phương pháp dồn biến đối với bất đẳng thức 3 biến số

phương pháp dồn biến đối với bất đẳng thức 3 biến số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớ...

Chuyên đề

PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN SỐ

Huỳnh Chí Hào

Thí dụ 1 Cho x y z , , 0 Chứng minh rằng:

x y z  33 xyz (1)

Lời giải

Bước 1:

 Ta có:  1 x y z  33 xyz 0 (2)

 Xét biểu thức f x y z , , x y z  33 xyx Ta chứng minh: f x y z   , ,  0

Thực hiện dồn biến theo TBC:

2

x y

t  , ta sẽ chứng minh:

f x y z , ,  f t t z , ,  (3)

 Thật vậy, xét hiệu: d f x y z , ,  f t t z , , 

x y z  33 xyz2t z 33t z2 

x y 33t z2 3 xyz

Mà

2

x y

t  t2 xy 3 t z2 3 xyz  nên 0 d 0

Bước 2: Chứng minh   3 2

f t t z  t z  t z (4)

 Thật vậy:   3 2  3 2

4 2t z 3 t z 2t z 27t z0 t z  2 8t z 0 (đúng)

Kết luận: f x y z   , ,  0

Bước 1:

 Ta có:  1 x y z  33 xyz 0 (2)

 Xét biểu thức f x y z , , x y z  33 xyx Ta chứng minh: f x y z   , ,  0

Thực hiện dồn biến theo TBN: t xy, ta sẽ chứng minh:

f x y z , ,  f t t z , ,  (3)

 Thật vậy, xét hiệu: d f x y z , ,  f t t z , , 

x y z  33 xyz2t z 33t z2 

x y 2t

Mà t xy  2tx y x y 2t nên 0 d 0

Bước 2: Chứng minh   3 2

f t t z  t z  t z (4)

 Thật vậy:   3 2  3 2

4 2t z 3 t z 2t z 27t z0 t z  2 8t z 0 (đúng)

Kết luận: f x y z   , ,  0

 Vì bất đẳng thức (1) là đồng bậc nên bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử:

x y z   (*) 1

Bước 1:

 Ta có:  1  1 33 xyz 1 27xyz (2) 0

 Xét biểu thức f x y z , ,  1 27xyz Ta chứng minh: f x y z   , ,  0

Thực hiện dồn biến theo TBC:

2

x y

t  , ta sẽ chứng minh:

f x y z , ,  f t t z , ,  (3)

Kiểm tra (*): Khi thay x y, bởi

2

x y

t  thì (*) vẫn thỏa

 Xét hiệu: d f x y z , ,  f t t z , , 

 2 

1 27xyz 1 27t z

 2 

27 t z xyz

Mà

2

x y

t  t2 xy xyz t z 2 nên d 0

Bước 2: Chứng minh f t t z , ,  1 27t z2  (4) 0

f t t z   t z  t  t   t  t 

 Với điều kiện (*) thì đẳng thức xảy ra  1

3

3 1

t

 





 Vậy trong trường hợp tổng quát đẳng thức xảy ra  xy z 0

Kết luận: f x y z   , ,  0

 Vì bất đẳng thức (1) là đồng bậc nên bằng cách chuẩn hóa ta có thể giả sử:

 Xét biểu thức f x y z , , x y z   Ta chứng minh: 3 f x y z   , ,  0

Thực hiện dồn biến theo TBC: t xy, ta sẽ chứng minh:

f x y z , ,  f t t z , ,  (3)

Kiểm tra (*): Khi thay x y, bởi t xy thì (*) vẫn thỏa

 Xét hiệu: d f x y z , ,  f t t z , , 

x y z   3 2t z 3

x y 2t

Mà t xy  x y 2 xy 2tx y 2t nên 0 d 0

Bước 2: Chứng minh f t t z  (4)  , ,  0

2

1

 Với điều kiện (*) thì đẳng thức xảy ra  1 1

1

t

 

      





 Vậy trong trường hợp tổng quát đẳng thức xảy ra  xy z 0

Kết luận: f x y z   , ,  0

Thí dụ 2 Cho a b c  , chứng minh rằng: , , 0

3

a b c abc a b c b c a c a b (1)

Lời giải

 Xét biểu thức f a b c , , a3b3c3abc a b c 2  b c a2  c a b2  

Ta cần chứng minh f a b c   , ,  0

 Thực hiện điều chỉnh dồn biến bằng trung bình cộng, đặt

2

b c

t  , ta sẽ chứng minh

f a b c , ,  f a t t , , 

 Xét hiệu d f a b c , ,  f a t t , , , ta có:

da3b3c3abc a b c 2  b c a2  c a b2  

3 3 3 2 2  2  2 

2

b c 54a b c  2

 Không mất tính tổng quát, ta giả sử amina b c, ,  Suy ra: 5

2 4

b c  a a d 0

 Do đó: f a b c , ,  f a t t , ,  Ta cần chứng minh: f a t t   , ,  0

Thí dụ 3 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c  1 Chứng minh rằng:

1 1 1 13 25

1 4

  

a b c a b c (1)

Lời giải

 Xét biểu thức  , ,  1 1 1 13

1

f a b c

   Thực hiện dồn biến theo TBN, ta sẽ chứng minh:

f a b c , ,  f a , bc, bc (3)

 Ta có: d f a b c , ,  f a t t , ,  1 1 1 13 1 2 13

1 1 2 1 1

13

 

Không mất tính tổng quát, ta giả sử amaxa b c, , , do abc 1 bc 1 1 1

bc

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

1 16

nên d 0 f a b c , ,  f a , bc, bc

 Chứng minh  , ,  25

4

f a bc bc  (4)

 Đặt t bc với 0 t 1, ta sẽ chứng minh:

2

, ,

4

t



(5)

 Ta có:

2

2

, ,

t

t

 

2 2

4

t t

 

 

       

   2 4 3 2 

 Suy ra:  , ,  25

4

Giải thích kỹ năng phân tích:

2 2 1 5 2 1 2 5 7 3 0

 Kết luận: f x y z   , ,  0

Bài tập tương tự

1 Cho a b c là các số thực dương sao cho , , abc 1 Chứng minh rằng:

a b b c c a      7 5a b c  

2 Cho a b c là các số thực dương sao cho , , abc 1 Chứng minh rằng:

2 1 3

3

a b c    ab bc ca 

3 Cho a b c là các số thực dương sao cho , , abc 1 Chứng minh rằng:

1 1 1 6

5

abca b c  