Bài toán quỹ tich véc tơ

bµi to¸n quü tÝch cã sö dông vÐc t¬. I. KiÕn thøc bæ sung: Cho hÖ n ®iÓm vµ bé n sè sao cho . Khi ®ã x¸c ®Þnh duy nhÊt ®iÓm I tho¶ m•n (1) §iÓm I nh­ vËy gäi lµ t©m tØ cù cña hÖ ®iÓm theo bé sè . Khi ®ã víi mäi ®iÓm M bÊt kú ta cã: Chó ý: NÕu th× ta chøng minh ®­îc vÐc t¬: lµ mét vÐc t¬ kh«ng ®æi.II. Vµi d¹ng to¸n quü tÝch th­êng gÆp:D¹ng 1: Quü tÝch cña ®iÓm tho¶ m•n mét ®¼ng thøc vÐc t¬ hoÆc ®é dµi vÐc t¬.Ta biÕn ®æi ®¼ng thøc ®• cho vÒ mét trong c¸c bµi to¸n quü tÝch c¬ b¶n sau:1) (k0), A cè ®Þnh, kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng th¼ng qua A cïng ph­¬ng .2) víi A, B cè ®Þnh: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trung trùc cña AB.3) víi A cè ®Þnh, kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn t©m A, b¸n kÝnh .VÝ dô 1. Cho ABC. T×m quü tÝch ®iÓm M trong mçi tr­êng hîp sau:a) b) cïng ph­¬ng víi vÐc t¬ Gi¶i:a) Ta cã: hay cïng ph­¬ng víi . VËy quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng th¼ng ®i qua A vµ song song víi c¹nh BC cña ABC.b) Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m•n hÖ thøc (§iÓm I nh­ thÕ lµ tån t¹i vµ duy nhÊt). Th× ta cã: Do ®ã cïng ph­¬ng víi cïng ph­¬ng víi vÐc t¬  M thuéc ®­êng th¼ng ®i qua I vµ song song víi BC.VÝ dô 2. Cho ABC. T×m quü tÝch ®iÓm M trong c¸c tr­êng hîp sau: Gi¶ia) Gäi I lµ trung ®iÓm BC ta cã: VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R= .b) Gäi K lµ ®iÓm tho¶ m•n: L lµ ®iÓm tho¶ m•n: Ta cã:  TËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng KL.c) Víi I lµ trung ®iÓm cña BC. Gäi J lµ ®iÓm tho¶ m•n: Ta cã: VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®­êng trßn t©m J b¸n kÝnh .Tõ lêi gi¶i c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ m« t¶ ®­îc quy tr×nh gi¶i lo¹i to¸n nµy nh­ sau:B­íc 1: BiÕn ®æi c¸c ®¼ng thøc cho tr­íc vÒ mét trong c¸c d¹ng quü tÝch c¬ b¶n theo 2 h­íng: Chøng minh biÓu thøc vÐc t¬ b»ng mét vÐc t¬ kh«ng ®æi hoÆc dïng t©m tØ cù.B­íc 2: Sö dông c¸c quü tÝch c¬ b¶n ®Ó x¸c ®Þnh quü tÝch cña ®iÓm theo yªu cÇu bµi to¸n.D¹ng 2: Quü tÝch cña ®iÓm tho¶ m•n ®¼ng thøc vÒ tÝch v« h­íng hoÆc tÝch ®é dµi.Ta biÕn ®æi ®¼ng thøc ®• cho vÒ mét trong c¸c d¹ng quü tÝch c¬ b¶n sau:1) , trong ®ã A, B cè ®Þnh, k kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn t©m I (I lµ trung ®iÓm cña AB), b¸n kÝnh , nÕu .2) víi A, B lµ c¸c ®iÓm cè ®Þnh, k kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i ®iÓm H trªn ®­êng th¼ng AB tho¶ m•n: 3) , víi A cè ®Þnh, k0 kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn t©m A, b¸n kÝnh .VÝ dô 3. Cho ®o¹n th¼ng AB. T×m quü tÝch ®iÓm M trong mçi tr­êng hîp sau: víi k>0 cho tr­íc.Gi¶i:a) Cã VËy quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AB t¹i A.b) Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m•n: th× .Do ®ã:  Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AI.c) Gäi E lµ ®iÓm tho¶ m•n: ta cã: MÆt kh¸c tõ Nªn NÕu : Quü tÝch ®iÓm M lµ rçng.NÕu : Quü tÝch ®iÓm M lµ mét ®iÓm E.NÕu : Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn t©m E, b¸n kÝnh .VÝ dô 4: Cho ABC. T×m quü tÝch ®iÓm M trong c¸c tr­êng hîp sau:a) b) c) H­íng dÉn gi¶i: a) Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m•n ta cã:  Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng th¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi AB.b) Gäi D vµ E lµ c¸c ®iÓm tho¶ m•n: ta cã:  Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh DE.c) Ta cã: Gäi J lµ ®iÓm x¸c ®Þnh bëi ta cã:  Quü tÝch ®iÓm M lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AJ.Mét c¸ch tæng qu¸t ta cã quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy nh­ sau:B­íc 1: BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®• cho vÒ d¹ng , b»ng phÐp ph©n tÝch thµnh nh©n tö, ®Æt nh©n tö chung,... trong ®ã c¸c vÐc t¬ cã thÓ lµ tæng hoÆc hiÖu c¸c vÐc t¬ nµo ®ã.B­íc 2: Dùa vµo bµi to¸n chøng minh biÓu thøc vÐc t¬ kh«ng ®æi hoÆc t©m tØ cù ®Ó biÕn ®æi ®¼ng thøc vÒ mét trong c¸c d¹ng quü tÝch c¬ b¶n vµ kÕt luËn vÒ quü tÝch cÇn x¸c ®Þnh.Trªn ®©y lµ mét vµi ý kiÕn minh ho¹ cho ý t­ëng thuËt to¸n ho¸ ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n quü tÝch cã liªn quan ®Õn vÐc t¬. Tuy ch­a thËt râ rµng nh­ng theo chóng t«i nã thùc sù cã ý nghÜa. Mong c¸c b¹n tiÕp tôc nghiªn cøu ®Ó hoµn thiÖn ý t­ëng trªn. ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n quü tÝch c¬ b¶n ë trªn kh«ng ph¶i lµ qu¸ khã, xin ®­îc dµnh l¹i cho c¸c b¹n. III. c¸c bµi to¸n luyÖn tËp .Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. M vµ N lµ 2 ®iÓm thay ®æi x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: . Chøng minh r»ng lµ vÐc t¬ kh«ng ®æi. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M biÕt n»m trªn ®­êng th¼ng ®i qua t©m O cña h×nh b×nh hµnh ABCD.Bµi 2: Cho ABC.a)Chøng minh r»ng kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm M.b)T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: Bµi 3: Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a. T×m quü tÝch ®iÓm M trong c¸c tr­êng hîp sau: a) b) c) Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, BC = 6a. BiÖn luËn theo k quü tÝch ®iÓm M tho¶ m•n: . Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× quü tÝch ®iÓm M chøa ®iÓm A?

bài toán quỹ tích có sử dụng véc tơ. I. Kiến thức bổ sung: Cho hệ n điểm n21 A, ,A,A và bộ n số n21 , ,, sao cho 0 n21 +++ . Khi đó xác định duy nhất điểm I thoả mãn 0IA IAIA nn2211 =+++ (1) Điểm I nh vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm n21 A, ,A,A theo bộ số n21 , ,, . Khi đó với mọi điểm M bất kỳ ta có: ( ) MI MAMAMA n nn +++= +++ 21 2211 Chú ý: Nếu 0 n21 =+++ thì ta chứng minh đợc véc tơ: nn2211 MA MAMAu +++= là một véc tơ không đổi. II. Vài dạng toán quỹ tích thờng gặp: Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ hoặc độ dài véc tơ. Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các bài toán quỹ tích cơ bản sau: 1) akAM = (k0), A cố định, a không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng qua A cùng phơng a . 2) MBMA = với A, B cố định: Quỹ tích điểm M là đờng trung trực của AB. 3) aMA = với A cố định, a không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm A, bán kính aR = . Ví dụ 1. Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau: a) )Rk(MCkMBkMA =+ b) MC2MBMAv ++= cùng phơng với véc tơ BC Giải: a) Ta có: BCkMA )MBMC(kMAMCkMBkMA = ==+ hay MA cùng phơng với BC . Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của ABC. b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức 0IC2IBIA =++ (Điểm I nh thế là tồn tại và duy nhất). Thì ta có: MI4IC2MI2IBMIIAMI MC2MBMAv =+++++= =++= Do đó v cùng phơng với MIBC cùng phơng với véc tơ BC M thuộc đờng thẳng đi qua I và song song với BC. Ví dụ 2. Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau: MCMBMCMB)a =+ MC2MB3MB3MA2)b +=+ http://kinhhoa.violet.vn MCMBMA2MCMBMA4)c =++ Giải a) Gọi I là trung điểm BC ta có: MCMBMCMB =+ 2 BC MICBMI2 == Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I, bán kính R= 2 BC . b) Gọi K là điểm thoả mãn: 0KB3KA2 =+ L là điểm thoả mãn: 0LC2LB3 =+ Ta có: MC2MB3MB3MA2 +=+ MLMKML5MK5 == Tập hợp điểm M là đờng trung trực của đoạn thẳng KL. c) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: 0JCJBJA4 =++ Ta có: MCMBMA2MCMBMA4 =++ MI2MA2MJ6 = constIA 3 1 MJIA2MJ6 === Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm J bán kính IA 3 1 R = . Từ lời giải các bài toán trên ta có thể mô tả đợc quy trình giải loại toán này nh sau: Bớc 1: Biến đổi các đẳng thức cho trớc về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2 h- ớng: Chứng minh biểu thức véc tơ bằng một véc tơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự. Bớc 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài toán. Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hoặc tích độ dài. Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau: 1) kMB.MA = , trong đó A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm I (I là trung điểm của AB), bán kính k 2 AB R 2 += , nếu 0k 2 AB 2 + . 2) kAB.AM = với A, B là các điểm cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm H trên đờng thẳng AB thoả mãn: AB k AH = 3) kAM 2 = , với A cố định, k0 không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm A, bán kính kR = . Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau: 2 MAMB.MA)a = MB.MAMA2)b 2 = kMB2MA)c 22 =+ với k>0 cho trớc. Giải: a) Có 2 MAMB.MA = http://kinhhoa.violet.vn ( ) 0MBMA.MA 0MAMB.MA 2 = = = = ABMA 0MA 0BA.MA Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AB tại A. b) MB.MAMA2 2 = ( ) (*)0MBMA2MA = Gọi I là điểm thoả mãn: 0IBIA2 = thì MIMBMA2 = . Do đó: MIMA0MI.MA(*) = Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính AI. c) Gọi E là điểm thoả mãn: 0EB2EA =+ ta có: ( ) ( ) (*)EB2EAkME3 kEBMEEAME kMB2MA 222 22 22 = =+++ =+ Mặt khác từ 0EB2EA =+ AB 3 1 EB;AB 3 2 EA == Nên 22 AB 3 2 kME3(*) = = 22 AB 3 2 k 3 1 ME Nếu 2 AB 3 2 k < : Quỹ tích điểm M là rỗng. Nếu 2 AB 3 2 k = : Quỹ tích điểm M là một điểm E. Nếu 2 AB 3 2 k > : Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm E, bán kính = 2 AB 3 2 k 3 1 R . Ví dụ 4: Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau: a) ( )( ) 0MCMB2MBMA = b) ( )( ) 0MC2MBMB2MA =++ c) MC.MAMB.MAMA2 2 =+ Hớng dẫn giải: a) Gọi I là điểm thoả mãn 0ICIB2 = ta có: ( )( ) MIBA0MI.BA 0MCMB2MBMA = = Quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua I và vuông góc với AB. b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: 0EC2EB0DB2DA =+=+ và ta có: ( )( ) MEMD0ME3.MD3 0MC2MBMB2MA = =++ http://kinhhoa.violet.vn Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính DE. c) Ta có: MC.MAMB.MAMA2 2 =+ ( ) (*)0MCMBMA2MA =+ Gọi J là điểm xác định bởi 0JCJBJA2 =+ ta có: MJMA0MJ.MA2(*) = Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính AJ. Một cách tổng quát ta có quy trình giải các bài toán dạng này nh sau: Bớc 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng kv.u = , bằng phép phân tích thành nhân tử, đặt nhân tử chung, trong đó các véc tơ v,u có thể là tổng hoặc hiệu các véc tơ nào đó. Bớc 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức véc tơ không đổi hoặc tâm tỉ cự để biến đổi đẳng thức kv.u = về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần xác định. Trên đây là một vài ý kiến minh hoạ cho ý tởng thuật toán hoá phơng pháp giải các bài toán quỹ tích có liên quan đến véc tơ. Tuy cha thật rõ ràng nhng theo chúng tôi nó thực sự có ý nghĩa. Mong các bạn tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện ý tởng trên. Việc giải các bài toán quỹ tích cơ bản ở trên không phải là quá khó, xin đợc dành lại cho các bạn. III. các bài toán luyện tập . Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. M và N là 2 điểm thay đổi xác định bởi hệ thức: MDMC2MB2MA3MN += . Chứng minh rằng MN là véc tơ không đổi. Tìm tập hợp các điểm M biết MN nằm trên đờng thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD. Bài 2: Cho ABC. a) Chứng minh rằng MC2MB5MA3u += không phụ thuộc vị trí điểm M. b) Tìm quỹ tích các điểm M xác định bởi hệ thức: MCMBMC2MB2MA3 =+ Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau: a) 222 MCMB2MA3 += b) 2222 aMC2MBMA =+ c) 2 a5 MA.MCMC.MBMB.MA 2 =++ Bài 4: Cho ABC vuông tại A, BC = 6a. Biện luận theo k quỹ tích điểm M thoả mãn: ( )( ) 2 kaMCMBMAMCMB =+++ . Với giá trị nào của k thì quỹ tích điểm M chứa điểm A? http://kinhhoa.violet.vn . chứng minh đợc véc tơ: nn2211 MA MAMAu +++= là một véc tơ không đổi. II. Vài dạng toán quỹ tích thờng gặp: Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ hoặc độ dài véc tơ. Ta biến. minh biểu thức véc tơ bằng một véc tơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự. Bớc 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài toán. Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng. các bài toán trên ta có thể mô tả đợc quy trình giải loại toán này nh sau: Bớc 1: Biến đổi các đẳng thức cho trớc về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2 h- ớng: Chứng minh biểu thức véc tơ