Rut gon bieu thuc chua CBH, CBB - BD HSG

Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Ngày soạn : 15/09/11 Ngày dạy : 20/09/11 Chủ đề Rút gọn tính giá trị biểu thức Buổi Các phép tính thức - rút gọn biểu thức A/Mục tiêu Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Thực thành thạo phép tính thức Kĩ - Rèn kĩ biến đổi, rút gọn trình bày - Rèn luyện khả t duy, sáng tạo, linh hoạt học sinh Thái độ - Học sinh tích cực, chủ động B/Chuẩn bị thầy trò - GV: - HS: Ôn tập công thức biến đổi thức bậc hai C/Tiến trình dạy I Tổ chøc - sÜ sè II KiĨm tra bµi cị (15 phút) - Yêu cầu HS viết công thức tổng quát biến đổi thức bậc hai ? III Bài (120 phút) A - Các phép tính thức I - Lí thuyết *) Các công thức biến đổi thức 1) A 2) AB = A B 3) = A A = A A B = A 5) A B = A B =− A B (víi A ≥ vµ B > 0) B 4) 6) B ( víi A ≥ vµ B ≥ 0) B (víi B ≥ 0) A B (víi A ≥ vµ B ≥ 0) A B (víi A < vµ B ≥ 0) = B AB (víi AB ≥ vµ B 0) Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Tr−êng THCS Hång H−ng 7) A B 8) 9) = A B B C = A ±B ( A B B A −B C C A ± C (víi B > 0) = ( ) (víi A ≥ vµ A ≠ B ) A ) B A −B (víi A ≥ , B ≥ vµ A ≠ B) *) §Ĩ rót gän biĨu thøc chøa bậc hai ta làm nh sau : - Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã) - §−a bít thõa số dấu (nếu có) - Trục thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiƯn c¸c phÐp tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , theo thứ tự đà biết để làm xuất thức đồng dạng - Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) II Bài tập vËn dơng *) Bµi tËp 1: TÝnh M = H−íng dẫn: Cách 1: + Tơng tự 4+ 4− 7 + +1  = =   8+2 7 =  =   − +1     −1    +1 Từ tìm đợc M = − −1 2 = = C¸ch 2: Tính M2 , sau tính M Cách 3: Sử dụng công thức phức tạp A B = A+ A −B *) Bµi tËp 2: Rót gän biÓu thøc M = ± A− − A −B − + −2 Hớng dẫn: Tơng tự tập ta tính M2 = => M = (M > 0) *) Bµi tËp 3: Cho hai sè cã tỉng b»ng 19 có hiệu Tìm tích hai số Hớng dẫn: Giả sử hai số có tổng b»ng 19 vµ cã hiƯu b»ng lµ a vµ b, ta cã a + b = 19 vµ a - b = Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 19 + Ta tìm đợc a = 19 vµ b = Thùc hiƯn tÝnh a.b = *) Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau a) A = 6+2 3− b) B = − 29 − 12 c) C = 3− 3− 4+2 ( 10 − )(3 + ) ) = 6+2 = 6+2 H−íng dÉn: a) + 2 − ( +1 2− ) ( 6+2 4−2 = −1 = 4+2 = +1 b) T−¬ng tù B = c) T−¬ng tù : C = *) Bài tập 5: Thực phép tính sau a) A = 13 + + 9−4 b)B = 31 + + H−íng dÉn: a) A = 3+ = = 3+ 13 + + 2 − = b) Tr−íc hÕt tÝnh => B = 5+ 31 + 31 + 31 − 5+ ( +1   =  = 6− 5+ 959 15a − 8a 15 + 16 víi a = + H−íng dÉn: Tr−íc hÕt thu gän biĨu thøc A = a 15 − Gi¸o ¸n Båi dỡng HSG Phần Đại số ) = 5+ *) Bài tập 6: Tính giá trị biểu thøc A= 3+ 3− 5+ 5+ 13 + 5+  − 3 +  6+ 3+ 3+ 5+ 3+ 19 + 2 5+ = +1 Tr−êng THCS Hång H−ng TÝnh a = 15 ; Từ tìm đợc A = 15 15 15 15 − = − = *) Bài tập 7: Tính tổng sau a) A = b) B = 1+ 1+ + + + + + + 99 + 100 2001 + 2005 Hớng dẫn: a) Trục thức mẫu số hạng, tính đợc A = -1 + b) Trục thức mẫu số hạng, tính đợc B = *) Bài tập 8: Tính tổng sau Cho A = Và B = 1 + + + + + + 35 + + 120 + 100 = 2005 − 121 Chøng minh : A < B H−íng dÉn: Để tính A ta trục thức mẫu số hạng khử liên tiếp đợc A = 10 Để tính B ta biến đổi nh biểu thức A phơng pháp làm giảm + 2 + + B= + 2 2 35 2 2 B= + + + + + + + 35 + 35 1 1 + + + + B > 2( ) + 2 + 3 + 35 + 36 B > 2( − + − + − + + 35 − 34 + 36 − 35 ) B > ( − 1) = 10 VËy A < B *) Bài tập 9: Chứng minh áp dụng tính M = + + 2 a b ( a + b )2 2 + 999 + 999 1000 = + − a b a+b + 999 1000 H−íng dÉn: B×nh phơng hai vế ta đợc đpcm, áp dụng tính M nh sau: Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 M = 999  + + 2  999 ( 999 + 1)2  M = 999 + − + 999 999 1000 1000 M = + 999 − 999 + 999 = 1000 1000 1000   + 999 1000   ( ) *) Bµi tËp 10: Rót gän biĨu thøc A = (4 + 15 )( 10 − H−íng dÉn: A= 4+ 15 + 15 − + 15 16 − 15 = ( 15 − ( )=( − + ) 4− ) )( 15 − )=2 *) Bµi tËp 11: Chøng minh r»ng: A = + 10 + + − 10 + H−íng dẫn: Cách 1: Sử dụng công thức phức tạp A± A= 8+ 40 + 8− + 64 − 40 − + 64 − 40 − − 8+ A = ( A −B 24 − 10 + 2 ) = + A− ± 10 A −B 40 + 8+ +( A+ = 8+ A =( = B = 8− ) 8− 64 − 40 − ) ( 8+ −2 = 10 + 64 − 40 − ) = 12 + C¸ch 2:   A = 16 + 64 −  10 +    ( ) = 16 + 64 − 40 − = 16 + 2 − = 12 + => A = 12 + = ( 10 + ) = B - rót gän vµ tính giá trị biểu thức chứa thức bậc hai I - LÝ thut C¸c b−íc thùc hiƯn nh− sau: Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số 10 + 12 Tr−êng THCS Hång H−ng • Bư c 1: i u ki n bi u th c có nghĩa (căn th c xác nh, m u khác không… n u tốn chưa cho) • Bư c 2: Phân tích m u thành nhân t (áp d ng thành th o phép bi n i th c) + Áp d ng quy t c i d u m t cách h p lý làm xu t hi n nhân t chung + Thư ng xuyên ý xem m u có b i ho c c c a m u khác khơng • Bư c 3: Ti n hành quy ng rút g n, k t h p v i i u ki n c a k t lu n • Bư c 4: Làm câu h i ph theo yêu c u c a toán + Tuân th nghiêm ng t phép bi n i phương trình, b t phương trình + K t h p ch t ch v i i u ki n c a toán nh n nghi m, lo i nghi m k t lu n II – Bµi tËp *) Bµi tËp : (đề thi HSG huyện Gia Lộc năm học 2004 - 2005) Cho biÓu thøc B = x − x+ x x +1 x + − x− x x +1 a) Rót gän biĨu thøc A = − B + x + víi ≤ x b) Tìm x để A < Hớng dÉn: a) Víi x ≥ => x + x +1 = x + ( ) + ≥ >0 4 x − + ≥ >0 4 VËy ®Ĩ B có nghĩa x Và x (x B= x +1 = x − ) (x − ( 2 x + x +1 B = −2 x ( x ≥ ) A = 1− ) ( x +1 − x + )(x + x x +1 ) ( x + 1)2 − x −2 x x + x + = ) ( ) = −2 x −2 x + x + = − ( x −1 ) =1− x −1 V× ≤ x ≤ => x ≤ nên A = x Tóm lại A = x ( ≤ x ≤ ) b) A P ≥ − = DÊu “=” x¶y VËy P = x = x +1 x +1 = x=4 IV Lun tËp Bµi 1: Rút g n bi u th c sau: - Cñng cè (30 phót)  15 12  b) B =  + −  ( + 11) −2 3−   +1 a) A = + + 20 + 40 H−íng dÉn: a) C¸ch 1: A = + + 20 + 40 = = ( ) + +1 2 + + 12 + 2 ⋅1 + ⋅ + 2 ⋅ = + +1 Cách : A = + + 20 + 40 = = + 2⋅ ( ) ( +1 + ( ) + + 2 ⋅ + + 2 ⋅1 + 12 ) +1 = ( ) + +1 = + +1 12   15 + −  ( + 11) −2 3−   +1 b) B =  3 =   ( )( +1 +1 ) + 2( −1 6+2 )( −2 −2 ) − ( − )( + )  ( Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số   + 11) Tr−êng THCS Hång H−ng = 3  ( ) ( −1 + + − +  ( + 11) = ( − 11) ( + 11) =-115  ) ( ) Bµi 2: Thu g n: 2+ 3+ 6+ 8+4 ; 2+ 3+ a) P = −3 c) R = +3 + 2− + 2 3+ b) Q = 2+ −2 ; 10 + + − 3− 10 + − d) S = + − − − H−íng dÉn: a) P = 2+ 3+ 6+ 8+4 + 3+2+ + +2 = 2+ 3+ 2+ 3+ = 1+ 2⋅ 2+ 3+2 + 8+2 = 1+ 2+ 3+ 2+ 3+ ( 3+ b) Q = 10 + + ( ⋅ 3+ = +1 )− − ) −1 −3 c) R = = 10 + − ( ( ) ( ⋅ + 12 (3 ) )− −1 − ) + 6−2 ( ⋅ − 12 (3 ) 2( − 3) = 2+ −2 ( ⋅ 3− 5 + 6+2 +3 + 2− + 2 == =1+ 2 ⋅ 3+ 3− ⋅ 3− ) −1 ) = 11 2( + 3) + 4−2 + 4+ −4 2( − 3) 2( + 3) 2( − 3) + 2( + 3) 24 = + = = = −4 3− −6 −1 + + 1− d) Nhân hai vế với Kết quả: S = Bµi 3: Tính giá tr c a bi u th c: a) A = ( 3+ − 3− ) ) b) 227 − 30 + 123 + 22 H−íng dÉn: a) A = b) ( 3+ − 3− ( + )( − ) = (15 − ) + (11 + ) =6- 227 − 30 + 123 + 22 = V Hớng - Xem lại đà chữa - Giải tập sau: Bài 1: Thực c¸c phÐp tÝnh 1492 − 762 1) 457 − 3842 dÉn vỊ nhµ = 26 (15 phót) 6) − − + 80 7) + 48 75 243 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng 2) 3) 4) 5) +1 + 3+ + Năm häc 2011 - 2012 4+ 33 48 − 75 − +5 11 9a − 16a + 49a Víi a ≥ a a b + ab + b b a 8) + 2 − − 9) + + + − + 10) 8+2 2+3 2 − + 3− 2 1− 11) − 11 − + 11  x+2 x  x −1 + + :   x x −1 x + x +1 1− x  Bµi 2: Cho biểu thức A = a Tìm điều kiện xác định b Chứng minh A = x + x +1 c Tính giá trị A x = - 28 d Tìm max A Bài 3: Cho biÓu thøc P= n +3 n −1 n − ( víi n ≥ ; n ≠ ) − + 4−n n −2 n +2 a Rút gọn P b Tính giá trị P víi n = Bµi 4: Cho biĨu thøc M = ( a − b )2 + ab a b − b a − a+ b ab a Rót gọn biểu thức M b Tìm a , b để M = 2006 D/Bỉ sung ******************************* Gi¸o ¸n Båi dỡng HSG Phần Đại số ( a , b > 0) Trờng THCS Hồng Hng Ngày soạn : 22/09/11 Ngày dạy : 27/09/11 Chủ đề Rút gọn tính giá trị biểu thức Buổi Luyện tập A/Mục tiêu Học xong buổi học HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Thực thành thạo việc rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Vận dụng kiến thức đà học để giải tập tổng hợp, chứng minh đẳng thức , Kĩ - Rèn kĩ biến đổi, rút gọn trình bày - Rèn luyện khả t duy, sáng tạo, linh hoạt học sinh Thái độ - Häc sinh tÝch cùc, chđ ®éng - cã ý thức tự giác học tập B/Chuẩn bị thầy trò - GV: - HS: C/Tiến trình dạy I Tỉ chøc – sÜ sè II KiĨm tra bµi cũ (15 phút) - HS1: Giải tập đà cho buổi học trớc - HS2: Giải tập đà cho buổi học trớc - HS2: Giải tập đà cho buổi học trớc III Bµi *) Bµi tËp 1: Cho biĨu thøc  P=   x − x −1 − míi x −3 x −1 − (80 phót)     2 − x −    2x − x  x + a) Rót gän P b) Tính giá trị P với x = 2 Hớng dẫn: Nhân tử thứ không nên quy đồng mẫu mà ta cần trục thức mẫu, nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, từ ta thu đợc kết nhanh chóng đỡ phải tính toán phức tạp a) ĐKXĐ: x 1, x 2, x Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Thái độ - Học sinh tự giác học tập B/Chuẩn bị thầy trò - GV: - HS: C/Tiến trình dạy I Tổ chức II Kiểm tra cũ III Bài Dạng 1: Chứng minh biểu thức số hữu tỉ *) Bài tập 1: Cho a, b, c số hữu tỉ khác a = b + c + + 2 a b c Chứng minh rằng: số hữu tỉ Hớng dẫn: Ta cã + + 2 a b c => + + 2 a b c ( ) + 2( + − ) ab ac bc ( = − − a b c − − a b c +2 c+ b−a abc = ) = ( − − a b c ) = − − (V× a = b + c) a b c Do a, b, c số hữu tỉ khác nên số hữu tỉ a b c *) Bài tập 2: Cho a, b, c ba số hữu tỉ khác đôi Chứng minh rằng: A = + (a − b) + ( b c) số hữu tỉ ( c a )2 Hớng dẫn: Tơng tự tập 1: §Ỉt b − a = x; b − c = y;c − a = z => x, y, z ≠ vµ x = y + z A= A= (a − b) + ( b − c) + = (c − a) + + 2 x y z = = − − x y z ba bc ca Đó số hữu tỉ a, b, c số hữu tỉ khác đôi *) Bài tập 3: Cho a, b, c ba số hữu tỉ tháa m·n ®iỊu kiƯn ab + bc + ca =1 Chøng minh r»ng: B = 2 (a + 1)( b + 1)(c + 1) H−íng dÉn: Gi¸o ¸n Bồi dỡng HSG Phần Đại số số hữu tØ Tr−êng THCS Hång H−ng Thay = ab + bc + ca ta đợc a2 + = ( a + b )( a + c ) , t−¬ng tù => B = ( a + b )( b + c )( c + a )  =>   B = (a + b)( b + c )(c + a ) Đó số hữu tỉ a, b, c số hữu tỉ Dạng 2: So sánh hai số Phơng pháp: Để so s¸nh hai sè ta th−êng dïng c¸c kiÕn thøc sau +) So s¸nh víi mét sè thø ba (tÝnh chất bắc cầu) A < C C < B => A < B +) Dùng phép biến đổi đơn giản thức bậc hai, biến đổi thành biểu thức đơn giản để xét hiệu A - B A>B A-B>0 A B *) Bài tập 2: Không dùng bảng số hay máy tÝnh bá tói, h·y so s¸nh: b) a) −3 11 vµ - 2 12 vµ c) 27 vµ 26 *) Bài tập 3: Không dùng bảng số hay máy tính bá tói, h·y chøng minh: −3 < H−íng dÉn: − = 80 − 18 < 81 − 16 = − = *) Bài tập 4: Không dùng bảng số hay m¸y tÝnh bá tói, h·y chøng minh: H−íng dÉn: 14 − 13 = 14 − 13 < − 11 ; 12 − 11 = 14 + 13 12 + 11 *) Bµi tËp 5: 1) TÝnh A = 1005 + 2009 − 1005 − 2009 − 2) TÝnh B = ( − )(10 + ) − Gi¸o viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 3) Cho C = 20091 − − 20082 − v 2.2009 D= 20092 − + 20082 Không dùng máy tính h y so s¸nh C v D H−íng dÉn: 1) A = 1005 + 2009 − 1005 − 2009 + = 2010 + 2009 − 2010 − 2009 + = = 2009 + − = ( ) 2009 − + = ( ( 1005 + 2009 − 1005 − 2009 + ) ) 2009 + − ( ) 2009 − + 2 = 2 VËy A = 2 2) B = ( − )(10 + ) − )( ) 2 − = ( − 1)(10 + ) ( − ) − 1)(10 + ) ( − 1) = ( − 1) (10 + ) = ( − )(10 + ) = 10 ( − )( + ) = 10 ( =( − 10 + = 2 VËy B = 10 3) C = 2009 − − 2008 − 1 ( = = ⇒ ) ( 20091 − − 20082 − ) 20091 − − 20082 − )( 20091 − + 20082 − ) 20091 − + 20082 − 2009 − − 20082 + = 20091 − + 20082 − 4017 20092 − + 20082 − 4017 ( = 20091 − + 20082 − = ( 2009 − 2008)( 2009 + 2008 ) 2009 − + 20082 − M 4017 < 4018 = 2.2009 2009 − + 2008 − 4018 < 2009 − + 20082 − VËy C < D Dạng 3: Chứng minh *) Bài tập 1: Chứng minh r»ng : mn m + n + ¸p dơng tÝnh : m+n = m + n − m+n 10 + + Hớng dẫn: Trục thức mẫu áp dụng đợc : *) Bài tËp 2: Chøng minh r»ng ( n + 1) n +n Víi n ∈ N∗ , ¸p dơng tÝnh tổng : Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số + − = − n +1 n n +1 Tr−êng THCS Hång H−ng 1 + + + +1 +2 400 399 + 399 400 H−íng dÉn: Trục thức mẫu áp dụng đợc : 19 20 1 + + + *) Bµi tËp 3: Cho A = + 2 + 120 + 121 Vµ B = + + + Chøng minh A < B 35 S= H−íng dÉn: TÝnh A = 10 - Để tính B, ta biến đổi dạng nh biểu thức A phơng pháp làm giảm + 2 nh− sau: B = + + + 2 2 35 2 2 B= + + + + + + + 35 + 35 1 1 B > 2( + + + + ) + 2 + 3 + 35 + 36 B > 2.(6 - 1) = 10 VËy A < B *) Bµi tập 4: Chứng minh bất đẳng thức với n N;n 2 n < Hớng dẫn: Đặt A = + + + + + + n n < n *) Làm giảm số hạng A k Tổng quát ta có: k + = k k +1 + > k =2 ( k ) k −1 ) k +1 − Do ®ã: A >  − + + − + + + − n + n +      = n +1 − = n +1 − 2 > n +1 −3 > n −3 ) ( ( ) ) ( ) ( *) Làm trội số hạng A Tổng qu¸t ta cã: = k k + k < =2 k + k −1 − =2   ( k − Do ®ã: A < 2   ( n − ) n − + + *) Bµi tËp 5: Cho A = ( − ) ( + − + +1 ) − + + 3+2 ( n − ) = n −2 25 − 24 25 + 24 Chøng minh r»ng: A < 0,4 H−íng dÉn: Tỉng qu¸t ta cã: Víi n ∈ N* , theo BĐT cô-si ta có: ( n + 1) + n > ( n + 1) n Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng < ( n + 1) + n Năm häc 2011 - 2012 n +1 − n < n +1 − n ( n + 1) + n ( n + 1) n => ( n + 1) n = 1 − ¸p n n +1 dụng bất đẳng thức ta có: +1 − < 2 = − 2 A= − 3+2 1 + 2 = − 25 + 25 − 24 25 + 24 1 − + + − 24 25 = = 0,4 10 + + *) Bµi tËp 6: a) Ch ng minh công th c : ∀n ≥ Ta cã : b) Áp d ng ch ng minh b t ( 3⋅ 1+ ) + 5⋅ ( 2+ ) + n + n +1 ) ng th c: 7⋅ ( 2n + 1) ( 1 − n n +1 < ( 3+ ) + ⋅⋅ ⋅ + 4023 ⋅ ( 2011 + 2012 ) < 2011 2013 H−íng dÉn: a) Ta có : = 2⋅ 2⋅ ( 2n + 1) ( ( n + n +1 n +1 − n 2n + ) = 2⋅( ) = ( 2n + 1) ( n +1 − n n + 4n + ( n +1 − n n + n +1 ) < 2⋅( )( ) n +1 − n ) ) n +1 − n n +1 − n 4n + n = 2⋅ ( ) n ( n + 1) n +1 n 1 − = − n ⋅ n +1 n ⋅ n +1 n n +1 b) Áp d ng ch ng minh b t ng th c: = VT = ( ⋅ + 1) (1 + ) + ( ⋅ + 1) ( 2+ ) + ( ⋅ + 1) ( 3+ ) + ⋅⋅ ⋅ + ( ⋅ 2011 + 1) ( 2011 + 2012 1 1 1 + − + − + ⋅⋅ ⋅ + − 2 3 2011 2012 2012 − 2011 2011 2011 = 1− = < = = = VP 2013 2012 2012 2012 ⋅ 2012 + 2012 + 2012 - NÕu a = th× a = - NÕu a < th× a < b) TÝnh chÊt: • a Do ®ã A + B < Mặt khác A + B > VËy < A + B < vµ [ A + B ] = 20 + *) Bµi tËp : Cho A = 60 + 60 + 60 + + 60 Chøng minh r»ng < A < T×m [ A ] H−íng dÉn: A= 60 + 60 + Mặt khác A > 3 60 + + 60 < 60 + 27 = Vậy < A < Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số 60 + [A] = 60 + + 60 + =4 Tr−êng THCS Hång H−ng *) Bµi tËp : Cho ax3 = by3 = cz3 vµ + + = x z 2 Chøng minh r»ng y ax + by + cz =3 a +3 b +3 c H−íng dÉn: Gäi VT T, vế phải P Ta có: T= 3 by + y ax x 3 + cz z = ax x  3 = ax  + +  = x a y z   x => a = T T−¬ng tù b = T ; x y VËy P = T( + + ) = T x y z + ax y 3 + ax z c = T z *) Bài tập : Giải phơng trình b) x3 + 2x2 − 4x = −8 a) x3 + x2 + x = −1 H−íng dÉn: 3 3 3 a )x + x + x = −1 ⇔ 2x + ( x + 1) = ⇔ 2x =  − ( x + )    3 −1 ⇔ x = − ( x + 1) x = +1 3 2 b) T−¬ng tù : x + 2x − 4x = −8 ⇔ 4x3 = ( x − ) ⇔ x = 1−3 *) Bài tập : Giải phơng trình a) x + + x − = 5x b) ( x + ) − ( x − 2) = x −4 H−íng dÉn: a) LËp ph−¬ng hai vÕ ta đợc phơng trình 5x3 20x = x3 x ∈ 0; ± { } x + = a vµ x − = b , đợc phơng trình 2a = b Kết : S = − 14 ( 2a + b )( a − b ) = ⇔   a=b b) Đặt { } *) Bài tập : Giải phơng trình x + 2x − − 3x + = −2 Hớng dẫn: Đặt x = a ; 2x − = b vµ − 3x + = c Do ®ã a3 + b3 + c3 = Mặt khác a + b + c = - hay ( a + b + c ) = −8 VËy ( a + b + c ) a + b = = a + b + c ⇔ ( a + b )( b + c )( a + c ) = ⇔  b + c =  a + c =  3 Gi¸o viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 KÕt qu¶: x ∈ {2; −3; −3,5} *) Bµi tËp 10 : Cho A = ( a + b )( b + c )( c + a ) , a, b, c số d−¬ng tháa m·n abc = Chøng minh r»ng A + ≥ 3(a + b + c ) H−íng dÉn: ( 2 ) ( 2 ) ( ) A + = a b + a c + b a + b c + c a + c b + ( 2abc + 1) Do abc = nªn ( 2 ) ( ) ( 2 A +1 = a b + a c +1 + b a + b c +1 + c a + c b +1 ) áp dụng bất đẳng thức cô_si cho ba số, ta cã 3 2 2 a b + a c + ≥ a abc.1 = 3a , t−¬ng tù : b a + b c + ≥ 3b ; c a + c b + ≥ 3c Céng vÕ víi vÕ ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy a=b =c=1 *) Bài tập 11: Đề khảo sát chọn HSG đợt I năm học 2010 - 2011 Cho f(x) = ( x3 + 6x − 7)2010 TÝnh f(a) víi a = H−íng dÉn: Víi a = 3+ 17 + 3 3− 3+ 17 + 3− 17 17 LËp ph−¬ng hai vÕ ta cã: a = + 17 + − 17 + 3 + 17 − 17 a = + 3 −8 a = − 6a 3 2010 2010 2010 a + 6a − = => f (a ) = (a + 6a − ) = (a + 6a − − 1) = ( −1) =1 - Xem lại đà chữa IV Hớng dẫn nhà - Giải tiếp tập sau: Bài 1: Đề thi thức chọn HSG năm học 2009 - 2010 a) Rút gọn tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc P = 1+ x +  3 a + b) Cho x =    1− − 2x + ( x ≥ ) x 1−x a − 16 + a− a − 16   + 1   TÝnh giá trị biểu thức sau: P = x x víi a > ; a ≤ - a−4 Hớng dẫn: a) Rút gọn đợc P = x + x +1 Vì x nên x + x + ≥ => P ≥ −2 Dấu "=" xảy x =0 Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng 3 a + b) V× x =    a − 16 + a − 16 a+   + 1   a− 3 a − a − 16 a − 16 => 3x − = + => ( 3x − 1) = a + 3(3x − 1) 4 3 a − => x3 − x2 = a − => P = x − x = => 27x − 27x = 54 a4 54 Bài 2: Đề thi thức chọn HSG năm học 2010 - 2011 TÝnh a ) 2011 + 2010 − b) − ( 10 − 2011 − 2010 )(3 + ) Cho f(x) = ( x3 + 6x − 7)2010 TÝnh f(a) víi a = H−íng dÉn: TÝnh a ) 2011 + 2010 − 2011 − 2010 = ( 3+ 2010 + ) ( 2010 − 1) = b) − ( 10 − )( + ) = − ( = − ( − )( + ) = ( − 1) ( + ) = ( − )( + ) = ( − )( + ) = = ( ) − 3− ( 17 2010 − ) 2010 + − Víi a = 3+ 17 + 3− )( −1 + 17 + ) 17 LËp ph−¬ng hai vÕ ta cã: a = + 17 + − 17 + 3 + 17 − 17 a = + 3 −8 a = − 6a 3 2010 2010 2010 a + 6a − = => f (a ) = (a + 6a − ) = (a + 6a − − 1) = ( 1) =1 Bài 3: Đề thi thøc chän HSG hun Gia ViƠn Tính giá tr c a bi u th c: A = + + − H−íng dÉn: + = + + + 2 = (1 + 2) = + Tương t : − = − Do ó: A = 1+ + − = Bài 4: Đề thi thức chọn HSG tỉnh Quảng NgÃi năm học 2010 - 2011 Tớnh giỏ tr c a bi u th c M = x3 – 6x v i x = 20 + 14 + 20 - 14 H−íng dÉn: t u = 20 + 14 ; v = 20 − 14 Ta có x = u + v u + v3 = 40 u.v = (20 + 14 2)(20 − 14 2) = x = u + v ⇒ x3 = u + v3 + 3uv(u + v) = 40 + 6x hay x3 − x = 40 V y M = 40 Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 Bài 5: Ch ng minh r ng bi u th c sau m t s nguyên a) 20 + 14 − 14 − 20 b) + 84 84 c) + 1− 9 70 − 4901 + 70 + 4901 H−íng dÉn: a) 20 + 14 − 14 − 20 = ( 2) + 3⋅ 2⋅ + 3⋅ = ( b) ) 2+2 − t A = 1+ ( ⋅ 2 + 23 − −2 ) 3 ( 2) − 3⋅ 2⋅ + 3⋅ ⋅ 2 − 23 = + 2− + = ∈Z 84 84 + 1− 9   84 84 84   84  84   Suy : A = + +1− + ⋅ 1 +  1 −  + ⋅ 1 +  1 −       9            84   84  84  A3 = + ⋅ − ⋅  + + ⋅ − ⋅ 1 − = −  1 +    + ⋅ 1 −   27   27             84      84      A3 = − A ⇔ ( A − 1) A2 + A + = ⇒ A = ∈ Z ( c) ) 70 − 4901 + 70 + 4901 tA= 70 − 4901 + 70 + 4901 Suy : A3 = 140 + ⋅ 702 4901 ⋅ ( 70 − 4901 + 70 + 4901 ) ⇔ A3 = 140 − A ⇔ A3 + A − 140 = ⇔ ( A − ) ( A2 + A + 28 ) = V y A = (Vì A2 + 5A + 28 > 0; ∀A ∈ R ) Bµi 5: Tính giá tr c a bi u th c A = (3x + 8x + 2)2011 v i x = ( + 2) 17 − 38 + 14 − H−íng dÉn: Ta có : x = ( + 2) 17 − 38 + 14 − ( + 2) = ( 5−2 +3− ) = ( + 2) 5 − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − 5+ (3 − ) 2  1  − 22 1 = = V y A = 3   +   +  3 3  3    Bµi 6: Rót gän biĨu thøc  a + a2 − b2 a − a2 − b2 P= −  a − a2 − b2 a + a2 − b2   a − a 2b :  b2  H−íng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn |a| > |b| > Ta cã: Gi¸o ¸n Båi d−ìng HSG Phần Đại số 2011 = 32011 Trờng THCS Hång H−ng  2 2  2 a − a −b  a −a b  a+ a −b − P= :  2 2  b a+ a −b   a− a −b 2   2  2  a + a − b  − a − a − b  2 a (a − b )     = :  2  2  b a + a − b a − a − b      2 = = 4a a − b a + 2a a − b 2 2 + a − b − a + 2a a − b 2 −a + b a − (a − b ) 2 2 b × b 2 x x −3 x−2 x −3 4|a|b − 2( x − 3) x +1 4|a| a − b b  nÕu a > = −1 nÕu a < a −b 4|a| a − b Bµi 7: Cho biĨu thøc: P = 4ab = : a −b x+3 + 3− x a) Rót gän biĨu thøc P b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi x = 14 - c) Tìm GTNN P Hớng dẫn: a) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x≥ 0; x≠ Rót gän: P= = = x x −3 ( x + 1)( x − 3) − 2( x − 3) x +1 x+3 − x −3 = x x − − 2( x − 3) − ( x + 3)( x + 1) ( x − 3)( x + 1) x x − − x + 12 x − 18 − x − x − x − ( x − 3)( x + 1) x x − x + x − 24 = ( x − 3)( x + 1) x( x + 8) − 3( x + 8) ( x − 3)( x + 1) x+8 = x +1 b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 + = ( - 3)2 ⇒ Khi ®ã P = 14 − + = 3− +1 x+8 x −1+ c) P = = = x +1 x +1 22 − 4− x −1+ = x +1 = x +1 58 − 11 x +1 ( áp dụng BĐT CôSi cho số dơng Dấu"=" xảy x =3- = x +1+ x + 1; x +1 x +1 −2≥2 9−2=4 ) ⇔ x = ( thỏa m n điều kiện) Vậy minP = 4, đạt đợc x = Bài 8: Hớng dẫn: D/Bổ sung Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 ******************************* *) HÃy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn/ Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số ... + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) Ta thÊy x3m - v x3n - chia hÕt cho x3 - ®ã chia... 2)2 a/ P = = ( + )( − ) = − = 3+ b/ x4 -3 0x2 + 31x - 30 = (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*) V× x2 - x + = (x - 1/2)2 + 1/4 > x − = x = ⇔ => (*) (x - 5)(x + 6) =  x = − x + = c/... Đề thi thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 - 2011 Rỳt g n bi u th c: A = x3 − 16 x + 21x − x −1 H−íng dÉn: * Phân tích 4x 3-1 6x2 + 21x - = (2x - 3)2(x - 1) * /k x > * A=|2x - 3|  2x − x≤  