Nguyên hàm và tích phân

Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (1) VĂN ĐÌNH PHONG Tài liệu dùng cho học sinh ôn thi TNPT và ĐH, CĐ Cuốn bài giảng “Nguyên hàm – Tích phân” này được biên soạn và tham khảo từ một số nguồn khác nhau và chắc chắn còn nhầm và thiếu sót, Thầy mong các em góp ý và bổ sung để tài liệu được hoàn thiện hơn. Thầy cảm ơn các em. Thầy chúc các em cùng gia đình Mạnh Khỏe, An vui; chúc các em học tập tốt, đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra cũng như các kỳ thi. Nội dung cuốn bài giảng gồm 3 phần: Phần I. NGUYÊN HÀM Phần II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Phần III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Hy vọng rằng, cuốn bài giảng này sẽ góp phần giúp các em có thêm niềm yêu thích và tiến bộ trong học Toán. Ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11, xin Kính chúc các Thầy Cô giáo Mạnh khỏe, An vui để tiếp tục chăm lo dựng xây các thế hệ vì tương lai đất nước. Các em cũng là những người Thầy của Thầy, chúc các em luôn khỏe mạnh, vui tươi và đạt thành tích cao trong học tập và tu dưỡng đạo đức. Món quà nhỏ này thầy dành tặng các em, Thầy cảm ơn các em nhiều! ĐỖ NHO TRƯỜNG ĐỒNG THỊ THẢO LÊ THỊ TƯƠI ĐỖ THỊ HẠNH CAO THỊ KIM ANH TRẦN THỊ HIỀN CAO THỊ HẠNH TRANG CAO VĂN DƯƠNG CAO VĂN HỢI NGUYỄN NHƯ DU NGUYỄN HỮU HƯNG LÊ MINH TIẾN LÊ THỊ HƯƠNG v.v… Tặng các em nhân dịp 20-11 Tứ Dân, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Văn Đình Phong ebooktoan.com ebooktoan.com Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (2) ĐẠO HÀM, VI PHÂN 1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: 0)'(  c với c là hằng số Với u là hàm hợp   1 .'     xx   1 .'     uu 2 1 ' 1 x x        2 ' ' 1 x u u          x x 2 1 '   u u u 2 ' '   xx ee '   uu eue '.'   aaa xx ln.'   aaua uu ln.'.'   x x 1 '||ln    u u u ' '||ln    a x x a ln . 1 '||log    a u u u a ln . ' '||log    xx cos'sin    uuu cos'.'sin    xtg x tgx 2 2 1 cos 1 '      '.1 cos ' ' 2 2 uutg u u tgu      xg x gx 2 2 cot1 sin 1 'cot      '.cot1 sin ' 'cot 2 2 uug u u gu  2. Vi phân Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x ),( ba  . Cho số gia x  tại x sao cho ),( baxx    . Ta gọi xy  '. là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = xy  '. hoặc df(x) = f’(x). x  . Vì vậy ta có dy = dxy'. hoặc df(x) = f’(x). dx . 3. Các giới hạn đặc biệt 1. 1 sin lim 0   x x x ; Các hệ quả: 1 sin lim 0   x x x ; 1 )( )(sin lim 0)(   xu xu xu ; 1 )(sin )( lim 0)(   xu xu xu 2. e x x x          1 1lim Các hệ quả:   ex x x   1 0 1lim ; 1 )1ln( lim 0    x x x ; 1 1 lim 0    x e x x ebooktoan.com Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (3) PHẦN 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Định nghĩa Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) nếu với mọi x ),( ba  ta có: F’(x) = f(x). Nếu trên đoạn [a, b] thì ta phải có thêm          )()(' )()(' bfbF afaF 2. Định lý F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì: + F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên (a, b) với C là hằng số + Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) đều có thể viết dưới dạng F(x) + C Ký hiệu tất cả các nguyên hàm của f(x) là  dxxf )( nên ta viết:  dxxf )( = F(x) + C Nếu F’(x) = 0 trên (a, b) thì F(x) không đổi trên (a, b) 3. Các tính chất của nguyên hàm +   )(')( xfdxxf   +    0()()( adxxfadxxaf +       dxxgdxxfdxxgxf )()()()( +        CxuFdxxuxufCtFdttf )()(')()()( 4. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 5. Bảng các nguyên hàm Nguyên hàm các hàm sơ cấp Nguyên hàm của các hàm hợp   Cxdx   Cudu )1( 1 1      aC x dxx    )1( 1 1      aC u duu    )0(||ln 1   xCxdx x )0(||ln 1   xCudu u   Cedxe xx   Cedue uu )10( ln   aC a a dxa x x )10( ln   aC a a dua u u   Cxxdx cossin   Cuudu cossin  xdxcos sinx + C  uducos sinu + C     Ctgxdxxtgdx x 2 2 1 cos 1     Ctguduutgdu u 2 2 1 cos 1     Cgxdxxgdx x cotcot1 sin 1 2 2     Cguduugdu u cotcot1 sin 1 2 2 ebooktoan.com Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (4) Cxdx x   2 1 (x > 0) Cudu u   2 1 (u > 0) Cbax a dxbax   )sin( 1 )cos( )0(  a Cbax a dxbax   )cos( 1 )sin( )0(  a Cbax a dx b ax    ||ln 11 Ce a dxe baxbax    1 )0(  a Cbax a dx bax    21 )0(  a       C ax ax a dx ax ln 2 11 22   Caxx a ax x dxax 222 ln 2 2    Carctgx x dx 2 1    C a x arctg a xa dx 1 22    CxCx x dx arccosarcsin 1 2    C a x xa dx arcsin 22 (với a > 0) Caxx ax dx    22 22 ln Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (5) CHỦ ĐỀ I. XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT VD1. Tính các tích phân bất định sau: a.   dxx 4 )13( b.  xdxxcossin 4 c.   dx e e x x 2 3 d.   dx x x 2 )2ln3( Giải: a. C x C x xdxdxx       15 )13( 5 )13( . 3 1 )13()13( 3 1 )13( 55 44 b. C x xxdxdxx   5 sin )(sinsincossin 5 44 c. Ce e ed dx e e x x x x x       )2ln(3 2 )2( 3 2 3 d. C x C x xdxdx x x        9 )2ln3( 3 )2ln3( . 3 1 )2ln3()2ln3( 3 1)2ln3( 33 2 2 VD2. Tính các tích phân sau: a.   dxxx )(cos 2 b.  xdxtg 2 c.  dx tgx 4 cos Giải: a. 21 22 cos)(cos IIxdxxdxdxxxI     Ta có: 1 22 1 2sin 4 1 2 )2cos1( 2 1 cos2 2 1 cos Cx x dxxxdxxdxI   2 2 2 2 1 CxxdxI   Cx xx I  2sin 4 1 2 2 2 b.          Cxtgxdxdx x dx x xdxtg 22 2 cos 1 1 cos 1 c. C x Cx x xd dx x x dx x tgx    4 4 554 cos 4 1 cos 4 1 cos )(cos cos sin cos VD3. Tính các tích phân bất định sau: a.   dx x x 4 2 b.    dx x x 6 5 1 2 Giải: a. Cx x xd dx x x       )4ln( 2 1 4 )4( 2 1 4 2 2 2 2 b.      dx xx dx xx )3)(2( 1 65 1 2 C x x Cxxxd x xd x          2 3 ln|2|ln|3|ln)2( 2 1 )3( 3 1 Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (6) VD4. Chứng minh rằng   )0(ln)( 2  aaxxxF là một nguyên hàm của hàm số ax xf   2 1 )( trên R Phương pháp chung: + Xác định F’(x) trên (a, b) + Chứng minh rằng F’(x) = f(x) với ),( bax   Nếu thay (a, b) bằng đoạn [a, b] thì phải thực hiện theo các bước: + Xác định F’(x) trên (a, b) - Xác định F’(a + ) - Xác định F’(b - ) + Chứng minh rằng           )()(' )()(' ),()()(' bfbF afaF baxxfxF Vậy ta giải: VD4 như sau: Ta có:         )( 1 1 ' 'ln)(' 222 2 2 2 2 2 2 xf axaxxax xax axx ax x axx axx axxxF              Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của f(x) trên R VD5. CMR         01 0 )( 2 xkhixx xkhie xF x là một nguyên hàm của hàm số:       012 0 )( xkhix xkhie xf x trên R Để tính đạo hàm của F(x) ta xét 2 trường hợp: + TH1: với x 0  ta có:       012 0 )(' xkhix xkhie xF x + TH2: với x = 0 ta có: - 1 1 lim 0 )0()( lim)0(' 02 00          x exx x FxF F xx (1) - 1lim 0 )0()( lim)0(' 0 00          x ee x FxF F x xx (2) - Từ (1) và (2) suy ra 1)0('1)0(')0('   FFF Vậy )( 012 0 )(' xf xkhix xkhie xF x        Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R VD6. Xác định a, b, c sao cho F(x) = (ax 2 + bx + c).e -x là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = (2x 2 – 5x + 2).e -x trên R? Ta có: xxx ecbxbaaxecbxaxebaxxF   ])2([)()2()(' 22 Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (7) Do F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R nên Rxf(x), (x)F'                       1 1 2 2 52 2 252)2( 22 c b a cb ba a xxcbxbaax Vậy a = -2, b = 1, c = -1 thỏa mãn bài toán. Bài tập 1. Tính các tích phân bất định sau: 1.   )dx x 1 -3x(x 2 Đáp số: 2.   dx x x 2 4 32 F(x) = C x x  3 3 2 3 3.   dx x x 2 1 F(x) = lnx + x 1 + C 4.   dx x x 2 22 )1( F(x) = C x x x  1 2 3 3 5.     dxxxx 43 F(x) = C xxx  5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 6.           dx xx 3 21 F(x) = Cxx  3 2 32 7.   dx x x 2 )1( F(x) = Cxxx  ln4 8.   dx x x 3 1 F(x) = Cxx  3 2 3 5 9.  dx x 2 sin2 2 F(x) = x – sinx 10. dx  x tan 2 F(x) = tanx – x + C 11.  xdxcos 2 F(x) = Cxx  2sin 4 1 2 1 12. dx  2 cotx)-(tanx F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13.  dx x x 22 cos . sin 1 F(x) = tanx - cotx + C 14.  dx x x x 22 cos . sin 2cos F(x) = - cotx – tanx + C 15.  sin3xdx F(x) = Cx  3cos 3 1 16.  xdx2sin3xcos2 F(x) = Cxx  cos5cos 5 1 Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (8) 17. dx  1)-(ee xx F(x) = Cee xx  2 2 1 18. dx x e e x x            2 cos 2 F(x) = 2e x + tanx + C 19.     dx xx 3 2a F(x) = C a a xx  3 ln 3 ln 2 20.   dx 13x e F(x) = Ce x  13 3 1 21.   dxee xx   2 2e x – x + C 22.  dx e x x 2   C e x x   22ln1 23.  dx x xxx 10 5.3.2 2 C x  6 ln 6 24.    dx e e x x 1 52 Ce e x x     6 62 25.     dx e e x x 52 52 1 26.    dxxx 2 44 C x x  1 3 3 27. dxxx  3 5 Cx  5 7 7 5 28.   dxxx 1 2 Cxx  1)1( 3 1 22 29.   dxx 2001 )21(   C x    2002 21 . 2 1 2002 30. dx x x   ln43 Cxx  ln43)ln43( 6 1 Bài tập 2. Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 6 HD: Ta có:      Cxxdxxdxxfxf 2 12)(')( Mà f(1) = 6 4611 2  CC Vậy f(x) = x 2 + x + 4 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1 3 2 3  x x 3. f’(x) = 4 xx  và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 3 40 2 3 8 2  xxx 4. f’(x) = x - 2 1 2  x và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2 3 2 1 2 2  x x x 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (9) 6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2  fff x b ĐS. f(x) = 2 51 2 2  x x Bài tập 3. Chứng minh rằng         112 1 )( 2 xkhix xkhix xF là một nguyên hàm của hàm số:       12 12 )( xkhi xkhix xf trên R? Bài tập 4. Chứng minh rằng          00 0 )1ln( )( 2 xkhi xkhi x x xF là một nguyên hàm của hàm số:            01 0 )1ln( 1 2 )( 2 2 2 xkhi xkhi x x x xf Bài tập 5. Xác định các hệ số a, b, c sao cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R. a.       1 1 )( 2 xkhibax xkhix xF ,       12 12 )( xkhi xkhix xf b. F(x) = (ax 2 + bx + c).e -2x , f(x) = -(2x 2 – 8x + 7).e -2x c. F(x) = (ax 2 + bx + c) 32 x , 32 73020 )( 2    x xx xf trên khoảng       , 2 3 Từ đó tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0 ĐS: a) a = 2, b = 1 b) a = 1, b = -3, c = 2 c) a = 4, b = -2, c = 1;   22321024)( 2  xxxxG Bài tập 6. a. Tìm nguyên hàm F(x) của 2 23 )1( 733 )(    x xxx xf và F(1) = 6 b. Tìm nguyên hàm F(x) của 2 sin)( 2 x xf  và 0 2         F ĐS: a) 2 1 1 8 2 )( 2    x x x xF b)   4 1sin 2 1 )(   xxxF Bài tập 7. Tìm nguyên hàm của hàm số x xf cos 1 )(  ĐS: C x tgxF         42 ln)(  Bài 8. Tìm nguyên hàm của hàm số: x xf 2 sin 1 )(  ĐS: CtgxxF  ln 2 1 )( Văn Phong Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân (10) CHỦ ĐỀ II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Xét  dxxf )( . Giả sử )(tx   là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có hàm ngược )( 1 xt    . Khi đó ta có công thức:   Ctdtttfdxxf    )()(')()(  Ta trả lại biến cũ:   Cxdxxf    )()( 1  Để dễ hiểu hơn ta tính:   dxxxfI )(')(    bằng cách đặt )(xt   + Đặt dxxdtxt )(')(      +   CtFdttfdxxxfI    )()()(')(  Chúng ta dùng các dấu hiệu sau để nhận biết cách đổi biến để Giải: bài toán. Dấu hiệu Cách chọn 22 ax                   2 ,,0, cos || 0, 2 , 2 , sin ||    tt t a x tt t a x 22 xa                   ,0,cos|| 2 , 2 ,sin|| ttax ttax 22 ax                   ,0,cot|| 2 , 2 ,|| tgtax ttgtax xa xa   hoặc xa xa   x = acos2t     xbax  x = a + (b – a)sin 2 t f(x) ở mẫu t = f(x)   )(, xuxf )(xut  e x d x c xbxa xf    cos sin cossin )( 2 x tgt  , với 0 2 cos  x ))(( 1 )( bxax xf   + bxaxt bx ax       0 0 + bxaxt bx ax       0 0 [...]... một số bài toán tích phân bất định có sử dụng phương pháp tích phân từng phần Bằng kinh nghiệm có được, khi chúng ta gặp tích phân có lượng giác, đa thức, lũy thừa… thì chúng ta nhớ đặt ưu tiên “Nhất log, nhì tang, tam đa, tứ mũ”, tức là chúng đa chọn đặt làm sao cho khéo để việc tính toán tích phân theo phương pháp từng phần được dễ dàng và nhanh gọn hơn (18) Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong... hoặc về dạng  (với hệ số a < 0) 2 d  x2 dx Phương pháp tính tích phân bất định  hoặc 2 2 x d 2  dx 2 d x 2 chúng ta đã học và làm các dạng bài tập ở phần “Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số” Để hiểu hơn phương pháp giải tích phân dạng này chúng ta xét một số ví dụ sau: (24) Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong VD1 Tính tích phân bất định: dx dx dx 1 I 1   2 I 2   3 I 3   2 2... Dùng phương pháp cân bằng các hệ số của (2) ta xác định được đa thức Q(x) và hệ số  Như vậy tích phân đã được giải quyết xong   (29) Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong Đối với tích phân:  (x   ) dx ta dùng phương pháp đổi biến, đặt x    n ax 2  bx  c Tích phân dạng này các em ít gặp hơn VD1 Tính các tích phân bất định sau: x2 1 1 I1   dx  x 2  3x  2 12 x 3  16 x 2  9 x ... được tốt hơn (35) Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong A Tích phân dạng:  Rsin x, cos x dx với R là hàm hữu tỷ x khi đó ta có: 2 1 t2 cos x  1 t2 Phương pháp: dùng phép thế: t  tg sin x  2t 1 t 2 tgx  2t 1 t2 dx  2dt 1 t2 Như vậy với phép thế như trên thì hàm dưới dấu tích phân trở thành hàm hữu tỷ đổi với t Trong một số trường hợp đặc biệt, để việc tính tích phân  Rsin x, cos x dx... giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong  1 1/ 2 1/ 2  (3x  1) d (3x  1)   (3x  2) d (3x  2) 3 2 3 3    3 x  1  3 x  2    C    9  E Tích phân dạng:  x ax m n b   p Đây là dạng bài tập phức tạp, ít gặp, thầy giới thiệu để các em tham khảo Trong đó a, b  R; m, n, p  Q (a, b, n, p )  0 Tích phân này đưa được về tích phân hàm hữu tỷ trong ba trường hợp sau: 1 Nếu p nguyên. .. arctg C 3 6 3 3 Đến đây các em tự làm tiếp… III.2 TÍCH PHÂN CÁC HÀM VÔ TỶ dx A Tích phân dạng  2 ax  bx  c Để tính tích phân dạng này các em xem lại các nguyên hàm ở trang 4 và VD9 trang 13 Ta sử dụng hằng đẳng thức: 2 2 a a  x  ax   x      2 2  2 2  b   b   ax 2  bx  c  a  x      2a   2a      để đưa tích phân về dạng: dx  x 2  d 2 (với hệ số a > 0) dx... ta có thể viết: A1n1 A2 n2 A11 A12 A21 P ( x)         2 n1 Q ( x) x   1  x   1  x  1  x   2 x   2 n2 (19) Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong Qua việc phân tích trên, việc tính tích phân P ( x)  Q( x) dx đưa về tính các tích phân dạng sau: A a)  x  a dx b)  x  a  A k dx , k  Z  , k  2 Mx  N dx ( p 2  4q  0)  px  q Mx  N d)  dx (k  N , k  2, p 2 ... 1.dx x 4  x 4  2 dx  x3 dx 36  sin x cos 3 x 33 Bài giảng Nguyên hàm – Tích phân Văn Phong II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ta có công thức d(uv) = udv + vdu;  d (uv)   udv   vdu  uv   udv   vdu Vậy:  udv  uv   vdu (*) Công thức (*) được gọi là công thức tính tích phân từng phần Như vậy để sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta thực hiện theo các bước sau: - Bước 1: Biến... TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỶ NHỜ PHÂN TÍCH THÀNH PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN VD3 Tính tích phân sau: x 2  2x  6 I 3 dx x  7 x 2  14 x  8 Giải: 3 2 Ta có: x  7 x  14 x  8  ( x  1)( x  2)( x  3) x 2  2x  6 x 2  2x  6 A B C     Khi đó ta có: 3 2 x  7x  14x  8 (x 1)(x  2)(x  4) x 1 x  2 x  4  x 2  2 x  6  A( x  2)( x  3)  B( x  1)( x  4)  C ( x  1)( x  2) (22) Bài giảng Nguyên. .. 3 e x dx 19  x ln(1  x 2 )dx 20  2 x xdx 21  x lg xdx 22  2 x ln(1  x )dx 23  2 x ln(1  x ) dx x2 12  e x dx 24  x 2 cos 2 xdx III TÍCH PHÂN MỘT SỐ LỚP HÀM III.1 TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỶ P( x) gọi là hàm phân thức hữu tỷ, hay đơn giản gọi Q( x ) là hàm hữu tỷ, trong đó P(x), Q(x) là những đa thức với hệ số thực P ( x) dx , trước tiên ta cần chú ý: Để tính  Q( x) A Nếu bậc của P(x) lớn hơn . liệu dùng cho học sinh ôn thi TNPT và ĐH, CĐ Cuốn bài giảng “Nguyên hàm – Tích phân” này được biên soạn và tham khảo từ một số nguồn khác nhau và chắc chắn còn nhầm và thi u sót, Thầy mong các. liệu được hoàn thi n hơn. Thầy cảm ơn các em. Thầy chúc các em cùng gia đình Mạnh Khỏe, An vui; chúc các em học tập tốt, đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra cũng như các kỳ thi. Nội dung. pháp chung: + Xác định F’(x) trên (a, b) + Chứng minh rằng F’(x) = f(x) với ),( bax   Nếu thay (a, b) bằng đoạn [a, b] thì phải thực hiện theo các bước: + Xác định F’(x) trên (a, b) -