khác phức tạp Phương pháp này bao gồm các bước: Bước 1: (dự đoán quỹ tích) phân biệt rõ các yếu tố cố định (số đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng, ) các yếu tố thay đổi, các điểm di động Dự đoán quỹ tích là hình. .. *Tập hợp phép tịnh tiến với đối xứng tâm phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm Chứng minh: + Theo chứng minh trên:tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến ĐJoĐI là phép tịnh tiến theo vectơ 2 ĐIo T = ĐJ  phép toán đóng kín + Phép (.) có tính chất kết hợp + Phần tử đơn vị: T + Phần tử nghịch đảo: Phép tịnh tiến có phần tử nghịch đảo là: T Phép đối xứng tâm có phần tử nghịch đảo là... d.Gọi T và T là phép tịnh tiến theo vecto : T=T+T Ta có ;f = Đdo (T + T) =( Đdo T + T= Đd’o T) là một phép đối xứng trượt Ngược lại ;tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến là phép đối xứng trượt Bài toán 3.6: Tích của một phép đối xứng trục và phép quay là phép đối xứng trượt Chứng minh: d M" d2 I d1 M1 d3 C M2 M' M Page 22 Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương Ta đã biét có thể phân tích phép Q thành... hai phép đối xứng trục Đ 1,Đ2 ‘ lần lượt có các trục d1,d2 cắt nhau tại I và chọn Đ1 có trục d1 song song với trục d của phép đối xứng trục Đ Do đó ,f là tích của ba phép đối xứng trục ,trong đó có hai trục song song ,tức f là tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng trục : f = Đo(Đ1oĐ2) = (ĐoĐ1)oĐ2 = To Đ2 Vậy f là một phép đối xứng trượt Ngược lại: Tích phép quay và phép đối xứng trục là phép ối... phép quay Q(H;-90) : A,B,C,D = A’ ,B’ ,C’ , D’ và phép vị vự V(H;k=) : A’ ,B’,C’, D’ = A”,B”,C”,D”.Dễ thấy B” = E,C” = B Ta chứng minh D” =F Thật vậy tích f =Q(H;-90)oV(H;k) là một phép đồng dạng Dk(H;90) nên f biến hình vuông thành hình vuông ,do đó A”B”C”D” là hình vuông có cạnh BE =BF , tức là D” Hơn nữa Q(H;-90) : HD = HD’ ,nên HD’ vuông góc với HD Vậy HD vuông góc với HF II Ứng dụng các phép các . liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình *Nhóm các phép biến hình. Nhóm các phép biền hình. Mỗi phép biến hình f của E là song ánh nên tồn tại phép đảo ngược. 2 phép biến hình lá một phép biến hình Vì vậy tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng cùng với phép lấy tích lập thành một nhóm gọi là phép biến hình Dựa vào mối liên hệ giữa các phép biến. Một số phép biến hình trong mặt phẳng 3-9 II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình 10 1. Nhóm bài toán 1 10-13 2. Nhóm bài toán 2 14-16 3. Nhóm bài toán