giới hạn nâng cao toán c1

giới hạn nâng cao toán c1- Trường DHKHTN DHQGHCM Giới hạn hay, trình bày cụ thể, sinh động, áp dụng nhiều trong toán học

1 GII HN Lecture 2 Nguyen Van Thuy Ni dung  Review  Đnh ngha gii hn  Gii hn mt pha  Đnh l kp  Cc dng vô đnh  Cc gii hn cơ bn Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-2 Review-Hàm số  Đnh ngha. Hàm số f là mt quy tắc gn mỗi số thực x trong D vi duy nhất mt số thực, k hiu f(x), trong tp E Nguyen Van Thuy-University of Science x f(x) D E f • • Giai tich 1 2-3 Review-Min xc đnh–min gi tr Nguyen Van Thuy-University of Science Min gi tr Min xc đnh y x y = f(x) O Giai tich 1 2-4 Review-Đồ th  Đnh ngha. Nếu hàm số f(x) có min xc đnh là D thì đồ th của hàm số là tp hợp Nguyen Van Thuy-University of Science {( , ( ))| }x f x x D O y 1 2 x f(x) f(2) f(1) (x, f(x)) x Giai tich 1 2-5 Gii hn khi x  V d. 1/x  0 khi x  , điu này  ngha chnh xc là gì? Nguyen Van Thuy-University of Science x 1/x 100 0.001 1,000 0.001 8,000 0.000125 50,000 0.00002 200,000 0.000005 8,000,000 0.000000125 1,250,000,000 0.000000004 1 lim 0 x x   Note:  ngha là + Giai tich 1 2-6 2 Gii hn khi x  Không phi là “1/x bng 0 khi x = ”,  không phi là mt số  f(x)  L khi x   nếu f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c cc gi tr đủ ln, k hiu  f(x)  L khi x  - nếu f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c cc gi tr âm có gi tr tuyt đối đủ ln, k hiu Nguyen Van Thuy-University of Science lim ( ) x f x L   lim ( ) x f x L   Giai tich 1 2-7 Gii hn khi xa hu hn  V d Nguyen Van Thuy-University of Science sin ( ) , 0 x f x x x  x sinx/x 1.0 0.84147098 0.5 0.95885108 0.4 0.97354586 0.3 0.98506736 0.2 0.99334665 0.1 0.99833417 0.05 0.99958339 0.01 0.99998333 0.005 0.99999583 0.001 0.99999983 Giai tich 1 2-8 0 sin lim 1 x x x   Gii hn khi xa hu hn Nguyen Van Thuy-University of Science Giai tich 1 2-9 0 sin lim 1 x x x   Gii hn khi xa hu hn               Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-10 Gii hn khi xa hu hn  f(x)  L khi x  a nếu f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c cc gi tr đủ gn a, k hiu  f(x)   khi x  a nếu f(x) nhn nhng gi tr rất ln (âm hoc dương) khi x nhn tất c cc gi tr đủ gn a  Ch . “x rất gn a”  Xt c 2 trưng hợp x<a và x>a  Không xt ti x = a, f(x) có th không xc đnh ti a Nguyen Van Thuy-University of Science lim ( ) xa f x L   Giai tich 1 2-11 Ba trường hợp gii hn Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-12     3 Gii hn khi xa hu hn  Đnh l (kp). Nếu khi x gn a và thì Nguyen Van Thuy-University of Science ( ) ( ) ( )f x g x h x lim ( ) lim ( ) x a x a f x h x L   lim ( ) xa g x L   Giai tich 1 2-13 Gii hn khi xa hu hn  V d. Tìm nếu  V d. Chng minh rng Nguyen Van Thuy-University of Science 4 lim ( ) x fx  2 4 9 ( ) 4 7, 0x f x x x x      4 0 2 lim cos 0 x x x   Giai tich 1 2-14 Gii hn bên tri  V d. Quan st gi tr của khi cho x nhn nhng gi tr rất gn 1 và nh hơn 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2 1 () | 1 | x fx x    x<1 f(x) 0.5 -0.666667 0.9 -0.526316 0.99 -0.502513 0.999 -0.500250 0.9999 -0.500025 Nhn xt: f(x)  -0.5. Ta nói gii hn bên tri của f(x) ti x=1 là -0.5, viết 2 1 1 lim 0.5 | 1| x x x      Giai tich 1 2-15 Gii hn bên tri Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-16 L f(x) a x x y O lim ( ) xa f x L    a x lim ( ) lim ( ) xa xa xa f x f x L      Gii hn bên phi  V d. Quan st gi tr của khi cho x nhn nhng gi tr rất gn 1 và ln hơn hơn 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2 1 () | 1 | x fx x    x>1 f(x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 Nhn xt: f(x)  0.5. Ta nói gii hn bên phi của f(x) ti x=1 là 0.5, k hiu 2 1 1 lim 0.5 | 1| x x x      Giai tich 1 2-17 Gii hn bên phi Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-18 x a lim ( ) lim ( ) xa xa xa f x f x L      L f(x) x a x y O lim ( ) xa f x L    4 Gii hn mt pha  V d. Cho hàm số  có đồ th như hình vẽ. Xc đnh cc gii hn sau (nếu tồn ti)                   Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-19 Gii hn mt pha  Gii hn bên phi của f(x) bng L khi x  a nếu f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c cc gi tr đủ gn a và ln hơn a, k hiu  Gii hn bên tri của f(x) bng L khi x  a nếu f(x) nhn nhng gi tr rất gn L khi x nhn tất c cc gi tr đủ gn a và nh hơn a, k hiu Nguyen Van Thuy-University of Science lim ( ) xa f x L    lim ( ) xa f x L    Giai tich 1 2-20 Gii hn mt pha  Đnh l  V d. , nhưng không tồn ti nên  V d. Tìm Nguyen Van Thuy-University of Science 2 lim 2 0 x x    2 lim 2 x x    lim ( ) lim ( ) lim ( ) xa x a x a f x L f x L f x        2 lim 2 x x   1 1 lim | 1| x x x    Giai tich 1 2-21 V d Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-22   3 ) lim 2 | 3| x a L x x     6 2 12 ) lim | 6| x x bL x     2 2 | | ) lim 2 x x cL x     0 11 ) lim || x dL xx       0 11 ) lim || x eL xx       Ch   7 dng vô đnh  Cc gii hn cơ bn Nguyen Van Thuy-University of Science 0 0 .0 0 , , , ,1 , 0 0,        0 1/ 0 0 1 sin 1 lim 1 , lim 1 ( ) lim(1 ) ( 0 )1 u uu u u u e uu ue                      Giai tich 1 2-23 V d Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-24 0 sin3 ) lim tan5 x x aL x   0 1 ) lim cot sin x b L x x      1 ) lim1 2 x x cL x        2 1/ 0 ) limcos x x eL x   23 1 ) lim 1 x x x dL x         5 V d  a)  b) Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-25 0 1 cos lim sin2 0 0 x x L xx       111 ) 0 ) ) ) 324 a L b L c L d L      2 2 1 1 lim 1 x x xx L xx         2 ) ) 1 ) )a L b L c L e d L e     V d  a)  b) Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-26     cot 0 lim cos n 1si x x L x x    1 ) 1 ) ) )a L b L e c L d L e          3 cot 2 0 lim cos2 1 x x L x x     1 ) 1 ) ) )a L b L e c L d L e      Dùng Maple tnh gii hn  Sử dng tool đã xây dựng sẵn  ToolTutorsCalculus-Single variableLimit Methods  Dùng lnh trực tiếp  limit(f,x=a)  limit(f,x=infinity); limit(f,x=-infinity)  limit(f,x=a,left); limit(f,x=a,right) Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-27