CÁC CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

82 2.8K 9
CÁC CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CÁC CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1 : Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) ( 1) 2 n n  d) 1+n 2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) ( 3) 2 n n  h) ( 1)( 2) 2 n n   i)   ( 1)( 2) 3 n n n Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3 : Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4 : Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5 : Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 2 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7 : Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9 : Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 1 0: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +(n-1) 2 +n 2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 12: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 13: Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Bài 14: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 )+2(1+3+5+ +97+99) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4 Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 )+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 1 3 +2 3 +3 3 + +99 3 +100 3 Hướng dẫn: A = 1 2 (1+0)+2 2 (1+1)+3 2 (2+1)+ +99 2 (98+1)+100 2 (99+1) A = (1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 +99.100 2 )+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) Bài 18: Tính: A = 2 3 +4 3 +6 3 + +98 3 +100 3 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 1 3 +3 3 +5 3 + +97 3 +99 3 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + +99 3 -100 3 Hướng dẫn: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 5 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số d c b a  (hoặc a : b = c : d). Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu d c b a  thì bcad  Tính chất 2: Nếu bcad  và a, b, c, d 0  thì ta có các tỉ lệ thức sau: d c b a  , d b c a  , a c b d  , a b c d  Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ d c b a  suy ra: d b ca d b ca d c b a       -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: f e d c b a  suy ra:          fdb cba fdb cba f e d c b a (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). * Chú ý: Khi có dãy tỉ số 5 3 2 cba  ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 6 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 3 2 yx  và 20   yx Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt k yx  3 2 , suy ra: kx 2  , ky 3  Theo giả thiết: 4205203220          kkkkyx Do đó: 84.2   x 124.3   y KL: 12,8   yx Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4 5 20 3 2 3 2     yxyx Do đó: 84 2  x x 124 3  y y KL: 12,8   yx Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết 3 2 3 2 y x yx  mà 1260520 3 2 20  yyy y yx Do đó: 8 3 12.2 x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 7 KL: 12,8   yx Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: 4 3 yx  , 5 3 zy  và 632    zyx Giải: Từ giả thiết: 12 9 4 3 yxyx  (1) 20 12 5 3 zyzy  (2) Từ (1) và (2) suy ra: 20 12 9 zyx  (*) Ta có: 3 2 6 20 36 18 32 20 36 3 18 2 20 12 9      zyxzyxzyx Do đó: 273 9  x x 363 12  y y 603 20  z z KL: 60,36,27    zyx Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k zyx  20 12 9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: 5 3 5 3 z y zy  20 9 4 5 3 .3 4 3 4 3 z z y x yx  mà 6060 10 6 5 3 .3 20 9 .2632  z z z zz zyx Suy ra: 36 5 60.3 y , 27 20 60.9 x KL: 60,36,27    zyx Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 8 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 5 2 yx  và 40.  yx Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt k yx  5 2 , suy ra kx 2  , ky 5  Theo giả thiết: 244010405.240. 22  kkkkkyx + Với 2  k ta có: 42.2   x 102.5   y + Với 2   k ta có: 4)2.(2     x 10)2.(5     y KL: 10,4   yx hoặc 10,4     yx Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0  Nhân cả hai vế của 5 2 yx  với x ta được: 8 5 40 5 2 2  xyx 4 16 2   x x + Với 4  x ta có 10 2 5.4 5 2 4  y y + Với 4   x ta có 10 2 5.4 5 2 4     y y KL: 10,4   yx hoặc 10,4     yx Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 21 6 10 zyx  và 2825    zyx b) 4 3 yx  , 7 5 zy  và 12432    zyx c) 5 4 4 3 3 2 zyx  và 49    zyx d) 3 2 yx  và 54  xy Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 9 e) 3 5 yx  và 4 22  yx f) zyx yx z xz y zy x       211 Bài 2 : Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 21 6 10 zyx  và 2825    zyx b) 4 3 yx  , 7 5 zy  và 12432    zyx c) 5 4 4 3 3 2 zyx  và 49    zyx d) 3 2 yx  và 54  xy e) 3 5 yx  và 4 22  yx f) zyx yx z xz y zy x       211 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) zyyx 57,23   và 32    zyx b) 4 3 3 2 2 1      zyx và 5032    zyx c) zyx 532   và 95    zyx d) 5 3 2 zyx  và 810  xyz e) zyxz yx y xz x zy           1321 f) yx 610  và 282 22  yx Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) zyyx 57,23   và 32    zyx b) 4 3 3 2 2 1      zyx và 5032    zyx c) zyx 532   và 95    zyx d) 5 3 2 zyx  và 810  xyz e) zyxz yx y xz x zy           1321 f) yx 610  và 282 22  yx Bài 5 : Tìm x, y biết rằng: x yyy 6 61 24 41 18 21      Bài 6: Tìm x, y biết rằng: x yyy 6 61 24 41 18 21      Bài 7: Cho 0     dcba và c b a d d b a c d c a b d c b a        Tìm giá trị của: c b ad b a dc d a cb d c ba A             Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 10 Giải: 1 3( ) 3 a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d                    ( Vì 0     dcba ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8 : Tìm các số x; y; z biết rằng: a) x 7 y 3  và 5x – 2y = 87; b) x y 19 21  và 2x – y = 34; b) 3 3 3 x y z 8 64 216   và x 2 + y 2 + z 2 = 14. c) 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 7 6x       Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z 2 – 3x 2 – 2y 2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11 . Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai . Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c , , b c c a a b    . Biết a+b+c 0  .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 13 . Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:         0)1(22.2 22  abababdccdabab thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. Giải:     2 2 2 . 2 2( 1) 0 ab ab cd c d ab ab ab               => ab(ab-2cd)+c 2 d 2 =0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a 2 b 2 +1>0 với mọi a,b) =>a 2 b 2 -2abcd+ c 2 d 2 =0 =>(ab-cd) 2 =0 =>ab=cd =>đpcm Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. [...]... http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Bài 7. 2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 y3  0 4 7 x  20 07  y  2008  0 a) 5  x  b) Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 1 3 11 23   x  1,5   y 0 3 2 4 17 13 c) * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B  0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: A  B  0 (1) A  0   A  B 0 B  0  (2) A  0 B  0 Từ (1) và (2)  A  B  0   Bài 7. 3: Tìm x, y thoả mãn:... cd  c d 2 a c  b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 13 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề a) 3a  5b 3c  5d  3a  5b 3c  5d d) ab a  b   cd c  d 2 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 g) 2 c) ab cd  ab cd i) 7 a 2  3ab 7c 2  3cd  11a 2  8b 2 11c 2  8d 2 ab a b... a) A  1 ,7  3,4  x b) B  x  2,8  3,5 d) D  3x  8,4  14,2 e) E  4 x  3  5 y  7, 5  17, 5 29 d) D  2x 3 a) A  0,5  x  3,5 n) N  2  12 3x 5  4 c) C  3 ,7  4,3  x f) F  2,5  x  5,8 3 x 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề g) G  4,9  x  2,8 k) K  2 3x  1  4 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 3  5 7 l) L ... * Cách giải : A( x).B( x )  A( y ) Đánh giá: A( y)  0  A( x).B( x)  0  n  x  m tìm được giá trị của x Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x  2 x  3  0 b) 2 x  12 x  5  0 27 c) 3  2 x x  2  0 d) 3x  15  2 x   0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 4.2: Tìm các. .. Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề a) 5 x  4  x  2 b) 2 x  3  3x  2  0 a) 5 x  4  x  2 * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 1 x= 3 1 Vậy x= 1,5; x= 3 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c) 2  3x  4 x  3 d) 7 x  1  5 x  6  0 Bài 2.2: Tìm x, biết: a) 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 x   4 x  1 b) x   x   0 c) x   x  d) x  ... 3x  7  3 2  x  13 f) x  2  x  7  4 + + 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 x  1   2 5 1 4 * |2x-1| + = 2 5 4 1 |2x-1| = 5 2 3 |2x-1| = 10 25 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề 3 2x-1= 10    Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2x = 3 + 1 10 x=  * |2x-1| + |2x-1| 7 20... evaluation only Các chuyên đề c) x  2  x  Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 1  x   4x 5 2 d) x  1,1  x  1,2  x  1,3  x  1,4  5 x Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100  x  x   x   101x 101 101 101 101 1 1 1 1 b) x   x  x   x   100 x 1.2 2 3 3.4 99.100 1 1 1 1  x  x   x   50 x c) x  1.3 3 5 5 .7 97. 99 1 1 1 1 d) x   x  x   x   101x 1.5 5.9 9.13 3 97. 401 a) x  6 Dạng... 20 07  y  32008  0 Bài 7. 6: Tìm x, y thoả mãn : a) x  12   y  32  0 c) 3 x  2 y 2004  4 y  1 0 2 5 b) 2x  54  5 2 y  7  0 d) x  3 y  1   2 y  1    2000 2  0 Bài 7. 7: Tìm x, y thoả mãn: 7 a) x  20 07  y  2008  0 c) 13 1  x  24 2 2006  20 07 4 6 y 0 2008 5 25 b) 5 3 x  y  10 y  2 0 3 d) 20 07 2 x  y 2008  2008 y  4 20 07  0 8 Dạng 8: A  B  A  B * Cách... Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Hướng dẫn: Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a) A  9  99  999   999 9  50 ch÷ sè b) B  9  99  999   999 9  200 ch ÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 1-Kiến thức cơ bản: x  x  0 x   x  x  0 36 ...  Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb  0 và zc  td  0 b d Chứng minh rằng: xa  yb xc  yd  za  tb zc  td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2  ac Chứng minh rằng: a3  b3  c3 a  b3  c3  d 3 d 16 ; c 2  bd và b 3  c 3  d 3  0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 Bài 27: . evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 6 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 5 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG

Ngày đăng: 16/03/2014, 17:01

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan