hệ phương trình nâng cao

hệ phương trình nâng cao tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kin...

THPT Hồng Ngự 2 Lê Trung Tín HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Bài 1. Giải hệ phương trình      x 2 + xy + y 2 + x + y 3 x + 1 = 2 2x + y + y 2 x + 1 = 2 Hướng dẫn Ta biến đổi hệ trở thành hệ :        (x + y + 1)  x + y 2 x + 1  = 2 (x + y + 1) +  x + y 2 x + 1  = 3 Bài 2. Giải hệ phương trình     x 2 + y 2  (x + y + 1) = 25 (y + 1) x 2 + xy + 2y 2 + x − 8y = 9 Hướng dẫn Ta biến đổi hệ trở thành hệ:         x 2 + y 2 y + 1  (x + y + 1) = 25  x 2 + y 2 y + 1  + (x + y + 1) = 10 Bài 3. Giải hệ phương trình  x  y 2 + 6 + y √ x 2 + 3 = 7xy x √ x 2 + 3 + y  y 2 + 6 = 2 + x 2 + y 2 Hướng dẫn Ta biến đổi hệ trở thành hệ:        √ x 2 + 3 + x x +  y 2 + 6 + y y = 9 3x √ x 2 + 3 + x + 6y  y 2 + 6 + y = 2 Bài 4. Giải hệ phương trình    x 3 + y 3 + 6xy = 8 x 2 + y 2 = 2x + y + 14 Hướng dẫn Ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ: x 3 + y 3 + 6xy = 8 ⇔ (x + y) 3 − 8 − 3xy(x + y − 2) = 0 ⇔ (x + y − 2)  (x + y + 4) 2 + 3(x − y) 2 4  = 0 Bài 5. Giải hệ phương trình    8y 3 + 6y + 1 +  3x 2 + 16y 2 = 19 x 2 + 4y 2 = 4 Hướng dẫn Xét hàm f (y) = 8y 3 + 6y + 1, g(x) = √ 16 − x 2 với x ∈ [−2; 2], y ∈ [−1; 1]. Khi đó f(y) + g(x) ≤ f(1) + g(0) = 19 1 THPT Hồng Ngự 2 Lê Trung Tín Bài 6. Giải hệ phương trình    4x 3 + 4y 3 = 3x 2 y + 2 √ 3xy + 2x x 2 = y 2 + 1 Hướng dẫn Đặt y = tan a, x = 1 cos a Bài 7. Giải hệ phương trình    y 3 + 3xy − 17x + 18 = x 3 − 3x 2 + 13y − 9 x 2 + y 2 + xy − 6y − 5x + 10 = 0 Hướng dẫn Từ phương trình (2) ta tìm được : 5 3 ≤ y ≤ 3, 2 3 ≤ x ≤ 2 Nhân phương trình (2) với −3 và cộng với phương trình (1) ta có : (y − 1) 3 + 2(y − 1) = x 3 + 2x Bài 8. Giải hệ phương trình    1 + x 3 y 3 = 19x 3 x + xy 2 = −6x 2 Hướng dẫn Ta đưa về hệ sau:         1 x + y  3 − 3y x  1 x + y  = 19 y x  1 x + y  = −6 Bài 9. Giải hệ phương trình    xy 2 + y 3 + 3x − 6y = 0 x 2 + xy − 3 = 0 Hướng dẫn Thế từ pt thứ hai vào pt thứ nhất, ta được: x 3 + y 3 − x 2 y − xy 2 = 0 Bài 10. Giải hệ phương trình        x(y 2 + 1) x 2 + y 2 = 3 5 y(x 2 − 1) x 2 + y 2 = 4 5 Hướng dẫn Lần lượt lấy phương trình (1) nhân cả 2 vế với x, phương trình (2) nhân cả 2 vế với y, rồi cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta được 3x 5 − 4y 5 = 1 ⇔ 3x −4y = 5 Bài 11. Giải hệ phương trình    xy 2 + 3x 2 = 2y y 2 + x 2 y = −2x Hướng dẫn Hệ viết lại    3x 3 = 2xy − x 2 y 2 y 3 = −2xy − x 2 y 2 2 THPT Hồng Ngự 2 Lê Trung Tín Bài 12. Giải hệ phương trình  ( √ x 2 + 1 + x)(  y 2 + 1 + y) = 1 4 √ x + 2 + √ 22 − 3x = y 2 + 8 Hướng dẫn Từ PT (1), suy ra: √ x 2 + 1 + x =  y 2 + 1 − y. Đến đây xét hàm số: f (t) = √ t 2 + 1 + t Bài 13. Giải hệ phương trình      1 x + 1 2y = (x 2 + 3y 2 )(3x 2 + y 2 ) 1 x − 1 2y = 2(y 4 − x 4 ) Hướng dẫn Biến đổi thành hệ sau:      2 x = x 4 + 5y 4 + 10x 2 y 2 1 y = 5x 4 + y 4 + 10x 2 y 2 ⇔    2 = x 5 + 5xy 4 + 10x 3 y 2 1 = 5x 4 y + y 5 + 10x 2 y 3 Bài 14. Giải hệ phương trình    x 3 + 3xy 2 = −49 x 2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x Hướng dẫn Nhân phương trình thứ hai của hệ đã cho với 3 rồi cộng vào phương trình thứ nhất, ta được (x + 1)  (x + 1) 2 + 3(y − 4) 2  = 0 Bài 15. Giải hệ phương trình    x 4 − y 4 = 240 x 3 − 2y 3 = 3(x 2 − 4y 2 ) − 4(x − 8y) Hướng dẫn Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng vào với phương trình thứ nhất, ta được (x − 2) 4 = (y − 4) 4 Bài 16. Giải hệ phương trình        √ 3x  1 + 1 x + y  = 2 √ 7x  1 − 1 x + y  = 4 √ 2 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau        1 + 1 x + y = 2 √ 3x 1 − 1 x + y = 4 √ 2 √ 7x ⇔        1 x + y = 1 √ 3x − 2 √ 2 √ 7x 1 = 1 √ 3x + 2 √ 2 √ 7x Bài 17. Giải hệ phương trình    2x 3 − 9y 3 = (x − y)(2xy + 3) x 2 − xy + y 2 = 3 Hướng dẫn Thế 3 = x 2 − xy + y 2 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 2x 3 − 9y 3 = (x − y)(2xy + x 2 − xy + y 2 ) 3 THPT Hồng Ngự 2 Lê Trung Tín Bài 18. Giải hệ phương trình    9y 3 (3x 2 − 1) = −125 45x 2 y + 75x = 6y 2 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau:      27x 3 + 125 y 3 = 9 45x 2 y + 75x 2 y 2 = 6 ⇔        (3x) 3 +  5 y  3 = 9 3x. 5 y  3x + 5 y  = 6 Bài 19. Giải hệ phương trình      8(x 2 + y 2 ) + 4xy + 5 (x + y) 2 = 13 2x + 1 x + y = 1 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau      5(x + y) 2 + 5 (x + y) 2 + 3(x − y) 2 = 13 2x + 1 x + y = 1 ⇔        5  x + y + 1 x + y  2 + 3(x − y) 2 = 23  x + y + 1 x + y  + (x − y) = 1 Bài 20. Giải hệ phương trình    (17 − 3x) √ 5 − x + (3y − 14) √ 4 − y = 0 2 √ 2x + y + 5 + 3 √ 3x + 2y + 11 = x 2 + 6x + 13 Hướng dẫn Phương trình thứ nhất của hệ tương đương (3 (5 − x) + 2) √ 5 − x = (3 (4 − y) + 2) √ 4 − y. Xét hàm số f (t) =  3t 2 + 2  t với t ∈ R + . Bài 21. Giải hệ phương trình          2x 3 + 3x 2 − 18 = y 3 + y 2y 3 + 3y 2 − 18 = z 3 + z 2z 3 + 3z 2 − 18 = x 3 + x Hướng dẫn Xét hàm số f (t) = 2t 3 + 3t 2 − 18 và g(t) = t 3 + t. Ta có g  (t) = 3t 2 + 1, ∀t ∈ R. Suy ra g(t) đồng biến trên R. Khi đó, hệ phương trình được viết lại dưới dạng:          f(x) = g(y) f(y) = g(z) f(z) = g(x) Không mất tính tổng quát giả sử x = max{x, y, z}. Khi đó    x ≥ y x ≥ z ⇔    g(x) ≥ g(y) g(x) ≥ g(z) ⇔    x ≥ y x ≥ z ⇔    (x − 2)(x 2 + 5x + 9) ≤ 0 (z − 2)(z 2 + 5z + 9) ≥ 0 ⇔    x ≤ 2 x ≥ 2 Từ đây, suy ra 2 ≤ z ≤ x ≤ 2 ⇒ x = z = 2, thế vào hệ phương trình, ta được y = 2. Vậy hệ có nghiệm là (x; y; z) = (2; 2; 2). 4 THPT Hồng Ngự 2 Lê Trung Tín Bài 22. Giải hệ phương trình    2 x − 2 y = (y − x)(xy + 2) x 2 + y 2 = 2 Hướng dẫn Thế 2 = x 2 + y 2 vào phương trình thứ nhất, ta được 2 x + x 3 = 2 y + y 3 . Xét hàm số f(t) = 2 t + t 3 với t ∈ R. Bài 23. Giải hệ phương trình          x 3 + 3x 2 + 2x − 5 = y y 3 + 3y 2 + 2y − 5 = z z 3 + 3z 2 + 2z − 5 = x Hướng dẫn Biến đổi thành hệ sau:          (x − 1)(x 2 + 4x + 6) = y − 1 (y − 1)(y 2 + 4y + 6) = z − 1 (z − 1)(z 2 + 4z + 6) = x − 1 Bài 24. Giải hệ phương trình          x 3 + y = 3x + 4 2y 3 + z = 6y + 6 3z 3 + x = 9z + 8 Hướng dẫn Biến đổi thành hệ sau:          (x − 2)(x + 1) 2 = 2 − y 2(y − 2)(y + 1) 2 = 2 − z 3(z − 2)(z + 1) 2 = 2 − x Bài 25. Giải hệ phương trình    √ 2(x − y)(1 + 4xy) = √ 3 x 2 + y 2 = 1 ;    x  1 − y 2 + y √ 1 − x 2 (1 − x)(1 + y) = 2 Hướng dẫn Đặt x = cos α, y = cos β Bài 26. Giải hệ phương trình          2x + x 2 y = y 2y + y 2 z = z 2z + z 2 x = x Hướng dẫn Biến đổi thành hệ:            y = 2x 1 − x 2 z = 2y 1 − y 2 x = 2z 1 − z 2 . Đặt t = tan α Bài 27. Giải hệ phương trình      3  x + 1 x  = 4  y + 1 x  = 5  z + 1 z  xy + yz + zx = 1 Hướng dẫn Đặt x = tan α, y = tan β, z = tan γ. 5 THPT Hồng Ngự 2 Lê Trung Tín Bài 28. Giải hệ phương trình    xy + x − 2 = 0 2x 3 − x 2 y + x 2 + y 2 − 2xy − y = 0 Hướng dẫn Đưa phương trình thứ hai về tích (x 2 − y)(2x − y + 1) = 0 Bài 29. Giải hệ phương trình    5x 2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0 xy(x + y) 2 + 2 = (x + y) 2 Hướng dẫn Đưa phương trình thứ hai về tích (xy − 1)(x 2 + y 2 − 2) = 0 Bài 30. Giải hệ phương trình    (x + y − 3) 3 = 4y 3  x 2 y 2 + xy + 45 4  x + 4y − 3 = 2xy 2 Hướng dẫn Từ pt thứ hai ta có y 3 (2xy−3) 3 = (x+y−3) 3 . Kết hợp với pt đầu ta được: y 3 (2xy−3) 3 = 4y 3  x 2 y 2 + xy + 45 4  Bài 31. Giải hệ phương trình    x 4 + 2xy + 6y − (7 + 2y)x 2 = −9 2x 2 y − x 3 = 10 Hướng dẫn Đưa phương trình thứ hai về dạng (x 2 − y) 2 − 6(x 2 − y) + 9 = (x − y) 2 ⇔ (x 2 − y − 3) 2 = (x − y) 2 Bài 32. Giải hệ phương trình    2x +  2 − x + y − x 2 − y 2 = 1 2x 3 = 2y 3 + 1 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau:    5x 2 − 3x − 1 = y − y 2 2x 3 − 2y 3 = 1 ⇔    5x 2 − 3x + y 2 − y = 1 2x 3 − 2y 3 = 1 Do đó: 2x 3 − 2y 3 = 5x 2 − 3x + y 2 − y ⇔ (x − y − 1)  2x 2 − 3x + 2xy + 2y 2 − y  = 0 6 . Ngự 2 Lê Trung Tín HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Bài 1. Giải hệ phương trình      x 2 + xy + y 2 + x + y 3 x + 1 = 2 2x + y + y 2 x + 1 = 2 Hướng dẫn Ta biến đổi hệ trở thành hệ :        (x. dẫn Từ phương trình (2) ta tìm được : 5 3 ≤ y ≤ 3, 2 3 ≤ x ≤ 2 Nhân phương trình (2) với −3 và cộng với phương trình (1) ta có : (y − 1) 3 + 2(y − 1) = x 3 + 2x Bài 8. Giải hệ phương trình    1. y 5 + 10x 2 y 3 Bài 14. Giải hệ phương trình    x 3 + 3xy 2 = −49 x 2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x Hướng dẫn Nhân phương trình thứ hai của hệ đã cho với 3 rồi cộng vào phương trình thứ nhất, ta được (x