bài tập các dạng chương dãy số

Dãy số un có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi... Bài Tập Rèn Luyện Chứng minh

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa

GIẢI TÍCH 11

www.saosangsong.com.vn

Chương 4 GIỚI HẠN

A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

§1 Dãy số có giới hạn 0

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Dãy số (un) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

e) Nếu |q| <1 thi lim qn = 0

Định lí : Cho hai dãy số (un) và (vn) Nếu |un| ≤ vn , n∀ và limvn = 0 thì limun = 0

B Giải Toán

Dạng toán : Tìm giới hạn 0 của dãy số

Cách 1 : Sử dụng các tiêu chuẫn a, b, c, ,d ,e kết hợp với định lí

Cách 2 : Dùng định nghĩa

Ví du ï 1 : Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0

a) un = 13

n b) un =

2cosn

n= , do đó theo định lí trên thì limun = 0

b) Vì | cosn2 | ≤ 1 , n∀ nên | un| ≤ 1

n , n∀ Mà lim 1

n = 0 , do đó theo định lí trên lim un = 0

n = , do đó theo định lí trên lim un = 0

d) Aùp dụng bất đẳng thức Cô si : 22n + 32n ≥ 2 2 32n 2n =2 62n

=> 0 < un ≤

n n

6 = , do đó theo định lí trên limun = 0

Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa, chứng minh

Với số ε > 0 cho trước , để có |un| < ε , ta phải chọn n sao cho : n > 7 và 2

n< ε Ù n > 7 và n >

2

ε Như vậy nếu gọi n0 là số nguyên > 7 và > 2

ε, thế thì với mọi ε > 0 cho trước , ta có : | un | < ε , ∀ n > n0 Theo định nghĩa limun = 0

Chẳng hạn với ε = 0, 001 thì n0 > 7 và n0 > 2 200

0,001= vậy lấy n0 = 201 ( hay một số nguyên bất kì > 200),

C Bài Tập Rèn Luyện

Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0

4.2 un = n (n 2)n 2nn

(2n 2)

++

n n 2 n(n 2) 2n n− + = + < = Mà lim 1 0

n = nên limun = 0 c) Vì 0 < q = 1

4

π< nên limu

n = 0 d) | un | = n 12

ε Như vậy nếu gọi n0 là số nguyên > 2

ε , thế thì với mọi ε > 0 cho trước , ta có : | un | < ε , ∀ n > n0 Theo định nghĩa limun = 0

n = , do đó : limun = 0

4.6. Ta có : 2n + 3n ≤ 3n + 3n = 2.3n , suy ra : | un | ≤

n n

§2 Dãy số có giới hạn

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Định nghĩa : Dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(un – L) = 0

limun = L ( hoặc un → L) Ù lim(un – L) = 0

2 Định lí 1 : Giả sử lim un = L , khi đó :

a) lim | un | = | L | và lim 3 3

n

u = L b) Nếu un ≥ 0 với n∀ thì L ≥ 0 và lim un = L

Định lí 2 : Giả sử limun = L , limvn = M và c là một hằng số Khi đó :

n = 0 ( c ; hằng số ; k , m : số nguyên dương

3, Cho (un) là cấp số nhân với |q| < 1 ( cấp số nhân lùi vô hạn) thì :

n

Dạng 2 : Tìm giới hạn của P(n)

Q(n)trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức theo n

Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất rồi sử dụng : lim k

m k

c lim c 0

và các định lí về giới hạn

Ví dụ 2 : Tìm giới hạn các dãy số sau :

Vì lim(2 - 1 12) lim 2 lim1 lim 12 2 0 0 2

Dạng 3 : Dạng sử dụng công thức : lim q n = 0 nếu | q| < 1

Ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa an với a lớn nhất Nhớ các quy tắc :

an + m = an am ; n m n

m

aaa

− = ; (an)m = anm ;

n n

Giải a) Ta có : limun =

3.9 15 25.25

74.9 2.15 25

− +

=+ +

2

=+b) Vì x ≠ k

* Dạng 4 : Tìm giới hạn bằng cách thiết lập công thức u n theo n

Ví dụ 5 : Tìm limun biết un = 21 21 21 21

n12

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , n∀ Suy ra limun

Giải Ta chứng minh un = 2 - 2

n12

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , thế thì theo giả thiết quy nạp : uk+1 = uk +

k12

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ +

k12

limun = 2 – 2lim

n12

C Bài Tập Rèn Luyện

4.7 Chọn câu đúng : lim3n sin(2n 4)

a) – 5 b) – 1/5 c) 3/16 d) đáp số khác

4.12 Chọn câu đúng : Tổng vô hạn của cấp số nhân sau - 4 + 2 – 1+ bằng :

4.13 Tìm giới hạn các dãy số sau :

4 15. Tìm giới hạn các dãy số sau :

a) 4.3nn 7n 1n

2.5 7

++

5.2 4.3

+ +

+

− c) 2.32n n 16n 1 n 222n 1

4 18 Biểu diễn các số thập phân tuần hòan sau đây dưới dạng phân số , ví dụ : 38 1,151515

33= là số thập phân tuần hòan có chu kì là 15

a) 0, 123123123 b) 1, 272727

4.19 Cho một góc xOy = 300 Từ điểm A trên Ox với OA = 1 , đựng AA1 vuông góc Oy Tiếp theo dựng

A1A2 vuông góc Ox , rồi A2A3 vuông góc Oy và cứ thế mãi mãi

Tình độ dài đường gấp khúc AA1 A2

4.20 Cho hình vuông ABCD có độ dài là 1 Ta nội tiếp trong hình vuông này một hình vuông thứ hai , có đỉnh là trung điểm của các cạnh của nó Và cứ thế Tính tổng

chu vi của các hình vuông

* 4 21 Tìm giới hạn các dãy số sau :

Tìm công thức tính un theo n Suy ra limun

D Hướng Dẫn – Đáp Số

nên lim(un – 3) = 0 => limun = 3

b) Ta có : lim(un 2) lim1 cosn2

c) limun = 2.3.33 2 2

2 5 = ( Chia tử và mẫu cho n5

4 ) d) limun = 31 1

0 42

=

91

4 17. Các hoành độ lần lượt của ốc sên là : 1 , - 1 1; ;

4 16 lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 1 , công bội - 1

4 Suy ra hoành độ của ốc sẽ tiến đến vị trí

1

1 51

4

=+

(m) Các tung độ của ốc sên là : 1; 1 1; ;

2 −8 16 lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 12 , công bội - 1

4 Suy ra tung độ của ốc sẽ tiến đến vị trí la : 1

.1

4

=+Vậy ốc sên sẽ bò đến điểm 4 2;

1000

−b) Ta có : 1, 272727 = 1 + 0, 27 + 0, 2727 + 0, 272727 +

3 = 3 , công bội

3

2 Vậy độ dài đoạn gấp khúc là : 1 1 2

4 20. Các cạnh hình vuông này bằng 1

2 cạnh hình vuông trước nó Do đó các chu vi hình vuông lập thành một cấp số

nhân số hạng đâu là 4 ( chu vi hình vuông ABCD) , công bội

là 1

2, vậy tổng các chu vi là : 4

1112

5b) Biểu thức trong dấu ngoặc của tử là tổng n + 1 số hạng của một cấp số nhân với u1 = 1 , q = 2 và của

mẫu là tổng của n + 1 số hạng của một cấp số nhân với v1 = 1 , q’ = 5 Vậy : un =

n 1 n

n 1 n

n+ , n∀ bằng phưong pháp quy nạp

Suy ra : limun = lim n 1 1

n+ =

§3 Dãy số dần đến vô cực

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Dãy số dần đến vô cục :

• (un) có giới hạn là + ∞ nếu mọi số hạng đều lớn hơn một số dương lớn tùy ý cho trước kể từø

một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu : limun = + ∞ hoặc un → + ∞

• (un) có giới hạn là - ∞ nếu mọi số hạng đều nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một

số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu : limun = - ∞ hoặc un → - ∞

CHÚ Ý : (1) lim nk = + ∞ , limmn = + ∞ , k , m : số nguyên dương k

(2) Nếu lim un = 0 và un ≠ 0 , n∀ thì lim

−b) Chia tử và mẫu cho n3 (lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu), ta được :

Giải a) Chia tử và mẫu cho n = n2 =3n3, ta được :

+ ++

Dạng 2 ( dạng ∞ - ∞ ) : Tìm giới hạn của P(n)− Q(n)trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức cùng bậc theo n

Viết : P(n)− Q(n) = P(n) Q(n)

P(n) Q(n)

−+ , ta đưa về trường hợp của dạng 1

• Tương tự : 3 3

P(n) Q(n)P(n) Q(n)

2 3 3

11n

dãy số v n = n – 8 nên lim(u n – v n ) = + ∞

Những giá trị của u n và v n tương ứng với các giá trị rất lớn của n trong bảng dưới đây cho thấy điều đó :

Tử tiến dần đến 0 và có giá trị dương còn mẫu tiến dần đến 4− 3 > 0 , do đó lim u = +∞ n

Ví dụ 5 : Tìm giới hạn dãy số 2

Ghi chú : Ở đây tử và mẫu đều là hiệu của hai dãy số “ đồng tài ngang sức “ , có nghĩa là giới hạn của hiệu của chúng là một số hữu hạn , cho nên ta phải dùng lượng liên hiệp để tìm giá trị hữu hạn ấy Còn đối

C Bài Tập Rèn Luyện

4.24 Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến + ∞ ?

(I) 2n 7+ − n 4+ (II) (2n2 3)32

(3 n)

−

− a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào

4.25 Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến 0 ?

a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào

4.26 Chọn câu đúng : lim n( n4+ + −n 3 n4+3n 1− )

e) 4n2+1 n3 3+ −7 2n2+ 1

*4.33. Cho dãy số un = 1 + 1 1 1

2 3+ + + Chứng minh limun n = + ∞

D Hướng Dẫn – Đáp Số

3

3

nlim u lim 1 3

e) Ở đây 4n2+ “ đồ ng tài ngang sức” với n 4n2 =2n, còn 3n3+n2+ thì “ đồng ngtài ngang sức 1

> + Theo định nghĩa , ta suy ra : limun = + ∞

B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC

§4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm :

a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f xác định trên (a ; b) \ {x0 } và x0 ∈ (a ; b) , ta nói :

x xlim f(x)

→ = L , thế thì : a)

Khi đó giới hạn là f(x0)

Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :

a) f(x) = 2x 1

x 2

−+ tại x0 = 2 b) f(x) = 3x 8 x 32

x 1 x

+ − ++ + tại x0 = 0

Giải a) f(x) là hàm số hữu tỷ xác định tại x0 = 2 nên

x 2

3lim f(x) f(2)

g x trong đó f(x) và g(x) là các đa thức hay biểu thức tiến tới vô cựïc khi

x tiến tới vô cựïc

• Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất , rồi dùng : k

3x

*

0

x xlim

→ g(x)f(x) = + ∞

Ví dụ 3 : Tìm các giới hạn sau :

a)

x 2

x 2 3xlim

x

2x 4xlim

e) Nhận xét rằng tử và mẫu đều dương ( tiến tới + ∞ ) khi x tiến tới + ∞ Ta có :

xlim f(x) limx

→ + ∞ = → +∞

2

42x3

x x

+1

− = + ∞ vì giới hạn của tử là 2 , của mẫu là 0

C Bài Tập Rèn Luyện

x 1

2 | x | x xlim

19x 19lim

2 | x | x x 1lim

3 x

→+∞

++ +

D Hướng Dẫn – Đáp Số

4.34.(c) Vì hàm số f(x) xác định khi x = 1 nên

x 1

4lim f(x) f(1) 2

4.42 a)

x 0

1lim f(x) f(0)

3 2

xlim f(x)

→+∞ = 0 b) Vì f(x) 2 2

§5 Giới hạn một bên

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Cho f(x) xác định trên khỏang (x0 ; b) :

0

x xlim f(x)+

→ = L Ù ∀ xn ∈ (x0 ; b) , limxn = x0 => limf(xn ) = L

( f(x) có giới hạn phải là L khi x → x0 )

2 Cho f(x) xác định trên khỏang (a ; x0 ) :

0

x xlim f(x)−

→ = L Ù ∀ xn ∈ (a ; x0 ) , limxn = x0 => limf(xn ) = L

( f(x) có giới hạn trái là L khi x → x0 )

Dạng 1 : Tìm giới hạn phải , trái

Chú ý khi x→xo+ thì x > x 0 và khi x→xo− thì x < x0

Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :

a)

2

x 1

x 1lim

→ nên hàm số f(x) không có giới hạn tại x = 1

C Bài Tập Rèn Luyện

4.46 Tìm các giới hạn sau :

4.48 Cho hàm số : f(x) = 2

b) Tìm giới hạn phãi và trái của f(x) tại x = 0 Hàm số có giới hạn tại x = 0 hay không ?

2

1 x x 1 với x 1

x 3 1 ; với x 12x x

⎩Tìm giới hạn phãi và trái của f(x) tại x = 1 Hàm số có giới hạn tại x = 1 hay không

D Hướng Dẫn – Đáp Số

4.46 a)

x 3

tử 3lim f(x) vì

mẫu 0 và mẫu 0

§6 Giới hạn vô cựïc §7 Các dạng vô định

→

f x lim

Ghi chú : Sau khi nhân lượng liên hiệp , ta xuất hiện nhân tử x+ 3( tác nhân gậy nên dạng vô định) Đơn

Giải Vì x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) → 0 kh x → 1 , do đó để f(x) có giới hạn hữu hạn thì điều kiện cần là x2 +

( Chia tử và mẫu cho x x= x3)

= (2 0) 1 0

1 3

+

−+ = 1

=

2 x

Dạng 4 ( dạng ∞ - ∞ ) : Tìm giới hạn của

nhanh hơn nhiều ( Xem bảng giá trị sau )

Ghi chú : Ở đây cả u(x) và v(x) đều tiến đến + ∞ một cách “ ngang ngữa “ nên ta phải sử dụng “ chiêu lượng liên hiệp” để phá vở dấu căn thức , cho hai biểu thức bên trong dấu căn thưc đụng độ trực tiếp nhau

2

(2x 1) (4x 4x 1)lim f(x) lim

B Bài Tập Rèn Luyện

4.50.Chọn câu đúng : 22

x 2

x 3x 10lim

4.51 Chọn câu đúng :

x 1

3 x 2xlim

3 3 x

x 1

→

− −

− e)

lim3x x 1 x

⎩Tìm a để hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1

4.63 Cho hàm số f(x) =

2 2 2

⎩Tìm a và b để hàm số có giới hạn hữu hạn tại x = 1

D Hướng Dẫn – Đáp Số

2 3 3

x

2 2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì 1 a a a 2

x 2 x 2

u(x)lim f(x) lim

§8 Hàm số liên tục

A Tóm Tắt Giáo Khoa

1 Cho hàm số f(x) xác định trên (a ; b) và x0 ∈ (a ; b) :

o f(x) liên tục tại điểm x 0 Ù

0

x xlim f(x)

→ = f(x0)

o f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x 0

Hình 1 : f(x) liên tục tại x0 Hình 2 : f(x) gián đoạn tại x0

( đồø thị liền lạc tại điểm (x0 ; f(x0)) ( đồø thị “ đứt đoạn tại điểm (x0 ; f(x0))

b) f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Ù

4 Tính chất của hàm số liên tục :

Định lí : ( Định lí về giá trị trung gian )

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] Nếu f(a) ≠ f(b) thì ∀ M nằm giữa f(a) và f(b) , tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a ; b) sao cho f(c) = M

Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a ; b) sao cho f(c) = 0

• Phát biểu khác :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b]

và f(a).f(b) < 0 thì phương trình : f(x) = 0

có ít nhất một nghiệm ∈ (a ; b)

o 0

thì hàm số gián đoạn tại x0

Ví dụ 1 : Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0

a)

2 2

x x ; x 1f(x) x 1

1 ; x 08

f(b)

•

sin x 1 sin 0 1 1lim f(x) lim

Vậy f(x) gián đoạn tại điểm x0 = 0

Ví dụ 2 : Định a để hàm số sau liên tục rại điểm x0 = 2

Dạng 2 : Chứng minh hàm số liên tục trên một khỏang , đoạn

Sử dụng định nghĩa và nhớ mọi hàm số đa thức , hữu tỉ , vô tỉ , lượng giác đều liên tục tại mọi điểm mà nó xác định

Ví dụ 3 : Chứng minh hàm số sau liên tục trên [1 ; + ∞ ) :

Từ (1) và (2) hàm số liên tục trên [ 1 ; + ∞ )

* Ví dụ 4 : Định a và b để hàm số sau liên tục trên R :

f(x) =

2 2 2

⎨

⎩

• Xét x > 1 : f(x) = 2x22 ax 1 2x2 ax 1

x x 2 (x 1)(x 2)

=+ − − + xác định nên f(x) liên tục khi x > 1

• Xét x < 1 : f(x) = bx2 – 3x + 4 xác định nên f(x) liên tục khi x < 1

Vậy hàm số liên tục trên R Ù f(x) liên tục tai x = 1 Ù a 1 a 1

Ví dụ 5 : Chứng minh phương trình :

a) x4 – 3x3 + 2x – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

b) sin3x = 3 – x có nghiệm

Giải : a) Xét hàm số f(x) = x4 – 3x3 + 2x – 1 liên tục trên R

Lại có : f(0) = - 1 < 0 , f(3) = 34 – 3 33 + 2 3 – 1 = 3> 0 , f( - 1) = (-1)4 – 3.(- 1)3 + 2( - 1) – 1 = 1

Vì f(0).f(3) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 3)

Vì f(0) f(-1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (- 1; 0)

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm

b) Ta có : sin3x = 3 – x Ù sin3x + x – 3 = 0

Xét hàm số f(x) = sin3x + x – 3 liên tục trên R

Lại có : f(0) = sin0 + 0 – 3 = - 3 < 0

f(π =) sin3π + π − > 3 0

Vì f(0).f( π ) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm ( thuộc (0 ; π ))

Ví dụ 6 : Chứng minh phương trình :

a) m(x – 1)3 (x2 – 4) + x4 – 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm với mọi m ,

b) x3 - 2(m2 + 2) x2 + mx +m2 + m + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm với mọi m

Giải : a) Xét hàm số : f(x) = m(x – 1)3 (x2 – 4) + x4 – 3 liên tục trên R ,

Ta có : f(1) = m.0 + 14 – 3 = - 2 ; f(2) = f(- 2) = m,0 + 24 – 3 = 13

Vì f(- 2).f(1) < 0 và f(1).f(2) < 0 nên phương trình có ít nhất 2 nghiệm thỏa : - 2 < x1 < 1 < x2 < 2

Ghi chú : Ta ưu tiên chọn các giá trị của x làm mất tham số m là x = 1 , x= ± 2

b) Xét hàm số f(x) = x3 - 2(m2 + 2)x2 +mx + m2 + m + 1 liên tục trên R

Ta có : f(0) = m2 + m + 1 > 0 , với mọi m

f(1) = 1 - 2(m2 + 2) +m + m2 +m +1 = - m2 + 2m - 2 < 0 , với mọi m

Suy ra : f(0).f(1) < 0 , ∀ m Do đó phương trình : f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm ∈ ( 0 ; 1)

C Bài Tập Rèn Luyện

4.65 Xét tính liên tục của hàm số tại x0 :

1 ; x 14

a( x 1 2x 1) , x 0

x (a 1)x b ,x 0

x1; x 0

liên tục trên R

4.68.Tìm a để hàm số f(x) =

32x 4 2 nếu x 2

a) cos2x - x 0= có ít nhất 1 nghiệm

b) x4 – x3 – 9x2 + 2x + 14 = 0 có đúng 4 nghiệm

c) x4 + x – 10 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

c) Phương trình : cos2x + acosx + bsinx = 0 có nghiệm , ∀ a , b

d) Phương trình : msin π x + m – x = 0 có nghiệm , ∀ m

e) (m2 + 2m + 2)(x – 1)5 + x – m2 + 2m = 0 có nghiệm , ∀ m ∈ [ 1 ; 2]

4.72 Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 Biết a f(c ) < 0 , chứng minh phương

trình : a(ax2 + bx + c)2 + b( ax2 + bx + c) + c = x có nghiệm

D Hướng Dẫn – Đáp Số

2( 5 x 2)(x 1)