Ôn thi đại học hàm số

http://mathblog.org Chương 5 Hàm số 5.1 Tính đơn điệu Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số  Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau : 1. Tìm tập xác định D của hàm số; 2. Tính đạo hàm y ′ = f ′ (x); 3. Tìm các giá trị của x ∈ D để f ′ (x) = 0 hoặc f ′ (x) không xác định (gọi là các điểm tới hạn của hàm số); 4. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu y ′ = f ′ (x) trên từng khoảng x ∈ D ; 5. Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ ta suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số. Bài 5.1 : Xét sự biến thiên của các hàm số sau : 1. y = x 3 − 3x 2 ; 2. y = x 3 − 2x 2 + 18x −1 ; 3. y = −x 3 − 3x 2 + 24x + 26 ; 4. y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 ; 5. y = x 4 − 2x 2 + 7 ; 6. y = − 1 4 x 4 + 2x 2 − 1 ; 7. y = x 4 + 2x 2 − 3 ; 8. y = x 4 − 6x 2 + 8x + 1 ; 9. y = 2x − 1 x + 1 ; 10. y = x + 2 x − 1 ; 11. y = −x 2 + 2x − 1 x + 2 ; 12. y = x 2 + 4x + 3 x + 2 ; 13. y = x + 4 x ; 14. y = x + √ 1 − x 2 ; 15. y = √ 3x 2 − x 3 ; 16. y = sin x với x ∈ (0;2π). 83 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.2 : Chứng minh rằng hàm số : 1. y = x + 1 2x − 1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định; 2. y = x 3 3 − x 2 + x + 5 đồng biến trên R; 3. y = − 2 3 x 3 + 6x 2 − 20x + 5 nghịch biến trên R; 4. y = √ 4 − x 2 nghịch biến trên [0;2]; 5. y = sin x + x đồng biến trên R; 6. y = x 3 + x − cos x −4 đồng biến trên R; 7. y = cos 2x −2x + 3 nghịch biến trên R. Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền  Sử dụng điều kiện cần : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên D = (a;b) và f ′ (x) = 0 tại không quá hữu hạn giá trị. 1. Hàm số y = f(x) đơn điệu tăng trên D khi và chỉ khi f ′ (x) ≥ 0 với mọi x ∈ D . 2. Hàm số y = f(x) đơn điệu giảm trên D khi và chỉ khi f ′ (x) ≤ 0 với mọi x ∈ D . Chúng ta các bài toán sau : Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R hoặc trên (−∞;a) và (a;+∞). Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí 1 : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a  0). • f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi a > 0 ∆ ≤ 0. • f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi a < 0 ∆ ≤ 0. Chú ý : Định lí 1 còn đúng khi điều kiện của ta không phải là mọi x ∈ R mà thay bàng điều kiện với mọi x khác x 1 , x 2 , . . . Bài toán 2 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên (a;b) trong đó ít nhất a hoặc b là hữu hạn. Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí 2 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f(x), min f(x). • f(x) ≥ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi min f(x) ≥ m; • f(x) ≤ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi max f(x) ≤ m. Một cách tổng quát với bài toán phương trình, bất phương trình có tham số chúng ta làm như sau : • Chuyển vế phương trình, bất phương trình về dạng một vế chỉ chứa ẩn (vế trái) và một vế chỉ chứa tham số; • Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (hạn chế bảng biến thiên với điều kiện của ẩn đang xét); • Tính đầu và cuối tất cả các mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản); • Sử dụng định lí 2. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 84 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài toán 3 : Tìm các giá trị của tham số biết độ dài của khoảng đồng biến hoặc nghịch biến. Với bài toán này ta phải lập bảng biến thiên và tính trực tiếp các nghiệm của y ′ = 0 hoặc sử dụng định lí Viét. Bài 5.3 : Tìm m để hàm số : y = − 1 3 x 3 + 2x 2 + (2m + 1)x − 3m + 2 nghịch biến trên R. Bài 5.4 : Tìm m để hàm số : y = x 3 + (m − 1)x 2 + (m 2 − 4)x + 9 đồng biến trên R. Bài 5.5 : Cho hàm số y = (m 2 − 1) x 3 3 + (m + 1)x 2 + 3x + 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Bài 5.6 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên R. Bài 5.7 : Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số : y = x 3 + (m −1)x 2 + (m 2 − 4)x + 9 đồng biến trên R. Bài 5.8 : Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Bài 5.9 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x 2 − 2mx − (m 3 − m 2 + 2) x − m nghịch biến trên các khoảng xác định. Bài 5.10 : Tìm m để hàm số y = x + msin x đồng biến trên R. Bài 5.11 : Tìm m để hàm số y = 3 sin x − 4cos x − mx + 1 đồng biến trên R. Bài 5.12 : Tìm m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R. Bài 5.13 : Tìm m đếh y = (2m + 3)sin x + (2 −m)x đồng biến trên R. Bài 5.14 : Tìm m để hàm số y = (m −3)x − (2m + 1)cos x nghịch biến trên R. Bài 5.15 : Xác định k để hàm số y = (k 2 − 2k) x 2 3 + kx + 3 x đồng biến trên tập xác định. Bài 5.16 : Tìm m để hàm số y = x 2 + mx − 1 x − 1 có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó. Bài 5.17 : Cho hàm số y = (m + 1)x 2 − 2mx − 3m 3 + m 2 − 2 x − m . Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Bài 5.18 : Chứng minh rằng hàm số : y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + 2m(2m + 1) không thể luôn đồng biến Bài 5.19 : Cho hàm số y = −x 3 − 3x 2 + mx + 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞). Bài 5.20 : Tìm a sao cho hàm số : 1. y = x 2 (a − x) − a tăng trong khoảng (1;2). 2. y = −x 3 + (a−1)x 2 + (a+ 3)x tăng trong khoảng (0; 3). Bài 5.21 : Cho hàm số : y = x 3 + 3x 2 + (m + 1)x + 4m. Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1). Bài 5.22 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x 3 − 2mx 2 + x đồng biến trên khoảng (0;1). T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 85 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.23 : Cho hàm số : y = − x 3 3 + (m −1)x 2 + (m + 3)x −4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3). Bài 5.24 : Tìm m để hàm số : y = x 2 (m − x) − m đồng biến trên khoảng (1;2). Bài 5.25 : Cho hàm số : y = 1 3 x 3 − mx 2 + (2m − 1)x − m + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịc biến trên khoảng (−2;0). Bài 5.26 : Cho hàm số : y = 2x 3 + 3mx 2 − 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2). Bài 5.27 : Xác định m để hàm số : y = x 3 −3(2m+ 1)x 2 + (12m+ 5)x+ 2 đồng biến trên cả hai khoảng (−∞;−1) và (2; +∞). Bài 5.28 : Cho hàm số y = − 1 3 x 3 − mx 2 + (2m −1)x − m + 2. Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−2; +∞). Bài 5.29 : Tìm m để : y = m 3 x 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + 1 3 đồng biến trên khoảng (2;+∞). Bài 5.30 : Tìm m để : y = 1 3 x 3 − (m + 1)x 2 + m(m + 2)x + 7 đồng biến trên [4; 9]. Bài 5.31 : Cho hàm số y = x + 3 x − m . Tìm m sao cho hàm số : 1. tăng trên (1;+∞) ; 2. giảm trên (−∞;2). Bài 5.32 : Cho hàm số : y = x 2 − 2mx + 3m 2 x − 2m . 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞). Bài 5.33 : Cho hàm số : y = 2x 2 + (1 − m)x + 1 + m −x + m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên (2;+∞). Bài 5.34 : Tìm k để hàm số y = 2x 2 + kx + 2 −k x + k −1 đồng biến trên khoảng (1;+∞). Bài 5.35 : Cho hàm số y = x 2 − (m + 1)x + 4m 2 − 4m − 2 x − (m −1) . Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). Bài 5.36 : Cho hàm số y = 2x 2 − 3x + m x − 1 . Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞). Bài 5.37 : Cho hàm số : y = x 2 − 2mx + 2 + m x − m . Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞). Bài 5.38 : Tìm m để : y = 2x 2 + (1 − m)x + 1 + m x − m đồng biến trên (1; +∞). Bài 5.39 : Cho hàm số : y = mx 2 + x + m mx + 1 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). Bài 5.40 : Tìm m để : y = mx 2 + 6x − 2 x + 2 nghịch biến trên (1;+∞). Bài 5.41 : Tìm m để hàm số : y = x 3 + 3x 2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (−1;1). Bài 5.42 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1] và [2; +∞ ) . Bài 5.43 : Tìm m để hàm số : y = m 3 x 3 + 2(m − 1)x 2 + (m − 1)x + m đồng biến trên các khoảng ( −∞; 0] và [2; +∞ ) . Bài 5.44 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − 6mx 2 + 2(12m − 5)x + 1 đồng biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 3;+∞ ) . Bài 5.45 : Tìm m để hàm số : y = m − 1 3 x 3 + mx 2 + (3m − 2)x đồng biến trên R. Bài 5.46 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − mx 2 − (2m 2 − 7m + 7)x + 2(m −1)(2m −3) đồng biến trên [2; +∞ ) . Bài 5.47 : Tìm m để hàm số : T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 86 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.48 : Tìm m để hàm số : y = 2 3 x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 + 4m + 3)x − m 2 đồng biến trên [1;+∞ ) . Bài 5.49 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − (m + 1)x 2 − (2m 2 − 3m + 2)x + 1 đồng biến trên [2;+∞ ) . Bài 5.50 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − 3(m − 1)x 2 + 3m(m − 2)x + 1 đồng biến trên các đoạn [−2;−1] và [1;2]. Bài 5.51 : Tìm m để hàm số : y = x 3 − 2x 2 + mx − 1 đồng biến trên 0; 1 3 . Bài 5.52 : Tìm m để hàm số : y = 2x 2 − 3x + m x − 1 đồng biến trên (3;+∞). Bài 5.53 : Tìm m để hàm số : y = −2x 2 − 3x + m 2x + 1 nghịch biến trên − 1 2 ; +∞ . Bài 5.54 : Tìm m để hàm số : y = mx 2 − (m + 1)x −3 x đồng biến trên [4; +∞ ) . Bài 5.55 : Tìm m để hàm số : y = (2m − 1)x 2 − 3mx + 5 x − 1 đồng biến trên [2;5]. Bài 5.56 : Tìm m để hàm số : y = x 2 − 2mx + 3m 2 x − 2m đồng biến trên (1;+∞). Bài 5.57 : Tìm m để hàm số : y = x 2 − 2mx + m + 2 x − m đồng biến trên (1; +∞). Bài 5.58 : Tìm m để hàm số : y = 2x 2 + mx + 2 − m x + m −1 đồng biến trên (1; +∞). Bài 5.59 : Tìm m để hàm số : y = x 2 − 8x 8(x + m) đồng biến trên (1;+∞). Bài 5.60 : Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3. Bài 5.61 : Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1. Bài 5.62 : Tìm các giá trị của m để hàm số y = −x 3 + 6x 2 + mx + 5 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1. Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số  Bài toán 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]. 1. Tính y ′ = f ′ (x), giải phương trình f ′ (x) = 0 được các nghiệm x i ∈ [a;b]. 2. Tính y(a) = f(a), y(b) = f(b), y(x i ) = f(x i ). 3. GTLN trong các giá trị trên là max x∈[a;b] f(x), GTNN trong các giá trị trên là min x∈[a;b] f(x). Bài toán 2 : GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên miền D tổng quát. 1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) chỉ xét với x ∈ D . 2. Tính các giá trị dầu và cuối mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản). 3. Căn cứ bảng biến thiên ta có được GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số. Bài 5.63 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = 3x − 1 x − 3 trên [0;2]. Bài 5.64 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 87 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. y = x 2 + x + 1 x (x>0); 2. y = 1 + 4x − x 2 ; 3. y = x 4 − 2x 2 + 5 (x ∈ [−2; 3]); 4. y = √ x − 2 + √ 4 − x; 5. y = 2x 2 + 4x + 5 x 2 + 1 ; 6. y = 2x − √ 1 − x 2 ; 7. y = x + 3 √ x 2 + 1 ; 8. y = x + 9 x trên [2;4]; 9. y = x + √ 2cos x trên 0; π 2 ; 10. y = x + √ 4 − x 2 ; 11. y = x + 1 √ x 2 + 1 trên [−1;2]; 12. y = x 2 + sin 2 x trên − π 2 ; π 2 ; 13. y = 1 + x + sin x + 1 4 sin 2x + 1 9 sin 3x trên [0;π]; 14. y = sin x + cos x; 15. y = 2 sin x + cos 2x; 16. y = sin 5 x + √ 3 cos x. Bài 5.65 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau : 1. y = sin x − cos x + 1 2 ; 2. y = 2sin x − 4 3 sin 3 x trên [0;π]; 3. y = 2cos 2 +|cos x|+ 1 |cos x|+ 1 ; 4. y = 3cos 4 x + 4sin 2 x 3sin 4 x + 2cos 2 x . Bài 5.66 : 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x 2 + 2x − 3|+ 3 2 trên 1 2 ; 4 . 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = |x 3 + 3x 2 − 72x + 90| trên [−5;5]. 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 8x 2 + 16x − 9 trên (1; 3]. Bài 5.67 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 6 + 4(1 − x 2 ) 3 với x ∈ [−1;1] Bài 5.68 : Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f(x) = lg 2 x + 1 lg 2 x + 2 Bài 5.69 : Tìm GTLN, GTNN của y = ln 2 x x , x ∈ [1;e 3 ]. Bài 5.70 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x 4 − 2x 2 + 3 trên [−3; 2]. Bài 5.71 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = x + cos 2 x trên 0; π 4 . Bài 5.72 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = √ x − 1 + √ 3 − x. Bài 5.73 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y = sin 2x 1 + x 2 + cos 4x 1 + x 2 + 1. Bài 5.74 : Cho x, y là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = x 3 + y 3 + xy. Bài 5.75 : Cho x, y là hai số không âm, thỏa mãn xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x 3 + y 3 + x 2 y + xy 2 − 5xy. Bài 5.76 : Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 x + 1 4y Bài 5.77 : Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của P = x y + 1 + y x + 1 . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 88 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.78 : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 x + 1 y + 1 z = 4 Tìm GTLN của 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z Bài 5.79 : Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của 1 + x 3 + y 3 xy + 1 + y 3 + z 3 yz + √ 1 + z 3 + x 3 zx Bài 5.80 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN x x + 1 + y y + 1 + z z + 1 Bài 5.81 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN a + 1 a b + 1 b c + 1 c . Vấn đề 4 : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức  Bài toán 1 : Bất đẳng thức m ột biến. • Đưa bất đằng thức về dạng f(x) ≥ c với mọi x ∈ D . • Xét hàm số y = f(x) với x ∈ D . • Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) với x ∈ D . • Từ bảng biến thiên ta có kết luận bài toán. Bài toán 2 : Bất đẳng thức "phản" đối xứng hai biến a và b với a ≥ b (tương tự a ≤ b). • Đưa bất đẳng thức về dạng f(a) ≥ f (b). • Sử dụng định nghĩa về tính đơn điệu : Giả sử y = f(x) xác định trên D = (a; b) và x 1 < x 2 thuộc khoảng đó (i) y = f(x) đồng biến trên D thì f(x 1 ) < f(x 2 ); (ii) y = f(x) nghịch biến trên D thì f(x 1 ) > f(x 2 ). Bài toán 3 : Bất đẳng thức đối xứng hai biến a và b. • Biến đổi bất đẳng thức về dạng f(a, b) ≥ c hoặc f(a, b) ≤ c với c là hằng số (thường đưa về trường hợp c = 0). Quay về bài toán tìm max f(a, b) hoặc min f(a, b). • Đặt S = a + b và P = ab với (S 2 ≥ 4P), từ các điều kiện ràng buộc ta đưa f(a, b) theo S (hoặc P) và tìm miền ràng buộc cho S và P tương ứng. • Từ đó ta quay về bài toán tìm max, min của hàm một biến số Bài 5.82 : Cho hàm số y = f(x) = tan x + sin x − 2x. Chứng minh rằng T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 89 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. hàm số đồng biến trên 0; π 2 . 2. sin x + tan x > 2x với mọi x ∈ 0; π 2 . Bài 5.83 : Chứng minh rằng 1. sin x > 2x π với x ∈ 0; π 2 ; 2. 1 sin 2 x < 1 x 2 + 1 − 4 π 2 với x ∈ 0; π 2 . Bài 5.84 : Cho hàm số y = f(x) = tan x + 2sin x − 3x.Chứng minh rằng 1. hàm số đồng biến trên 0; π 2 . 2. 2sin x + tan x > 3x với mọi x ∈ 0; π 2 . Bài 5.85 : 1. Chứng minh rằng tan x > x với mọi x ∈ 0; π 2 . 2. Chứng minh rằng tan x > x + x 3 3 với mọi x ∈ 0; π 2 . Bài 5.86 : Cho hàm số y = f(x) = 4x π − tan x. 1. Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x) trên 0; π 4 . 2. Chứng minh rằng 4x π ≥ tan x với mọi 0; π 4 . Bài 5.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng n 1 + n √ n n + n 1 − n √ n n < 2. Bài 5.88 : Chứng minh rằng 1. sin x ≤ x với mọi x ∈ 0; π 2 ; 2. sin x > x − x 3 3! với mọi x ∈ 0; π 2 ; 3. cos x < 1 − x 2 2 + x 4 24 với mọi x ∈ 0; π 2 ; 4. sin x x 3 > cos x với mọi x ∈ 0; π 2 . Bài 5.89 : Chứng minh rằng 1. e x ≥ 1 + x với mọi x ∈ R; 2. e x ≥ 1 + x + x 2 2 với mọi x ≥ 0. Bài 5.90 : 1. Cho a < b, chứng minh rằng sina − sinb < b −a; 2. Chứng minh rằng sin 2010 −sin 2009 + 1 < 0. Bài 5.91 : Chứng minh rằng hàm số y = f(x) = tan x x đồng biến trên 0; π 4 . Từđó suy ra 4. tan π 36 . tan π 20 < 3. tan π 30 . tan π 18 . Bài 5.92 : Chứng minh rằng với 0 < α < β < √ 6 ta có sin β sin α > β − β 3 6 α − α 3 6 . Bài 5.93 : Chứng minh rằng ln(1 + x) ≥ x − x 2 2 với mọi x ≥ 0. Bài 5.94 : Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức ln(1 + x) ≥ x −ax 2 đúng với mọi x ≥ 0. Bài 5.95 : Tìm tất cả các số thực dương a để a x ≥ 1 + x với mọi ≥ 0. Bài 5.96 : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng 2 a + 1 2 a b ≤ 2 b + 1 2 b a . Bài 5.97 : Chứng minh rằng (2 x + 3 x ) y < (2 y + 3 y ) x với mọi x > y > 0. Bài 5.98 : Cho x, a, b > 0 và a  b. Chứng minh rằng x + a x + b x+b > a b b . Bài 5.99 : Chứng minh rằng x > ln(1 + x) với mọi x > 0. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 90 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.100 : Chứng minh rằng với x ∈ (4; +∞) ta luôn có 2 x > x 2 . Vấn đề 5 : Ứng dụng sự biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ  1. Nếu f(x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f(x) = g(x) tương đương với f(x) = c g(x) = c. 2. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình f [u(x)] = f [v(x)] tương đương với u(x) = v(x). 3. Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) và hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến trên (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. 4. Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = c (với c là hằng số) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. 5. Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≥ v. 6. Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) thì bất phương trình f(u) ≥ f(v) tương đương với u ≤ v. Bài 5.101 : Giải các phương trình 1. √ 3x + 1 + x + √ 7x + 2 = 4; 2. √ 5x 3 − 1 + 3 √ 2x − 1 + x = 4; 3. 3 √ x + 2 + 3 √ x + 1 = 3 √ 2x 2 + 1 + 3 √ 2x 2 ; 4. 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 + 3 √ x + 3 = 0. Bài 5.102 : Giải bất phương trình 1. √ 5x − 1 + √ x + 3 ≥ 4; 2. 3 √ 3 − 2x + 5 √ 2x − 1 − 2x ≤ 6; 3. √ (x + 2)(2x −1) −3 √ x + 6 ≤ 4 − √ (x + 6)(2x − 1) + 3 √ x + 2; 4. √ 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 < 2 √ 3 + √ 4 − x; 5. √ x + 9 + √ 2x + 4 > 5. Bài 5.103 : Giải các hệ phương trình 1. x − 1 x = y − 1 y √ x + y √ y = 2. 2. x 3 − 3x = y 3 − 3y x 6 + y 6 = 1. 3. √ 2x + 1 − √ 2y + 1 = x − y x 2 − 12xy + 9y 2 + 4 = 0. Bài 5.104 : Giải phương trình : x 5 + x 3 − √ 1 − 3x + 4 = 0. Bài 5.105 : Giải phương trình : √ x 2 + 15 = 3x − 2 + √ x 2 + 8. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 91 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.106 : Giải bất phương trình : √ x + 1 + 3 √ 5x − 7 + 4 √ 7x − 5 + 5 √ 13x −7 < 8. Bài 5.107 : Giải bất phương trình : 2x + √ x + √ x + 7 + 2 √ x 2 + 7x < 49. Bài 5.108 : Giải phương trình : 5 x + 4 x + 3 x + 2 x = 1 2 x + 1 3 x + 1 6 x − 2x 3 + 5x 2 − 7x + 17. Bài 5.109 : Tìm x, y ∈ (0; π) thỏa mãn hệ : cot x − coty = x −y 5x + 8y = 2π. Vấn đề 6 : Ứng dụng sự biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số  Bước 1 : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t. Bước 2 : Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau: f(t) = g(m); f(t) ≥ g(m); f(t) ≤ g(m); f(t) > g(m); f(t) < g(m). Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m. Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước 1. Bước 4 : Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f(t). Sử dụng các kết quả đã nêu ở mục 2, để tìm ra kết luận của bài toán. Chú ý : điều ki ện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t khi x biến thiên để phương trình t = u(x) có nghiệm. Chẳng hạn, nếu đặt t = 3 x thì điều kiện t > 0, nhưng vẫn đặt t = 3 x , x ∈ [−1; 1] thì điều kiện 1 3 ≤ t ≤ 3 và nếu đặt t = u(x) = 3 √ −x 2 +2x , x ∈ [0;2] điều kiện chặt của t phải là 1 ≤ t ≤ 3. Bài 5.110 : Cho hàm số : y = mx 2 + 2mx − 3. 1. Tìm m để phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong đoạn [1; 2]. 2. Tìm m để bất phương trình f (x) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn [1;3]. 3. Tìm m để bất phương trình f (x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x trong đoạn (1;4). Bài 5.111 : Tìm m để phương trình : 2(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4x + 2sin 2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; π 2 . Bài 5.112 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 2x 2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0. Bài 5.113 : Tìm m để phương trình : 2 + 2sin 2x = m(1 + cos x) 2 có nghiệm trên đoạn − π 2 ; π 2 . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 92 [...]... của hàm số cùng âm x2 − (m + 3)x + 3m + 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu x−1 đại ht tp Bài 5.213 : Cho hàm số : y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực Bài 5.214 : Cho hàm số : y = x4 + (m + 3)x3 + 2(m + 1)x2 Chứng minh rằng : với mọi m đồng thời xcđ ≤ 0 −1 hàm số luôn có cực đại, Bài 5.215 : Cho hàm số. .. của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu x2 + 2m2 x + m2 có cực đại và cực tiểu x+1 2m2 x2 + (2 − m2 )(mx + 1) Bài 5.208 : Cho hàm số : y = Chứng minh rằng với mọi m 0 hàm số luôn có cực đại và cực mx + 1 tiểu x2 − 2kx + k2 + 1 Chứng minh rằng với mọi k, hàm số luôn có giá trị cực đại, cực tiểu trái Bài 5.209 : Cho hàm số y = x−k dấu x2 − (3m + 2)x + m + 4 Bài 5.210 : Cho hàm số : y = Tìm m để hàm. .. hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời khoảng cách x−1 giữa hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nhỏ hơn 3 :// m at hb lo g or g Bài 5.207 : Với giá trị nào của m thì hàm số : y = x2 + mx + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu x+1 của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng 2x + y − 1 = 0 Bài 5.211 : Cho hàm số y = Bài 5.212 : Cho hàm số y... 1)x2 − 4 Với giá trị nào của a thì hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại Bài 5.216 : Cho hàm số y = 1 4 1 x − mx2 + 2 2 1 Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại 2 Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác : (a) đều ; (b) vuông ; 1 (c) có diện tích bằng 2 Bài 5.217 : Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1 Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một... trị của đồ thị hàm số (1) Bài 5.354 (A03) : Cho hàm số : y = mx2 + x + m (1) (m là tham số ) x−1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 114 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1 2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương Bài 5.355 (A04) : Cho hàm số : y = 1 Khảo sát hàm số (1) −x2 +... của đồ thị hàm số y = x−1 ◦ góc 45 5.8 Hàm số trong các kì thi tuyển sinh ĐH Bài 5.350 (CĐ08) : Cho hàm số y = x x−1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho ht tp 2 Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Bài 5.351 (CĐ09) : Cho hàm số y = x3 − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + 2 (1), với m là tham số thực 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi... điểm cố định của đồ thị hàm số Bài 5.310 : Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3m − 2 Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn luôn đi qua một điểm cố định TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 110 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.311 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn đi qua điểm M(1; 0) Bài 5.312 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x +... : Cho hàm số : y = x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m (1), m là tham số x+2 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1 2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O Bài 5.359 (A08) : Cho hàm số y = mx2 + (3m2 − 2)x − 2 (1), với m là tham số thực x + 2m 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1)... : Cho hàm số : y = x4 − mx2 + m − 1 (1) (m là tham số) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 8 2 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Bài 5.386 : Cho hàm số : y = x2 − 2x + m (1) (m là tham số) x−2 1 Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [−1; 0] Bài 5.387 : Cho hàm số : y = 1 1 Cho m = 2 :// m at hb lo g or g 2 Khảo sát sự biến thi n... 1 có cực đại và cực tiểu Bài 5.222 : Cho hàm số : y = x4 + 2x3 + mx2 Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Bài 5.223 : Tìm m để y = −x4 − 8mx3 − 3(2m + 1)x2 + 4 chỉ có cục đại mà không có cực tiểu 1 3 Bài 5.224 : Tìm m để hàm số y = x4 − mx2 + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 4 2 Bài 5.225 : Tìm m để y = mx4 + (m − 1)x2 + (1 − 2m) chỉ có đúng một cục trị Bài 5.226 : Cho hàm số : y = 3x4 . 5 Hàm số 5.1 Tính đơn điệu Vấn đề 1 : Xét chiều biến thi n của hàm số  Xét chiều biến thi n của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau : 1. Tìm tập xác định D của hàm số; 2. Tính đạo hàm. hàm số y = a sin x + 1 3 sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x = π 3 . Bài 5.143 : Cho hàm số y = x 2 + mx + 1 x + m . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2. Bài 5.144 : Tìm a, b để hàm số. LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.148 : Tìm m để hàm số : y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu. Bài 5.149 : Cho hàm số : y = x 3 − 3mx 2 + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và