bài tập hình học xạ ảnh

Chứng tỏ rằng, nếu r + 2 điểm đó đều bất qua phép biến đổi xạ ảnh của Pn, thì mọiđiểm của U đều bất động... : un của siêu phẳng bất động là nghiệm của hệ: At− λIn = 0, trongđó λ là nghiệ

DANH SÁCH SINH VIÊN NHÓM 3

LỚP TOÁN 2007B

1 Trần Thị Tài Nguyên

2 Nguyễn Thị Ngọc Hân

3 Trần Thị Thu Trúc

4 Nguyễn Lê Phương Thùy

5 Nguyễn Văn Nghĩa

MỤC LỤC

1 Ánh xạ xạ ảnh 2

2 Các phép thấu xạ trong không gian Pn 4

3 Các định lí cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh 7

PHẦN II

BÀI TẬP

Bài 3 trang 74

Trong Pn cho r-phẳng U , trên U lấy r + 2 điểm trong đó bất kì R + 1 điểm nào đều độclập Chứng tỏ rằng, nếu r + 2 điểm đó đều bất qua phép biến đổi xạ ảnh của Pn, thì mọiđiểm của U đều bất động

a Cho siêu phẳng u = [u0 : u1 : : un] Ta có: [u]t.[x] = 0.

Mặt khác phép biến đổi xạ ảnh biến siêu phẳng u thành siêu phẳng u, có biểu thức tọa

b Tọa độ (u0 : u1 : : un) của siêu phẳng bất động là nghiệm của hệ: (At− λIn) = 0, trong

đó λ là nghiệm của đa thức đặc trưng

c Nếu λ là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng thì điểm bất động và siêu phẳng bất động ứngvới nghiệm đó không thuộc nhau

Giải

a) Phép biến đổi xạ ảnh f có phương trình:

kx0 = AxKhi đó phương trình tìm điểm bất động của f là:

kx = Ax

Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có n + 1 phương trình với n + 1 ẩn số Muốn

hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường thì |A − kIn| = 0 với mọi nghiệm k = λicủa hệ phương trình |A − kIn| Ta có các điểm bất động của f ứng với giá trị riêng λi có tọa

độ thỏa mãn hệ phương trình (A − kIn)x = 0

Bài 6: trang 75

Trong P2 cho mục tiêu xạ ảnh S0, S1, S2; E.Tìm biểu thức tọa độ của các phép biến đổi

xạ ảnh thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

a Các Si đều là điểm bất động (tức là biến thành chính nó)

b Các điểm S0, S1, S2 lần lượt biến thành S1, S2, S0 và điểm E bất động

c Điểm S0 bật động, đường thẳng S1S2 bật động (đường thẳng biến thành chính nó) và S1biến thành S2

b Hai đường thẳng S0S1 và S2S3 điều biến thành chính nó.

c Các đường thẳng S0S1 biến thành đường thẳng S2S3

d Chỉ có hai điểm bất động là S0, S2 và chỉ có một đường thẳng bất động là S1, S3

e Có hai đường thẳng bất động là S0S1 và S2S3, không có điểm bất động và đường thẳng bấtđộng

f Các điểm S0, S1 và mọi điểm trên S2S3 đều bất động

g Các điểm của mặt phẳng < S0, S1, S2 > đều bất động và đường thẳng S0S3 bất động

3 lần lượt là các vector đại diện của S0, S1, S2, S3

Phương trình tổng quát của các đường thẳng :

S0S1 : x2 = 0

x3 = 0

S2S3 : x0 = 0

x1 = 0Biểu thức tọa độ của f có dạng:

a0 a1

b0 b1

6= 0Tương tự N (0 : 0 : z2 : z3) ∈ S2S3 biến thành N0(0 : 0 : z20 : z30) ∈ S2S3 Nên:

c2 c3

d2 d3

6= 0

Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là :

c Phương trình tổng quát của các đường thẳng (S0S1):  x2 = 0

x3 = 0 ; (S2S3):

 x0 = 0

x1 = 0Biểu thức tọa độ của f có dạng:

c0 c1

d0 d1

6= 0Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là:

a2 a3

b2 b3

6= 0

c0 c1

d0 d1

6= 0

b1 b3

d1 d3

6= 0

Vậy biểu thức tọa độ của f cần tìm là:

e Theo câu b ta có biểu thức tọa độ của f là:

a0 a1

b0 b1

6= 0

c2 c3

d2 d3

6= 0

= 0

⇔

a0− k a1

b0 b1− k

c2− k c3

d2 d3− k

⇔

((a0 − b1)2+ 4a1b0 = 0(c2− d3)2+ 4c3d2 = 0

a0 a1

b0 b1

6= 0

c2 c3

d2 d3

6= 0

? Ý nghĩa hình học:

M (X1, X2, X3) → f (M ) = (X1, −X2, X3)

⇒ Phép afin sinh ra trong ánh xạ xạ ảnh trên là phép lấy đối xứng qua mặt phẳng x2 = 0

c Phép afin sinh ra bởi phép xạ ảnh là:

Trong P3 cho mục tiêu {S0, S1, S2, S3; E} Viết biểu thức của phép thấu xạ 1-cặp với cơ

B(0 : 0 : 1 : 1) ∈ S2S3

⇒ (AB):  x0− x1 = 0

x2− x3 = 0lấyE(1 : 1 : 1 : 1) ∈ AB Gọi E0 = f (E) ∈ AB

⇒ E0(x0 : x0 : x1 : x1) (x0, x1 6= 0)

Theo giả thiết ta có :

[E, E0, A, B] = k ⇔



1 1

1 0





1 0

1 1



:



x0 1

x1 0





x0 0

x1 1



Vậy biểu thức tọa độ cần tìm của f là:(f)

Giải

Tìm các điểm bất động của f Ta có:

=0

⇔ −k3+ 6K2− 9k + 4 = 0 ⇔  k1 = 4

k2 = k3 = 1Với k1 = 4 ta có hệ:

2 1

3 1





2 0

3 1



:



8 1

9 1





8 1

9 1



= 4

Bài 3: trang 85

Trong P3 cho mặt phẳng V có phương trình: x0 + x1 + x2 + x3 = 0 Gọi f là phép thấu

xạ đơn có cơ sở V, có tâm thấu xạ (1: 0: 0: 0) Tìm biểu thức tọa độ của f trong các trườnghợp sau đây:

a Tỉ số thấu xạ k = 3

b f biến điểm (0: 1: 1: 1) thành điểm (3: 1: 1: 1) Tìm tỉ số thấu xạ

c f có tính chất đối hợp, nghĩa là f2 là phép đồng nhất

Giải

1 0

0 1

1 t1

0 t2

:

−1 1

1 t1

−1 t2

Thay vào biểu thức tọa độ của f ta có:

0 1

1 0

0 −3

:

3 1

1 0

3 −3

= −2

Vậy k = - 2

c) f có tính chất đối hợp Ta có:

f (M ) = M0, f (M0 = M )[O, A, M, M0] = k

⇔



1 0

0 1





1 a

0 b



:



−1 1





−1 b



Biểu thức tọa độ của f có dạng:







7k1− 3k3 = 127k1+ k2 = 07k1+ 2k2− 9k3 = 8k4

Trên d lấy điểm A(-2 : -2 : 1 : 1) và B(1 : 1 : -2 : 0)

Trên d’ lấy điểm C(-1 : 0 : 1 : 4) và D(0 : 1 : 0 : 3)

Lấy G(3 : 3 : 0 : 2) ∈ d và H(1 : 1 : -1 : -1) ∈ d’

Phương trình tham số của đường thẳng

−1 0

−1 0

:

a 3

b 0

b −1

a Chứng tỏ rằng tâm của phép thấu xạ là một trong các đỉnh Si.

b Viết biểu thức tọa độ của f nếu Si là tâm thấu xạ

Giải

Vì f là phép thấu xạ đơn nên trong n + 1 điểm bất động Si, (i =0, n) phải có n điểmthuộc siêu phẳng bất động

Gọi αi là siêu phẳng đi qua các đỉnh tọa độ trừ đỉnh Si

Lấy M ∈ αi khi đó: M (1 : 1 : 1 : 0 : 1 : : 1) Vì các điểm Sj, (i 6= j) và M đều bấtđộng nên biểu thức tọa độ của f có dạng:

Ta sẽ chứng minh điểm Si là tâm của phép thấu xạ:

Ta có Si bất động Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua Si Ta sẽ chứng minh d là bấtđộng

Lấy X(x0 : x1 : : xn) ∈ d

f (X) = (ax0 : ax1 : : aixi : : axn)

= aM + xi(ai− a)Si ∈ dVậy Si là tâm thấu xạ của f

Tài liệu

1 Văn Như Cương - Hình học xạ ảnh - Nhà xuất bản Đại học sư phạm

2 Phạm Bình Đô - Bài tập hình học xạ ảnh - Nhà xuất bản Đại học sư phạm

3 Nguyễn Mộng Hy - Bài tập hình học cao cấp - Nhà xuất bản Giáo dục