Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7

KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa. a) Giá trị tuyệt đối của một số: Giá trị tuyệt đối của một số a, ký hiệu , là số đo của khoảng cách từ điểm biểu diễn số a đến điểm gốc trên trục số. Ta thường viết định nghĩa dưới dạng: b) Giá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến: Định nghĩa trên vẫn đúng nếu ta thay số a bởi biểu thức A(x), nghĩa là:

PHẦN ĐẠI SỐ

Chuyên đề 1 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa.

a) Giá trị tuyệt đối của một số:

Giá trị tuyệt đối của một số a, ký hiệu a , là số đo của khoảng cách từ điểmbiểu diễn số a đến điểm gốc trên trục số

Ta thường viết định nghĩa dưới dạng:

a a

b) Giá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến:

Định nghĩa trên vẫn đúng nếu ta thay số a bởi biểu thức A(x), nghĩa là:

x  , dấu bằng xảy ra khi x = 0

*Tính chất 2: Giá trị tuyết đối của một số lớn hơn hoặc bằng số đó Ta có:

x x, dấu bằng xảy ra khi x 0

*Tính chất 3: Giá trị tuyết đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối Ta có:

*Tính chất 5: Giá trị tuyết đối của một tổng bé hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt

đối Ta có: x y x  y , dấu bằng xảy ra khi: xy 0

*Tính chất 6: Giá trị tuyết đối của một hiệu lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt

đối Ta có: x y x  y , dấu bằng xảy ra khi: x y 0hoặc

0

x y

3 Dạng bài tập cơ bản thường gặp:

3.1.Dạng tính giá trị tuyệt đối của một biểu thức.

Ví dụ: (Bài tập 29- sách bài tập toán 7, trang 8)

Tính giá trị của biểu thức M = a + 2ab - b với a 1,5; b = -0,75

3.3.Dạng tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

3

x

*Nhận xét: Làm bài tập dạng này thì GV nên nhắc lại cho HS nắm quy tắc dấu

ngoặc, quy tắc chuyển vế và các phép biến đổi đẳng thức

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

Chuyên đề 2, 3 TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

*Nhận xét: Trong một tỉ lệ thức ta có thể hoán vị trung tỉ với nhau, hoán vị

ngoại tỉ với nhau, hoán vị cả trung tỉ với nhau và ngoại tỉ với nhau

3 Các phương pháp chứng minh tỉ lệ thức

Từ định nghĩa và các tính chất của tỉ lệ thức ta rút ra các phương pháp chứng minh

tỉ lệ thức như sau Để chứng minh a c

b b b b thì ta có thể lập được những tỉ sốbằng các tỉ số đã cho

a) Tìm số x, sao cho x cùng ba số trên lập thành một tỉ lệ thức;

b) Có thể lập được bao nhiêu tỉ lệ thức?

Tương tự với x = 18; x = 32 Vậy tất cả có 3.4 =12 tỉ lệ thức cần tìm

Bài 2: Tìm giá trị của x trong các tỉ lệ thức sau:

GV dựa vào ví dụ về các phương pháp chứng minh tỉ lệ thức để hướng dẫn

HS giải theo các cách như trên

  thì a, b, c cùng dương hoặc cùng âm.

Vậy x = 4, y = 6, z = 8 hoặc x = -4, y = -6, z = -8 là các giá trị cần tìm

Bài 1: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ bốn trong các số sau không (Một số chỉ

chọn một lần) ? Nếu có thì lập được bao nhiêu tỉ lệ lệ thức ?

Bài 8: Cho ba tỉ số bằng nhau a ; b ; c

b c c a a b   , tìm giá trị của mỗi tỉ số đó

Chuyên đề 4 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH.

HÀM SỐ Y = AX (A  0)

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Đại lượng tỉ lệ thuận.

1 Định nghĩa:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức y = ax với a là hằng

số khác không thì ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a

2 Tính chất:

Nếu y = ax (a 0) , thì 1 2

1 2

n n

   , nghĩa là nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số

tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 1

+Nếu y0  f(x0)  Điểm M(x0; y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x).

2 Mặt phẳng tọa độ Oxy

2.1/Các khái niệm cần nắm:

m (3; 2)

o -1 -2 -3

-3 -2 -1 1

2 3

3 2 1

y

x

Cho hình vẽ trên gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, với Ox và Oy là hai trục sốvuông góc với nhau tại điểm O Ox gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, điểmO(0 ;0) gọi là gốc tọa độ

Điểm M (3; 2): ta nói điểm M có tọa độ (3; 2), 3 gọi là hoành độ, 2 gọi làtung độ của điểm M

2.2/ Chú ý:

+ Tập hợp các điểm có hoành độ bằng 0 chính là trục tung

+ Tập hợp các điểm có tung độ bằng 0 chính là trục hoành

+ Tập hợp các điểm có hoành độ bằng a chính là đường thẳng song song vớitrục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a

+ Tập hợp các điểm có tung độ bằng b chính là đường thẳng song song vớitrục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

x = a

a o

y

x

y = b b

x y

o

3.1/ Đồ thị hàm số y =ax (a 0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

3.2/ Cách vẽ: Ta có thể chia hai trường của hệ số a để vẽ:

*Trường hợp 1:

Nếu a là số nguyên, cho giá trị x = 1 suy ra y = a 1 = a Do đó điểm M (1; a)thuộc đồ thị hàm số y = ax (a 0) Vậy đồ thị hàm số y = ax (a 0) là đường thẳngOM

y = -2x

m -2

2

y x

Ta có đồ thị như sau:

M 3

o

y

x 2

y = 2

3 x

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

*Bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận.

Bài 1: Một xe tải chạy từ A đến B mất 6 giờ trong khi đó một xe con chạy từ B đến

A chỉ mất có 3 giờ Nếu hai xe đó khởi hành cùng một lúc thì sau bao lâu gặpnhau ?

Gọi quóng đường xe tải đi đến chỗ gặp nhau là s2 (km) và vận tốc là v2 (km/h).

Vỡ cựng xuất phỏt một lỳc nờn thời gian hai xe đi đến chỗ gặp nhau là nhưnhau, do đú quóng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận

v  Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau: 11 22 11 22

1 2

Vậy thời gian cần tỡm là 2 giờ

*Chỳ ý:+ Khi giải bài toỏn cú lời giải, khỏc với cỏch giải toỏn ở tiểu học trong

dạng này đại lượng cần tỡm ta phải đặt nú trong mối liờn hệ với một đạilượng đó biết để tỡm hiểu xem chỳng là hai đại lượng cú quan hệ như thếnào? (Tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

+ Trong dạng toỏn chuyển động, ta chỳ ý ba đại lượng quảng đường (s),vận tốc (v) và thời gian (t), cụng thức liờn hệ v s

t

 Nếu chuyển động trờncựng một quóng đường (s khụng đổi) thỡ v, t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch;nếu cú cựng thời gian chuyển động (t khụng đổi) thỡ s và v là hai đại lượng

tỉ lệ thuận; nếu chuyển động cựng một vận tốc (v khụng đổi) thỡ s và t làhai đại lượng tỉ lệ thuận

+ Nếu đơn vị của ba đại lượng s, v và t chưa thống nhất thỡ ta phải tiếnhành đổi đơn vị cho thống nhất

Bài 2: Mức nước sinh hoạt của gia đỡnh bạn Thủy được thống kờ ở bảng sau:

Thời điểm Cuối thỏng

Biết tổng số tiền nớc nhà bạn Thủy phải trả trong quí III là 92000 đồng Tính

số tiền nớc phải trả trong tháng 7, 8, 9

Gọi số tiền nước mà nhà bạn Thủy phải trả trong thỏng 7, 8, 9 lần lượt là x,

y, z đồng (điều kiện 0 < x, y, z < 92000) Ta phải chia 92000 đồng thành ba phần tỉ lệ 16, 17, 13 Ta cú:

*Bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài 3: Hai ô tô khởi hành từ A đến B Vận tốc ô tô I là 50km/h, vận tốc ô tô II là

60km/h Ô tô I đến sau ô tô II là 36 phút Tính quãng đường AB

Hướng dẫn hoặc đáp số:

Đổi 36 phút 3

5

 giờ

Gọi thời gian xe ô tô I đi hết quãng đường AB là t1 giờ

Gọi thời gian xe ô tô II đi hết quãng đường AB là t2 giờ

Ta có 1 2

3 5

t  t  giờ Với cùng quãng đường AB thì vận tốc và thời gian làhai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, nên ta có:

2 1





giờ

Vậy quãng đường AB dài 50 3 =150 km

Bài 4: Một số A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5, 2, 4 Biết tổng lập

phương của ba số đó là 9512 Hãy tìm A?

Hướng dẫn hoặc đáp số:

Gọi ba phần là x, y, z, ta có:

1 1 1 : : : : 4 :10 : 5

b) Cho B(-2; -1) và C(5; 3), không cần biễu diễn B và C trên mặt phẳng tọa

độ Oxy, hãy cho biết A, B, C có thẳng hàng hay không?

b) Ta xét điểm B(-2; -1) và C(5; 3) có thuộc đồ thị hàm số 1

2

y x hay không

Bài 1: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy

từ B đến A với vận tốc 40km/h Khoảng cách AB dài 540 km và M là trungđiểm của đoạn AB Hỏi sau khi khởi hành Bo lâu thì ô tô cách M mộtkhoảng bằng 1

Cho nên t = 3 giờ là thời gian cần tìm

Bài 2: Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ

với 5 và 6, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8 và 9 Biết phần thứ ba lớnhơn phần thứ hai là 150 Tìm số M

z  kết hợp điều kiện z - y =150 Ta có kết quả: M = 3350

Bài 3: Hai cạnh của một tam giác là 25 cm và 36 cm Tổng độ dài hai đường cao

tương ứng là 48,8 cm Tính độ dài mỗi đường cao

Hướng dẫn hoặc đáp số:

Trong một tam giác thì cạnh của tam giác và độ dài đường cao tương ứngvới nó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

b 1

-1

y = x 2

x y

o 1

A

Kết quả: Đường cao tương ứng với cạnh 25 cm dài 28,8 cm và đường caotương ứng với cạnh 36 cm dài 20 cm

Bài 4: Để làm xong một công việc thì 21 công nhân làm trong 15 ngày Do cải tiến

công cụ lao động nên năng suất lao động của mỗi người tăng thêm 25% Hỏi

18 công nhân làm bao lâu mới xong công việc

Hướng dẫn hoặc đáp số:

*Nếu năng suất lao động như cũ:

Số công nhân Số ngày làm

Với cùng một công việc và năng suất lao động mỗi người không đổi thì sốcông nhân và số ngày làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, kết quả: x = 17,5ngày

*Giữ nguyên số công nhân là 18:

Năng suất lao động Số ngày làm

c) Lập luận f(x) = f(-x) = 4x2 - 5, với mọi x  

Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = -3x rồi xác định điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm sốbiết:

Chuyên đề 5 ÔN TẬP - KIỂM TRA

TIẾT 1:

A ÔN TẬP

I Đại số.

1 Câu hỏi khắc sâu lý thuyết.

Câu 1: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x)?

Câu 2: Nêu các phương pháp chứng minh một tỉ lệ thức?

Câu 3: Nêu tính chất của dãy tỉ số bằng nhau?

Câu 4: Khi giải bài toán liên quan đến các đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch ta có

Chọn: x = 0; y = 1 thay vào (*) suy ra b k

 có giá trị không phụ thuộc vào x và y

Trả lời: Điều ngược lại cũng đúng

Bài 4: Chu vi của một tam giác là 60 cm Các đường cao có độ dài 12cm, 15cm và

20cm Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác này

Hướng dẫn hoặc đáp số:

20cm 15cm

12cn x

y z

Ta có hình vẽ như trên

Gọi các cạnh tam giác tương ứng với các đường cao dài 12cm, 15cm và20cm lần lượt là x, y, z Điều kiện x, y, z < 60

Theo bài ra: x + y + z = 60cm

Ta có trong một tam giác thì độ dài mỗi cạnh và đường cao tương ứng là haiđại lượng tỉ lệ nghịch, cho nên: : : 1 : 1 : 1 5 : 4 : 3

1 Câu hỏi khắc sâu lý thuyết.

Câu 1: Thế nào là hai tam giác bằng nhau ?

Câu 2: Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ?

Câu 3: Nêu phương pháp chứng minh hai đường thẳng song, hai đoạn thẳng bằng

nhau, hai góc bằng nhau mà các em thường gặp ?

*GV nêu lần lượt các câu hỏi cho HS trả lời và thảo luận, GV thống nhất và đưa racác chú ý

2 Bài tập rèn luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC Từ điểm M

trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy lầnlượt tại D và E Chứng minh rằng:

c m

a) Theo tính chất đoạn thẳng chắn ta có AB = DM; AC = ME; AD = BM;

AE = MC Do đó ED = BC suy ra ABCMDE (c - c - c)

b) Gọi O là giao điểm của AM và BD

Ta có AODMOB(g - c - g) suy ra OD = OB và  

1 1

D B Suy ra DOEBOC(c - g - c) suy ra DOE BOC

Vậy ba dường thẳng AM, BD, CCE cùng đi qua một điểm

Bài 2: Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A’B’; AC = A’C’; hai góc A và

A’ bù nhau Vẽ đường trung tuyến AM rồi kéo dài một đoạn MD = MA.Chứng minh rằng:

Suy ra BAC ABC   180 0, theo bài ra: BAC A   ' 180  0 nên ABD  'A

Bài 3: Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe

chạy với vận tốc 54 km/h thì đến sớm được 1 giờ Nếu xe chạy với vận tốc

63 km/h thì đến sớm được 2 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự địnhđi

Bài 5: Cho tam giác OAB Trên tia đối của tia OA lấy điểm C sao cho OC = OA,

Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của các đoạn AB và CD Chứng minh:

a) DC // AB;

b) O trung điểm của MN

II Đáp án và biểu điểm.

1,01,0

Bài 3:

(2,0 đ) Gọi t1 là thời gian đi từ A đến B với vận tốc 54 km/h

Gọi t2 là thời gian đi từ A đến B với vận tốc 63 km/h

Theo bài ra t1 - t2 = 1 giờ

Vỡ cựng quóng đường AB nờn thời gian và vận tốc là hai đạilượng tỉ lệ nghịch

Vậy quãng đờng AB dài 7 54 = 348 km;

Thời gian dự định t1 + 1 = 7 + 1 = 8 giờ

0,250,250,50,250,250,250,25

-1

a

y = 1 2

0,250,25

0,5

0,25

Bài 5:

(3,0 đ) *Vẽ hình đúng và ghi đủ GT, KL:

Hình vẽ

b m

d

c n

b) O trung điểm của MN

Theo chứng minh trên OABOCD suy ra DC = AB

Chuyên đề 6: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ BÉ NHẤT

f D x

D x M x f

) ( : , ) (

0 0

f D x

D x m x f

) ( : , ) (

0 0

+ A 0 Dấu “=” xãy ra khi A = 0

+ x  y  x + y Dấu “=” xãy ra khi xy0

+ x  y  x - y Dấu “=” xãy ra khi x = y

3) Phương pháp luỹ thừa bậc chẵn

Ta có F(x)  2n 0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n N

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho:+ y = M - g(x) 2n , n Z+  y M

0 với mọi k Z+, dấu “=” xãy ra  A = 0

+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm

Với a,b 0, ta có a 2b  ab Dấu “=” xãy ra  a=b

(hoặc a2 + b2  2ab)

+ Bất đẳng thức Bunhiacốpski

Với các số a, b, c, d ta có: (ac + bd)2

 (a2 + b2)(c2 + d2)Dấu “=” xãy ra  ad – bc = 0

5) Dựa vào tập giá trị của hàm số

 4x 3 +5y 7 , 5  0 với x, y  C 17,5 với x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi 4x 3 = 0 và 5y 7 , 5 = 0

a) Vì 2x 1 , 5  0 với x nên D = 5,5 - 2x 1 , 5  5,5 với x

Vậy giá trị lớn nhất của D là 5,5 khi 2x 1 , 5 = 0 hay x = 0,75

Vì 5x 2 + 3y 12  0 với x,y nên F  4 với x,y

Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi 5x 2 + 3y 12 = 0  

0 2 5

y x

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x – 2002 và 2001 – x cùng dấu nhĩa là

2001  x 2002

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A= (x-3)2 + (y-1)2 + 5

1 (

0 )

3 (

2 2

y x

 



 1 3

y x

b) Ta có x 3  0 với x; x2  0 với x; y2  0 với y

2

y x

y

x

 không tồn tại x thoả mãn đồng thời hai giá trị

Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất

(

0 100

2

y x x

B = 10 - 3 x 5 đạt giá trị lớn nhấtc) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2

b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi và chỉ khi x = 5

c) Giá trị lớn nhất của C là -15 khi và chỉ khi x = 2; y = -3

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

0 ) 1 (

2 2

x y x

 





 3 2

y x

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y = 6  x+ x 2

Giải

x

x

Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất Xác định giá trị đó

z z

y x

y y x

Ta đã có   2

x

y y

z z

y

(1)(1)  xy + z2 – yz  xz (nhân hai vế với số dương xz)

 y(x – z) – z(x – z)  0

 (x – z)(y – z)  0 (2)

(2) đúng với giả thiết x  y  z > 0, do đó (1) đúng.

Từ đó ta có x y z y x z  3 Do đó min (x y z y x z ) bằng 3 khi x = y = zVậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = y = z

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

14

có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó?

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 5 – 3(2x – 1)2; B = 2(x11)2 3; C =

2

8

2 2





x x

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

A =

1

1

2 2

x x

Hướng dẫn

Bài 1: Tương tự bài 4a

Bài 2: a) A đạt giá trị lớn nhất là 100 khi y = 6;

b) B đạt giá trị lớn nhất là - 125 khi x = 4, y = 5

Bài 3: D = 1 + x

 4

10

 Dmax  4 – x đạt giá trị nguyên nhỏ nhấtBài 4: max A = 5; max B = 31; max C = 4

Bài 5: Max A = 3 khi và chỉ khi x = -1

Min A = 13 khi và chỉ khi x = 1

2 8

5

4

5 3

4 5 4

5 4

3

2 2

3 3

50 4 , 0 2 3

5 , 1

+ 41 +

10 2 , 2 1

46 6

25 , 0

1 2

1 1

2 8

5

4

5 3

4 5 4

5 4

3

2 2

3 3

4 64

25 12

5 64

125 64 27

= 1128

32 ( 11 )

7

1 11 7 11 7

1 10

1 : 5

Vậy phương trình (2) có nghiệm là x = 3,5 ; 43

Giải

Vì P(x) 5 với x Z, nên:

P(0) = d 5

Bài 5: Các số nguyên p, q phải thoả mãn điều kiện gì để:

a) Đa thức P(x) = x2 + px + q có giá trị là số chẳn (hoặc số lẽ) với mọi x Z;b) Đa thức Q(x) = x3 + px + q có giá trị là bội của 3 với mọi x Z;

Vậy với q chẳn và p lẽ thì đa thức P(x) = x2 + px + q có giá trị là số chẳn với mọi x Z;

Lập luận tương tự ta có P(x) = x2 + px + q lẽ khi q lẽ và p lẽ

b) Vì đa thức Q(x) = x3 + px + q có giá trị là bội của 3 với mọi x thuộc Z nên tacó:

Vậy với q có dạng 3k (k Z) và p có dạng 3t – 1 (k Z) thì đa thức Q(x) = x3 +

px + q có giá trị là bội của 3 với mọi x thuộc Z

Bài 6: Chứng tỏ rằng nếu đa thức ax3 + bx2 + cx + d có giá trị nguyên với mọi x 

Z thì 6a, 2b, a + b + c và d đều là các số nguyên

Điều ngược lại có đúng không?

Vậy 6a, 2b, a + b + c , d là các số nguyên

Điều ngược lại cũng đúng Thật vậy:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = ax3 – ax + bx2 – bx + ax + bx + cx + d