bài tiẻu luận các phép biến hình

TIỂU LUẬN VỀ NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH *LỜI GIỚI THIỆU - Ở trung học phổ thông chúng ta được tìm hiểu về một số phép biến hình như: phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục,

TIỂU LUẬN VỀ NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

*LỜI GIỚI THIỆU

- Ở trung học phổ thông chúng ta được tìm hiểu về một số phép biến hình như: phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, phép đồng dạng.Trong bài tiểu luận này sẽ giúp chúng ta củng cố lại các kiến thức kĩ năng cơ bản đã được học trong sách giáo khoa lớp 11 và giới thiệu một

số kiến thức về môn hình cao cấp Đây cũng chính là cơ sở để xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình

Nội dung của bài tiểu luận gồm:

Chương I: Cơ sở lý thuyết

-Phần này tóm tắt lại các kiến thức kĩ năng cơ bản cần nhớ về các phép biến

hình

-Mối liên hệ giữa các phép biến hình thông qua nhóm các bài toán Từ đó xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình

Chương II: Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán.

-Hệ thống lại các dạng toán thường gặp trong giải toán và nêu các phương pháp chủ yếu để giải

-Đối với mỗi dạng có các bài tập điển hình riêng với từng phép biến hình.Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực tìm tòi, nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn

*MỤC LỤC

Tên mục Trang

Chương II Ứng dụng các phép biến hình trong

trong đó M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng

2.1: Phép dời hình

*Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai

điểm bất kì gọi là phép dời hình

- Tích của phép dời hình và các phép phản chiếu là một phép phản chiếu

(Nghĩa là: mọi điểm M thuộc mặt phẳng P, Id

(M) = M)

b: Phép tịnh tiến:

*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ , phép biến hình biến mỗi

điểm M thành điểm M’ sao cho =, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ

Kí hiệu: phép tịnh tiến theo vecto

vecto tịnh tiến

Vậy: (M) = M’ =

*Tính chất:

-.Phép tịnh tiến được hoàn toàn xác định nếu cho biết điểm ảnh M’ của một điểm M nào đó -.Phép tịnh tiến biến vecto thành bằng nó = -.Phép tịnh tiến ( ≠) + Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d’ song song với d nếu d không song song với + Biến một đường thẳng thành chính nó nếu d song song với Như vậy, qua phép tịnh tiến theo vecto ≠ một đường thẳng là bất động khi và chỉ khi d song song với

- Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có điểm bất động

V

M

M'

v

r ≠ 0r

vr

v

Tr

v

v

Tr

v

Tr

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho v a b( , ), M(x;y), M’(x’;y’) Khi đó

nếu T vr

(M) = M’ thì

' '

*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến

mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng trục d

Kí hiệu: Đd

*Tính chất

-Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách

giữa hai điểm bất kì

-Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành

đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng,biến tam giác thành tam giác

bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.biến đường

tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR)

- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp Tức là phép đảo ngược của phépđối xứng trục Đd là chính nó Đd-1 = Đd hay Đd o Đd= Đd2 =e

Trong đó e là phép đồng nhất của mặt phẳng Euclide E

*Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’) Khi đó nếu

' '

⇔

+) ĐOy(M) = M’ thì

' '

*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi

điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi

-Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp, nếu M’ =

đi qua tâm thành chính nó

d đi qua tâm I

*Biểu thức tọa độ

' 2 ' 2

e.Phép quay

⇔

*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến

hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay

*Tính chất:

- Phép quay bảo toàn khoảng cách giũa 2 điểm bất kì

- Phép quay có điểm bất động di động duy nhất là tâm quay

định hướng giữa d và d’ bằng góc quay ; (d;d’) = +k2

α α α

*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k 0, phép biến hình

-Từ định nghĩa ta có: phép vị tự bảo toàn sự thẳng hàn và bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số k (k≠0,k≠1) là một phép afin

thẳng d là đường thẳng bất động khi và chỉ khi d đi qua O

-Cho hai đoạn thẳng song song với các độ dài khác nhau AB song song

≠

'

OMuuuuur=kOMuuuur

⇔ OMuuuuur'=kOMuuuur

-Phép vị tự V(O,k) có tâm O là điểm bất động duy nhất.

b: Phép đồng dạng:

*Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0)

nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có

Trong mặt phẳng tọa độ Eculi cho mục tiêu trực chuẩn (o,i,j) phép đồng

tỉ số k, còn Đ là phép đẳng cự

Biểu thức tọa độ của phép đồng dạng f đối với mục tiêu đã cho là:

Ma trận của phép đồng dạng f có dạng k A trong đó k là số thực A là ma trận trực giao A=

Tức là At A = I2 , det A = 1

II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình

*Nhóm các phép biến hình.

Nhóm các phép biền hình Mỗi phép biến hình f của E là song ánh

nên tồn tại phép đảo ngược f-1, đó cũng là một song ánh của E, và gọi f-1 là song ánh đảo ngược của f, từ đó ta có:

v u

Hay tịnh tiến theo vecto + : (M)=M”

Bài toán 1.2: Tích hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.

Bài toán 1.3: Tích của phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến là phép đối xứng

tâm.

Chứng minh

V I

Bài toán 1.4: Tích của phép tịnh tiên và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm

Chứng minh:

V

J

I M'

Từ nhóm bài toán 1 ta xây dựng được các cấu trúc nhóm sau:

*.Tập hợp phép tịnh tiến cùng với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm aben.

+ Phần tử đơn vị e là phép tịnh tiến theo vecto

+ Phần tử nghịch đảo là phép tịnh tiến theo vecto

*Tập hợp phép tịnh tiến với đối xứng tâm phép toán lấy tích 2 phép biến

hình lập thành một nhóm.

Chứng minh:

+ Theo chứng minh trên:tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến

ĐJoĐI là phép tịnh tiến theo vectơ 2

Nhận xét: Nhóm tịnh tiến là nhóm con của nhóm phép tịnh tiến đối xứng tâm 2.Nhóm bài toán 2

Bài toán 2.1:Tìm tích hai phép vị tự?

Vậy V(I;k’)oV(I;k) = V(I;k.k’)

 V(J,k’)o V(I,k)=V(O;k.k’) (O IJ)

KL: tích 2 phép vị tự khác tâm là một phếp vị tự hoặc một phép tịnh tiến

Bài toán 2.2: Tích của phép vị tự và phép tịnh tiến là phép vị tự

Chứng minh:

Vậy T vr

o V(O,k) = V(O’,k)

Ngược lại:Tích phép tịnh tiến và phép vị tự là phép vị tự

Từ nhóm bài toán 2 ta xây dưng được cấu trúc nhóm sau:

* Tập hợp phép vị tự cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập

thành một nhóm.

Chứng minh:

+ Theo chứng minh trên ta có: V(I;k)oV(I;k’) = V(I;k.k’) => phép toán đóng kín

+ Tính chất kết hợp: (V(I;k)oV(I;k’))oV(I;k’’) = V(I;k.k’)oV(I;k’’) = V(I;(k.k’).k”)

= V(I;k)o(V(I;k’)oV(I;k’’))

+ V(I;k)oV(I;k’) = V(I;k.k’) =V(I,k’.k)=V(I,k’)oV(I,k) => phép toán có tính chất giao hoán

+ Phần tử đơn vị e = V(I;1) => V(I;k)oV(I;1) = V(I;k)

+ Phần tử nghịch đảo: V(I;k đéu V(I;) => V(I;k)oV(I;) = V(I;1)

Vậy ( V(I,k),o) là nhóm aben

* Tập hợp phép tịnh tiến và phép vị tự cùng tâm cùng với phép toán lấy tích hai

Vậy ĐboĐ a là phép tịnh tiến theo vectơ 2

Tích hai phép đối xứng truc có trục song song là phép tịnh tiến

TH2: a cắt b

a b

M O

M' M"

Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và góc giữa (OM,OM”) = (OM,OM’)+(OM’,OM”)= 2(a,b)

KL:Tích hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là phép quay tâm là giao của haitrục và góc quay bằng 2 lần góc giữa hai hai trục

TH3: a vuông góc b

a b

Chứng minh

d d'

I' I

M'

Giả sử: tịnh tiến theo vectơ ,và hai phép đối xứng qua hai trục song song

d ,d’(Đd ,Đd’ )

Lấy đường thẳng d nhận là vectơ pháp tuyến

Gọi d’ là ảnh của d qua phếp tịnh tiến theo vectơ

Khi đó : 1 + = 21 + 2 =2 = Vậy tịnh tiến theo vectơ biến điểm M thành điểm M’

Bài toán3 3:

Mỗi phép quay đều có thể bằng vô số cách phân tích thành tích của 2 phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại tâm quay, tạo với nhau một góc bằng nửa góc quay và có cùng hướng với góc quay

Chứng minh:

dJH

M'M

Lấy đương thẳng d bất kì qua I

Gọi d’ là ảnh của d qua phép quay tâm I góc quay

Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:

(IM,IM1) = (IM ,IM”) + (IM”, IM1)

= 2(IJ,IM”) + (IM”, IH)

= 2(IJ,IH)

= 2 = α = (IM,IM’)

thực hiện liên tiêp hai phép đối xứng trục qua hai trục d va d’

Bài toán 3.4:Tích một phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục là một phép đối xứng tâm

Chứng minh

d

V

U W

Ngược lại ;tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến là phép đối xứng trượt

Bài toán 3.6: Tích của một phép đối xứng trục và phép quay là phép đối xứng trượt

Ta đã biét có thể phân tích phép Q thành tích cua hai phép đối xứng trục Đ1,Đ2 ‘ lần

phép đối xứng trục Đ

Do đó ,f là tích của ba phép đối xứng trục ,trong đó có hai trục song song ,tức f làtích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng trục :

f = Đo(Đ1oĐ2) = (ĐoĐ1)oĐ2 = To Đ2

Vậy f là một phép đối xứng trượt

Ngược lại: Tích phép quay và phép đối xứng trục là phépđối xứng trượt.

Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và (OM;OM”) = +

Vậy Q(O;+) :(M) = M” => Q(O,)oQ(O,)= Q(O;)

KL: Tích hai phép quay cùng tâm là một phép quay

TH2/Quay khác tâm

Giả sử :Q(O1;) và Q(O2;)

Thì Đd1oĐd3 là một phép tịnh tiến

KL: Vậy tích của hai phép quay khác tâm là một phép quay hoặc phép tịnh tiến

Bài toán 4.2,Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay là một phép quay

Chứng minh

Ta có : QoT = (Đ2oĐ1)o(Đ3oĐ2) = Đ1oĐ3 = Q

Giao điểm d3 và d2 là tâm quay J của Q(J;α) = Q(I,α)oT

Ngược lại ; Tích của một phép quay và môt phép tịnh tiến là một phép quay.

Từ nhóm bài toán 4 ta xây dựng được cấu trúc nhóm sau:

*Tập hợp phép quay cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành một nhóm.

Chứng minh:

+ Tính chất kết hợp: (Q(O;α) o Q(O;β)) o Q(O;)= Q(O;α +β)o Q(O;) = Q(O;(α +β)+)

=Q(O;α) o(Q(O;β) o Q(O;))

+ Q(O;α) o Q(O;β) = Q(O;α +β)= Q(O;β+α)= Q(O;β)o Q(O;α) => phép toán có tính chât giao hoán+ Phần tử đơn vị e = Q(O;0 ) => Q(O;α)o Q(O;0 ) = Q(O;α)

+ Phần tử nghịch đảo: (O,α) đềungịch dảo Q(O;-α) => Q(O;α)o Q(O;-α) = Q(O;0)= e

*Tập hợp phép quay cùng tâm và phép tịnh tiếncùng với phép toán lấy tích

2 phép biến hình lập thành một nhóm.

Chưng minh

+ Theo chứng minh trên ta có: oQ(I, ;) = Q(J;)

Q(O,)oQ(O,)= Q(O;)

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN

HÌNH TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH

I.Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán chứng minh

1 Phương pháp giải toán chứng minh

Sử dụng định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ,mối liên hệ … của phép biến hình

Phép đồng dạngPhép dời hình

Phépđốixứngtâm

Phépđốixứngtrục

Phépquay

Phép

tịnh

Phép đồngnhất

v

Tr

a/ Lấy M (0,1)d  (M) =(M’)

(0;1) =(-2;2) d  M’ d’

Vì d’ song song với d nên d’ : 2x-3y+c=0 mà M’ d’  c=10

Vậy phương trình d’:2x-3y+10=0

Mà phép tịnh tiến bao toàn tỉ số đơn

Do đó : tịnh tiến theo véc tơ : G = G’ suy

Nên tịnh tiến theo vecto :B=B’ và N=N’

Cũng vậy do N và N’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

Hay (A, N, C)= (A’,N’,C’) =2 nên tịnh tiến theo vecto : C=C’

Vậy tịnh tiến theo vecto tam giác ABC thành tam giác A’B’C’

 A’B’, B’C’,C’A’ tương ứng song song và bằng AB,BC,CA

A

C

A' N'

thẳng a cắt AB ,BC,CA lần lượt tai M,N,P ;đươn thẳng b cắt AB,BC,CA lần lượttại D,E,F sao cho = , =,=và =

C B

D

P

R' R"

Xét các phép tịnh tiến theo các vectơ ,,

Bộ ba điểm (P,Q,R) có ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ ,,: lần lượt là:

( P’,Q’,R’); (P”,Q”,R”)và(P”’,Q”’,R”’)

Theo tính chất của phép tịnh tiến :

Do đó để chứng minh GHQR là hình bình hành ta cần chứng minh Q”’ H ,R”’G

Ta có:tịnh tiến theo vectơ (Q) =Q’ => Q’

Tịnh tiến theo vectơ (Q’)=Q” => Q”

Gọi D,E,F,L,M,N lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB,OA,OB,OC.Chứng minh lục giác DNELFM có tâm đối xứng.

Giải.

Do D,N lần lượt là trung điểm của BC,OC nên theo định lí về đường trung bình của tam giác:

Tương tự F,L :

Suy ra ,,tức là DNLF là hình bình hành ,nhận giao điểm Icủa hai đương chéo DL,FN

Vậy các dường thẳng DL,EM,FL đồng quy tại Ivà

lục giác DNELFM có tâm đói xứng là I

c/Phép quay

Bài 1.

Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng B nằm giữa A

và C.Dựng về một phía của đường thẳng AC

các tam giác đếu ABE và BCF

a/Chứng minh rằng A F=EC và góc giữa 2

đường thẳng A F và EC bằng 60

b/Gọi M,N lần lượt là trung điểm của A F và

EC Chứng minh rằng tam giác BMN đều

Suy ra góc quay giữa EC và EF bằng 60

trung điểm M của AF

vậy tam giác ABC đều

Bài 2.

Cho tam giác ABC dựng về phía ngoài của tam giác cá hình vuông BCIJ

,ACMN.ABEF.Gọi O,P,Q lấn lượt là tâm đối xứng của chúng

a/Gọi D là trung điểm của AB CMR DOP là tam giác vuông cân đỉnh D

b/Chứng minh AO vuông góc PQ và AO=PO

 DP là đường trung bình của tam giác ABM

DO song song và bằng AI (2)

Từ (1),(2) suy ra OP =DO

 Q(D;90) suy ra DP vuông góc DO => tam giác DOP vuông cân tại D

Bài 4.

Trên các cạnh của tứ giác lồi bất kì dựng về phía

ngoài các hình vuông

Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối tâm của hình

vuông đối nhau có độ dài bằng nhau và vuông góc

với nhau

N b

a M

O

Q P

A

B M'

N'

O1

M P

Q(M;90)oQ(Q;90) =Q(O1;90) :B=C,C=D => =180o;O1B=O1D;=90o

Q(P;90)o Q(N;90)=Q(O2;180) : D =A,A =B => =180o;O2B =O2; =90o

Cho đường thẳng d song song với cạnh AB của hình bình hành ABCD cắt

AD,BC lần lượt tại 2 điểm P, Q Trên 2 đường thẳng d trên 2 đường thẳng d, CD lấy 2 cặp điểm (E,F) và (M,N)tương

ứng sao cho các giao điểm S của

Cũng vậy dễ thấy V(U,k’) : M = E do đó N=F (k’ 0,k’ 1)

Tích V(S,k) o V(U,k’) là một phép vị tự tâm T tỉ số k’’=k.k’

Trong đó T là điểm chia SU theo tỉ số = tức =

Vậy S,T,U thẳng hàng

Bài 2.Trên cạnh đáy BC của tam giác ABC đặt các đoạn thẳng bằng nhau

BB’=CC’.Qua B’ ,C’ dưng các đương thẳng l’và l” lần lượt song song với các cạnh bên.CMR: giao điểm của l’,l” nằm trên các đương trung tuyến AM cua tam giác ABC

Giải

l'

l"

L A

Bài 3 Cho tứ giác nội tiếpABCD.Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác

ABC ,CDA,BCD,DAB nằm trên cùng một đường tròn

Giải

s M K

L C

D B

A

P O

Gọi L,K là trung điểm của AC và BD ,M là trung điểm của K, L,O là trọng tâm tam giác ABC;P là trung điểm của OB ;PL là đường trung bình của tam giác BOD =>PL song song OD

Vì PO =OK nên OD đi qua trung điểm M của KL

Ta có :

và =>



 => => V(M;-) (D) = O

Tương tự các điểm A,B,C là tạo ảnh của các trọng tâm tam giàc của tam giàc

thành một tứ giác ABCD qua phép vị tự

f/phép đồng đạng:

Bài 1:Một điểm A thay đổi trên đường tròn có đường kính BC ,AH là đường cao

của tam giác ABC Gọi O ,O’ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC Chứng minh đường vuông góc hạ từ A đến đương thẳng OO’ đi qua điểm cố định

Giải

Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A đến OO’

I C

Suy ra tam giác HOO’ đồng dạng với tam giác HBA

(H,) biến BA thành OO’ => (,)= do đó (, )=.vậy AI đi qua trung điểm D của cung (không qua A)

Bài2:

Sao cho BF =BE.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuông CE CMR :HD vuông góc với HF

F

E H

,B’,C’, D’ = A”,B”,C”,D”.Dễ thấy B” = E,C” = B

HD Vậy HD vuông góc với HF

II Ứng dụng các phép các phép biến hình trong giải toán quỹ tĩch

1.Phương pháp giải toán quỹ tĩch.

Bước 2 : (phần thuận) chứng minh nếu điểm M có tính chất thì M thuộc hình (H)

Bước 3: (phần đảo) chứng minh nếu điểm M’ thuộc hình (H) thì M’ có tính chất Bước 4: kết luận quỹ tích điểm M có tính chất α là hình (H)

b.Phương pháp tọa độ

Bước 1: chọn trục tọa độ thích hợp, đặt tọa độ chho các điểm cố định

Bước 2: gọi tọa độ điểm M cần tìm quỹ tích là (x,y), tìm hệ thức liên hệ giữa x.y với tọa độ những điểm cố định

Bước 3: khử tham số của hệ thức trên (nếu có) và đưa hệ thức đó về dạng

phương trình quen thuộc của đường tròn, đường thẳng, elip, parabol, hyebol,…Bước 4: giới hạn quỹ tích dựa vào điều kiện cua tham số ở bước 3

Bước 5: kết luận quỹ tích cần tìm