Đang tải... (xem toàn văn)
Với học sinh lớp 12, bước sang học kỳ 2 các em đã được làm quen với phương pháp toạ độ trong không gian và các bài tập là đa dạng.Đa số học sinh hiện nay là yếu môn Hình học nói chung và Hình học giải tích nói riêng, lúng túng về vận dụng kiến thức đã học và lựa chọn phương pháp giải . Để phần nào giúp cho học sinh bớt lúng túng trong khi giải toán “ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” tôi đã tổng hợp và đưa ra một số bài toán quen thuộc trong chương trình và hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cơ bản nhất mà học sinh có thể tiếp thu và vận dụng tốt trong khi giải toán, đồng thời từ đó học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng vào các bài tập nâng cao,gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng .
Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT CHƯƠNG HÌNH HỌC LỚP 12 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong năm học 2010 – 2011 thực đề tài áp dụng lớp 12A1, 12A2, 12B9 mà giảng dạy , nhận thấy kết việc kiểm tra chương tập sách giáo khoa sách tập dạng toán thi tốt nghiệp , đại học đa số học sinh giải Năm học 2011 – 2012 tiếp tục áp dụng đề tài lớp giảng dạy 12B7 12B10 đồng thời thầy dạy tốn 12 tổ vận dụng đề tài giảng dạy lớp Trong năm học 2011 – 2012 tơi có bổ sung thêm số dạng tốn khác nhằm bước hồn thiện đề tài áp dụng rộng rãi lâu dài tổ Tốn Trường THPT Đồn Kết Trong tốn học nói chung hình học nói riêng khơng có phương pháp chung để giải toán Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Với loại tốn ln địi hỏi học sinh phải nắm khái niệm , định lý, tính chất để giải , đồng thời phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức học đề phương pháp giải cho cụ thể Với học sinh lớp 12, bước sang học kỳ em làm quen với phương pháp toạ độ không gian tập đa dạng.Đa số học sinh yếu môn Hình học nói chung Hình học giải tích nói riêng, lúng túng vận dụng kiến thức học lựa chọn phương pháp giải Để phần giúp cho học sinh bớt lúng túng giải tốn “ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN” tơi tổng hợp đưa số toán quen thuộc chương trình hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải mà học sinh tiếp thu vận dụng tốt giải tốn, đồng thời từ học sinh hiểu rõ vận dụng vào tập nâng cao,gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Tốn học mơn khoa học , học tốn địi hỏi người học việc phải nắm vững khái niệm, định lý, tính chất cịn địi hỏi phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức vào tốn cụ thể để giải , đơn thuộc - Trong q trình học tốn giải tốn lại khơng có phương pháp chung để giải tốn, khác vận dụng phương pháp giải khác - Phân loại dạng toán , phân tích tìm phương pháp giải để từ rút kinh nghiệm giải đồng thời vận dụng kinh nghiệm , kiến thức GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 để giải toán khác cần thiết hữu ích cho đối tượng học sinh Nội dung biện pháp thực giải pháp đề tài 2.1 Thuận lợi: - Được quan tâm đạo Ban lãnh đạo nhà trường công tác đổi phương pháp giảng dạy - Các em học sinh ngoan có ý thức học tập 2.2 Khó khăn: - Điều kiện học tập chưa tốt, sở vật chất hạn chế - Là trường miền núi nên mặt kiến thức chưa đồng học sinh với nhau, cịn nhiều học sinh có hồn cảnh gia đình khó khăn , em phải phụ giúp gia đình kiếm bữa ăn nên thời gian cho học tập dẫn đến học yếu tất nhiên 2.3 Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện: - Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán quen thuộc phương pháp giải - Phạm vi nghiên cứu: Hình học lớp 12 Chương trình 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - Thực đề tài tập chuyên đề học sinh lớp 12A1 , 12A2 , 12B9 năm học 2010 – 2011 2.4 Tình trạng thực tế trước thực đề tài: - Đa số học sinh chưa nắm vững khái niệm, định lý… - Vận dụng kiến thức vào giải tốn cịn hạn chế - Lúng túng chọn phương án giải - Kết thấp - Chưa thực ham thích học tốn với lý khơng giải tập Kết kiểm tra: ( kiểm tra lớp 12A1 , 12A2 12B9 với 124 học sinh) 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9Lớp SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB % 12A1 40 0 6 31 77.5 12A2 44 7 27 61.36 12B9 40 0 21 52.5 12 Tổng 20 17 19 18 17 12 79 63.71 Đề ra: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−1;1;0),B(1;0; −2),C(2; −2;0) a Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng b Lập phương trình mặt phẳng (ABC) c Lập phương trình mặt cầu có tâm I(0; −2;1) tiếp xúc mặt phẳng (ABC) - Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán cịn yếu - Học sinh khơng nắm rõ : + Khái niệm vecto phương + Khái niệm khoảng cách,công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 + Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu + Kỹ tìm tích có hướng hai vecto 2.5 Các biện pháp thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá kiến thức Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình, phân tích học sinh xây dựng phương pháp giải Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập tương ứng cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng NỘI DUNG A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Hệ trục toạ độ Cho ba r r toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz vng góc với đơi điểm trục r O Gọi i, j , k véctơ đơn vị tương ứng trục x’Ox, yOy, zOz Hệ ba trục toạ độ gọi hệ z trục toạ độ Đề vng góc Oxyz đơn giản toạ độ Oxyz + Trục Ox gọi trục hoành r r + Trục Oy gọi trục tung k j y + Trục Oz gọi trục cao + Điểm O gọi gốc hệ toạ độ rO 2/ Tọa độ Vectơ , tọa độ điểm i x a Cho hệ toạ độ Oxyzr r r r r v = (x; y; z) ⇔ v = xi + y j + zk uu ur r r r M(x; y;z) ⇔ OM = xi + y j + zk + Với hai điểm M1 ( x1, y1,z1 ) M2 ( x , y ,z ) thì: uuu u ur M1M2 = ( x − x1, y − y1,z − z1 ) u u r ur u b Nếu có hai vectơ v1 = (x1,y1,z1 ) v = (x 2, y 2,z ) thì: b1 b2 b3 b4 b5 u ur u u r v1 + v = ( x + x , y1 + y ,z1 + z ) u ur u u r v1 − v = ( x − x , y1 − y 2, z1 − z2 ) u u r kv1 = (kx1,ky1,kz1 ) u ur u u r v1.v = x 1.x + y1.y + z1.z u ur u u r v1 ⊥ v ⇔ x1x + y1y + z1z = GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 x1 = x u ur u u r v = v ⇔ y = y b6 z = z ur u u u r Tích có hướng hai vectơ v1 = (x1,y1,z1 ) v = (x , y ,z ) r vectơ v xác định bởi: ur u u u u r u r v ,v = v 2 y y z z 1 , z z 2 x x 1 , x x 2 y 1÷ y ÷ 2 Ứng dụng tích có hướng hai vecto r r r r r c ⊥ a a a,b = c ⇒ r r c ⊥ b r r r r r ⇔ a,b = b a,b phương r r r r rr a,b c = c a,b,c đồng phẳng ⇔ r r r r r r a,b = a b sin(a,b) d 4/ Khoảng cách hai điểm Cho hai điểm M1 ( x1, y1,z1 ) M2 ( x , y 2, z ) , khoảng cách d M uuu u ur M độ dài vectơ M1M2 : uuu u ur 2 d = M1M2 = ( x1 − x ) + ( y1 − y ) + ( z1 − z ) 5/ Góc hai vectơ ur u u u r Góc α hai vectơ v1 = (x1, y1,z1 ) v = (x , y , z ) xác định bởi: x1.x + y1.y + z1.z2 cos α = x1 + y1 + z1 x + y + z 1 2 6/ Hai vectơrcùng phương r u u ur u Hai vectơ v1 = (x1, y1,z1 ) ≠ v = (x 2, y 2,z ) phương với ur u u u r tồn số thực k cho v = kv1 u ur u u r r ur u u u r Chú ý: v = kv1 ⇔ v1 ,v2 = 7/ Phương trình mặt phẳng a Khái niệm.r r Một vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) r giá n vuông góc với (α ) Mặt phẳng (α ) hồn toàn xác định cho biết điểm M ∈ (α ) vectơ pháp tuyến b Phương trình tổng quát mặt phẳng: GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 r + Ax + By + Cz + D = (A + B2 + C2 > 0) có VTPT n = (A;B;C) r + Mặt phẳng qua điểm M(x ;y ;z ) có VTPT n = (A;B;C) có phương trình: A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = 8/ Phương trình đường thẳng r r a Định nghĩa: Vectơ a ≠ có giá đường thẳng d r r d / / ∆ a ≠ vectơ phương đường thẳng ∆ ⇔ d ≡ ∆ b Phương trình đường thẳng: r Đường thẳng d qua M(x0;y0;z0) có VTCP u = (a;b;c) x = x + at a2 + b2 + c ≠ có phương trình tham số y = y + bt ÷ t ∈ IR z = z + ct Nếu abc ≠ khử tham số t phương trình: x − x y − y z − z0 = = ( gọi phương trình tắc) a b c 9/ Phương trình mặt cầu a Mặt cầu tâm I(a;b;c) , bán kính R>0 có phương trình: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R b Phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (1) Nếu a2 + b2 + c − d > phương trình (1) phương trình mặt cầu có tâm I( −a; −b; −c) , bán kính R = a2 + b2 + c − d 10 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: (P) : Ax + By + Cz + D = (A + B + C2 ≠ 0) M(x 0;y 0;z ) d(M,(P)) = Ax + By + Cz0 + D A + B + C2 11 Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính R Mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc I lên mp(P) + (S) ∩ (P) = ∅ ⇔ d(I,(P)) > R + (S) ∩ (P) = { H} ⇔ d(I,(P)) = R ( mp(P) tiếp xúc mặt cầu H) + (S) ∩ (P) = (C) ⇔ d(I,(P)) < R Với (C) đường tròn tâm H , bán kính r = R2 − IH2 GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 B NỘI DUNG CỤ THỂ: Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng: - Học sinh cần nắm + Khái niệm vecto pháp tuyến mặt phẳng r r r r r c ⊥ a + Tính chất tích có hướng a,b = c ⇒ r r c ⊥ b r uu uu ur ur - Định hướng VTPT mặt phẳng qua điểm A,B,C n = AB,AC Ví dụ 1: Lập phương trình mặt u u (P) qua A( −1;1;2),B(1; −1;0),C(2; −1;2) phẳng uu ur ur Giải: Ta có AB = (2; −2; −2), AC = (3; −2;0) (P) qua A (P) qua A r uu uu ur ur (P) qua B ⇒ (P)cóVTPTn = AB, AC = ( −4; −6;2) (P) qua C Phương trình mp(P): −4(x + 1) − 6(y − 1) + 2(z − 2) = ⇔ 2x + 3y − z + = Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M chứa d - Học sinh cần hiểu đường thẳng d có điểmu ur u phân biệt A,B thuộc mp(Q) đường thẳng d chứa mp(Q) ( AB VTCP d) - Bài tốn trở thành lập phương trình mp qua điểm không thẳng hàng - Học sinh định PP giải uu ur PP: - Lấy điểm A ∈ d ( điểm cụ thể) ⇒ MA r r uu ur r - mp(Q) qua M có VTPT n = u,MA (với u vtcp d) Ví dụ 2: Lập PT mp(Q) qua M( −1;1;2) chứa đường thẳng d : x = + t , y = 2t , z = + 3t r uu ur Giải: d có VTCP u = (1;2;3), A(2;0;1) ∈ d ⇒ MA = (3; −1; −1) − (Q)quaM (Q)quaM(r 1;1;2)u u r ur ⇒ Ta có: (Q)cóvtptn = u,MA = (1;10; −7) (Q) ⊃ d (Q) : 1(x + 1) + 10(y − 1) − 7(z − 2) = ⇔ x + 10y − 7z + = Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(P) - Học sinh cần nắm + Dạng phương trình mặt cầu + Điều kiện để mp mặt cầu tiếp xúc + Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mp GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 PP - Tìm bán kính mặt cầu: R = d(I,(P)) - Mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có phương trình: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm A( −2;1; −3) tiếp xúc mp(P): 2x − y + 2z − = −4 − − − Giải: Ta có bán kính R = d(A,(P)) = =5 Phương trình mặt cầu: (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 25 Loại 4: Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (Q) - Học sinh cần hiểu khái niệm hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng MH ⊥ (Q) - H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (Q) ⇔ H ∈ (Q) PP: - Lập PT đường d qua M vng góc với mp(Q) ( thỏa tính vng góc) - Khi H = d ∩ (Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H ∈ (Q) ) Ví dụ 4: Tìm tọa điểm H hình chiếu vng góc M(4; −2; −2) lên mặt phẳng (Q) : 2x + y − 3z + = r Giải: mp(Q) có VTPT n = (2;1; −3) x = + 2t dquaM(4; −2; −2) dquaM r r ⇒ y = −2 + t ⇒ Đ thẳng d: d ⊥ (Q) d có v tcpu = n z = −2 − 3t x = + 2t t = −1 y = −2 + t x = H = d ∩ (Q) ⇒ ⇔ ⇒ H(2; −3;1) z = −2 − 3t y = −3 2x + y − 3z + = z = Loại 5: Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d - Học sinh cần hiểu khái niệm hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng MH ⊥ d H ∈ d - H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d ⇔ Từ khái niệm dẫn đến xây dựng PP giải Cách : - Lập PT mp(Q) qua M vng góc với d ( thỏa tính vng góc) - Khi H = d ∩ (Q) ( giải hệ tìm tọa độ điểm H) ( thỏa tính thuộc H ∈ d ) Cách - Lấy điểm H ∈ d ( dạng tham số) ( thỏa tính thuộc H ∈ d ) uu r ur uu ur - Tìm MH , MH ⊥ d ⇒ MH.u = Giải tìm tham số GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 ( thỏa tính vng góc) - Thay tham số vào H Ví dụ 5: Tìm tọa điểm H hình chiếu vng góc M( −1;2; −2) lên đường thẳng d : x y −1 z +1 = = , −1 Giải: ( cách 2) r đường thẳng d có VTCP u1 = (2; −1;2) uu ur Ta có H(2t;1 − t; −1 + 2t) ∈ d ⇒ MH = (1 + 2t; −1 − t;1 + 2t) uu r ur MH ⊥ d ⇒ MH.u = ⇔ 2(1 + 2t) − 1( −1 − t) + 2(1 + 2t) = ⇔t=− 10 14 19 ⇒ H − ; ;− ÷ 9 Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) tiếp xúc mặt cầu ( S) - Học sinh cần nắm hai mp song song VTPT mp VTPT mp - Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mp(P) bán kính mặt cầu - Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ 6: Lập PT mp(P) Biết (P)// (Q): 2x + y - 2z - = tiếp xúc mặt cầu 2 (S) : x + y + z - 2x + 4y - 6z - = Giải: - Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) , bán kính R = (P) / /(Q) ⇒ (P) : 2x + y - 2z + D = (D ≠ -4) ( có VTPT) - - (P) tiếp xúc (S) ⇔ d(I, (P)) = R ⇔ − − +D D =−6 = 4⇔ (thỏa D =18 ĐK) Vậy (P 1) : 2x + y - 2z - = 0, (P2 ) : 2x + y - 2z +18 = Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mp(P) , mp(Q) PP: - Lấy điểm I ∈ (d) ( dạng tham số ) - Mặt cầu (S) tiếp xúc mp ⇔ d(I,(P)) = d(I,(Q)) - Giải tìm tham số thay vào tìm tâm I bán kính x −1 y z +1 = = Ví dụ : Lập PT mặt cầu (S) có tâm I ∈ d : tiếp xúc 1 (P): 2x + y - 2z + = 0, (Q): x - 2y + 2z - = Giải: Ta có I(1+ t;t;−1+ 2t) ∈ d Mặt cầu (S) tiếp xúc (P),(Q) ⇔ d(I,(P)) = d(I,(Q)) GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 2(1 + t) + t − 2( −1 + 2t) + (1 + t) − 2t + 2( −1 + 2t) − = 3 ⇔ − t + = 3t − ⇔ t = −1 ∨ t = / ⇔ t = −1 ⇒ I(0; −1; −3),R = ⇒ x + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 9 9 t = ⇒ I( ; ;6),R = ⇒ (x − )2 + (y − )2 + (z − 6)2 = 2 2 2 Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa a (Q) chứa đường thẳng d1 (Q)// d2 b (Q) // d1 (Q)// d2 ( d1 , d2 hai đường thẳng chéo nhau) u ur u u r - Học sinh cần nắm đường thẳng d1,d2 có VTCP u1,u2 r u ur u u r + mp(Q) chứa d1 mp(Q) / /d2 ⇒ mp(Q) cóVTPT n = u1,u2 r u ur u u r + mp(Q) / / d1và mp(Q) / /d2 ⇒ mp(Q) coù VTPT n = u1,u2 x +1 y z−2 x y −1 z +1 d2 : = = = Ví dụ 8: Cho đường thẳng d1 : = −1 −2 1 a.Lập PT mp(Q) chứa d1 song song d2 b.Lập PT mp(Q) song song d1,d2 tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = r r Giải: d1 có VTCP u1 = (1;1;2) , d2 có VTCP u2 = ( −1; −2;3) (Q)quaA(0;1; −1) ∈ d1 (Q)chứad1 r r r a ⇒ (Q) / /d2 (Q)có vtpt n = [ u1,u2 ] = (7; −5; −1) ⇒ (Q) : 7x − 5(y − 1) − 1(z + 1) = ⇔ 7x − 5y − z + = Kiểm tra: B( −1;0;2) ∈ d2,B ∉ (Q) Vậy PT (1) PTmp(Q) r r r b.(Q) / / d1,(Q) / /d2 ⇒ (Q)có vtpt n = [ u1,u2 ] = (7; −5; −1) ⇒ (Q) : 7x − 5y − z + D = Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2;1) , bán kính R = Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) ⇔ d(I,(Q)) = R D = 15 + − 10 − + D ⇔ =3⇔ 75 D = −15 + (Q1 ) : 7x − 5y − z + 15 + = (Q ) : 7x − 5y − z − 15 + = Kiểm tra A(0;1; −1) ∈ d1,B( −1;0;2) ∈ d2 khơng thỏa (Q1 ),(Q ) Vậy phương trình (Q1 ),(Q2 ) PT mặt phẳng cần tìm Loại 9: Lập PT đường thẳng d qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 , d2 ( d1,d2 chéo cắt nhau) GV: Đinh Quang Minh trang Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 dquaM dquaM ⇒ r r r PP: d cóvtcpu = u1,u2 d ⊥ d1,d ⊥ d2 Ví dụ 9: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; −1;2) vng góc với đường x y −1 z +1 x +1 y z−2 = ,d2 : = = thẳng d 1: = 1 r −1 −2 r Giải: d1 có VTCP u1 = (1;1;2) , d2 có VTCP u2 = ( −1; −2;3) dquaM(1; −1;2) dquaM ⇒ r r r d cóvtcpu = u1,u2 = (7; −5; −1) d ⊥ d1,d ⊥ d2 x −1 y +1 z − ⇒ d: = = −5 −1 10 Loại 10: : Lập PT đường thẳng d qua điểm M , vng góc với d1 cắt d2 - Học sinh cần hiểu E ∈ d2 tọa độ điểm thỏa phương trình đường thẳng - Đường thẳnguqua u E thỏa điều kiện cắt d2 ur ur u M, - ME ⊥ d1 ⇒ ME.u2 = PP: - Lấy điểm E ∈ d2 ( dạng tham số) uu u ur u r uu ur - Tìm ME , ME ⊥ d1 ⇒ ME.u1 = Giải tìm tham số uu ur - Khi d qua M có VTCP ME Ví dụ 10: Lập phương trình đường thẳng qua M(1; −1;2) vng góc với x +1 y z−2 x y −1 z +1 = = d 1: = = , cắt d2 : −2 1 u u −1 ur E( −1 − t; −2t;2 + 3t) ∈ d2 ⇒ ME = ( −2 − t;1 − 2t;3t) uu r ur ME ⊥ d1 ⇒ ME.u = ⇔ ( −2 − t) + (1 − 2t) + 6t = ⇔ t = uu ur uu ur ⇒ ME = − ; ;1÷ = ( −7;1;3 ) Đường thẳng d qua M có VTCP ME Có 3 x −1 y +1 z − = = phương trình: −7 11 Loại 11: Gọi d giao tuyến hai mp(P) mp(Q) Viết phương trình tham số d PP: Cách u u r ur u - mp(P) có VTPT n1 (Q) có VTPT n2 u ur u u r n1,n2 điểm A ∈ (P) ∩ (Q) - Tìm r u ur u u r - Khi đường thẳng d qua A có VTCP u = n1,n2 Cách – Tìm A ∈ d = (Q) ∩ (P) , B ∈ d = (Q) ∩ (P) - Đường thẳng d qua A,B viết dạng tham số GV: Đinh Quang Minh trang 10 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 Cách 3: Đặt x = t dẫn đến giải hệ tìm y , z theo t Ví dụ 11: Gọi d giao tuyến hai mp (P) : 2x + y − z − = (Q) : x − 3y + 2z − = Viết phương trình tham số d Giải: cách u u r ur u n1 = (2;1; −1) , mp(Q) có vtpt n2 = (1; −3;2) mp(P) có vtpt r u ur u u r ⇒ u = n1,n2 = ( −1; −5; −7) 2x + y − z − = d = (P) ∩ (Q) ⇒ ⇒ A(1;1;2) ∈ d x − 3y + 2z − = x = − t dquaA(1;1;2) r u ur u u r ⇒ PT : y = − 5t Ta có : n1,n2 = ( −1; −5; −7) d coù vtcp u = z = − 7t Cách 2: 2x + y − z − = d = (P) ∩ (Q) ⇒ ⇒ A(1;1;2) ∈ d,B(0; −4; −5) ∈ d x − 3y + 2z − = x = − t dquaA dquaA uu ur ⇒ ⇒ PTTS : y = − 5t d coù vtcp AB = ( −1; −5; −7) dquaB z = − 7t 12 Loại 12: lập phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng ∆ lên mp(Q) PP: (Cách 1) - Lấy ∆ hai điểm cụ thể A,B - Tìm A’ , B’ hình chiếu vng góc A,B lên mp(Q) - Khi đường thẳng d đường thẳng A’B’ ( Lưu ý: d ∩ (Q) = M cần tìm thêm điểm A ≠ M ) (Cách 2) - Ta có d = (P) ∩ (Q) (P)quaA ∈ ∆ r ur ur u u - Với (P) mp chứa ∆ (P) ⊥ (Q) ⇒ (P) coù vtpt n = u∆ ,nq - chuyển PT đường thẳng d tham số x − y − z −1 = = Ví dụ 12: Cho mp(Q) : x + 2y − 3z + = , ∆ : −1 Lập PT tham số đường thẳng d hình chiếu vng góc ∆ lên mp(Q) Giải: ( Cách 1) Ta có ∆ ∩ (Q) = M ⇒ M(1;1;2) ( giải hệ để tìm tọa độ điểm M) A(2;3;1) ∈ ∆ Tìm tọa độ A’ hình chiếu vng góc A lên mp(Q) u ur uu 10 13 19 A ' ; ; ÷ ⇒ MA ' = ; ; ÷ = (3;6;5) 7 7 7 GV: Đinh Quang Minh trang 11 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 u ur uu Đường thẳng d qua M(1;1;2) có vtcp MA ' = ; ; ÷ = (3;6;5) 7 7 x = + 3t Có phương trình tham số d: y = + 6t z = + 5t ( Cách 2) ur u u u r Đường thẳng ∆ có vtcp u∆ = (1;2; −1) , mp(Q) có vtpt n1 = (1;2; −3) Ta có d = (P) ∩ (Q) Với (P)quaA(2;3;1) ∈ ∆ (P) ⊃ ∆ r ur u u u r ⇒ u∆ ,n1 = ( −4;2;0) (P) ⊥ (Q) (P) coù vtpt n = ⇒ (P) : −4(x − 2) + 2(y − 3) + 0(z − 1) = ⇔ 2x − y − = x = 3t 2x − y − = Khi d : chuyển dạng tham số y = −1 + 6t x + 2y − 3z + = z = + 5t 13 Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng chéo d1,d2 song song ur đường thẳngu u với u u r urd PP: - d1 , d2 chéo VTCP u1,u2 , d3 có VTCP u3 uu ur - Lấy điểm A ∈ d1,B ∈ d2 dạng tham số ⇒ AB uu ur ur u uu ur ur u - AB / /d3 ⇒ AB phương với u3 ⇒ AB = mu3 ur u uu ur - Giải hệ tìm tham số ⇒ AB ,điểm A Khi d qua A có VTCP u3 Ví dụ 13: Cho đường thẳng chéo d1,d2 Lập phương trình đường thẳng d cắt d1,d2 song đường thẳng d3 với x = 2t x −1 y z −1 x − y − z +1 d1 : y = −1 − t d2 : = = d3 : = = −2 −1 z = − t ur u Giải: Ta có d3 có VTCP u3 = ( −1;2;1) A(2t ; −1 − t ;1 − t) ∈ d1 , B(1 − 2k ;2k ;1 + 3k) ∈ d2 uu ur ⇒ AB = (1 − 2k − 2t ; + 2k + t ; 3k + t) uu ur ur u uu ur ur u AB / /d3 ⇒ AB phương với u3 ⇒ AB = mu3 1 − 2k − 2t = −m k = 1 + 2k + t = 2m ⇔ t = ⇒ A(2; −2;0) 3k + t = m m = ur u Vậy đường thẳng d qua A(2;-2;0) có VTCP u3 = ( −1;2;1) GV: Đinh Quang Minh trang 12 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 Có PT : x−2 y+2 z = = −1 14 Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng chéo d1,d2 PP: - Lập PT mp(Q) với (Q) qua M chứa d1 u u r uu ur - Tìm B = d2 ∩ (Q) ⇒ MB so sánh với phương u1 (Nếu phương loại – MB không u u d1) cắt ur - Khi đường thẳng d qua M có VTCP MB Ví dụ 14: Lập PT đường thẳng d qua M( −1;1;2) cắt đường thẳng x − y z −1 x+6 y−2 z d1 : = = d2 : = = −1 Giải: mp(Q) qua M chứa d1 có PT: (Q) : x + 10y − 7z + = Gọi B = d2 ∩ (Q) ⇒ B( −8;1;1) ( giải hệ) u u r uu ur Ta có:MB = ( −7;0, −1) không phương với u1 = (1;2;3) uu ur Đường thẳng d qua M( −1;1;2) có vtcp MB = ( −7;0, −1) x = −1 − 7t Có phương trình: y = z = − t 15 Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) M Lập PT đường thẳng ∆ qua M, ∆ chứa (Q), ∆ ⊥ d r r PP: - M = d ∩ (Q) ( giải hệ ) ,d có vtcp u , mp(Q) có vtpt n ur u rr ∆ qua M, ∆ ⊂ (Q), ∆ ⊥ d ⇒ ∆ qua M, ∆ có vtcp u∆ = u,n Ví dụ 15: Đường thẳng d : x = + 2t , y = −t , z = −1 − 2t cắt mặt phẳng (Q) : x + y + 2z + = M Lập phương trình đường thẳng qua M, ∆ chứa (Q), ∆ ⊥ d ∆ Giải: ta có M = d ∩ (Q) ⇒ M(4; −1; −3) ∆ qua M ∆ qua M ur u rr ⇒ u,n = (0; −6;3) ∆ ⊂ (Q), ∆ ⊥ d ∆ có vtcp u∆ = Phương trình ∆ : x = ; y = −1 − 6t , z = −3 + 3t 16 Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Tìm tọa độ tâm bán kính (C) PP: - Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R - mp(Q) cắt (S) theo đường tròn (C) ⇔ d(I,(Q)) < R GV: Đinh Quang Minh trang 13 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 - Tâm (C) hình chiếu vng góc I lên mp(Q) - Bán kính (C) : r = R2 − d2 (I,(Q)) Ví dụ 16: Cho mặt cầu (S) : x + y + z − 4x − 2y + 6z − = mp (Q) : 2x − y − 2z − = Chứng minh mp(Q) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Tìm tọa độ tam bán kính (C) Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; −3) , bán kính R = 4 − 1+ − Ta có d(I,(Q)) = = < R Vậy (Q) cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính: r = 16 − = Tâm H hình chiếu vng góc I lên mp(Q) ⇒ H = ∆ ∩ (Q) Với x = + 2t ∆quaI(2;1; −3) ⇒ PT∆ : y = − t ∆ ⊥ (Q) z = −3 − 2t x = + 2t t = −2 / y = − t x = / 2 5 ⇔ ⇒ tâm H ; ; − ÷ Ta có 3 3 z = −3 − 2t y = / 2x − y − 2z − = z = −5 / 17 Loại 17: Lập PT đường vng góc chung d d1,d2 - Học sinh cần hiểu khái niệm hai đường thẳng vng góc chung hai đường d ⊥ d1 ⇒ d đường vng góc chung thẳng chéo d ⊥ d2 d ∩ d = M,d ∩ d = N u ur u u r PP: - d1 , d2 chéo VTCP u1,u2 - Lấy điểm A ∈ d1,B ∈ d2 dạng tham số ( đường thẳng AB thỏa cắt d1 , d2) uu u ur u r AB.u1 = AB ⊥ d1 uu ur ⇒ u u ur ur u - giải hệ tìm tham số ⇒ AB AB ⊥ d2 AB.u2 = ( thỏa AB vng góc với d1,d2) Vậy đường thăng qua A,B đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d2u u ur - Khi đường vng góc chung d qua A có VTCP AB r u ur u u r ( lấy VTCP u = u1,u2 qua điểm A) * Chú ý: giải: d = (P) ∩ (Q) (P) ⊃ d1 (Q) ⊃ d2 Với sau chuyển dạng tham số (P) ⊥ d2 (Q) ⊥ d1 x − y z +1 = = Ví dụ 17: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 : −1 −1 GV: Đinh Quang Minh trang 14 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 d2 : x y +1 z −1 = = Lập PT đường vuông góc chung d1,d2 −1 r r Giải: d1 có VTCP u1 = (1; −1; −1) , d2 có VTCP u2 = (2; −1;1) Ta có A(2 + t; −t; −1 − t) ∈ d1 , B(2k; −1 − k;1 + k) ∈ d2 uu ur ⇒ AB = (2k − t − 2; −k + t − 1;k + t + 2) uu u ur u r AB.u1 = AB ⊥ d1 (2k − t − 2) − ( −k + t − 1) − (k + t + 2) = ⇒ u u ur ⇔ ur u 2(2k − t − 2) − ( −k + t − 1) + (k + t + 2) = AB ⊥ d2 AB.u2 = Giải hệ : u u 27 ur 1 k = − ,t = − ⇒ AB = − ; − ; ÷ = ( −2; −3;1),A − ; ; ÷ 14 14 14 14 7 7 uu ur Đường vng góc chung d qua A có VTCP AB = ( −2; −3;1) 14 Có phương trình: x = − − 2t , y = − 3t , z = + t 7 18 Loại 18: Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo ( không dùng công thức khoảng cách đường thẳng chéo để tính) - Học sinh cần nắm được: + Độ dài đoạn vng góc chung khoảng cách hai đường + Các phương pháp tính khác hình học khơng gian lớp 11 - PP: - Cách 1: Tìm tọa độ điểm A,B theo ví dụ 12 - Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song đường thẳng ( mp(P) chứa d1 , (P)//d2) ) Khi đó: d(d1,d2 ) = d(d2,(P)) = d(M,(P)) ( M tùy ý d2) x +1 y z−2 x y −1 z +1 d2 : = = = Ví dụ 18: Cho đường thẳng d1 : = −1 −2 1 Chứng minh d1,d2 chéo Tính khoảng cách d1,d2 r r Giải: d1 có VTCP u1 = (1;1;2) , d2 có VTCP u2 = ( −1; −2;3) Học sinh biết cách giải Tính khoảng cách d1,d2 Lập phương trình mp(P) chứa d1và (P)//d2 (P)quaA(0;1; −1) ∈ d1 (P)chứad1 r r r ⇒ (P) / /d2 (P)có vtpt n = u1,u2 = (7; −5; −1) ⇒ (P) : 7x − 5(y − 1) − 1(z + 1) = ⇔ 7x − 5y − z + = Ta có M( −1;0;2) ∈ d2 GV: Đinh Quang Minh trang 15 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 Khi : d(d1,d2 ) = d(d2,(P)) = d(M,(P)) = −7 − + 75 = 5 = Trên số dạng toán mà học sinh hay gặp phải, định hướng học sinh xây dựng phương pháp giải để từ học sinh hiểu rõ lý thuyết đồng thời có số phương pháp định để vận dụng vào giải tốn có nội dung phức tạp - Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho mp(P) mặt cầu(S) (P) : 2x − 2y − z − = 0,(S) : x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = CMR: (P) cắt (S) theo đường trịn X định tâm,bán kính x −1 y z + = = Cho đ thẳng ∆ : , mp(P) : x − 2y + z = Gọi M ∈ ∆ , −1 C = ∆ ∩ (P) Tính d(M,(P)) , biết MC = Cho hai mp(P) : x + y + z − = 0,mp(Q) : x − y + z − = Viết PT mp(R) Biết (R) ⊥ (Q),(R) ⊥ (Q) d(O,(R)) = x−3 y z x − y −1 z = = , ∆2 : = = Xác định điểm Cho đường thẳng ∆1 : 1 2 M ∈ ∆1 cho d(M, ∆ ) = III HIỆU QUẢ CỦA ĐÊ TÀI - Với cách phân tích , hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải cho loại toán cụ thể phần giúp học sinh có học lực yếu trung bình học tập tốt hơn, thích học tốn bước giải tập sách giáo khoa, sách tập số sách tham khảo khác Đối với học sinh , giỏi khai thác phương pháp biết để giải phức tập - Kết áp dụng đề tài cho lớp 12A1,12A2 , 12B9 ( năm học 2010– 2101) Đề kiểm tra khảo sát: ( thời gian làm 30 phút) Trong không gian Oxyz cho A( −1;1;1),B( −2;1; −1),C(1; −2;2),D(1; −1; −3) a Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A,B,C Suy A,B,C,D đỉnh tứ diện b Lập phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc mp(P) c Lập phương trình mp(Q) chứa đường thẳng AB song song đường thẳng CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD d ( dành riêng cho lớp A) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Thang điểm : Lớp B câu a: điểm , câu b: điểm , câu c : điểm Lớp A : câu 2,5 điểm Lớp 12A1 SS 40 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 91.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB 13 18 40 GV: Đinh Quang Minh % 100 trang 16 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 12A2 12B9 Tổng 44 40 12 6 13 10 43 30 97.7 75 11 11 16 32 32 11 113 91.13 - Kết áp dụng đề tài cho lớp 12B7, 12B10 ( năm học 2011– 2012) ( Thời gian làm 40 phút) Trong không gian Oxyz cho Cho đường thẳng chéo nhau, mặt cầu (S) x − y z +1 x y +1 z −1 ∆1 : = = ∆2 : = = , điểm M( 1;-2;0) −1 −1 −1 (S) : x + y + z − 2x + 4y − 4z = Tìm toạ độ điểm M’ hình chiếu vng góc M lên Lập PT mp( α ) chứa ∆1 ( α )// ∆ Tìm d( ∆1, ∆2 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;2;3) ∆ ⊥ ∆1 , ∆ ⊥ ∆ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1;∆ tiếp xúc mặt cầu (S) ( Thang điểm câu 2,5 điểm) 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9Lớp SS 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10 >=TB % 12B7 40 7 31 77.5 12B10 41 0 35 85.4 Tổng 81 11 16 13 14 10 66 81.5 IV ĐỀ XUẤT – KHUYẾN NGHỊ: - Để áp dụng tốt có hiệu đề tài giáo viên cần bước xây dựng củng cố kiến thức có liên quan cho học sinh , đồng thời phải cho học sinh hiểu rõ dấu hiệu chất khái niệm, định lý, tính chất - Từ khái niệm định hướng phương pháp giải Ví dụ : Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d + Học sinh cần hiểu H hình chiếu vng góc điểm M lên MH ⊥ d đường thẳng d ⇔ H ∈ d + Từ xây dựng phương pháp giải ( nhiều cách khác nhau) - Tập cho học sinh xây dựng phương pháp giải từ sau tới phức tạp để bước củng cố kiến thức tạo đam mê học toán cho học sinh V Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa hình học 12 ( ban nâng cao) – Bộ GD Sách tập hình học 12 ( ban nâng cao) Bộ GD GV: Đinh Quang Minh trang 17 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 Tài liệu chuẩn kiến thức Hình học 12 - Bộ GD Sách giáo viên Hình học 12 ( ban nâng cao)- Bộ GD Các chuyên đề hình học giải tích – Tác giả: Huỳnh Cơng Thái Các chun đề hình học giải tích – Tác giả: Nguyễn Đức Đồng MỤC LỤC STT 10 11 12 13 14 15 Nội dung Lý chọn đề tài Tổ chức thực đề tài Cơ sở lý luận Nội dung biện pháp thực giải pháp đề tài Một số kiến thức Loại 1: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng Loại 2: Lập PT mp(Q) với (Q) qua M chứa d Loại 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(P) Loại 4-5: Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (Q), lên đường thẳng d Loại 6: Lập PT mp(P) // mp(Q) tiếp xúc mặt cầu ( S) Loại 7: Lập PT mặt cầu ( S) có tâm nằm đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mp(P) , mp(Q) Loại 8: Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa a (Q) chứa đường thẳng d1 (Q)// d2 b (Q) // d1 (Q)// d2 Loại 9: Lập PT đường thẳng d qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 , d2 Loại 10: : Lập PT đường thẳng d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 Loại 11: Gọi d giao tuyến hai mp(P) mp(Q) Viết phương trình tham số d Loại 12: lập phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng ∆ lên mp(Q) Loại 13: Lập phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng chéo d1,d2 song song với đường thẳng d3 Loại 14: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng chéo d1,d2 Loại 15: Đường thẳng d cắt mp(Q) M Lập PT đường thẳng ∆ qua M, ∆ chứa (Q), ∆ ⊥ d Loại 16: Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Tìm tọa độ tâm bán kính (C) Loại 17: Lập PT đường vng góc chung d d1,d2 Loại 18: Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo GV: Đinh Quang Minh Trang 1 3-5 10 11 12 13 14 15 trang 18 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 16 17 ( khơng dùng công thức khoảng cách đường thẳng chéo để tính) Hiệu đề tài Đề xuât- khuyến nghị GV: Đinh Quang Minh 17 17 trang 19 ... >=TB 13 18 40 GV: Đinh Quang Minh % 100 trang 16 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 12A2 12B9 Tổng 44 40 12 6 13 10 43 30 97.7 75 11 11 16 32 32 11 1 13 91. 13 - Kết áp dụng đề tài cho lớp. .. Sách tập hình học 12 ( ban nâng cao) Bộ GD GV: Đinh Quang Minh trang 17 Giúp học sinh học tốt chương hình học lớp 12 Tài liệu chuẩn kiến thức Hình học 12 - Bộ GD Sách giáo viên Hình học 12 ( ban... cứu: Hình học lớp 12 Chương trình 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN - Thực đề tài tập chuyên đề học sinh lớp 12A1 , 12A2 , 12B9 năm học 2010 – 2011 2.4 Tình trạng thực tế trước thực đề tài: