O Mét sè bµi to¸n h×nh häc líp 9 dïng cho «n tËp ch¬ng 1)Bµi tËp 1 : (dïng cho «n tËp ch¬ng 2 h×nh häc 9 theo s¸ch gi¸o khoa míi) Gäi M lµ 1 ®iĨm trªn nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB (AB= 2R).TiÕp tun t¹i M c¾t c¸c tiÕp tun t¹i A vµ B cđa (O) lÇn lỵt t¹i C vµ D 1. chøng minh : · COD = 1v 2. chøng minh: CD =CA + DB 3. chøng minh :CA.DB = R 2 4. chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD Bài giải C I D A B 1) chứng minh · COD = 1v: ta co ùCO là phân giác của · ACM ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) đồng thời là phân giác của · AOM ta co ùDO là phân giác của · BDM ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) đồng thời là phân giác của · BOM Mà · AOM và · BOM là 2 góc kề bù · 1CO OD COD V⇒ ⊥ ⇒ = 2) chứng minh : CD = CA + DB ta có CA = CM , DB = DM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) mà CM +DM = CD ( M ∈ CD) => CD = CA + DB 3)chøng minh CA.DB = R 2 Ta có ∆ COD vuông tại O (cmt),OM ⊥ CD tại M (CD là tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được: CM.DM = OM 2 , mà CM =CA,DM = DB , OM = R => CA.DB = R 2 1 M 4.chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD: Nếu gọi I là tâm đường tròn đường kính CD thì I là trung điểm của CD,lại có · COD = 1v => O ∈ ( I ) ⇒ IO là bán kính của ( I ) (*) Xét tứ giác ACDB có AC // DB (cùng vuông góc với AB) ⇒ tứ giác ACDB là hình thang vuông,và OI là đường trung bình của nó ⇒ OI//AC ⇒ OI ⊥ AB (**). Từ (*), (**) ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức về đừơng tròn, điểm thuộc đường tròn,tiếp tuyến của đường tròn,các tính chất của tiếp tuyến đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương. 2) Bài tập 2 : (dùng cho ôn tập chương2 hình hoc 9) Cho đường tròn(O) đường kính AB,vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại trung điểm I của OA .Vẽ OE ⊥ BC . 1)Tứ giác ACOD là hình gì?chứng minh. 2)Chứng minh EC= EB 3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng 4)Vẽ (K) đường kính OB.Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau 5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K) Bài giải C E A I O B D 1)xét tứ giác ACOD có IA = IO (gt), IC= ID (đường kính OA vuông góc day cung CD tại I) ⇒ ACOD là hình bình hành,lại có 2 đường chéo vuông góc nên ACOD là hình thoi. 2) Chứng minh EC= EB:ta có OE là đường kính, BC là dây cung mà OE ⊥ BC (gt) ⇒ EC= EB 3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng: 2 Ta có C thuộc đường tròn đường kính AB ⇒ · ACB = 1v ⇒ AC ⊥ CB Mà ACOD là hình thoi nên AC // OD ⇒ OD ⊥ CB,lại có OE ⊥ BC(gt) ⇒ 3 điểm D,O,E thẳng hàng. 4) Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau: ta có K là trung điểm của OB (gt) ⇒ OK + KB = OB ⇒ OK = OB - KB Hệ thức này chứng tỏ (O) và (K) tiếp xúc trong. 5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K) Do OE ⊥ BC(gt) ⇒ · OEB =1v ⇒ E thuộc (K) ⇒ EK là bán kính của (K) Ta có KE=KO (bán kính của (K)) ⇒ · · OEK EOK= ,mà · · DOI EOK= (đđ) ⇒ · · OEK DOI= (1).Mặt khác ∆ CED vuông tại E có EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền ⇒ IE = ID ⇒ · · IDO IEO= (2), lại có ∆ DIO vuông tại I (gt) ⇒ · · IDO DOI+ = 1V (3).Từ (1),(2), (3) ⇒ · · OEK IEO+ = 1V ⇒ IE ⊥ EK ⇒ IE là tiếp tuyến của (K). Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, ®Þnh lÝ vỊ tam gi¸c vu«ng néi tiÕp ®êng trßn,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến với đường tròn,vò trí tương đối 2 đường tròn,đó cũng là những kiến thức cơ bản trọng tâm trong chương . 3) Bài tập 3: (dùng cho ôn tập chương2) Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB .(AB= 2R).Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại M. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AM tại I 1) Chứng minh 4 điểm A,O,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn. 2) Chứng minh IA = IM. 3) Chứng minh IO ⊥ AC. 4) Gọi K là giao điểm của IO và AC, vẽ OE ⊥ BC (E thuộc BC). Chứng minh EK không đổi khi C chuyển động trên (O) 5) Chứng minh IC 2 = 1 4 MC.MB M Bài giải I C K E A O B 3 1)Chứng minh 4 điểm A,O,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn. Ta có · IAO = 1v (IA là tiếp tuyến) ⇒ A nằm trên đường tròn đường kính OI. (1) Ta có · ICO = 1v (IC là tiếp tuyến) ⇒ C nằm trên đường tròn đường kính OI. (2) Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm A,O,C,I cùng nằm trên 1 đường tròn 2)Chứng minh IA = IM. Ta có C thuộc (O) ⇒ · ACB = 1v ⇒ · · · ACI ICM ACM+ = = 1v (1) Do IA= IC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ · · IAC ICA= (2) Do ∆ ACM vuông tại C (cmt) ⇒ · · IAC IMC+ = 1V (3). Từ (1) ,(2),(3) ⇒ · · IMC ICM= ⇒ ∆ IMC cân tại I ⇒ IM = IC ⇒ IA = IM 3)Chứng minh IO ⊥ AC. Ta có OA = OC = R, IA =IC (cmt) ⇒ OI là trung trực của AC ⇒ IO ⊥ AC. 4)Chứng minh EK không đổi khi C chuyển động trên (O) Do IO ⊥ AC (cmt) và theo giả thiết K là giao điểm của IO và AC ⇒ K là trung điểm của AC, do OE ⊥ BC (gt) ⇒ E là trung điểm của BC ( đường kính vuông góc dây cung) ⇒ EK là đường trung bình của ∆ ACB ⇒ KE = 1 2 AB = R không đổi 5) Chứng minh IC 2 = 1 4 MC.MB: ta có ∆ MAB vuông tại A ( AM là tiếp tuyến),AC là đường cao ( · ACB = 1v), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : MA 2 = MC.MB (1). Lại có IC = IA = 1 2 MA (cmt) ⇒ IC 2 = 1 4 MA 2 (2) Từ (1) ,(2) ⇒ IC 2 = 1 4 MC.MB Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, ®Þnh lÝ vỊ tam gi¸c vu«ng néi tiÕp ®êng trßn ,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến với đường tròn,, đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương. 4 ) Bµi tËp 4 : (dùng cho ôn tập chương2,bµi 41sgk) Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC, d©y AD vu«ng gãc BC t¹i H.Gäi E,F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kỴ tõ H ®Õn AB,AC.Gäi (I), (K) theo thø tù lµ c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE,HCF. a) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa c¸c ®êng trßn: (I) vµ (O), (K) vµ (O), (I) vµ (K). b)Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? v× sao? c) Chøng minh: AE.AB = AF. AC. 4 d) Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa 2 ®êng trßn (I) vµ (K). e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa H ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt. Bài giải A E G F B .I H .K C D a) OI = OB – IB Nªn (I) tiÕp xóc trong víi (O). OK = OC – KC Nªn (K) tiÕp xóc trong víi (O). IK = IH + KH Nªn (I) tiÕp xóc ngoµi víi (K). b) Tø gi¸c AEHF cã µ µ µ A E F= = = 1V (C¸c tam gi¸c BEH,HFC néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh BH,CH nªn lµ c¸c tam gi¸c vu«ng) => AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. c) ∆ AHB vu«ng t¹i H vµ HE ⊥ AB => AE.AB = AH 2 (1) ∆ AHC vu«ng t¹i H vµ HF ⊥ AC => AF.AC = AH 2 (2) Tõ (1) vµ (2) => AE.AB = AF. AC. d) Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AH vµ EF,tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt nªn GH =GF => · · GFH GHF= . ∆ KHF c©n t¹i K nªn · · KFH KHF= => · · · · 0 90GFH KFH GHF KHF+ = + = do ®ã EF lµ tiÕp tun cđa (K). Chøng minh t¬ng tù EF lµ tiÕp tun cđa (I). e) Ta cã AH = 1 2 AD (®êng kÝnh vu«ng gãc d©y cung), mµ EF = AH ( AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt) => EF = 1 2 AD.DO ®ã EF lín nhÊt ⇔ AD lín nhÊt ⇔ AD lµ ®- êng kÝnh ⇔ H trïng víi O. Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, ®Þnh lÝ vỊ tam gi¸c vu«ng néi tiÕp ®êng trßn,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến với đường tròn,vò trí tương đối 2 đường tròn,liªn hƯ gi÷ường kính vµ dây cung(vÞ trÝ ,®é dµi ) đó cũng là những kiến thức cơ bản trọng tâm trong chương . 5)Bài tập 5: (dùng cho ôn tập chương3) 5 Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O)vẽ các tiếp tuyến AB,AC với (O) (B,C là các tiếp điểm) và một cát tuyến AED với (O)( E nằm giữa A và D). 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. 2) Chứng minh · · ACB AOC= 3) Chứng minh AB 2 = AE.AD 4)Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC cắt AD tại K . Chứng minh KE = KD Bài giải B O A E K D C 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. Xét tứ giác ABOC có · ABO = 1V( AB là tiếp tuyến) · ACO = 1V( AC là tiếp tuyến) ⇒ · · ABO ACO+ = 2V ⇒ tứ giác ABOC nội tiếp. 2) Chứng minh · · ACB AOC= Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ta có AB = AC (t/c 2 Tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ » » AB AC= ,mà · · &ACB AOC là các góc nội tiếp chắn » » &AB AC ⇒ · · ACB AOC= 3) Chứng minh AB 2 = AE.AD xét ∆ ABE và ∆ ADB có  chung , · » 1 2 ABE sd BE= (góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1dây cung chắn » BE của (O)), · » 1 2 ADB sd BE= (góc nội tiếp chắn » BE của (O)) ⇒ · · ABE ADB= ⇒ ∆ ABE đồng dạng ∆ ADB AB AE AD AB = ⇒ AB 2 = AE.AD 4) Chứng minh KE = KD: ta có · OKA = 1V ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC) ⇒ OK ⊥ ED ⇒ KE = KD (đường kính vuông góc dây cung) Nhận xét : Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp, các hệ quả của góc nội tiếp, góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1 dây 6 cung, liên hệ giữa cung và dây cung, đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương 6)Bài tập 6: (dùng cho ôn tập chương3) Cho hình vuông ABCD . Điểm E ∈ BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE,đường vuông góc đó cắt đường thẳng DE ở H và cắt đường thẳng DC ở K. 1) Chứng minh các tứ giác BHCD,KCEH nội tiếp. 2)tính số đo · CHK . 3) Chứng minh · · BDE HKE= . 4)Tìm quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC. Bài giải A B H E D C K 1) Chứng minh các tứ giác BHCD,KCEH nội tiếp. Xét tứ giác BHCD có · BHD = 1v ( gt), · BCD = 1v ( góc của hình vuông) . Tứ giác này có 2 đỉnh liên tiếp H&C cùng nhìn đoạn BD dưới 1góc bằng nhau ⇒ tứ giác BHCD nội tiếp Xét tứ giác KCEH có · EHK = 1v ( gt), · ECK = 1v ( góc kề bù với góc của hình vuông) ⇒ · · EHK ECK+ = 2V ⇒ tứ giácKCEH nội tiếp 2)Tính số đo · CHK . Ta có tứ giác BHCD nội tiếp (cmt) ⇒ · · BDC BHC+ = 2v, mặt khác ta cũng có · · CHK BHC+ = 2v (kề bù) ⇒ · · CHK BDC= mà · BDC = 45 0 (BD là đường chéo của hình vuông) ⇒ · CHK = 45 0 3) Chứng minh · · BDE HKE= . Ta có · · BDH BCH= (góc nội tiếp cùng chắn ¼ BH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHCD) 7 Ta có · · HKE BCH= (góc nội tiếp cùng chắn ¼ EH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác KCEH) ⇒ · · BDE HKE= 4)Tìm quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC. Tacó · BHD = 1v (gt) ⇒ H thuộc đường tròn đường kính BD, nhưng E chỉ chuyển động trên cạnh BC nên H chuyển động trên cung nhỏ » BC của đường tròn này.Vậy quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC là cung nhỏ » BC . Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp, các hệ quả của góc nội tiếp, quỹ tích cung chứa góc, đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương 7)Bài tập 7: (dùng cho ôn tập chương3) Cho đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ dây cung CD vuông góc với OA tại I. M là 1 điểm trên cung nhỏ BC .AM cắt CD tại H. 1) Chứng minh tứ giác BIHM nội tiếp. 2) Chứng minh MA là phân giác của · CMD 3) Chứng minh AC.HM = CM.DH 4)Tia DC cắt Tia BM tại K .DM cắt BC tại S . Chứng minh · · · 2CKM CSM DMB+ = 5) Lấy E ∈ CD sao cho MC=ME .Chứng minh 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn K Bài giải C M S H A I E B D 1) Chứng minh tứ giác BIHM nội tiếp. Xét tứ giác BIHM có · HIB =1v(gt) , · AMB = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ · HIB + · AMB = 2v ⇒ tứ giác BIHM nội tiếp 2) Chứng minh MA là phân giác của · CMD 8 ta có đường kính AB ⊥ CD ⇒ ABđi qua trung điểm của CD đồng thời đi qua điểm chính giữa cung CD ⇒ » » AC AD= ,lại có · · &CMA AMD là các góc nội tiếp chắn 2cung trên ⇒ · · CMA AMD= ⇒ MA là phân giác của · CMD 3) Chứng minh AC.HM = CM.DH xét ∆ ACM và ∆ DHM có · · CAM HDM= (góc nội tiếp cùng chắn cung CM) , · · CMA AMD= (cmt) ⇒ ∆ ACM đồng dạng ∆ DHM (gg) ⇒ AC CM DH HM = ⇒ AC.HM = CM.DH 4) Chứng minh · · · 2CKM CSM DMB+ = : Ta có · » ¼ 1 ( ) 2 CKM sd DB sdCM= − ( góc có đỉnh bên ngoài đường tròn), · » ¼ 1 ( ) 2 CSM sd DB sdCM= + ( góc có đỉnh bên trong đường tròn) ⇒ · · » CKM CSM sd BD+ = , mà · » 1 2 DMB sd DB= ⇒ · · · 2CKM CSM DMB+ = 5)Chứng minh 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn: xét ∆ ACM và ∆ AEM có MC = ME (gt),MA là cạnh chung, · · CMA AMD= (cmt) ⇒ ∆ ACM= ∆ AEM (c-g-c) ⇒ · · CAM EAM= , mà · · CAM HDM= (cmt) ⇒ · · EAH EDH= ,tứ giác AHED có 2 đỉnh liên tiếp A& D cùng nhìn đoạn HE dưới 1 góc bằng nhau ⇒ tứ giác AHED nội tiếp ⇒ 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp, các hệ quả của góc nội tiếp, quỹ tích cung chứa góc, liên hệ giữa cung và dây cung, góc có đỉnh bên trong ,bên ngoài đường tròn đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương 8)Bài tập 8: (dùng cho ôn tập chương3) Cho lục giác đều ABCDEF có độ dài cạnh là 12 cm.Gọi (O,R) và (O,r) là các đương tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác trên. 1)Tính R,r? 2)Tính dộ dài của (O,R)và (O,r) 3)Tính diện tích hình vành khăn tạo bởi (O,R)và (O,r) 4) Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và » AB 5) Tính diện tích phần hình giới hạn bởi lục giác đều ABCDEF và (O,r) . (Biết Sin30 0 = 1 2 ,tg30 0 = 3 , 3,14 3 π = ) Bài giải 9 A H B F O C E D 1)Tính R,r? Ta có 0 12 12 12 180 1 2s 30 2sin 2. 2 a R in n = = = = (cm) 0 12 12 3 12 6 3 180 2 30 2 3 2 2. 3 a r tg tg n = = = = = (cm) 2)Tính dộ dài của (O,R)và (O,r) gọi C 1 và C 2 lần lït là độ dài của (O,R)và (O,r) ta có: C 1 =2 π R =2 π 12 =24 π =75,36 (cm) C 2 =2 π r =12 π 3 =37,68 3 (cm) 3)Tính diện tích hình vành khăn tạo bởi (O,R)và (O,r) gọi S VK là diện tích hình vành khăn tạo bởi (O,R)và (O,r)ta có: S VK = ( ) 2 2 12 (6 3) (144 108) 36 π π π − = − = = 113,04 (cm 2 ) 4) Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và » AB Do ABCDEF là lục giác đều nên ∆ AOB đều ⇒ · 0 60AOB = gọi S 1 là diện tích hình quạt AOB thì S 1 = 2 2 2 60 144 24 360 360 6 6 R n R R π π π π π = = = = (cm 2 ) Diện tích ∆ AOB là S 2 = 1 .12.6 3 36 3 2 = (cm 2 ) Diện tích hình viên phân cần tìm là: S VP = S 1 -S 2 = 24 36 3 π − (cm 2 ) 5) Diện tích phần hình giới hạn bởi lục giác đều ABCDEFvà(O,r) Diện tích lục giác đều ABCDEF là: S 4 = 6S 2 = 216 3 (cm 2 ) Diện tích hình tròn (O,r) là S 5 = ( ) 2 2 6 3 108r π π π = = (cm 2 ) Diện tích phần hình cần tìm là S 6 =S 4 -S 5 = 216 3 108 π − (cm 2 ) 10 [...]...Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về độ dài đường tròn, diện tích hình tròn,diện tích hình vành khăn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình viên phân , diện tích đa giác,đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương 11 . tâm cuả chương 6 )Bài tập 6: (dùng cho ôn tập chương3) Cho hình vuông ABCD . Điểm E ∈ BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE,đường vuông góc đó cắt đường. thức trọng tâm cuả chương. 2) Bài tập 2 : (dùng cho ôn tập chương2 hình hoc 9) Cho đường tròn(O) đường kính AB,vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại trung điểm