Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức SKKN toán 10

Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong chương trình toán THPT và có nhiều ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức được đưa vào lớp 10 ( Cả chương trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) trong chương IV Bất Đẳng Thức, Bất phương Trình với số tiết không nhiều .Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa đại số 10 không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT Bình Sơn  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : NguyÔn C¶nh Th¾ng Năm học 2011 – 2012 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT Bình Sơn  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : NGUYỄN CẢNH THẮNG Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn :  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  Có đính kèm :  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học 2011 – 2012 Sở GD&ĐT Đồng Nai CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Bình Sơn Độc lập – Tự do – Hạnh phúc SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC  I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : 1. Họ và tên : NGUYỄN CẢNH THẮNG 2. Ngày tháng năm sinh : 13-03-1980 3. Nam, nữ : Nam 4. Địa chỉ : Ấp 1 –Bình Sơn –Long Thành _Đồng Nai 5. Điện thoại : Cơ quan : 0613533100 ĐTDĐ : 6. E-mail : 7. Chức vụ : Giáo viên 8. Đơn vị công tác : Trường THPT Bình Sơn II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị : Cử nhân - Năm nhận bằng : 2005 - Chuyên ngành đào tạo : Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : - Số năm có kinh nghiệm : 5 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Phần một : THUYẾT MINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : Nguyễn Cảnh Thắng Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong chương trình toán THPT và có nhiều ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức được đưa vào lớp 10 ( Cả chương trình Ban Cơ Bản và Ban KHTN ) trong " chương IV - Bất Đẳng Thức, Bất phương Trình " với số tiết không nhiều .Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa đại số 10 không đi sâu vào mô tả chính xác khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp. Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng, không biết xoay xở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm được các bài toán chứng minh bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học trong điều kiện thời gian hạn chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm nhiều hướng giải nhưng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời giải những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhưng chỉ tại một chút thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy. II. THỰC TRẠNG TRUỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : 1. Thuận lợi : Được sự giúp đỡ của đồng nghiệp và sự quan tâm của nhà trường. 2. Khó khăn: Trường THPT Bình Sơn thuộc diện vùng sâu vùng xa của tỉnh Đồng Nai , học sinh tương đối yếu và không đồng đều nên việc dạy và học của thầy và trò rất khó khăn trong việc triển khai đề tài nay. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI : 1. Cơ sở lý luận : Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng thức trong các sách bồi dưỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ và cả trên thư viện toán điện tử vv Mỗi bài mỗi vẽ, có nhiều hướng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều phương pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ. Song thời gian dạy và hướng dẫn học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức. Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện các phương pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm. 2. Một số biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài : 1). Cơ sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức. 2). Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức. 4). ứng dụng của bất đẳng thức. 5). Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức. 6). Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh trường THPT Bình Sơn . 7). Những kết quả đạt được. Kết luận. IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM : Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa củng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ". Dạy học chứng minh bất đẳng có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. Trong mỗi phương pháp, tôi đã đưa ra những kiến thức cần nhớ và những ví dụ minh hoạ phù hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọ lọc về bất đẳng thức nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng chứng minh. Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải các dạng toán khác như: Tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, Bên cạnh đó, tôi đã trình bày một số sai lầm của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức; Đồng thời đưa ra một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai. Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục. Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hơn. V. KẾT LUẬN : Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa củng cố, hoàn thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ". Dạy học chứng minh bất đẳng thức có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. Trong mỗi phương pháp, tôi đã đưa ra những kiến thức cần nhớ và những ví dụ minh hoạ phù hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọn lọc về bất đẳng thức nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng chứng minh. Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải các dạng toán khác như: Tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, Bên cạnh đó, tôi đã trình bày một số sai lầm của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức; đồng thời đưa ra một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai. Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục. Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hơn. VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO : 1. Phương pháp giải toán Đại Số - Lê Hồng Đức 2. Các chuyên đề bất đẳng thức –Phạm Hóa An 3. Phân loại và phương pháp giải bài tập Bất Đẳng Thức –Nguyễn Kiếm –Lê Thị Hương. 4. Sai lầm thường gặp & các sáng tạo trong giải toán - Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn - NXB Hà Nội. Bình Sơn, ngày 10 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Nguyễn Cảnh Thắng Phần hai : NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện : Nguyễn Cảnh Thắng Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chương I: Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0. A > B A - B > 0. -Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. -Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có: A > B ⇒ C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B. -Nếu ta có: A > B ⇔ C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng thức tương đương. * A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức không ngặt. *A ≥ B là A > B hoặc A = B. *A ≠ B cũng là bất đẳng thức. -Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A < B < C. *Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là " chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ". II. Các tính chất của bất đẳng thức. Tính chất 1: a > b và b > c ⇒ a > c. Tính chất 2: a > b ⇒ a + c > b +c. Hệ quả: a > b + c ⇔ a - c > b. Tính chất 3: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d. Tính chất 4: a > b ⇔ ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ). Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0 ⇒ ac > bd. Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương ⇒ n a > n b . Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương n a ⇒ > n b . Hệ quả: a > b ≥ 0: aba ⇔≥ 22 ≥ bab ≥⇔ . Tính chất 8: a > b, ab > 0 a 1 ⇒ < b 1 . Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n m a ⇒ > n a . [...]... đpcm Vấn Đề XIII Phương pháp quy nạp toán học A Kiến thức cần nhớ Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n ≥ 1(n ∈ N ) ta có thể vận dụng phương pháp quy nạp toán học Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học: 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi n = 1 2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k Chứng minh bất đẳng thức đúng khi n = k + 1 3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi... của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học sinh, nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp Vấn Đề I Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức A Kiến thức cần nhớ Để chứng minh A... đúng ( đpcm ) Vấn Đề VI Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số A Kiến thức cơ bản Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1 Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a a+c a) Nếu a < b thì: < b b+c a a+c ≥ b b+c b) Nếu a ≥ b thì: Bài toán 2 Với x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 1 4 a) xy ≥ ( x +... 1) 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh XV Phương pháp véc tơ và hình học A Kiến thức cần nhớ Một số bài toán bất đẳng thức mà biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải nếu sử dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất: 1) Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c 2) Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin 3) u + v ≤ u + v , dấu đẳng thức xảy... II Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số A Kiến thức cần nhớ Trong việc giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, một số bài toán đòi hỏi các kỹ năng sử dụng bất đẳng thức sẽ cho lời giải ngắn gọn Các bài toán này rất độc đáo đòi hỏi học sinh phải có óc phán đoán và suy luận thật hợp lý Bước đầu làm quen với phương pháp đánh giá giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số, cần... c Vấn Đề VII Phương pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối A.Kiến thức cần nhớ Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau: Bài toán 1 Chứng minh rằng: a) a + b ≥ a + b Dấu " = " xảy ra khi ab ≥ 0 b) a − b ≤ a − b Dấu " = " xảy ra khi b(a − b) ≥ 0 Bài toán 2 Chứng minh rằng nếu... tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng A ≥ B ⇔ A 1 ≥ B 1 ⇔ ⇔ ( * ) Mà ( * ) đúng thì A ≥ B B Bài Tập Bài 1 Chứng minh các Bất đẳng thức: a) a + b ≥ a + b 1 1 4 b) x + y ≥ x + y ; x, y > 0 Giải: 2 2 a) a + b ≥ a + b ⇔ ( a + b ) ≥ ( a + b ) ⇔ a 2 + 2 a b + b 2 ≥ a 2 + 2ab + b 2 ⇔ a b ≥ ab ⇔ ab ≥ ab ( bất đẳng thức đúng ) Vậy... a+b Do đó:    2  k +1 ≤ a k +1 + b k +1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh 2 Vấn Đề XIV Phương pháp phân tích số hạng A Kiến thức cần nhớ Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có dạng f (1) + f (2) + + f (n) , khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm hàm F(k) thoả mãn hệ thức F (k + 1) − F (k ) = f (k ) Từ đó dễ dàng thấy rằng: f (1) +... riêng A Phương pháp Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X = A1 A2 An và Y = B1 B2 Bn hoặc X = A1 + A2 + + An và Y = B1 + B2 + + Bn với Ai , Bi (i = 1,2, , n) là đa thức, phân thức mà các biểu thức Ai , Bi có chung quy luật Dễ dàng chứng minh được các bất đẳng thức riêng A1 ≥ B1 , , An ≥ Bn ⇒ Ai ≥ Bi B Ví dụ Bài 1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 +... ra: ab − a + a − c ≤ 4017 Theo bài toán 1) ta có: ab − c = (ab − a) + (a − c) ≤ ab − a + a − c Vậy: ab − c ≤ 4017 Vấn Đề VIII Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số A Kiến thức cần nhớ Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ): 1) 2( x 2 + . sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức. 2). Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức. 4). ứng dụng của bất đẳng thức. 5). Những sai. 2 2 1 1 n n b a b a b a ===⇔ Chương II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi. các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. Vấn Đề I. Phương pháp dùng