giúp học sinh làm những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ: .2 1/Thực trạng vấn đề: .2 2/Ý nghĩa tác dụng : .2 3/Phạm vi nghiên cứu: II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: .2 1/Cơ sở lý luận thực tiển: .2 2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: B NỘI DUNG I MỤC TIÊU: II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: .3 1/ Thuyết minh : 2/Khả áp dụng: -Các phương pháp : C.KẾT LUẬN 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO .20 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 GIÚP HỌC SINH LÀM NHANH NHỮNG BÀI TOÁN “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ: Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần không nhỏ vào việc đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ngành giáo dục trọng 1/Thực trạng vấn đề: Chương trình Tốn bậc THCS có nhiều chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi, “Phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trị quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, nhiều năm có tốn phân tích đa thức thành nhân tử, Cho nên chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà giáo viên quan tâm 2/Ý nghĩa tác dụng : Toán học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xun phải làm Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh có khiếu mơn Toán Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn cơng tác mũi nhọn công tác chuyên môn Các thi học sinh giỏi cấp tổ chức thường xuyên năm lần thể rõ điều Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài 3/Phạm vi nghiên cứu: Đề tài đem áp dụng Trường THCS Trần Quang Diệu dành cho đối tượng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 8; II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1/Cơ sở lý luận thực tiển: - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp giải tập thích hợp cho - Thực nghiệm việc sử dụng phương pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy - Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu 2/Các biện pháp tiến hành ,thời gian: a.Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm b.Thời gian nghiên cứu Từ ngày / / 2013 đến hết ngày 30 /12 / 2012 B NỘI DUNG I MỤC TIÊU: Học sinh nắm kỹ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, biết biến đổi toán thực tế để áp dụng phương pháp phù hợp,biết phối hợp phương pháp để giải cho kết nhanh có thể,biết giải tốn nhiều cách Học sinh làm có hiệu kiểm tra dự thi cấp II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1/ Thuyết minh : * Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức viết dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho phân tích thành nhân tử + Với đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( a n n a n1 n – a x + x + … + ) ( với c  0, c  ) c c c b) Định nghĩa Giả sử P(x) P x đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy trường P khơng thể phân tích thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trường hợp trái lại P(x) gọi khả quy phân tích P *Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý Mỗi đa thức f(x) trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0.” b) Định lý Trên trường số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức  < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích thành tích đa thức bậc bậc hai với  < c)Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an  0, đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ước an p ước hệ số lại p2 ước số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q 2/Khả áp dụng: Qua định lý trên, ta chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết , cịn thực hành khó khăn nhiều , đòi hỏi “kĩ thuật” , thói quen kĩ “ sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử cách có hệ thống từ dễ dến khó cho phương pháp -Các phương pháp : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 Phương pháp thực phép chia Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp hệ số bất định Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược) *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = 2ax3 + 4bx2 y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2 y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) b/ B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)  2a – 3ax  –  6a – 4ax     = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a c/ C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z) (x –  y – 2z     =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) d/ D = 3x3 y – 6x2 y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: D = 3x3 y – 6x2 y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy  x – 2x  1 –  y  2yz  z     2 = 3xy  x – 1 –  y  z     = 3xy  x – 1 –  y  z    x – 1     y  z   = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) e/ E = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : E = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = 2(y – 2z)(8x2 – 5y) f/ F = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có : F = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) g/ G = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : G = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng * Phân tích đa thức sau thành nhân tử GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu 2 Năm học :2013-2014 2 2 a/ A = xy – xz + yz – yx + zx – zy Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) - yz(y – z) - x2(y – z) = (y – z)  x  y  z   yz  x )    = (y – z)  xy – x    xz – yz     = (y – z)  x  y – x   z  x – y     = (y – z)(x – y)(z – x) b/ B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có: B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) c/ C = x6 + x4 + x2 + Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) d/ D = x2 + 2x + – y2 Giải: Ta có: D = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) e/ E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) f/ F = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : F = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) g/ G = xm + + xm + – x - Giải: Ta có : G= xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + – 1) h/ H = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta có : H = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)  x  yz – x  y  z     = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)  x  x – y  – z  x – y     = (y – z)(x – y)(x – z) GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 -Cách khác : Nhận xét : dễ thấy z – x = -  y – z    x – y     2 nên : H = x (y – z) - y  y – z    x – y   + z2(x – y)   =(y – z)(x2 – y2) + (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) + (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)  x  y  –  z  y     = (y – z) (x – y)(x – z) i/ I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b) c  b  c   a  b  c     = ( a + b)(b + c)(c + a) k/ K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : K = a2b + ab + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) l/ L = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b 2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : L = 2a2b + 4ab – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b) a  2b – c  – c  2b – c     = (a + 2b)(2b – c)(a – c) m/ M = 4x2 y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) Giải: Ta có : M = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z) = 4x2 y2(2x + y) + z2  y  z – y  – 4x  2x  z     = 4x2 y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2 y2(2x + y) + z2  z  y – 4x  –  y  8x     2 = 4x y (2x + y) + z  z  y – 2x  y  2x  –  y  2x   y – 2xy  4x     = (2x + y)( 4x2 y2 + z3 y_- 2xz3 – z2 y2 + 2xyz2 – 4x2z2) = (2x + y)  4x  y – z  – z y  y – z   2xz  y – z     = (2x + y)(y – z)(4x2 y + 4x2z – z2 y + 2xz2) = (2x + y)( y – z)  y  4x – z   2xz  2x  z     = (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz) Phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 A - B = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) * Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x4 + x2 y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2 y2 + y4 = (x4 + 2x2 y2 + y4) - x2 y2 = (x2 + y2)2 - x2 y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) b/ B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b = (a6 – b 6) + (a4 + a2b2 + b ) = (a3 + b3) (a3 - b 3) + (a4 + a2b + b ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )  a – b  a  b   1)    = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) c/ C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) d/ D = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 Giải: Ta có: D = x4 + y4 + z4- 2x2 y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2 y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) 2 = x2 –  y  z  x2 –  y  z       = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) e/ E = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải sau : Cách 1: E= (x + y)3 +(x - y)3 =  x  y    x  y   – 3(x + y)(x - y)  x  y    x  y       Cách 2: = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x  4x –  x – y     2 = 2x(x + 3y ) E = (x + y)3 +(x - y)3 2 =  x  y    x  y    x  y  –  x  y  x – y    x – y       2 2 = 2x   x  y    x – y     GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = 2x(x + 3y ) f/ F = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 g/ G = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)  x – z    z – y    3 = - (z - x) - (y - z) + 3(z – x)(y – z)(x – y) Vậy G = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 = 3(z – x)(y – z)(x – y) h/ H = (a + b+ c)3 – (a3 + b 3+ c3) Giải: Ta có: H = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c +3bc2 +c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c) a  a  b   c  a  b     = 3(b + c)(a + b)(a + c) i/ I = x8 – Giải: Ta có : I = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) 2 = (x4 + 24)  x  –  22      4  2 2 = (x + )(x – )(x + ) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) k/ K = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: K = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)( x + 3)2 Phương pháp thực phép chia: Nếu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau lại phân tích tiếp g(x) *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + có g(-2) = Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + x + Ta có: h(-2) = Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để thực phép chia nhanh Ví dụ :chia f(x) cho (x + 2) sau : -2 1 13 14 12 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) sau : -2 1 4 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) Chia x3 + 2x2 + x + cho (x + 2) sau : -2 1 1 Vậy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) b/ P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thức (nếu có) ước 36 :  1;  2;  3;  4;  ;  9;  12;  18;  36 Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = Nên chia Q cho (x + 2), ta : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta đưa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x – 2)(x+3) GV:Nguyễn Kim Chánh Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 b/B= (x + x + 1)( x + x + 2) - 12 Giải: B = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành : B = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta : B = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) c/ C = x12 – 3x6 + Giải: C= x12 – 3x6 + Đặt y = x6 (y  ) Đa thức cho trở thành : C = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y = (y – - y )(y - + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) : C= (x6 – - x )( x   x ) = (x6 – – x3)(x6 - + x3) d/ D = x3 - x2 + 3x + - Giải: Đặt : y = x - , ta có x = y + D = (y + )3 - (y + )2 + 3(y + ) + - = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - (y2 + 2 y + 2) + 3(y + = y3 - 3y – = y3 - y – 2y – = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)  y  y – 1 – 2   2)+ -2 = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*) Thay : y = x - vào (*), : D = (x - + 1)2(x - - 2) e/ E = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: E = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 =  x  1 x     x  3 x  5  + 15     = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức cho trở thành : E = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 GV:Nguyễn Kim Chánh 10 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta : E = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)  x  x     x      = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải tốn ta giải tốn tổng qt sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành : A =  x  a  x  d   x  b  x  c   + m (1)    Bằng cách biến đổi tương tự e/, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử f/ F= x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x  , ta viết đa thức dạng : 1  )  6( x  )   x x  1 Đặt y = x - x2 + = y2 + x x   F = x2 ( x  Do : F = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x   , ta x x   F =  x( x  )  x  = (x2 + 3x – 1)2 g/ G = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: G = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trở thành : G = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta : G= (x + y – 4)( x + y + 3) h/ H = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: H = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b 2 2  ( x + y + z) = x + y + z + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức H trở thành : H = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 GV:Nguyễn Kim Chánh 11 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (a + b) (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta : H = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 i/ I = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta có : A + B + C = Nên A+B=-C Lập phương hai vế : (A + B)3 = - C3 3  A + 3AB(A + B) + B = - C 3  A + B + C = - 3AB(A + B) 3  A + B + C = 3ABC Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta : Vậy I = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ phương pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đưa đẳng thức đáng nhớ *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x2 – 6x + Giải: Ta giải tốn số cách sau: Cách 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = (x – 1) 3  x – 1 –  x  1    = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = 5(x – 1)2 – 4x(x – 1) GV:Nguyễn Kim Chánh 12 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x – 1) 5  x – 1 – 4x    = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1) 6x –  x  1    = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(1) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) thương (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c  0) phương pháp tách số hạng ta làm sau : Bước : lấy tích a.c = t Bước : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trường hợp) t = pi.qi Bươc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bước : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước : từ nhóm số hạng đưa nhân tử chung dấu ngoặc b/ B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) GV:Nguyễn Kim Chánh 13 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x + 3)(x – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1) 3  x  1  2x    = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) C = x4 + x2 + c/ Giải: Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x2(x2 + x + 1) - x (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x +1) (x2 – x +1) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) d/ D = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách : D= 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + 5y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y) 5  x  y  – 4y    GV:Nguyễn Kim Chánh 14 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + 6y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) e/ E = x4 + x2 y2 + y4 Giải: Ta có : E = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2 y2 + y4) – x2 y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) f/ F = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : F = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 +x4 +x = (x2 – x + 1) +(x2 – x + 1)2 + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1) 1  x – x  1  x  x  1    g/ Giải: Ta có : h/ Giải: Ta có : i/ Giải: Ta có : k/ Giải: Ta có : =(x2 – x + 1)(2x2 +2 ) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) G = 4x4 + 81 G = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) H = 3x3 – 7x2 + 17x - H = 3x3 – 7x2 + 17x - = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) I = x3 – x2 – x - I= x3 – x2 – x - = x3 – – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) K = x3 + x2 – x + K= x3 + x2 – x + = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) GV:Nguyễn Kim Chánh 15 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 l/ L = x – 6x – x + 30 Giải: Ta có : L = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 15) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)  x –  – 1   = (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) Phương pháp hệ số bất định Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Giải: Biểu diễn đa thức dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện :  a  c  6  ac  b  d  12    ad  bc  14 bd   Xét bd = với b, d  Z , b   ;3  với b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :  a  c  6  ac  a  3c  14  Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy A= x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) b/ B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dạng : B = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện :  ad  ae    ag   be  bg   cg    bd  22  cd  11   ce  37  10  a b   c  d e   g        Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) GV:Nguyễn Kim Chánh 16 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 c/ C= x – 8x + 63 Giải: Ta biểu diễn B dạng : C = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a  c   ac  b  d   Đồng hai đa thức ta hệ điều kiện:   ad  bc    bd  63   a b   c d   4    Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) Phương pháp xét giá trị riêng Đây phương pháp khó, áp dụng cách “linh hoạt” phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phương pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x y A = y2(y – z) + y2(z – y) = Như A chứa thừa số x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x A khơng đổi ( ta nói đa thức A hốn vị vịng quanh x  y  z  x Do A chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy A có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số, A có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 Vậy A = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y – z)(z – x)  b/ B = x2 y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(x – z) Giải: Thay x = y B = y2z2(z – y) + z2 y2(y – z) = Như B chứa thừa số x – y Ta thấy đa thức B hốn vị vịng quanh x  y  z  x Do B chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy B có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác B đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia B cho (x – y)(y – z)(z – x) thương số k, nghĩa : B = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 Vậy B = -1(x – y)(y – z)(z – x) GV:Nguyễn Kim Chánh 17 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 = (x – y)(y – z)(x – z) c/ C = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, A khơng thay đổi Thay a=b vào C ta có: C = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do C  (a – b) Suy C  (b – c) A  (c – a) Từ : C  (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác C đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia C cho (a – b)(b – c)(c – a) thương số k, nghĩa : C = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta = -2k hay k = - C = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) d/ D = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z = y vào D ta có: D = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do : D  (y – z) Suy D  (z – x) P  (x – y) Từ : D  (y – z)(z – x)(x – y) Mặt khác D đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia D cho (y – z)(z – x)(x – y)được thương số k, nghĩa : D = k(y – z)(z – x)(x – y) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta : 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k=3 Vậy D = 3(y – z)(z – x)(x – y) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(x – y) e/ E = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, E khơng thay đổi Thay a = vào E ta có : E = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do E  a Suy E  b E  c Từ : E  abc Mặt khác E đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia E cho abc thương số k, nghĩa : E = k.abc Cho a = b = c = 1, ta : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 Vậy E = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc C.KẾT LUẬN Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em có q trình năm học tốn Để có học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dưỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, GV:Nguyễn Kim Chánh 18 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 với nỗ lực thầy lẫn trò, chắn có học sinh giỏi thực mơn Tốn Do lực cịn hạn chế, nên sáng kiến kinh nghiệm tránh thiếu sót, thân mong có đóng góp, bổ sung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để hồn thiện Trên đây, sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, mạch kiến thức trọng tâm chương trình tốn THCS Kết Tơi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi.Tôi thấy HS tiến nhiều việc nhận dạng toán chọn lựa phương pháp giải phù hợp,nhanh chóng Bài học kinh nghiệm giải pháp thực - Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải tốn khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải tốn khác thể loại - Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu Kiến nghị đề xuất - Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn để HS có thời gian ơn luyện nhiều dạng toán - Nên chọn lọc HS từ đầu tương đối kỹ việc bồi dưỡng thuận lợi GV:Nguyễn Kim Chánh 19 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 TÀI LIỆU THAM KHẢO -Sách giáo khoa Toán 8, Toán 9, tập1;2 -Sách giáo viên Toán 8, Toán 9, tập1;2 -Sách tập Toán 8, Toán 9,tập1;2 - Chuyên đề bồi dưỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) -“23 chuyên đề giải 1001 tốn sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH) -500 toán 8,9 chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngô long Hậu) -Để học tốt đại số 8,9 (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ Hựu-Hoàng Chúng) -Các sách tham khảo mơn Tốn bậc trung học sở -Nâng cao phát triển tốn 8,9 (Vũ hữu Bình) -Tài liệu tốn học tổng hợp "Trương Cơng Thành - Nguyễn Hữu Thảo" -Toán nâng cao theo chuyên đề -Toán học tuổi trẻ GV:Nguyễn Kim Chánh 20 Sáng kiến kinh nghiệm Tr¦ường THCS Trần Quang Diệu Năm học :2013-2014 ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ NHÀ TRƯỜNG GV:Nguyễn Kim Chánh 21 Sáng kiến kinh nghiệm ... đa thức thành nhân tử a)Định lý Mỗi đa thức f(x) trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0.” b) Định lý Trên trường số thực R, đa thức. .. thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi... ta đưa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số tốn dùng phương pháp đặt ẩn phụ *Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ A