Vấn đề 1 :Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm
1. Tínhx0vày0;
2. Thay vào phương trình tiếp tuyếny=y′(x0)(x−x0)+y0.
Bài 5.286 (TN07) : Cho hàm sốy= x+1− 2x2
−1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại điểmA(0; 3).
Bài 5.287 (TN07) : Cho hàm sốy=−x3+3x2−2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại điểm uốn.
Bài 5.288 (TN07) : Cho hàm sốy= x4−2x2+1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại điểm cực đại của(C).
Bài 5.289 (TN07) : Cho hàm sốy= x−1
x+2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại giao điểm của(C)với trục tung.
Bài 5.290 (TN07) : Cho hàm sốy= 3x+4
2x−3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại điểmM(1;−7).
Bài 5.291 (TN07) : Cho hàm sốy= x3−3x+2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại điểmA(2; 4).
Bài 5.292 (TN08) : Cho hàm sốy= x3−3x2+1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với(C)tại điểm có hoành độ bằng 3.
http://mathblog.org
Bài 5.294 : Trong các bài từ 5.286 đến 5.293 hãy tính diện tích tao giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai trục tọa độ.
Bài 5.295 : Cho hàm số 2x−3
x−2 . Tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số và viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm đó.
Bài 5.296 : Cho hàm sốy= 1 3x
3−2x2+3x. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó là tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất.
Bài 5.297 : Cho hàm sốy=2x3−3x2+9x−4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của(C)tại các giao điểm của(C)với đồ thị các hàm số sau :
1. d : y=7x+4; 2. (P) : y=−x2+8x−3; 3. (C′) : y=x3−4x2+6x−7.
Bài 5.298 : Cho hàm sốy=−x4+2mx2−2m+1có đồ thị là(Cm). 1. Chứng minh rằng(Cm)luôn đi qua hai điểm cố địnhAvàB. 2. Tìmmđể hai tiếp tuyến tạiAvàBvuông góc với nhau.
Bài 5.299 : Cho hàm sốy= x
2+2x+2
x+1 có đồ thị là(C).
1. Giả sửAlà điểm thuộc(C)có hoành độ làa. Viết phương trình tiếp tuyếndcủa(C)tạiA. 2. Xác địnhađểdđi qua điểmM(1; 0).
Bài 5.300 : Cho hàm sốy = x− 1
x+1 (C). Tìm các cặp điểm phân biệt trên(C)mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Bài 5.301 : Cho điểmA(x0; y0)thuộc đồ thị(C)hàm sốy= x3−3x+1. Tiếp tuyến của(C)tạiAcắt(C)tại điểmBkhông trùng vớiA. Tìm hoành độ củaBtheox0.
Bài 5.302 : Cho hàm sốy= x−1
x+1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ làx0. Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến đó với các trục tọa độ và với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Bài 5.303 : Cho hàm sốy= x3+1−m(x+1) (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của(Cm)với trục tung. Tìm
mđể tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 5.304 : Cho hàm sốy= x
2+x−2
x−2 (C). Tìm điểmMtrên(C)sao cho tiếp tuyến tạiMcắt hai trục tọa độ tại hai điểm
A,Bvà tam giácOABcân.
Bài 5.305 : Cho hàm sốy= x+1+ 1
x−1, (C). Tìm các điểm trên(C)có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 5.306 : Cho hàm sốy= 2x
2+(6−m)x
mx+2 (C)(vớim , 0). Chứng minh rằng tại mọi điểm của(C)tiếp tuyến luôn cắt hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
Bài 5.307 : Cho hàm sốy = x
2+mx−8
x−m (C). Xác địnhmđể(C)cắt trụcOxtại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 5.308 : Cho hàm sốy= 2x
2+mx+m
x+1 (C). Xác địnhmđể(C)cắt trụcOxtại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 5.309 : Cho hàm sốy=x3+mx2−m−1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cố định của đồ thị hàm số.
Bài 5.310 : Cho hàm sốy= x3−3mx+3m−2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn luôn đi qua một điểm cố định.
http://mathblog.org
Bài 5.311 : Cho hàm sốy=x3+3x2+mx. Tìmmđể tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn đi qua điểm M(1; 0).
Bài 5.312 : Cho hàm sốy = x3+3x2+3x+5. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm ấy vuông góc với nhau.
Bài 5.313 : Tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy = x
3+1
x , biết mỗi tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích 1
2.
Bài 5.314 : Cho hàm sốy= x3+3x2+mx+1 (Cm). Tìmmđể(Cm)cắt đường thẳngy=1tại 3 điểm phân biệtC(0; 1),D,E. Tìmmđể các tiếp tuyến tạiDvàEvuông góc.
Bài 5.315 : Cho hàm sốy= 2x−1
x−1 (C)và điểmMbất kì thuộc(C). GọiI là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại Mcắt hai đường tiệm cận tạiAvàB.
1. Chứng minh rằngMlà trung điểmAB. 2. Chứng minh rằngSIABkhông đổi.
3. TìmMđể tam giácIABcó chu vi nhỏ nhất.
Bài 5.316 : Cho hàm sốy = x
2−3x+4
2x−2 (C)và điểm Mbất kì thuộc (C). GọiI là giao điểm hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại Mcắt hai đường tiệm cận tạiAvàB.
1. Chứng minh rằngMlà trung điểmAB.
2. Chứng minh rằng tích khoảng cách từMđến hai đường tiệm cận là không đổi. 3. Chứng minh rằngSIABkhông đổi.
4. TìmMđể tam giácIABnhỏ nhất.
Vấn đề 2 :Hai đường cong tiếp xúc
Hai đường congy= f (x)vày=g(x)tiếp xúc với nhau khi và chit khi hệ phương trình
8
<
:
f (x)=g(x) f′(x)=g′(x)
có nghiệm. Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm tiếp xúc.
Bài 5.317 : Tìm tất cả các giá trị củaađể đồ thị hàm sốy= x4−5x2+4tiếp xúc với đồ thị hàm sốy=x2+a.
Bài 5.318 : Cho hàm sốy = 2x
2+(m+1)x−3
x+m có đồ thị(Cm). Tìmmđể tiệm cận xiên của(Cm)có đồ thị tiếp xúc với parabol(P) : y= x2+5.
Bài 5.319 : Tìmađể(C) : y =(x+1)2(x−1)2 tiếp xúc với(P) : y =ax2−3. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến chung của(P)và(C).
Bài 5.320 : Choy= mx
2+3mx+2m+1
http://mathblog.org
Bài 5.321 : Choy=2x3−3(m+3)x2+18mx−8. Tìmmđể(Cm)tiếp xúc với trục hoành.
Bài 5.322 : Cho hàm sốy=x3+k(x+1)+1. Tìm tất cả giá trịkđể đường thẳngy= x+1tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Vấn đề 3 :Tiếp tuyến đi qua một điểm
Yêu cầu bài toán là viết phương trình tiếp của đồ thị hàm sốy= f (x)biết tiếp tuyến đi quaA(xA; yA). Cách 1 : (a) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc làk, khi đó phương trình tiếp tuyến lày=k(x−xA)+yA.
(b) Theo điều kiện tiếp xúc ta có hệ
8
<
:
f (x)=k(x−xA)+yA
f′(x)=k.
(c) Thaykvào phương trình đầu ta tìm đượcx, thế trở lại tìm đượck, khi đó ta có phương trình tiếp tuyến. Cách 2 : (a) Giả sử hoành độ tiếp điểm làx0, khi đó phương trình tiếp tuyến lày= f′(x0)(x−x0)+y0.
(b) Do tiếp tuyến đi quaA, nên ta cóyA = f′(x0)(xA−x0)+y0. Từ đó tìm đượcx0, vì vậy viết được phương trình tiếp tuyến.
Bài 5.323 (TN05) : Cho hàm sốy = 2x+1
x+1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(−1; 3).
Bài 5.324 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểmA(0; 1)và tiếp xúc với đồ thị hàm sốy=x3−3x2+2.
Bài 5.325 : Viết phương trình tiếp tuyến củay=3x−4x3quaA(1; 3).
Bài 5.326 : Choy= x+ 1
x+1 có đồ thị(C). Chứng minh rằng quaA(1;−1)ta luôn vẽ được đến(C)hai tiếp tuyến vuông góc.
Bài 5.327 : Cho hàm sốy=x3−3x2+2 (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến với(C), biết tiếp tuyến xuất phát từA
23 9 ;−2
.
2. Tìm trên đường thẳngy=−2các điểm kẻ đến(C)hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 5.328 : Cho hàm sốy=−x3+3x+2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến(C).
Bài 5.329 : Cho hàm sốy=x3−12x+12 (C). Tìm trên đường thẳngy=−4các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến(C).
Bài 5.330 : Cho hàm sốy = x3−12x+12. Tìm trên đường thẳngy = −4những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị.
Bài 5.331 : Tìm điểmAtrên trục tung, sao cho quaAcó thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm sốy=−x4+x2−1.
Bài 5.332 : Cho hàm sốy = x
2−6x+9
−x+2 (C). Tìm các điểm Mtrên trục tung để từ đó kẻ được tiếp tuyến đến(C)song song vớid : y=−34x.
Bài 5.333 : Cho hàm sốy= x+1
x−1 có đồ thị(C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến(C).
Bài 5.334 : Tìm trên đường thẳngy=2x+1các điểm mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm sốy= x+3
http://mathblog.org
Bài 5.335 : Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ được đến đồ thị hàm sốy = 2x
2+x+1
x+1 hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 5.336 : Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm sốy= x
2+x−3
x+2 .
Vấn đề 4 :Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước
1. Nếu tiếp tuyến có hệ số góckthì phương trình hoành độ tiếp điểm là f′(x)=k. 2. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳngy=ax+bthì hệ số góck=−1a. 3. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳngy=ax+bthì hệ số góck=a.
Trong trường hợp này ta phải kiểm tra điều kiện song song : Hai đường thẳngy=ax+bvày= a′x+b′song song với nhau khi và chỉ khi
8
<
:
a=a′ b,b′.
4. Tiếp tuyến hợp với đường thẳngy=ax+bmột gócαthìtanα=
k−a 1+ka .
Bài 5.337 : Cho hàm sốy= x3+3x2−9x+5. Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất.
Bài 5.338 : Cho hàm sốy=−x3+3x2−3x+1. Trong số các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Bài 5.339 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy = x3−3x2, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
y= 1 3x+5.
Bài 5.340 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm sốy= x3−3x2+1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
y=9x+2010.
Bài 5.341 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy= 3x−2
x−1 , biết tiếp tuyến đó tạo với trục hoành một góc45◦.
Bài 5.342 : Cho hàm sốy=2x3−3x2−12x−5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết 1. Tiếp tuyến đó song song với đường thẳngy=6x−4.
2. Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳngy=−13x+2. 3. Tiếp tuyến đó tạo với đường thẳngy=−12x+5một góc45◦.
Bài 5.343 : Cho hàm sốy= 1 3x
3−2x2+x−4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết 1. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng−2.
2. Tiếp tuyến tạo với chiều dươngOxmột góc60◦. 3. Tiếp tuyến tạo với chiều dươngOxmột góc45◦.
http://mathblog.org
4. Tiếp tuyến tạo với trụcOxmột góc75◦.
5. Tiếp tuyến song song với đường thẳngy=−x+2. 6. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳngy=2x−3. 7. Tiếp tuyến tạo với đường thẳngy=3x+7góc45◦. 8. Tiếp tuyến tạo với đường thẳngy=−12x+3góc30◦.
Bài 5.344 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy = 1 4x
4 − 13x3+ 1 2x
2+ x−5 song song với đường thẳng
y=2x−1.
Bài 5.345 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy= x4−2x2+4x−1song song với đường thẳngy=−14x+3.
Bài 5.346 : Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳngy=−xcủa đồ thị hàm sốy= x
2−x−1
x+1 .
Bài 5.347 : Cho hàm sốy= x
2+3x+4m
x+1 . Với những giá trị nào củamthì đồ thị của hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất.
Bài 5.348 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x−3
5x−4, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
y=−2x.
Bài 5.349 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy = 4x−3
x−1 , biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳngy= 3xmột góc45◦.