Dãy pho lyndon hochschild serre và đối đồng đều của nhóm nửa nhị diện

Lời cám ơnTôi xin chân thành cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tinhọc đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện cả về vật chất lẫn tinh thần cùng với một môitrường học tập hoàn

Lời cám ơn

Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tinhọc đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện cả về vật chất lẫn tinh thần cùng với một môitrường học tập hoàn hảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.Đặc biệt là các thầy cô và đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số

Tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Nguyễn Viết Đông - người đã tận tìnhhướng dẫn, chỉ bảo tôi từ khi tôi mới chập chững bước chân vào con đường Toán học.Thầy đã đọc bản thảo, chỉnh sửa và cho tôi những ý kiến đóng góp quan trọng từ tiểuluận cử nhân cho tới luận văn thạc sĩ

Tôi xin gởi lời cảm ơn tới hai bạn Dương Đức Thịnh và Trần Mai Thuận đã cùngtôi thảo luận và giải quyết các vấn đề trong các buổi seminar của nhóm

Cuối cùng, lời cảm ơn đặc biệt và chân thành nhất, xin được gởi cho mẹ tôi Ngườiđã đứng cạnh tôi động viên và tin tưởng, không chỉ trong thời gian tôi làm luận vănnày mà trong suốt cả quá trình sống, học tập và làm việc Xin cảm ơn những lờikhuyên ngoài học thuật của mẹ đã cho tôi động lực to lớn để hoàn thành luận vănnày

Mục lục

1.1 Đối đồng điều nhóm 7

1.2 Tích cup 8

1.3 Toán tử đối đồng điều 9

1.3.1 Đồng cấu hạn chế 9

1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế 10

1.3.3 Đồng cấu nâng 12

1.4 Ánh xạ chuẩn Evens 12

1.4.1 Tích nửa trực tiếp 12

1.4.2 Tích bện 13

1.4.3 Ánh xạ chuẩn Evens 14

2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản 16 2.1 Dãy phổ 16

2.1.1 Module được lọc 19

2.1.2 Dãy phổ Lyndon-Hochschild-Serre 19

2.2 Vành đối đồng điều của nhóm Cyclic 22

2.3 Vành đối đồng điều của nhóm nhị diện D2 n 23

2.3.1 Đối đồng điều nguyên 232.3.2 Đối đồng điều mod-2 24

2.4 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Q8 27

3.1 Đối đồng điều nguyên của SD2 n 29

3.2 Đối đồng điều mod-2 của nhóm nửa nhị diện D2 n 38

Lời nói đầu

Đối đồng điều của các nhóm nhị diện và Quaternion tổng quát giờ đây đã trở thànhcổ điển và được trình này trong hầu hết các sách viết về đối đồng điều nhóm Và hơnnữa, đối đồng điều của hai nhóm này cũng đã được tìm hiểu và trình bày cặn kẽ, tỉ

mỉ trong các cuốn luận văn của các học viên thuộc Bộ môn Đại số, chuyên ngành hẹpĐại số đồng điều Đặc biệt là luận văn của Thạc sĩ Nguyễn Uy Bá Sử dụng hai kếtquả đã biết này, Leonard Evens và Stewart Priddy đã đưa ra cách tính đối đồng điềucủa nhóm nửa nhị diện thông qua việc sử dụng một công cụ rất mạnh đó là dãy phổLyndon - Hochschild - Serre

Nhóm nửa nhị diện được định nghĩa như sau

Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn

các khái niệm và định lý liên quan đến đối đồng điều nhóm, tích cup, tích bện và cácđồng cấu đồng điều như đồng cấu hạn chế, đồng cấu đối hạn chế, đồng cấu nâng vàánh xạ chuẩn Evens

Chương 2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản Trong

chương này tôi sẽ trình bày về dãy phổ tổng quát và một các xây dựng dãy phổ của

mở rộng nhóm có tên là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre, viết tắt là dãy phổ LHS.Đồng thời trình bày các ứng dụng của dãy phổ LHS thông qua việc tính đối đồng điềunguyên và mod -2 của các nhóm đơn giản như nhóm cyclic, nhóm nhị diện tổng quátvà nhóm Quaternion.

Chương 3 Đối đồng điều của nhóm nửa nhị diện Chương này tôi sẽ tập trung

vào việc chứng minh hai định lý đã nêu trên của L Evens và S Priddy

Đối đồng điều nhóm là một công cụ quen thuộc trong việc khảo sát và tìm hiểucác tính chất của nhóm Hy vọng rằng, cuốn luận văn này sẽ góp một phần nhỏ vàokho tài liệu đồ sộ về Toán của Bộ môn Đại số, cũng như của Khoa Toán - Tin học vàlà tài liệu tham khảo hữu ích cho những học viên tiếp tục nghiên cứu về vấn đề này

Thành phố Hồ Chí minh, Tháng 6 năm 2010

Bùi Anh Tuấn

Bảng ký hiệu

Ký hiệu Ý nghĩa

A ⊗ R B Tích tenxơ trên R của hai môđun A và B

A → B f f là đồng cấu từ A đến B

A  B toàn cấu từ A đến B

A  B đơn cấu từ A đến B

Hom(A, B) Tập hợp tất cả đồng cấu từ A vào B

E p,q

r Dãy phổ bậc r tại vị trí (p, q)

A o ϕ B Tích nửa trực tiếp của A, B qua đồng cấu ϕ B(G) Phép giải Bar của nhóm G

H n (G, A) Đối đồng điều thứ n của G với hệ số trong A

A o B Tích bện giữa A và B

res G→S Đồng cấu hạn chế từ G xuống S

cor S→G Đồng cấu đối hạn chế

N S→G Ánh xạ chuẩn Evens

D2 n Nhóm nhị diện cấp 2n

Q2 n Nhóm Quaternion cấp 2n

SD2 n Nhóm nửa nhị diện cấp 2n

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Việc sử dụng dãy phổ để tính đối đồng điều nhóm đã thường xuyên là đề tài nghiêncứu và thảo luận của sinh viên cũng như học viên cao học thuộc chuyên ngành Đại số

- Lý thuyết số, trong đó có thể kể đến các luận văn thạc sĩ của các học viên Nguyễn

Uy Bá, Phạm Thành Trí hay tiểu luận tốt nghiệp đại học của chính bản thân tôi Dovậy, trong phần kiến thức cơ sở tôi chỉ nhắc lại các vấn đề chính để tạo tính logic choluận văn Các chi tiết cụ thể như ví dụ hay chứng minh các định lý, mệnh đề có thểdễ dàng tìm thấy trong các luận văn kể trên

1.1 Đối đồng điều nhóm

Cho G là một nhóm, k là vành, ta định nghĩa k(G) là nhóm Abel tự do sinh bởi các phần tử g ∈ G, bao gồm các tổng hữu hạn P g m(g)g với m(g) ∈ k Trên k(G)

định nghĩa hai phép toán

B n là kG-module tự do sinh bởi các bộ có thứ tự [x1|x2| |x n], trong đó 1 6= xi ∈ G Khi đó B n cũng là một nhóm Abel tự do sinh bởi x[x1|x2| |x n] Đặc biệt B0 là kG- module tự do sinh bởi một phần tử [] Quy ước, [x1|x2| |x n] = 0 nếu tồn tại bất kỳ

x i = 1 Trên cơ sở các Bn ta xây dựng dãy sau:

Với cách xây dựng trên thì B(G) trở thành một dãy khớp và do đó là một phép giải xạ ảnh của kG-module tầm thường k Ta gọi B(G) là phép giải Bar.

Xét một kG-module A bất kỳ, ta định nghĩa đối đồng điều của G với hệ số trong A là

Đồng cấu tích chéo cảm sinh đồng cấu

H∗(G, A) ⊗ H∗(G, B) → H∗(G × G, A ⊗ B)

(α ⊗ β) 7−→ α × β Xét đồng cấu ∆ : G → G × G xác định bởi

∆(x) = x × x với x ∈ G

∆ cảm sinh đồng cấu

∆∗ : H∗(G × G, A ⊗ B) → H∗(G, A ⊗ B) Khi đó tích cup được định nghĩa là phép hợp nối của ∆∗ và đồng cấu cảm sinh củatích chéo

Đặc biệt trong trường hợp A = B = k là vành, tích cup

∪ : H ∗ (G, k) × H∗(G, k) → H∗(G, k)

α ∪ β = ∆∗(α × β) Khi đó, H∗

(G, k) với tích cup trở thành một vành, ta gọi vành đối đồng điều của G với hệ số trong k.

1.3 Toán tử đối đồng điều

1.3.1 Đồng cấu hạn chế

Cho G là một nhóm và H là một nhóm con Khi đó qua phép nhúng, một kG-module cũng có thể xem như một kH-module, một kG-đồng cấu cũng có thể xem như một

kH -đồng cấu Xét X → k là một kG-phép giải xạ ảnh, A là một kG-module Vậy

X → k cũng là một kH-phép giải xạ ảnh, A cũng là một kH-module Từ đây để tiện lợi ta viết G thay cho vành nhóm kG.

Ta xây dựng đồng cấu hạn chế

ϕ : Hom G (X, A) → Hom H (X, A) thỏa ϕ(f) = f Đồng cấu cảm sinh

ϕ∗ : H∗(G, A) → H∗(H, A)

Ta gọi ϕ∗ là đồng cấu hạn chế và ký hiệu là res G→H

Một cách nhìn khác về đồng cấu hạn chế Cho A là G-module, A0 là G0-module,

φ : G0→ G là một đồng cấu nhóm Qua φ, A cũng có thể được xem như G0-module

Giả sử f : A → A0 là một G0-module, tức là f thỏa f(φ(x0)a) = f (x0a) = x0f (a) với

x0∈ G0, a ∈ A.

Khi đó, các đồng cấu cảm sinh

φ∗ : H∗(G, A) → H∗(G0, A)

f∗ : H∗(G0, A) → H∗(G0, A0)cho ta phép hợp nối

(φ∗, f∗) = f∗φ∗ : H∗(G, A) → H∗(G0, A0)

Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau đây:

Trường hợp thứ nhất, G0

= H là một nhóm con của nhóm G, A0 = A, φ = i là phép nhúng từ H vào G và f = Id A là phép đồng nhất của A Lúc đó, (i, Id)∗

:

H∗(G, A) → H∗(H, A)chính là đồng cấu hạn chế mà ta đã định nghĩa ở trên

Trường hợp thứ hai, G0

= N là nhóm con chuẩn tắc của G, A là G-module A N

là một G-module với tác động tầm thường của N lên A Lúc đó, A N trở thành một

G/N -module, cụ thể tác động của G/N lên A N là (gN)a = ga (do N tác động tầm thường lên A) Cho π : G → G/N là phép chiếu tự nhiên, f : A N

→ A là phépnhúng Khi đó,

(π, f )∗ : H∗(G/N, A N ) → H∗(G, A) được gọi là đồng cấu nâng, ký hiệu inf G/N →G, mà ta sẽ làm rõ hơn ở phần sau

Mệnh đề 1.1 Cho G là một nhóm và H là một nhóm con Với mỗi g ∈ G, ta định

G lên H∗

(H, A) để nó trở thành G-module, đó là g(clsf) = g∗(clsf ).

Mệnh đề 1.2 G tác động tầm thường lên H∗(G, A).

1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế

H là một nhóm con có chỉ số hữu hạn trong G, A là một G-module Gọi S là tập các phần tử đại diện lớp ghép trái của H trong G X → k là một G-phép giải xạ ảnh của

k Định nghĩa đồng cấu

T G/H : Hom H (X, A) → Hom G (X, A) bởi T G/H (f ) =X

lớp kề trái G/H = {s1H, s2H, , s n H} Giả sử s i y i là một phần tử đại diện khác của

lớp ghép trái s i H

T G/H∗ : H∗(H, A) → H∗(G, A)

T∗

G/H được gọi là đồng cấu đối hạn chế, ký hiệu cor H →G

Mệnh đề 1.3 ([3], Mệnh đề 4.2.2, trang 39) Nếu H là nhóm con của K và K là

nhóm con của G sao cho H có chỉ số hữu hạn trong G thì

H∗(G, A) resG→H

→ H∗(H, A) corH→G

→ H∗(G, A) cor H →G res G→H = [G : H]Id

Định lý 1.4 ([3], Định lý 4.6.2, trang 41) Nếu H là một nhóm con có chỉ số hữu

hạn của G, K là một nhóm con khác D là tập tất cả các phần tử đại diện của các lớp kề đôi (như vậy G = ∪

x∈D KxH là một hợp rời) A là một G-module Khi đó, với

1.3.3 Đồng cấu nâng

Đồng cấu nâng đã được nhắc đến ở phần 1.3.1, ở đây chúng ta sẽ làm rõ hơn về vấnđề này

Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G và A là G-module Do H tác động tầm thường lên A H nên A H trở thành G/H-module Xét cặp đồng cấu (φ, f)

1.4 Ánh xạ chuẩn Evens

1.4.1 Tích nửa trực tiếp

Cho H và N là hai nhóm, đồng cấu nhóm ϕ : H → Aut(N) xác định bởi ϕ(h) = ϕ h

Trong tập tích Đề các G = N × H, ta định nghĩa phép nhân giữa hai phần tử như sau

∗ : G × G → G (n1, h1) ∗ (n2, h2) = (n1ϕ h1(n2), h1h2)

Tập G với phép toán (*) được định nghĩa như trên trở thành một nhóm, ta gọi đó là tích nửa trực tiếp của H và N ứng với đồng cấu ϕ và ký hiệu N o ϕ H Nhóm N o ϕ H có phần tử đơn vị (e N , e H), phần tử nghịch đảo của (m, h) là (ϕh−1(n−1), h−1)

Trong trường hợp cho trước nhóm G, N là nhóm con chuẩn tắc, H là nhóm con của G sao cho mỗi phần tử g của G được biểu diễn duy nhất dưới dạng g = nh với

n ∈ N, h ∈ H Đồng cấu ϕ : H → AutN, ϕ(h) = ϕ h với ϕ h (n) = hnh−1 Thì G đẳng cấu với tích nửa trực tiếp của N và H.

Mệnh đề 1.5 Nhóm G đẳng cấu với tích nửa trực tiếp của N và H khi và chỉ khi

dãy khớp ngắn sau chẻ:

1 → N → G β → H → 1 α

Trong trường hợp này, tồn tại γ : H → G, α ◦ γ = Id Khi đó, ϕ : H → AutN được xác định bởi ϕ(h) = ϕ h với ϕ h (n) = β−1(γ(h)β(n)γ(h−1)) Đặc biệt, trong trường

hợp ϕ là đồng cấu tầm thường thì N o ϕ H chính là tích trực tiếp N × H.

1.4.2 Tích bện

Cho X là một tập, S(X) là nhóm tất cả các hoán vị của X H là một nhóm con của S(X) Xét G = A X là tích trực tiếp của |X| lần nhóm A, f ∈ A X thì f có dạng {f x}x∈X Khi đó phép toán trong A X được định nghĩa

(f.g) x = f x g x với mọi x ∈ X Hai phần tử f và g trong A X bằng nhau nếu các thành phần f x và g x bằng nhau trừ

một số hữu hạn x trong X Xét tác động của H lên G như sau

(h ∗ g) x = g h−1(x)

Khi đó ta định nghĩa tích bện giữa A và H là tích nửa trực tiếp A X

oϕ H tương ứng

với đồng cấu là tác động của H lên A X Ký hiệu A o (H, X).

Xét hai phần tử (f, h) và (g, k) của A o (H, X) ta có phép toán được suy ra từ tích nửa

trực tiếp

(f, h)(g, k) = (f.(h ∗ g), hk) Trong trường hợp cho trước hai nhóm A và H, ta có thể đồng nhất H với nhóm con của nhóm S(H) gồm các hoán vị σ g với σ g (x) = gx Khi đó tích bện giữa A và H ký hiệu A o H.

Xét S là nhóm con của S(X).

Định lý 1.6 (Nakaoka)([3], Định lý 5.3.1, trang 50) Nếu k là trường và X, H hữu

hạn thì

H∗(S o H, k) = H∗(S, H∗(H, k) ⊗X)

Theo định lý Nakaoka thì H∗(SoH, k) sẽ chứa H0(S, H∗(H, k) ⊗X ) = (H∗(H, k) ⊗X)S,

tập các bất biến của H∗(H, k) ⊗X dưới tác động của S.

1.4.3 Ánh xạ chuẩn Evens

Cho G là một nhóm và H là nhóm con có chỉ số hữu hạn T là tập tất cả các phần tử đại diện các lớp kề trái của H trong G Khi đó G = ∪

t∈T tH Như vậy, với mọi

g ∈ G, t ∈ T , tồn tại t g ∈ T sao cho gt ∈ t g H Lúc đó, tồn tại h g,t ∈ H để gt = t g h g,t

Đặt π(g) : G/H → G/H xác định bởi π(g)(¯t) = t g

φ : G → S(G/H) o H với φ(g) = (π(g), f) trong đó f : G/H → H cho bởi f(¯t) = h g,t

Mệnh đề 1.7 Đồng cấu φ xây dựng ở trên là một đơn cấu, ta gọi là biểu diễn đơn.

Đồng cấu φ cảm sinh

φ∗ : H∗(S(G/H) o H, A) → H∗(G, A) Với α ∈ H∗(G, A) có bậc chẵn ta định nghĩa ánh xạ chuẩn dựa vào φ∗ và định lýNakaoka

N H →G : H∗(H, A) −→ H∗(G, A)

α 7−→ 1 o α

Định lý 1.8 ([3], Định lý 6.1.1, trang 57) Giả sử H là nhóm con có chỉ số hữu hạn

của nhóm G Ánh xạ chuẩn N H →G có những tính chất sau

(N1) Nếu H là một nhóm con của K và K là một nhóm con của nhóm G, thì với

α ∈ H∗(H, k) có bậc chẵn

N K→G (N H →K (α)) = N H →G (α) (N2) Nếu α, β ∈ H∗

(H, k) có bậc chẵn thì

trong đó Π chỉ tích cup.

(N4) Nếu H chuẩn tắc trong G thì

2.1 Dãy phổ

Một module Z-song phân bậc là một họ E = {E p,q} các module, mỗi module được

đánh một cặp chỉ số p, q = 0, ±1, ±2, Một vi phân song bậc (r, −r + 1) là một họ

các đồng cấu {d : E p,q

→ E p+r,q−r+1} với d2 = 0 Đối đồng điều H(E) = H(E, d) là

một module song phân bậc H p,q (E)được định nghĩa theo cách thông thường

H p,q (E) = ker[d : E p,q → E p+r,q−r+1 ]/dE p−r,q+r−1 Đặt E n

p+q=n

E p,q và vi phân cảm sinh d : E n

→ E n+1 có bậc 1 Khi đó, E trở thành một module Z-phân bậc đơn và H({E n }, d) là một module phân bậc đơn được

suy ra từ module song phân bậc H p,q

(E) theo cách H n

bậc (r, −r + 1) và đẳng cấu H(E r , d r) ∼= E r+1 , r = 2, 3 4

Từ đẳng cấu trên, ta đồng nhất E r+1 với H(E r , d r) Khi đó, E3 trở thành module

thương C2/B2 của E2, với C2 = kerd2 và B2 = Imd2 Tiếp tục E4 = H(E3, d3) là

module thương của C2/B2 và đẳng cấu với C3/B3, trong đó, C3/B2 = kerd3, B3/B2 =

Imd3 và B3 ⊂ C3

Cứ như vậy, dãy phổ được biểu diễn như một chuỗi bao hàm

0 = B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ⊂ ⊂ ⊂ C3 ⊂ C2 ⊂ C1 = E2

các module con song phân bậc của E2 với E r+1 = C r /B r và

d r : C r−1 /B r−1 → C r−1 /B r−1 có nhân C r /B r−1 và ảnh B r /B r−1

Đặt C∞ là giao của tất cả các module con C r

B∞ là hội của tất cả các module con B r

Ta sẽ mô tả các module E p,q

r trên mặt phẳng (p, q)

Figure 2.1:

Do E p,q

r = 0 khi p < 0 hoặc q > 0 nên ta có các thành phần đặc biệt của E r+1

được xét như sau

Trước tiên, các thành phần E 0,q

r nằm trên trục q

E∞0,q = E q+2 0,q ,→ E q+1 0,q ,→ ,→ E20,q

Các thành phần E p,0

r nằm trên trục p

r+1 là module thương của E p,0

r Từ đó ta có dãy các phépchiếu tự nhiên sau

E2p,0  E3p,0  · · ·  E p+1 p,0 = E∞p,0

Hai dãy đồng cấu trên được gọi là các đồng cấu biên

2.1.1 Module được lọc

Lọc F của một module A là một họ các module con F p A với

· · · ⊂ F p+1 A ⊂ F p A ⊂ F p−1 A ⊂

Một lọc F của một module Z-phân bậc vi phân A là một họ các module con Z-phân bậc vi phân của F p A thỏa mãn dãy bao hàm trên Lọc này cảm sinh một lọc trên

đối đồng điều Z-phân bậc H(A) với F p

(H(A)) được định nghĩa là ảnh của H(F p

A) dưới phép nhúng F p A → A Do A là module Z-phân bậc, lọc của A xác định một lọc

F p A n cho mỗi module A n và vi phân của A cảm sinh đồng cấu ∂ : F p A n−1 → F p A n

Họ module {F p

A n}là một module Z-song phân bậc Lọc F của module phân bậc vi phân A được gọi là bị chặn nếu với mỗi bậc n có hai số nguyên s(n) > t(n) sao cho mỗi A n có một lọc hữu hạn sau

0 = F s A n ⊂ F s−1 A n ⊂ · · · ⊂ F t+1 A n ⊂ F t A n = A n

Định nghĩa 2.3 Dãy phổ E được gọi là hội tụ đến module phân bậc A (ký hiệu

E2p,q ⇒ A) nếu có một lọc F của A sao cho E p,q

∞ = F p A p+q /F p+1 A p+q

2.1.2 Dãy phổ Lyndon-Hochschild-Serre

Bổ đề 2.1 Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Với bất kỳ kG-module tự do

F và kG-module A ta có

H n (G/H, Hom kH (F, A)) = 0, với n > 0

Bổ đề 2.2 Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và M là kG-module Khi đó,

H n (H, M ) là k(G/H)-module với mỗi n > 0.

Định lý 2.3 (Dãy phổ Hochschild-Serre)

Cho G là một nhóm, H là nhóm con chuẩn tắc và A là một kG-module Khi đó, có một dãy phổ đối đồng điều góc phần tư thứ nhất

E2p,q = H p (G/H, H q (H, A)) ⇒ H p+q (G, A) Các đồng cấu biên

H n (G/H, A H ) −→ H n (G, A)

H n (G, A) −→ H n (H, A) G/H được cảm sinh lần lượt từ các đồng cấu nâng inf G/H và đồng cấu hạn chế res G→H

Hệ quả 2.4 Với E là dãy phổ LHS thì hai biểu đồ sau giao hoán

Hệ quả 2.5 Với E là dãy phổ LHS thì

a) Nếu mở rộng nhóm 1 → H → G → G/H → 1 chẻ ra và H tác động tầm thường lên A thì đồng cấu

inf G/H →H : H∗(G/H, A) −→ H∗(G, A) là đơn cấu Hơn nữa, E ∗,0

2 = E∞∗,0 b) Im(res G→H ) = E 0,∗

P P P P P P P P

M M M M M M M

P P P P P P P P

d2

M M M M M M M

Rõ ràng các vị trí đóng khung sẽ không thay đối giá trị khi ta tăng bậc của dãyphổ Chẳng hạn

E30,1 = E40,1 = · · · = E∞0,1

E21,0 = E31,0 = · · · = E∞1,0 Mặt khác, chúng ta đã biết với lọc của H1

0 → E22,0 → H2 → E20,2 → E23,0 → H3

Định lý 2.7 (Higher Inflation - Restriction)

Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G và A là một kG-module Giả sử rằng

H q (H, A) = 0 với 1 ≤ q ≤ q0 Thì với 1 < q < q0, đồng cấu nâng cảm sinh đẳng cấu

H q (G/H, A H) ∼= H q (G, A) và có một dãy khớp

0 → H q0(G/H, A H)inf → H q0(G, A) → H res q0(H, A) G/H → H q0 +1

(G/H, A H)inf → H q0 +1

(G, A)