Dãy pho lyndon hochschild serre và đối đồng đều của nhóm nửa nhị diện

Lời cám ơn Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện cả về vật chất lẫn tinh thần cùng với một môi trường học tập hoàn hảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Đặc biệt là các thầy cô và đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số. Tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Nguyễn Viết Đông - người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi từ khi tôi mới chập chững bước chân vào con đường Toán học. Thầy đã đọc bản thảo, chỉnh sửa và cho tôi những ý kiến đóng góp quan trọng từ tiểu luận cử nhân cho tới luận văn thạc só. Tôi xin gởi lời cảm ơn tới hai bạn Dương Đức Thònh và Trần Mai Thuận đã cùng tôi thảo luận và giải quyết các vấn đề trong các buổi seminar của nhóm. Cuối cùng, lời cảm ơn đặc biệt và chân thành nhất, xin được gởi cho mẹ tôi. Người đã đứng cạnh tôi động viên và tin tưởng, không chỉ trong thời gian tôi làm luận văn này mà trong suốt cả quá trình sống, học tập và làm việc. Xin cảm ơn những lời khuyên ngoài học thuật của mẹ đã cho tôi động lực to lớn để hoàn thành luận văn này. Mục lục Lời nói đầu 4 Bảng ký hiệu 6 1 Kiến thức cơ sở 7 1.1 Đối đồng điều nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tíchcup 8 1.3 Toán tử đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Đồng cấu hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Đồng cấu nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Ánh xạ chuẩn Evens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Tích nửa trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Tíchbện 13 1.4.3 Ánh xạ chuẩn Evens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản 16 2.1 Dãyphổ 16 2.1.1 Module được lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Dãy phổ Lyndon-Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Vành đối đồng điều của nhóm Cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Vành đối đồng điều của nhóm nhò diện D 2 n 23 2 2.3.1 Đối đồng điều nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Đối đồng điều mod-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Q 8 27 3 Đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện 29 3.1 Đối đồng điều nguyên của SD 2 n 29 3.2 Đối đồng điều mod-2 của nhóm nửa nhò diện D 2 n 38 Tài liệu tham khảo 43 Lời nói đầu Đối đồng điều của các nhóm nhò diện và Quaternion tổng quát giờ đây đã trở thành cổ điển và được trình này trong hầu hết các sách viết về đối đồng điều nhóm. Và hơn nữa, đối đồng điều của hai nhóm này cũng đã được tìm hiểu và trình bày cặn kẽ, tỉ mỉ trong các cuốn luận văn của các học viên thuộc Bộ môn Đại số, chuyên ngành hẹp Đại số đồng điều. Đặc biệt là luận văn của Thạc só Nguyễn Uy Bá. Sử dụng hai kết quả đã biết này, Leonard Evens và Stewart Priddy đã đưa ra cách tính đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện thông qua việc sử dụng một công cụ rất mạnh đó là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre. Nhóm nửa nhò diện được đònh nghóa như sau SD 2 n = Gp < s, b : s 2 n−1 = b 2 =1, bsb −1 = s 2 n−2 −1 > Trong công trình của L. Evens và S. Priddy có hai kết quả chính được đưa ra dưới dạng đònh lý Đònh lý A. H ∗ (SD 2 n )=Z[β,ξ,ζ,γ] với degβ = degξ =2, degζ =4, degγ =5và các phần tử sinh thỏa các quan hệ sau 2β =2ξ =2γ =0, 2 n−1 ζ =0,ξ 2 =0,βξ= 0,ξγ=0,γ 2 = β 3 ζ. Đònh lý B. H ∗ (SG 2 n ; Z 2 ) được xác đònh thông qua (D 8 ,Q 8 ). Tức là, φ ∗ × ψ ∗ : H ∗ (SD 2 n ; Z 2 ) −→ H ∗ (D 8 ; Z 2 ) × H ∗ (Q 8 ; Z 2 ) là đơn cấu. Trong đó, φ : D 8 → SD 2 n và ψ : Q 8 → SD 2 n lần lượt là các phép nhúng. Cuốn luận văn này sẽ tập trung làm rõ hai đònh lý trên thông qua việc trình bày công cụ dãy phổ và các kiến thức liên quan. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 Kiến thức cơ sở. Trong chương này tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn các khái niệm và đònh lý liên quan đến đối đồng điều nhóm, tích cup, tích bện và các đồng cấu đồng điều như đồng cấu hạn chế, đồng cấu đối hạn chế, đồng cấu nâng và ánh xạ chuẩn Evens. Chương 2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản. Trong chương này tôi sẽ trình bày về dãy phổ tổng quát và một các xây dựng dãy phổ của 4 mở rộng nhóm có tên là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre, viết tắt là dãy phổ LHS. Đồng thời trình bày các ứng dụng của dãy phổ LHS thông qua việc tính đối đồng điều nguyên và mod -2 của các nhóm đơn giản như nhóm cyclic, nhóm nhò diện tổng quát và nhóm Quaternion. Chương 3. Đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện. Chương này tôi sẽ tập trung vào việc chứng minh hai đònh lý đã nêu trên của L. Evens và S. Priddy. Đối đồng điều nhóm là một công cụ quen thuộc trong việc khảo sát và tìm hiểu các tính chất của nhóm. Hy vọng rằng, cuốn luận văn này sẽ góp một phần nhỏ vào kho tài liệu đồ sộ về Toán của Bộ môn Đại số, cũng như của Khoa Toán - Tin học và là tài liệu tham khảo hữu ích cho những học viên tiếp tục nghiên cứu về vấn đề này. Thành phố Hồ Chí minh, Tháng 6 năm 2010 Bùi Anh Tuấn 5 Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghóa A ⊗ R B Tích tenxơ trên R của hai môđun A và B A f → Bflà đồng cấu từ A đến B A  B toàn cấu từ A đến B A  B đơn cấu từ A đến B Hom(A, B) Tập hợp tất cả đồng cấu từ A vào B E p,q r Dãy phổ bậc r tại vò trí (p, q) A  ϕ B Tích nửa trực tiếp của A, B qua đồng cấu ϕ B(G) Phép giải Bar của nhóm G H n (G, A) Đối đồng điều thứ n của G với hệ số trong A kG Vành nhóm ∪ Tích cup A  B Tích bện giữa A và B res G→S Đồng cấu hạn chế từ G xuống S cor S→G Đồng cấu đối hạn chế N S→G Ánh xạ chuẩn Evens D 2 n Nhóm nhò diện cấp 2 n Q 2 n Nhóm Quaternion cấp 2 n SD 2 n Nhóm nửa nhò diện cấp 2 n 6 Chương 1 Kiến thức cơ sở Việc sử dụng dãy phổ để tính đối đồng điều nhóm đã thường xuyên là đề tài nghiên cứu và thảo luận của sinh viên cũng như học viên cao học thuộc chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số, trong đó có thể kể đến các luận văn thạc só của các học viên Nguyễn Uy Bá, Phạm Thành Trí hay tiểu luận tốt nghiệp đại học của chính bản thân tôi. Do vậy, trong phần kiến thức cơ sở tôi chỉ nhắc lại các vấn đề chính để tạo tính logic cho luận văn. Các chi tiết cụ thể như ví dụ hay chứng minh các đònh lý, mệnh đề có thể dễ dàng tìm thấy trong các luận văn kể trên. 1.1 Đối đồng điều nhóm Cho G là một nhóm, k là vành, ta đònh nghóa k(G) là nhóm Abel tự do sinh bởi các phần tử g ∈ G, bao gồm các tổng hữu hạn  g m(g)g với m(g) ∈ k. Trên k(G) đònh nghóa hai phép toán  x m(x)x +  x m  (x)x =  x (m + m  )(x)x (  x m(x)x)(  y m  (y)y)=  x,y m(x)m  (y)xy Với hai phép toán trên kG trở thành một vành và ta gọi là vành nhóm của G. Đặt B n là kG-module tự do sinh bởi các bộ có thứ tự [x 1 |x 2 | |x n ], trong đó 1 = x i ∈ G. Khi đó B n cũng là một nhóm Abel tự do sinh bởi x[x 1 |x 2 | |x n ]. Đặc biệt B 0 là kG- module tự do sinh bởi một phần tử []. Quy ước, [x 1 |x 2 | |x n ]=0nếu tồn tại bất kỳ x i =1. Trên cơ sở các B n ta xây dựng dãy sau: B(G): → B n+1 ∂ n+1 → B n → → B 1 ∂ 1 → B 0 ε → k 7 Trong đó, ε[] = 1 ∂ 1 [x]=x[] − [] ∂ n [x 1 |x 2 | |x n ]=x 1 [x 2 |x 3 | |x n ]+ n−1  i=1 (−1) i [x 1 | |x i x i+1 | |x n ] +(−1) n [x 1 |x 2 | |x n−1 ](n>1) Với cách xây dựng trên thì B(G) trở thành một dãy khớp và do đó là một phép giải xạ ảnh của kG-module tầm thường k. Ta gọi B(G) là phép giải Bar. Xét một kG-module A bất kỳ, ta đònh nghóa đối đồng điều của G với hệ số trong A là H n (G, A)=H n (Hom kG (B(G),A)) 1.2 Tích cup Cho G là một nhóm; A, B là kG-module. X → k, Y → k là các kG-phép giải xạ ảnh của k. Ta đònh nghóa tích chéo Hom kG (X, A) ⊗ Hom kG (Y,B) × → Hom kG×kG (X ⊗ Y,A⊗ B) (f × g)(x ⊗ y) −→ f(x) ⊗ g(y) với f ∈ Hom kG (X, A),g∈ Hom kG (Y,B) . Đồng cấu tích chéo cảm sinh đồng cấu H ∗ (G, A) ⊗ H ∗ (G, B) → H ∗ (G × G, A ⊗ B) (α ⊗ β) −→ α × β Xét đồng cấu ∆: G → G × G xác đònh bởi ∆(x)=x × x với x ∈ G ∆ cảm sinh đồng cấu ∆ ∗ : H ∗ (G × G, A ⊗ B) → H ∗ (G, A ⊗ B) Khi đó tích cup được đònh nghóa là phép hợp nối của ∆ ∗ và đồng cấu cảm sinh của tích chéo H ∗ (G, A) ⊗ H ∗ (G, B) × ∗ → H ∗ (G × G, A ⊗ B) ∆ ∗ → H ∗ (G, A ⊗ B) 8 Đặc biệt trong trường hợp A = B = k là vành, tích cup ∪ : H ∗ (G, k) × H ∗ (G, k) → H ∗ (G, k) α ∪ β =∆ ∗ (α × β) Khi đó, H ∗ (G, k) với tích cup trở thành một vành, ta gọi vành đối đồng điều của G với hệ số trong k. 1.3 Toán tử đối đồng điều 1.3.1 Đồng cấu hạn chế Cho G là một nhóm và H là một nhóm con. Khi đó qua phép nhúng, một kG-module cũng có thể xem như một kH-module, một kG-đồng cấu cũng có thể xem như một kH-đồng cấu. Xét X → k là một kG-phép giải xạ ảnh, A là một kG-module. Vậy X → k cũng là một kH-phép giải xạ ảnh, A cũng là một kH-module. Từ đây để tiện lợi ta viết G thay cho vành nhóm kG. Ta xây dựng đồng cấu hạn chế ϕ : Hom G (X, A) → Hom H (X, A) thỏa ϕ(f)=f. Đồng cấu cảm sinh ϕ ∗ : H ∗ (G, A) → H ∗ (H, A) Ta gọi ϕ ∗ là đồng cấu hạn chế và ký hiệu là res G→H . Một cách nhìn khác về đồng cấu hạn chế. Cho A là G-module, A  là G  -module, φ : G  → G là một đồng cấu nhóm. Qua φ, A cũng có thể được xem như G  -module. Giả sử f : A → A  là một G  -module, tức là f thỏa f(φ(x  )a)=f(x  a)=x  f(a) với x  ∈ G  ,a∈ A. Khi đó, các đồng cấu cảm sinh φ ∗ : H ∗ (G, A) → H ∗ (G  ,A) f ∗ : H ∗ (G  ,A) → H ∗ (G  ,A  ) cho ta phép hợp nối (φ ∗ ,f ∗ )=f ∗ φ ∗ : H ∗ (G, A) → H ∗ (G  ,A  ) 9 Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau đây: Trường hợp thứ nhất, G  = H là một nhóm con của nhóm G, A  = A, φ = i là phép nhúng từ H vào G và f = Id A là phép đồng nhất của A. Lúc đó, (i, Id) ∗ : H ∗ (G, A) → H ∗ (H, A) chính là đồng cấu hạn chế mà ta đã đònh nghóa ở trên. Trường hợp thứ hai, G  = N là nhóm con chuẩn tắc của G, A là G-module. A N là một G-module với tác động tầm thường của N lên A. Lúc đó, A N trở thành một G/N-module, cụ thể tác động của G/N lên A N là (gN)a = ga (do N tác động tầm thường lên A). Cho π : G → G/N là phép chiếu tự nhiên, f : A N → A là phép nhúng. Khi đó, (π,f) ∗ : H ∗ (G/N, A N ) → H ∗ (G, A) được gọi là đồng cấu nâng, ký hiệu inf G/N→G , mà ta sẽ làm rõ hơn ở phần sau. Mệnh đề 1.1. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con. Với mỗi g ∈ G, ta đònh nghóa φ : gHg −1 → H bởi φ(h  )=g −1 h  g f : A → A bởi f(a)=ga Ta có các điều sau 1. f(φ(h  )a)=h  f(a) 2. g ∗ =(φ, f) ∗ : H ∗ (H, A) → H ∗ (gHg −1 ,A). Trong đó, g ∗ là đồng cấu cảm sinh từ đồng cấu g ∗ : Hom H (X, A) → Hom gHg −1 (X, a) g ∗ (f)(x)=gf(g −1 x) Trong trường hợp H chuẩn tắc trong G, mệnh đề cho chúng ta một tác động của G lên H ∗ (H, A) để nó trở thành G-module, đó là g(clsf)=g ∗ (clsf). Mệnh đề 1.2. G tác động tầm thường lên H ∗ (G, A). 1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế H là một nhóm con có chỉ số hữu hạn trong G, A là một G-module. Gọi S là tập các phần tử đại diện lớp ghép trái của H trong G. X → k là một G-phép giải xạ ảnh của 10 [...]... đồng điều của các pushforward của nó Leray phát hiện ra rằng, đối đồng điều của pushforward cho phép chúng ta xây dựng một phức dây chuyền và như vậy ta có thể tính đối đồng điều của đối đồng điều Việc làm này không thực sự là tính đối đồng điều của các sheaf ban đầu nhưng cho chúng ta một bước tiến gần hơn tới kết quả Đối đồng điều của đối đồng điều lại cho chúng ta một phức dây chuyền và vì vậy chúng... 2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong Tôpô đại số, Leray đã đưa ra khái niệm sheaf và sau đó nhận ra rằng mình gặp khó khăn trong việc tính đối đồng điều của các sheaf Ông giải quyết vấn đề bằng cách đưa ra một kỹ thuật tính toán mà bây giờ chúng ta vẫn gọi là dãy phổ Leray Kỹ thuật này đưa ra một mối quan hệ giữa đối đồng điều của sheaf và đối đồng. .. có thể lấy đối đồng điều thêm một lần nữa Quá trình vô hạn này cứ tiếp diễn và giới hạn của nó cho chúng ta đối đồng điều của sheaf ban đầu Trên cơ sở kỹ thuật này, các nhà toán học đã xây dựng nhiều biến dạng để phù hợp với từng vấn đề đặt ra Lyndon - Hochschild - Serre, ba nhà toán học này đã đưa ra một dãy phổ của các mở rộng nhóm mà chúng ta sẽ sử dụng để tính đối đồng điều của các nhóm ở phần... )(t4 ) = 0 Đònh lý 2.17 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Quaternion Q8 2 2 H ∗ (Q8, Z2 ) = Z2 [x1, y1, t4]/ < x2 + x1 y1 + y1 , x1 y1 + x2y1 > 1 1 28 Chương 3 Đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện Nhóm nửa nhò diện cấp 2n là nhóm được đònh nghóa SD2n = Gp < s, b : s2 n−1 = b2 = 1, bsb−1 = s2 n−2 −1 > Chương này được viết dựa trên bài báo "The cohomology of the semi-dihedral group" của tác giả Leonard Evens... (G, Z2 ) y2 là phần tử sinh của H 2 (G, Z2 ) Đònh lý 2.10 G là nhóm cyclic cấp pn H ∗ (G, Z) = Z[y2]/ < pn y2 > 2.3 Vành đối đồng điều của nhóm nhò diện D2n 2.3.1 Đối đồng điều nguyên Nhóm nhò diện được đònh nghóa như sau n−1 G = D2n =< s, b|ss = b2 = 1, b−1 sb = s−1 > Đặt S =< s >, B =< b > thì ta có G = S G/S Do đó, dãy khớp 1 → S → G → G/S → 1 chẻ ra ∗,∗ Xét dãy phổ LHS của mở rộng trên, E2 = H ∗... quy nạp của chúng ta đã được kiểm chứng tính đúng đắn Đònh lý 2.16 Đối đồng điều của nhóm nhò diện cấp 2n H ∗ (D2n , Z2 ) = Z2 [x1, y1, t2]/ < x2 + x1 y1 > 1 Trong đó, degx1 = degy1 = 1, degt2 = 2 và x1 (a) = y1(b) = 1, t2 = z1 f ∈ H 2 (D2n+1 , Z2) với z1 là phần tử sinh của H 1 (Z(D2n+1 ), Z2 ) và f là hệ nhân tử của mở rộng 1 → Z(D2n+1 ) → D2n+1 → D2n → 0 2.4 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Q8... Đònh lý 2.3 (Dãy phổ Hochschild- Serre) Cho G là một nhóm, H là nhóm con chuẩn tắc và A là một kG-module Khi đó, có một dãy phổ đối đồng điều góc phần tư thứ nhất p,q E2 = H p (G/H, H q (H, A)) ⇒ H p+q (G, A) Các đồng cấu biên H n (G/H, AH ) −→ H n (G, A) 19 và H n (G, A) −→ H n (H, A)G/H được cảm sinh lần lượt từ các đồng cấu nâng infG/H và đồng cấu hạn chế resG→H Hệ quả 2.4 Với E là dãy phổ LHS thì... nghóa như trên trở thành một nhóm, ta gọi đó là tích nửa trực tiếp của H và N ứng với đồng cấu ϕ và ký hiệu N ϕ H Nhóm N ϕH có phần tử đơn vò (eN , eH ), phần tử nghòch đảo của (m, h) là (ϕh−1 (n−1 ), h−1 ) Trong trường hợp cho trước nhóm G, N là nhóm con chuẩn tắc, H là nhóm con của G sao cho mỗi phần tử g của G được biểu diễn duy nhất dưới dạng g = nh với n ∈ N, h ∈ H Đồng cấu ϕ : H → AutN, ϕ(h) =... tAn = An Đònh nghóa 2.3 Dãy phổ E được gọi là hội tụ đến module phân bậc A (ký hiệu p,q p,q E2 ⇒ A) nếu có một lọc F của A sao cho E∞ = F pAp+q /F p+1Ap+q 2.1.2 Dãy phổ Lyndon- Hochschild- Serre Bổ đề 2.1 Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Với bất kỳ kG-module tự do F và kG-module A ta có H n (G/H, HomkH (F, A)) = 0, với n > 0 Bổ đề 2.2 Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và M là kG-module Khi đó,... bện giữa A và H là tích nửa trực tiếp AX ϕ H tương ứng với đồng cấu là tác động của H lên A Ký hiệu A (H, X) X Xét hai phần tử (f, h) và (g, k) của A (H, X) ta có phép toán được suy ra từ tích nửa trực tiếp (f, h)(g, k) = (f.(h ∗ g), hk) Trong trường hợp cho trước hai nhóm A và H, ta có thể đồng nhất H với nhóm con của nhóm S(H) gồm các hoán vò σg với σg (x) = gx Khi đó tích bện giữa A và H ký hiệu . 23 2.3.2 Đối đồng điều mod-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Q 8 27 3 Đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện 29 3.1 Đối đồng điều nguyên của SD 2 n . LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản. Trong chương này tôi sẽ trình bày về dãy phổ tổng quát và một các xây dựng dãy phổ của 4 mở rộng nhóm có tên là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre, . tắt là dãy phổ LHS. Đồng thời trình bày các ứng dụng của dãy phổ LHS thông qua việc tính đối đồng điều nguyên và mod -2 của các nhóm đơn giản như nhóm cyclic, nhóm nhò diện tổng quát và nhóm Quaternion. Chương