GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ

THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 1 … …   K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T & & V V Ẽ Ẽ Đ Đ Ồ Ồ T T H H Ị Ị H H À À M M S S Ố Ố   … … § § 1 1 . . H H À À M M S S Ố Ố Đ Đ Ồ Ồ N N G G B B I I Ế Ế N N , , N N G G H H Ị Ị C C H H B B I I Ế Ế N N . . 1) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).  Nếu (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì (x)  0 x(a; b).  Nếu (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì (x) ≤ 0 x(a; b). b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).  Nếu (x) > 0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên khoảng (a; b).  Nếu (x) < 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên khoảng (a; b).  Nếu (x) = 0 x(a; b) thì (x) không đổi trên khoảng (a; b). c) Điều kiện đủ mở rộng để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).  Nếu (x)  0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên (a; b), (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.  Nếu (x) ≤ 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên (a; b), (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. d) Chú ý: Giả sử (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b).  Nếu (x) > 0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên đoạn [a; b].  Nếu (x) < 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên đoạn [a; b].   1 Vd Chứng minh hàm số ( ) f x = 2 1 x  đồng biến trên đoạn [–1;0] và nghịch biến trên đoạn [0; 1]. Giải: Hàm số xác định x[–1; 1] nên trên đoạn [–1; 0] và [0; 1] hàm số đã cho liên tục. Ta có / ( ) f x = 2 1 x x   > 0 x(–1; 0) do đó hàm số đồng biến trên đoạn [–1; 0]. Ta có / ( ) f x = 2 1 x x   < 0 x(0; 1) do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [0; 1]. 2) QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:  Tìm tập xác định.  Tính đạo hàm (x). Tìm các điểm ( 1;2;3 , ) i x i n  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.  Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.  Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.   2 Vd Xét chiều biến thiên của hàm số y = 2 3 4 3 x x x    Giải:  Tập xác định D = R\ {3}.  Đạo hàm: y =   2 2 6 5 3 x x x    , y = 0  x = 1 hoặc x = 5.  Bảng biến thiên:  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (5; +)  Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (1; 3) và (3; 5).   3 Vd Xét chiều biến thiên của hàm số 3 2 1 1 2 4 3 3 y x x x     Giải:  Txđ: D = R  y = 2 x – 4x + 4 =   2 2 x   0 x; y = 0  x = 2.  Bảng biến thiên: 1 1 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng. K K H H O O S S T T H H M M S S 1 1 2 2 . . Gv: L L ờ ờ H H n n h h P P h h ỏ ỏ p p . . Trang 2 Hm s ng bin trờn mi na khong (; 2] v [2; +) nờn ng bin trờn khong (; +). 4 Vd Tỡm m hm s y = (m 2) 3 x mx + 2 nghch bin trờn R Gii: Tp xỏc nh D = R. y = 3(m 2) 2 x m. Hm s nghch bin trờn R khi ( ) f x / = 3(m 2) 2 x m 0 xR m = 2: ( ) f x / = 2 < 0 xR nờn hm s nghch bin trờn R. m 2: ( ) f x / 0 xR 3( 2) 0 12 ( 2) 0 a m m m 2 0 ( 2) 0 m m m 0 m < 2 Kt hp hai trng hp trờn, kt lun vi 0 m 2 thỡ hm s nghch bin trờn R. B B I I T T P P 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ; ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ẹAẽO HAỉM HAỉM HệếU TY ax b ad cb ax bx c adx aex be dc cx d cx d dx e dx e a x b x c a b a b x a c a c x bc b c a x b x c a x b x c / / / 1) Xột chiu bin thiờn ca hm s: a) y = 4 + 3x 2 x ; b) y = 1/3 3 x + 3 2 x 7x 2; c) y = 4 x 2 2 x + 3; d) y = 3 x + 2 x 5; e) y = 3 1 1 x x ; f) y = 2 2 1 x x x ; Hng dn: a) Hm s ng bin trờn khong (; 3/2), nghch bin trờn khong (3/2; +). b) Hm s ng bin trờn mi khong (;7) v (1; +), nghch bin trờn khong (7; 1). c) Hm s ng bin trờn mi khong (1; 0) v (1; +), nghch bin trờn mi khong (; 1) v (0; 1). d) Hm s ng bin trờn khong (0; 2/3), nghch bin trờn mi khong (; 0) v (2/3; +). e) Hm s ng bin trờn mi khong (; 1) v (1; +) f) Hm s nghch bin trờn mi khong (; 1) v (1; +) 2) Chng minh hm s y = 2 1 x x ng bin trờn (1; 1), nghch bin trờn mi khong (; 1) v (1; +). Hng dn: Hm s xỏc nh x R, ( ) f x / = 2 2 2 1 1 x x ; ( ) f x / = 0 x = 1 hoc x = 1. Theo bng bin thiờn ta cú hm s ng bin trờn khong (1; 1), nghch bin trờn mi khong (; 1) v (1; +) THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 3 3) Chứng minh rằng: a) Hàm số y = 2 2 x x   đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số y = 2 2 3 1 x x x     nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó  Hướng dẫn: a) D = R\{–2}; y = 2 4 ( 2) x  > 0 x  –2 do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; –2) và (–2; +) b) D = R\{–1}; y =   / 2 4 4 1 1 1 1 x x x               < 0 x  –1 do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (–1; +). 4) Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên R: a) ( ) f x = 3 x – 6 2 x + 17x + 4; b) ( ) f x = 3 x + x – cosx – 4  Hướng dẫn: a) Hàm số xác định x R, ( ) f x / = 3 2 x – 12x + 17 > 0 x R  hàm số đồng biến trên R b) Hàm số xác định x R, ( ) f x / = 3 2 x + 1 + sinx > 0 x R  hàm số đồng biến trên R 5) Tìm các giá trị của tham số a để hàm số ( ) f x = 1/3 3 x + a 2 x + 4x + 3 đồng biến trên R.  Hướng dẫn: ( ) f x / = 2 x + 2ax + 4. Để hàm số đồng biến trên R khi ( ) f x /  0 xR  = 2 a – 4  0  | a |  2  –2  a  2. 6) Chứng minh rằng hàm số ( ) f x = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R  Hướng dẫn: ( ) f x / = –2sin2x – 2 = –2(sin2x + 1). Ta có sin2x + 1  0 x  ( ) f x /  0 xR  hàm số nghịch biến trên R. 7) Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sinx < x x > 0; sinx > x x < 0; b) cosx > 1 – 2 2 x x  0 c) sinx > x – 3 6 x x > 0; sinx < x – 3 6 x x < 0; d) sinx + tanx > 2x x (0; 2  ) Hướng dẫn: a) Chứng minh sinx < x x > 0: Hiển nhiên x > sinx x  1.570796 2   vì sin x  1 x. Ta chứng minh x > sinx x (0; 2  ): Hàm số ( ) f x = x – sinx liên tục trên nửa khoảng [0; 2  ) và ( ) f x / = 1 – cosx > 0 x (0; 2  ) do đó đồng biến trên nửa khoảng [0; 2  )  ( ) f x > ƒ(0) x (0; 2  )  x – sinx > 0 x (0; 2  ) x > sinx x (0; 2  ). Vậy sinx < x x > 0. Chứng minh sinx > x x < 0: Hiển nhiên sinx > x x  1.570796 2     vì sin x  –1 x. Ta chứng minh sinx > x x (– 2  ; 0): Hàm số ( ) f x = x – sinx liên tục trên nửa khoảng (– 2  ; 0] và / ( ) f x = 1 – cosx > 0 x (– 2  ; 0) do đó đồng biến trên nửa khoảng ( 2  ; 0]  ( ) f x < ƒ(0) x ( 2  ; 0)  x – sinx < 0 x ( 2  ; 0)  x < sinx x ( 2  ; 0). Vậy sinx > x x < 0 THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 4 b) ( ) f x = cosx + 2 2 x – 1 xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng [0; +) và ( ) f x / = x – sinx > 0 x > 0 (Ta đã chứng minh x – sinx > 0 x > 0) do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; +)  ( ) f x > ƒ(0) x > 0  cosx + 2 2 x – 1 > 0 x > 0  cosx > 1 – 2 2 x x > 0 (1). Tương tự: ( ) f x = cosx + 2 2 x – 1 xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng (–; 0] và ( ) f x / = x – sinx < 0 x < 0 do đó hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (–; 0]  ( ) f x > ƒ(0) x < 0  cosx + 2 2 x – 1 > 0  cosx > 1 – 2 2 x x < 0 (2) Từ (1) và (2)  cosx > 1 – 2 2 x x  0 c) Chứng minh sinx > x – 3 6 x x > 0: ( ) f x = sinx + 3 6 x – x xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng [0; +) và / ( ) f x = cosx + 2 2 x – 1 > 0 x > 0 nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; +)  ( ) f x > ƒ(0) x > 0  sinx + 3 6 x – x > 0 x > 0  sinx > x – 3 6 x x > 0; Chứng minh sinx < x – 3 6 x x < 0: ( ) f x = sinx + 3 6 x – x xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng (–; 0] và / ( ) f x = cosx + 2 2 x – 1 > 0 x < 0 nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng (–; 0]  ( ) f x < ƒ(0) x < 0  sinx + 3 6 x – x < 0 x < 0  sinx < x – 3 6 x x < 0. d) ( ) f x = sinx + tanx – 2x xác định x R nên liên tục trên nửa khoảng [0; 2  ) và ( ) f x / = cosx + 2 1 cos x – 2 > 2 cos x + 2 1 cos x – 2 > 0 x (0; 2  ) (vì x (0; 2  ) cosx < 1  cosx > 2 cos x và 2 cos x + 2 1 cos x > 2) do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0; 2  )  ( ) f x > ƒ(0) x (0; 2  )  sinx + tanx – 2x > 0  sinx + tanx > 2x x (0; 2  ) 8) Tìm m để hàm số. a) y = 3 x – 3 2 x + (m – 2)x + 7 đồng biến trên R; b) y = 1 3 m  3 x + m 2 x + (3m – 2)x + 1 đồng biến trên R; c) y = 3 x + 3 2 x + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên khoảng (–1; 1); d) y = – 1 3 3 x + (m – 1) 2 x + (m + 3)x + 4 đồng biến trên khoảng (0; 3). e) y = 3 x – 3 2 x + 3mx – 1 nghịch biến trên khoảng (0; 3); f) y = – 1 3 3 x + 2 x – (m – 3)x + 1 nghịch biến trên khoảng (2; +); g) y = 3 x + 3 2 x – mx – 4 đồng biến trên khoảng (–; 0). THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 5  Hướng dẫn: 2 2 0 0 0 0 0 0 ; a a ax bx c x R ax bx c x R                         a) Hàm số xác định x  R, để hàm số đồng biến trên R  / ( ) f x = 3 2 x – 6x + m – 2  0 xR   = 15 – 3m  0  m  5. b) Hàm số xác định x  R, để hàm số đồng biến trên R  ( ) f x / = (m – 1) 2 x + 2mx + 3m – 2  0 x  2 1 0 ' 2 5 2 0 a m m m              1 < m  2. (m = 1  (x) = 2x + 1  0  x  –1/2 nên loại) c) D = R. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 1)  ( ) f x / = 3 2 x + 6x + m + 1  0 x (–1; 1). Parabol 2 ( ) 3 6 1 g x x x m      0 x(–1; 1) khi ( 1) 2 0 2 10 (1) 10 0 10 g m m m g m m                     . d) D = R. Để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)  ( ) f x / = – 2 x + 2(m – 1)x + m + 3  0 x (0; 3). Parabol 2 ( ) 2( 1) 3 g x x m x m        0 x(0; 3) khi (0) 3 0 3 12 (3) 7 12 0 12 / 7 7 y m m m y m m                   e) D = R. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 3)  ( ) f x / = 3( 2 x – 2x + m)  0 x (0; 3). Parabol g(x) = 2 x – 2x + m  0 (0; 3) khi (0) 0 0 3 (3) 0 3 g m m g m                . f) D = R. Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +)  ( ) f x / = – 2 x + 2x + 3 – m  0 x(2; +). Xét g(x) = – 2 x + 2x + 3 – m có  = 4 – m.  Nếu   0  m  4 thì g(x)  0 xR nên hàm số nghịch biến trên R.  Nếu  > 0  m < 4 thì g(x) = 0 có 2 nghiệm 1 2 , x x . Khi đó Parabol g(x)  0 x(2; +) khi g(2)  0  3 – m  0  m  3 so sánh điều kiện, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +) khi 3  m < 4. g) D = R. Để hàm số đồng biến trên khoảng (–; 0)  y = 2 3 6 0 ( ;0) x x m x      Xét ( ) g x = 2 3 6 x x m   có  = 9 + 3m.  Nếu   0  m  –3 thì ( ) g x  0 xR nên hàm số đồng biến trên R.  Nếu  > 0  m > –3 thì ( ) g x có 2 nghiệm 1 2 , x x . Khi đó Parabol g(x)  0 x(–; 0) khi g(0)  0  – m  0  m  0 so sánh điều kiện, ta có hàm số đồng biến trên khoảng (2; +) khi –3 < m  0. 9) Cho hàm số 3 2 y x mx m     . Tìm m để hàm số: a) Đồng biến trên khoảng (1; 2); b) Nghịch biến trên khoảng (0; +).  Hướng dẫn: y = 2 3 2 x mx   . Đặt g(x) = 2 3 2 x mx   có đồ thị là (P). Parabol (P) có a = –3 < 0. a) Để g(x)  0 x(1; 2)  (1) 0 3/ 2 3 (2) 0 3 g m m g m              b) (P) cắt trục Ox tại hai điểm x = 0 và x = 2 3 m . Để g(x)  0 x(0; +)  2 3 m  0  m  0. 10) Xác định tham số m để hàm số 3 2 2 ( 1) (2 1) 2 y x m x m x m         a) Nghịch biến trên R; b) Nghịch biến trên nửa khoảng   3;  .  Hướng dẫn: y =   2 3 2 1 2 1 x m x m      ; y = 0  2 1 1; 3 m x x    a) Hàm số nghịch biến trên R khi 2 1 1 2 3 m m     . b) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng   3;  khi 2 1 3 5 3 m m     . THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 6 § § 2 2 . . C C Ự Ự C C T T R R Ị Ị C C Ủ Ủ A A H H À À M M S S Ố Ố . . 1) KHÁI NIỆM CỰC TRỊ: a) Định nghĩa: Hàm số (x) xác định trên khoảng (a; b) và 0 x (a; b).  Nếu tồn tại số h > 0 sao cho (x) < ( 0 x ) x( 0 x – h; 0 x + h) và x ≠ 0 x thì (x) đạt cực đại tại 0 x .  Nếu tốn tại số h > 0 sao cho (x) > ( 0 x ) x( 0 x – h; 0 x + h) và x ≠ 0 x thì (x) đạt cực tiểu tại 0 x . b) Chú ý:  Nếu (x) đạt cực tiểu tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x thì CT y = ( 0 x ) và M( 0 x ;( 0 x )) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.  Nếu (x) đạt cực đại tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực đại của hàm số. Hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x thì CÑ y = ( 0 x ) và M( 0 x ;( 0 x )) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.  Điểm cực tiểu và điểm cực đại được gọi chung là điểm cực trị. 2) ĐIỀU KIỆN CẦN & ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ: a) Điều kiện cần: Nếu hàm số (x) có đạo hàm tại điểm 0 x và đạt cực trị tại điểm đó thì / 0 ( ) f x = 0. b) Điều kiện đủ 1: Hàm số y = (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên khoảng (a; 0 x ), ( 0 x ; b). Khi đó:  Nếu qua 0 x đạo hàm ( ) f x / đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x .  Nếu qua 0 x đạo hàm ( ) f x / đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại 0 x . c) Điều kiện đủ 2: Hàm số (x) có đạo hàm cấp 1 trên (a; b), 0 ( ) f x / = 0  0 x  (a; b) và 0 ( ) f x //  0.  Nếu 0 ( ) f x // < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x .  Nếu 0 ( ) f x // > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x 3) QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: a) Quy tắc 1:  Tìm tập xác định.  Tính   y f x    .  Tìm các   1,2 , i x i n  để   0 i f x   hoặc không xác định.  Sắp xếp các i x theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số.  Nếu ( ) f x / đổi dấu khi qua điểm i x thì hàm số đạt cực trị tại i x .   1 Vd Tìm cực trị của hàm số y = – 3 x + 3 2 x – 2.  Tập xác định: D = R.  Đạo hàm: ' y = –3 2 x + 6x; ' y = 0  x = 0 hoặc x = 2.  Bảng biến thiên:  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, CÑ y = 2, đạt cực tiểu tại điểm x = 0, CT y = –2.   2 Vd Tìm cực trị của hàm số y = x 2 4 x  .  Tập xác định D = [–2; 2]. Hàm số liên tục trên đoạn [–2; 2] THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 7  Đạo hàm: y = 2 2 4 2 4 x x   ; y = 0  x = – 2 , x = 2 . Đạo hàm không xác định tại x = –2 và x = 2.  Bảng biến thiên:  Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 2 , CT y = –2, đạt cực đại tại điểm x = 2 , CÑ y = 2. b) Quy tắc 2:  Tìm ( ) f x / .  Tìm các nghiệm   1,2 , i x i n  của phương trình ( ) 0 f x  / .  Tính ( ) f x // và ( ) i f x // .  Nếu ( ) i f x // < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm i x  Nếu ( ) i f x // > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm i x .   3 Vd Tìm cực trị của hàm số y = – 3 x + 3 2 x – 2.  Tập xác định: D = R.  Đạo hàm: ' y = –3 2 x + 6x; ' y = 0  x = 0 hoặc x = 2.  Đạo hàm cấp hai: y = –6x + 6.  Vì y(0) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, CT y = –2.  Vì y(2) = –6 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 2, CÑ y = 2.   4 Vd Tìm cực trị của hàm số 2sin2 3 y x   .  Tập xác định: D = R.  Đạo hàm: ' 4cos2 y x  ; y = 0  4 2 x k     (kZ).  Đạo hàm cấp hai: '' 8sin2 y x   .  8 2 '' 8sin 2 8sin 4 2 4 2 2 8 2 1 neáu chaün neáu leû k k n y k k k k k n                                        (nZ).  Vậy: Hàm số đạt cực đại tại các điểm 4 x n     , CÑ y = –1 Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (2 1) 4 2 x n      , CT y = –5. B B À À I I T T Ậ Ậ P P 1) Áp dụng quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : a) y = 2 3 x + 3 2 x – 36x – 10; b) y = 4 x + 2 2 x – 3; c) y = x + 1 x ; d) y = 3 x   2 1 x  ;  Hướng dẫn: a) y = 6 2 x + 6x – 36, y = 0  x = 2, x = –3 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –3, CÑ y = 71. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, CT y = –54. THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 8 b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, CT y = –3 c) Hàm số xác định x R \ {0}, y = 2 1 1 x  = 2 2 1 x x  , y = 0  x = –1 hoặc x = 1 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, CÑ y = –2 đạt cực tiểu tại x = 1, CT y = 2. d) y= 3 2 x   2 1 x  – 3 x .2(1 – x) = 2 x (1 – x)(3 – 5x), y= 0  x = 0  x = 3 5  x = 1. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 5 , CÑ y = 108 3125 đạt cực tiểu tại x = 1, CT y = 0 2) Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau : a) y = 4 x – 2 2 x + 1; b) y = sin2x – x; c) y = sinx + cosx; d) y = 5 x – 3 x – 2x + 1; e) y = x – sin2x + 2; f) y = 3 – 2cosx – cos2x;  Hướng dẫn: a) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, CÑ y = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, CT y = 0 b) y = 2cos2x – 1, y = 0  cos2x = 1 2  x =  6  + k (k Z), y = –4sin2x.  y( 6  +k)= –4sin( 3  +k2) = –2 3 < 0  Hsố đạt cực đại tại các điểm x = 6  + k  y(– 6  +k)= –4sin(– 3  +k2) = 2 3 > 0  Hsố đạt cực tiểu tại các điểm x = – 6  + k c) y = cosx – sinx, y = 0  cosx – sinx = 0  x = 4  + k (k Z), y = – 2 sin(x + 4  )  k chẵn: y( 4  + k) = – 2 < 0  Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = 4  + 2l  k lẻ: y( 4  + k) = 2 > 0  Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 4  + (2l + 1) d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, CT y = –1. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, CÑ y = 3 e) y = 1 – 2cos2x, y = 0  cos2x = 1 2  x =  6  + k  , k Z; y = 4sin2x.  y(– 6  + k  ) = 4sin 2 3 k           = 4sin(– 3  ) = –2 3 < 0. Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = – 6  + k  , k Z và CÑ y = – 6  + k  + 3 2 + 2  y( 6  + k  ) = 4sin 2 3 k          = 4sin 3  = 2 3 > 0. Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = 6  + k  , k Z và CT y = 6  + k  – 3 2 + 2. THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 9 f) y = 2sinx + 2sin2x, y = 0  (1 + 2cosx)sinx = 0    2 2 3 x k k Z x k             ; y = 2cosx + 4cos2x  y(k) = 2cosk + 4cos2k = 2cosk + 4 > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = k, CT y = 2 – 2cosk.  y( 2 3  + k2) = 2cos 2 3  + 4cos 4 3  = 5cos 2 3  = –3< 0. Hàm số đạt cực đại tại các điểm x =  2 3  + k2 (kZ), y C§ = 3 – 3cos 2 3  = 3 + 3 2 = 9 2 . 3) Chứng minh rằng hàm số y = | | x không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.  Hướng dẫn:  Tập xác định: D = R.  y = ƒ( 0 x + x) – ƒ( 0 x ) = | | x  , y x   = | | x x   .  0 0 0 | | 1 lim lim lim | | x x x x y x x x                    , 0 0 0 1 lim lim lim x x x y x x x x                   .  0 lim x y x     không tồn tại hay hàm số y = | | x không có đạo hàm tại x = 0  Khi x < 0  y = x   y= 1 2 x   < 0  Khi x > 0  y = x  y= 1 2 x > 0 Qua điểm x = 0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số có cực tiểu tại điểm x = 0. 4) Chứng minh rằng hàm số y = 3 x – m 2 x – 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của tham số m.  Hướng dẫn: y = 3 2 x – 2mx – 2. Phương trình 3 2 x – 2mx – 2 = 0 luôn có hai nghiệm vì  = 2 m + 6 > 0 m và y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. Vậy hàm số luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của tham số m. 5) Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = 2 1 x mx x m    đạt cực đại tại x = 2.  Hướng dẫn: Txđ: D = R \ {–m}, y =   2 1 1 x m   ,y   3 2 x m   Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi: 2 '(2) 0 ''(2) 0 D y y          2 2 2 4 3 0 1 3 2 0 2 hoaëc m m m m m m m m                            m = –3. 6) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số (x) = a 3 x + b 2 x + cx + d sao cho hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm x = 0, ƒ(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, ƒ(1) = 1.  Hướng dẫn: (x) = 3a 2 x + 2bx + c; (x) = 6ax + 2b các hệ số a, b, c, d thoả điều kiện khi:  (0) = 0  c = 0; (0) > 0  b > 0; (0) = 0  d = 0; (1) = 0  3a + 2b + c = 0;  (1) < 0  6a + 2b < 0; (1) = 1  a + b + c + d = 0;  Từ các ý trên  a = –2; b = 3; c = 0; d = 0. 7) Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số (x) = 3 x + a 2 x + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = –2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 0).  Hướng dẫn: THPT Tân Bình – Bình Dương. K K H H Ả Ả O O S S Á Á T T H H À À M M S S Ố Ố 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 10 / ( ) f x = 3 2 x + 2ax + b. Hàm số ƒ đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = –2  / ( 2) f  = 12 – 4a + b = 0 (1) và ƒ(–2) = –8 + 4a – 2b + c = 0 (2). Đồ thị hàm số ƒ đi qua A(1; 0)  ƒ(1) = 1 + a + b + c = 0 (3). Từ (1), (2), (3)  a = 3, b = 0, c = –4. 8) Cho hàm số y = ( ) f x = – 3 x + m 2 x – 4. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2, y = 0.  Hướng dẫn: (x) = –3 2 x + 2mx; (x) = –6x + 2m. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2, CÑ y = 0 khi: / // (2) 0 (2) 0 (2) 0 f f f          4 12 0 2 12 0 4 12 0 m m m             3 6 m m       m = 3 9) Tìm m để hàm số y = 3 x – 2m 2 x + 2 m x – 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1.  Hướng dẫn: 2 2 ' 3 4 y x mx m    ; '' 6 4 y x m   . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 khi: 2 1 3 (1) 0 3 4 0 3 (1) 0 6 4 0 2 hoaëc m m y m m y m m                           m = 1. 10) Tìm m để hàm số y = m 4 x + ( 2 m – 9) 2 x + 10 có ba cực trị.  Hướng dẫn: y = 4m 3 x + 2( 2 m – 9)x = 2x(2m 2 x + 2 m – 9). Để hàm số có 3 cực trị khi PT 2m 2 x + 2 m – 9 = 0 có hai nghiệm khác 0  2 9 0 2 m m    3 0 3 m m        11) Tìm m để hàm số y = 4 x – 2 2 2 m x + 1 có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.  Hướng dẫn: y = 4 3 x – 4 2 m x = 4x( 2 x – 2 m ). Để hàm số có 3 cực trị khi PT 2 x – 2 m = 0 có hai nghiệm khác 0  m ≠ 0 khi đó phương trình có 3 nghiệm là x = 0, x = –m, x = m và toạ độ 3 điểm cực trị là: A(–m; 1 – 4 m ), B(0; 1), C(m; 1 – 4 m ). Tam giác ABC là vuông cân tại B khi: . 0 BA BC BA BC           2 2 4 4 . . 0 BA BC m m m m          m = –1 hoặc m = 1. 12) Xác định m để hàm số y = 4 2 4 2 2 x mx m m    có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều.  Hướng dẫn: (x) = 4 2 4 2 2 x mx m m    xác định xR, (x) = 3 2 4 4 4 ( ) x mx x x m    Hàm số có 3 cực trị khi (x) = 0 có 3 nghiệm x = 0, x = – m , x = m , tức là m > 0. Khi đó 3 điểm cực trị là A(0; 4 2 m m  ), B(– m ; 4 2 2 m m m   ), C( m ; 4 2 2 m m m   ) ABC đều khi 2 2 4 4 3 2 2 4 3 4 AB AC m m m m m AB BC m m m                     . Vậy m = 3 3 thỏa yêu cầu bài toán. 13) Cho hàm số 4 2 2 2 2 4 y x mx m     , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.  Hướng dẫn: Tập xác định D = R. Đạo hàm 3 2 4 4 4 ( ) y x mx x x m      . y = 0  x = 0 hoặc 2 x m  . Hàm số có 3 cực trị  m > 0 (*). Gọi 2 2 2 (0;2 4), ( ; 4), ( ; 4) A m B m m C m m     là 3 đỉnh của tam giác ứng 3 cực trị. Ta có B và C đối xứng qua trục Oy và AOy nên ABC cân tại A. Gọi AH là đường cao thì diện tích ABC là 2 1 1 . 2 2 2 ABC A B C S AH BC y y x m m     . Với 1 ABC S   2 1 1 m m m    . Đối chiếu điều kiện (*) thì m = 1 là giá trị cần tìm. [...]... 0 x      Đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 1 l) Đường thẳng x =  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 h) lim f ( x)  lim   Gv: Lê Hành Pháp Trang 19 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương §5 KHẢO SÁT SỰ B IẾN TH IÊN & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc 3: y  ax3  bx 2  cx  d (a  0)  Tập xác định: D = R ... Gv: Lê Hành Pháp Trang 23 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương  Các chú ý:  Hàm số có cực trị với mọi giá trị của tham số khi a  0  Hàm số có cực đại, cực tiểu  y = 0 có 3 nghiệm phân biệt  a.b < 0  Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu khi a > 0 và b < 0  Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu khi a < 0 và b > 0 b  2a  0 ab  0   Đồ thị (C) của hàm số tiếp xúc trục Ox tại 2... Gv: Lê Hành Pháp Trang 26 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương  Đồ thị:  Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; –2) Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) 1 1  Giao điểm của hai đường tiệm cận I(– ; ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2 2 4) ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỶ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hàm hữu tỷ: y   Vd1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax 2  bx  c (... (1;+∞)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yC§ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 3  Giới hạn: lim y = –∞, lim y = –∞ x  x   Bảng biến thiên:  Đồ thị:  Hàm số chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Gv: Lê Hành Pháp Trang 24 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương  Đồ thị cắt trục hồnh tại các điểm x = ± 3  Vd 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x 4 – 2... THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG: Gv: Lê Hành Pháp Trang 22 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm trùng phương: y  ax 4  bx 2  c (a  0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: y  4ax 3  2bx  2 x(2 ax 2  b) ; a > 0:  b  0: y = 0  x = 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng (–; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT  c b 2a Hàm. .. đứng của đồ thị hàm số  Đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x  7 x  7 x  7      ; lim f ( x) = lim b) lim f ( x)  lim    lim f ( x)  lim =–1 x  x  x  1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x1   Đường thẳng x = –1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  Đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Gv: Lê Hành Pháp Trang 18 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân... 1); y ' = 0  x  0 Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 0) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yC§ = 1  Giới hạn: lim y = –∞, lim y = –∞ x  x   Bảng biến thiên:  Đồ thị:  Hàm số chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng  Đồ thị cắt trục hồnh tại các điểm x = ± 1  2 3) ĐỒ THỊ HÀM NHẤT BIẾN: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hàm nhất biến: y ... x =  ; y = 0 d a Gv: Lê Hành Pháp Trang 25 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương ad – bc > 0 4 2 ad – bc < 0 4 2 -2 x  2  Vd1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x 1   Tập xác định: D = R \ {–1}   Sự biến thiên: 3  Chiều biến thiên: y ' = < 0 x D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; –1), (–1; +) 2  x  1  Cực trị: hàm số khơng có cực trị  Giới hạn và tiệm cận:... 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số  Điểm đặc biệt: x = –3; y = 0 và x = 1; y = 4 1  Vd 2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x 3  x 2  x  1 3  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: y ' = x 2 –2x + 1 ≥ 0 x R Hàm số đồng biến trên trên khoảng (–; +)  Các giới hạn: lim y = –∞; lim y = +∞ x  Gv: Lê Hành Pháp x  Trang 21 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương... khơng cắt trục hồnh  Giao điểm của hai đường tiệm cận I(–2; –3) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Gv: Lê Hành Pháp Trang 27 KHẢO SÁT HÀM SỐ 12 THPT Tân Bình – Bình Dương  Vd 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x – 2 x 1  Tập xác định: D = R\ {1}   Sự biến thiên: 2 > 0 x D ( x  1)2 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +)  Giới hạn và tiệm cận: lim y = –, lim y = . > 0 x R  hàm số đồng biến trên R b) Hàm số xác định x R, ( ) f x / = 3 2 x + 1 + sinx > 0 x R  hàm số đồng biến trên R 5) Tìm các giá trị của tham số a để hàm số ( ) f x = 1/3 3 x +.        a) Hàm số xác định x  R, để hàm số đồng biến trên R  / ( ) f x = 3 2 x – 6x + m – 2  0 xR   = 15 – 3m  0  m  5. b) Hàm số xác định x  R, để hàm số đồng biến trên. 1 Vd Chứng minh hàm số ( ) f x = 2 1 x  đồng biến trên đoạn [–1;0] và nghịch biến trên đoạn [0; 1]. Giải: Hàm số xác định x[–1; 1] nên trên đoạn [–1; 0] và [0; 1] hàm số đã cho liên tục.