bµi to¸n quü tÝch cã sö dông vÐc t¬. I. KiÕn thøc bæ sung: Cho hÖ n ®iÓm vµ bé n sè sao cho . Khi ®ã x¸c ®Þnh duy nhÊt ®iÓm I tho¶ m•n (1) §iÓm I nh vËy gäi lµ t©m tØ cù cña hÖ ®iÓm theo bé sè . Khi ®ã víi mäi ®iÓm M bÊt kú ta cã: Chó ý: NÕu th× ta chøng minh ®îc vÐc t¬: lµ mét vÐc t¬ kh«ng ®æi.II. Vµi d¹ng to¸n quü tÝch thêng gÆp:D¹ng 1: Quü tÝch cña ®iÓm tho¶ m•n mét ®¼ng thøc vÐc t¬ hoÆc ®é dµi vÐc t¬.Ta biÕn ®æi ®¼ng thøc ®• cho vÒ mét trong c¸c bµi to¸n quü tÝch c¬ b¶n sau:1) (k0), A cè ®Þnh, kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng th¼ng qua A cïng ph¬ng .2) víi A, B cè ®Þnh: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trung trùc cña AB.3) víi A cè ®Þnh, kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn t©m A, b¸n kÝnh .VÝ dô 1. Cho ABC. T×m quü tÝch ®iÓm M trong mçi trêng hîp sau:a) b) cïng ph¬ng víi vÐc t¬ Gi¶i:a) Ta cã: hay cïng ph¬ng víi . VËy quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng th¼ng ®i qua A vµ song song víi c¹nh BC cña ABC.b) Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m•n hÖ thøc (§iÓm I nh thÕ lµ tån t¹i vµ duy nhÊt). Th× ta cã: Do ®ã cïng ph¬ng víi cïng ph¬ng víi vÐc t¬ M thuéc ®êng th¼ng ®i qua I vµ song song víi BC.VÝ dô 2. Cho ABC. T×m quü tÝch ®iÓm M trong c¸c trêng hîp sau: Gi¶ia) Gäi I lµ trung ®iÓm BC ta cã: VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R= .b) Gäi K lµ ®iÓm tho¶ m•n: L lµ ®iÓm tho¶ m•n: Ta cã: TËp hîp ®iÓm M lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng KL.c) Víi I lµ trung ®iÓm cña BC. Gäi J lµ ®iÓm tho¶ m•n: Ta cã: VËy tËp hîp ®iÓm M lµ ®êng trßn t©m J b¸n kÝnh .Tõ lêi gi¶i c¸c bµi to¸n trªn ta cã thÓ m« t¶ ®îc quy tr×nh gi¶i lo¹i to¸n nµy nh sau:Bíc 1: BiÕn ®æi c¸c ®¼ng thøc cho tríc vÒ mét trong c¸c d¹ng quü tÝch c¬ b¶n theo 2 híng: Chøng minh biÓu thøc vÐc t¬ b»ng mét vÐc t¬ kh«ng ®æi hoÆc dïng t©m tØ cù.Bíc 2: Sö dông c¸c quü tÝch c¬ b¶n ®Ó x¸c ®Þnh quü tÝch cña ®iÓm theo yªu cÇu bµi to¸n.D¹ng 2: Quü tÝch cña ®iÓm tho¶ m•n ®¼ng thøc vÒ tÝch v« híng hoÆc tÝch ®é dµi.Ta biÕn ®æi ®¼ng thøc ®• cho vÒ mét trong c¸c d¹ng quü tÝch c¬ b¶n sau:1) , trong ®ã A, B cè ®Þnh, k kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn t©m I (I lµ trung ®iÓm cña AB), b¸n kÝnh , nÕu .2) víi A, B lµ c¸c ®iÓm cè ®Þnh, k kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i ®iÓm H trªn ®êng th¼ng AB tho¶ m•n: 3) , víi A cè ®Þnh, k0 kh«ng ®æi: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn t©m A, b¸n kÝnh .VÝ dô 3. Cho ®o¹n th¼ng AB. T×m quü tÝch ®iÓm M trong mçi trêng hîp sau: víi k>0 cho tríc.Gi¶i:a) Cã VËy quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AB t¹i A.b) Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m•n: th× .Do ®ã: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AI.c) Gäi E lµ ®iÓm tho¶ m•n: ta cã: MÆt kh¸c tõ Nªn NÕu : Quü tÝch ®iÓm M lµ rçng.NÕu : Quü tÝch ®iÓm M lµ mét ®iÓm E.NÕu : Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn t©m E, b¸n kÝnh .VÝ dô 4: Cho ABC. T×m quü tÝch ®iÓm M trong c¸c trêng hîp sau:a) b) c) Híng dÉn gi¶i: a) Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m•n ta cã: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng th¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi AB.b) Gäi D vµ E lµ c¸c ®iÓm tho¶ m•n: ta cã: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh DE.c) Ta cã: Gäi J lµ ®iÓm x¸c ®Þnh bëi ta cã: Quü tÝch ®iÓm M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AJ.Mét c¸ch tæng qu¸t ta cã quy tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy nh sau:Bíc 1: BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®• cho vÒ d¹ng , b»ng phÐp ph©n tÝch thµnh nh©n tö, ®Æt nh©n tö chung,... trong ®ã c¸c vÐc t¬ cã thÓ lµ tæng hoÆc hiÖu c¸c vÐc t¬ nµo ®ã.Bíc 2: Dùa vµo bµi to¸n chøng minh biÓu thøc vÐc t¬ kh«ng ®æi hoÆc t©m tØ cù ®Ó biÕn ®æi ®¼ng thøc vÒ mét trong c¸c d¹ng quü tÝch c¬ b¶n vµ kÕt luËn vÒ quü tÝch cÇn x¸c ®Þnh.Trªn ®©y lµ mét vµi ý kiÕn minh ho¹ cho ý tëng thuËt to¸n ho¸ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n quü tÝch cã liªn quan ®Õn vÐc t¬. Tuy cha thËt râ rµng nhng theo chóng t«i nã thùc sù cã ý nghÜa. Mong c¸c b¹n tiÕp tôc nghiªn cøu ®Ó hoµn thiÖn ý tëng trªn. ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n quü tÝch c¬ b¶n ë trªn kh«ng ph¶i lµ qu¸ khã, xin ®îc dµnh l¹i cho c¸c b¹n. III. c¸c bµi to¸n luyÖn tËp .Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. M vµ N lµ 2 ®iÓm thay ®æi x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: . Chøng minh r»ng lµ vÐc t¬ kh«ng ®æi. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M biÕt n»m trªn ®êng th¼ng ®i qua t©m O cña h×nh b×nh hµnh ABCD.Bµi 2: Cho ABC.a)Chøng minh r»ng kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm M.b)T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: Bµi 3: Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a. T×m quü tÝch ®iÓm M trong c¸c trêng hîp sau: a) b) c) Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, BC = 6a. BiÖn luËn theo k quü tÝch ®iÓm M tho¶ m•n: . Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× quü tÝch ®iÓm M chøa ®iÓm A?
Trang 1bài toán quỹ tích có sử dụng véc tơ.
I Kiến thức bổ sung:
Cho hệ n điểm A1,A2, ,An và bộ n số α1,α2, ,αn sao cho α1+α2 + +αn ≠0 Khi
đó xác định duy nhất điểm I thoả mãn α1IA1 +α2IA2 + +αnIAn =0 (1)
Điểm I nh vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A1,A2, ,An theo bộ số α1,α2, ,αn Khi đó với mọi điểm M bất kỳ ta có:
MA MA
MA
n
n n
α α
α
α α
α
+ + +
=
+ + +
2 1
2 2 1 1
u=α1MA1+α2MA2 + +αnMAn là một véc tơ không đổi
II Vài dạng toán quỹ tích thờng gặp:
Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ hoặc độ dài véc tơ.
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các bài toán quỹ tích cơ bản sau:
1) AM=ka(k≠0), A cố định, a không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng qua A cùng phơng a
2) MA = MB với A, B cố định: Quỹ tích điểm M là đờng trung trực của AB
3) MA = a với A cố định, a không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm A, bán kính
a
Ví dụ 1
Cho ∆ABC Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau:
a) MA+kMB=kMC (k∈R)
b) v=MA+MB+2MC cùng phơng với véc tơ BC
Giải:
a) Ta có:
BC
k
MA
) MB MC ( k MA MC
k MB
k
MA
=
⇔
−
=
⇔
=
MA cùng phơng với BC Vậy quỹ tích
điểm M là đờng thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của ∆ABC
b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức IA+IB+2IC=0 (Điểm I nh thế là tồn tại và duy nhất).
Thì ta có:
MI 4 IC 2 MI 2 IB MI IA MI
MC 2 MB MA v
= + +
+ + +
=
= +
+
=
Do đó v cùng phơng với BC⇔MI cùng phơng với véc tơ BC ⇔ M thuộc đờng thẳng đi qua I và song song với BC
Ví dụ 2
Cho ∆ABC Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
MC MB MC
MB
)
MC 2 MB 3 MB
3
MA
2
)
Trang 2MC MB MA 2 MC MB
MA
4
)
Giải
a) Gọi I là trung điểm BC ta có:
MB+MC = MB−MC
2
BC MI CB
MI
⇔
Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I, bán kính R=
2
BC b) Gọi K là điểm thoả mãn:
0 KB 3 KA
L là điểm thoả mãn: 3LB+2LC=0
Ta có: 2MA+3MB = 3MB+2MC
ML MK ML
5
MK
⇔
⇒ Tập hợp điểm M là đờng trung trực của đoạn thẳng KL
c) Với I là trung điểm của BC Gọi J là điểm thoả mãn: 4JA+JB+JC=0
Ta có:
MC MB MA 2 MC MB
MA
MI 2 MA 2
MJ
3
1 MJ IA
2 MJ
⇔
Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm J bán kính IA
3
1
Từ lời giải các bài toán trên ta có thể mô tả đợc quy trình giải loại toán này nh sau:
Bớc 1: Biến đổi các đẳng thức cho trớc về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2
h-ớng: Chứng minh biểu thức véc tơ bằng một véc tơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự
Bớc 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài toán.
Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hoặc tích độ dài.
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau:
1) MA.MB=k, trong đó A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm I
(I là trung điểm của AB), bán kính k
2
AB R
2
+
2
AB2
≥
2) AM.AB=k với A, B là các điểm cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng
vuông góc với AB tại điểm H trên đờng thẳng AB thoả mãn:
AB
k
3) AM2 =k, với A cố định, k≥0 không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm A, bán kính R= k .
Ví dụ 3
Cho đoạn thẳng AB Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau:
2
MA MB
MA
)
MB MA MA
2
)
k MB 2 MA
)
c 2 + 2 = với k>0 cho trớc
Giải:
a) Có MA.MB=MA2
Trang 3(MA MB) 0
MA
0 MA MB
=
−
⇔
=
−
⇔
⊥
=
⇔
=
⇔
AB MA
0 MA 0
BA MA
Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AB tại A
b) 2MA2 = MA.MB
⇔
Gọi I là điểm thoả mãn: 2IA−IB=0 thì 2MA−MB=MI.
Do đó: (*)⇔MA.MI=0⇔MA⊥MI
⇒ Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính AI
c) Gọi E là điểm thoả mãn: EA+2EB=0 ta có:
(*) EB 2 EA k
ME
3
k EB ME EA
ME
k MB
2
MA
2 2
2
2 2
2 2
−
−
=
⇔
= +
+ +
⇔
= +
Mặt khác từ EA+2EB=0
AB 3
1 EB
; AB 3
2
⇒
3
2 k ME 3
−
=
3
2 k 3
1
ME
Nếu AB2
3
2
k< : Quỹ tích điểm M là rỗng
Nếu AB2
3
2
k = : Quỹ tích điểm M là một điểm E
Nếu AB2
3
2
k > : Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm E, bán kính
−
3
2 k 3
1
Ví dụ 4: Cho ABC Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
a) (MA−MB)(2MB−MC)=0
b) (MA+2MB)(MB+2MC)=0
c) 2MA2 +MA.MB=MA.MC
Hớng dẫn giải:
a) Gọi I là điểm thoả mãn 2IB−IC=0 ta có:
MI BA 0
MI
BA
0 MC MB 2
MB
MA
⊥
⇔
=
⇔
=
−
−
⇒ Quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua I và vuông góc với AB
b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: DA+2DB=0và EB+2EC=0 ta có:
ME MD 0
ME
3
MD
3
0 MC 2 MB MB
2
MA
⊥
⇔
=
⇔
= +
+
Trang 4⇒ Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính DE.
c) Ta có: 2MA2 +MA.MB=MA.MC
⇔
Gọi J là điểm xác định bởi 2JA+JB−JC=0 ta có:
MJ MA 0
MJ
MA
2
⇒ Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính AJ
Một cách tổng quát ta có quy trình giải các bài toán dạng này nh sau:
nhân tử chung, trong đó các véc tơ u,v có thể là tổng hoặc hiệu các véc tơ nào đó
Bớc 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức véc tơ không đổi hoặc tâm tỉ cự để biến
đổi đẳng thức u.v=k về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần
xác định
Trên đây là một vài ý kiến minh hoạ cho ý tởng thuật toán hoá phơng pháp giải các bài toán quỹ tích có liên quan đến véc tơ Tuy cha thật rõ ràng nhng theo chúng tôi nó thực sự có ý nghĩa Mong các bạn tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện ý tởng trên Việc giải các bài toán quỹ tích cơ bản ở trên không phải là quá khó, xin đợc dành lại cho các bạn
III các bài toán luyện tập
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD M và N là 2 điểm thay đổi xác định bởi hệ thức:
MD MC 2 MB 2 MA
3
Chứng minh rằng MN là véc tơ không đổi Tìm tập hợp các điểm M biết MN nằm trên
đờng thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD
Bài 2: Cho ∆ABC
a) Chứng minh rằng u=3MA−5MB+2MC không phụ thuộc vị trí điểm M.
b) Tìm quỹ tích các điểm M xác định bởi hệ thức: 3MA+2MB−2MC = MB−MC
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau: a) 3MA2 =2MB2 +MC2
b) MA2 −MB2 +2MC2 =a2
c)
2
a 5 MA MC MC MB MB
MA
2
= +
+
Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, BC = 6a Biện luận theo k quỹ tích điểm M thoả mãn:
Với giá trị nào của k thì quỹ tích điểm M chứa điểm A?