CÁC CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

CÁC CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG TOÁN 7

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

 ,

a

c b

d

 ,

a

b c

d



Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ

d

c b

a

 suy ra:

d b

c a d b

c a d

c b

c b a f d b

c b a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

3 2

y x

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3

2

y x y x

2





x

KL: x 8 , y 12

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:

4 3

y x

 ,

5 3

z y

 và 2x 3yz 6

Giải:

Từ giả thiết:

12 9 4 3

y x y x

z y z y

z y x

3 2 20 36

3 18

2 20 12

9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

3

z y z y

3 3 4

3 4

3

z

z y

x y x

3 3 20

9 2 6 3

2x yz  z zz  z  z

5

60 3





x

KL: x 27 , y 36 ,z 60

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:

5 2

y x

y x

5

40 5 2

2

5 4 5

y x

 ,

7 5

z y

 và 2x 3yz 124

c)

5

4 4

y x

 và xy 54

z x

z

y z

y x

 ,

7 5

z y

 và 2x 3yz 124

c)

5

4 4

y x

z x

z

y z

2 2

z y x



 và xyz 810

e)

z y x z

y x y

x z x

2 2

z y x



 và xyz 810

e)

z y x z

y x y

x z x

y

6

6 1 24

4 1 18

y

6

6 1 24

4 1 18

d d

b a

c d

c a

b d

c b

a d b a

d c d a

c b d c

b a A

Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b  c c  a a  b Biết a+b+c 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

c b

a d

a

 .Chứng minh rằng:

d c

d c b a

b a

d c b a

b a

1 (

) 1 (

b

k b b kb

b kb b

a

b

a

(1)

1

1 )

1 (

) 1 (

d

k d d kd

d kd d

d c b a

b a

a d

c b

b a d c

b a d

d c

a

 Chứng minh rằng: 2 2

2 2

d c

b a cd

 2 2

2 2

d c

b a cd

a



 , suy ra abk ,cdk

Ta có: 2

2 2 2

.

.

d

b kd

kb d dk

b bk

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

d c

b a cd

d c

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

d c

b a cd

d c b

a

b

a

5 3

5 3

d c

b a d c

b a

d c

b a cd

d c b

a

b

a

4 3

5 2

d c

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005

bd b ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2 2 2

a



Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

a)

d c

d c b

a

b

a

5 3

5 3

d c

b a d c

b a

d c b a

b a

d c b a

b a

4 3

5 2 4 3

5 2

bd b ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2 2 2

b b

c b a

b b

c b a

2003

c b

2 0 0 8

1 2 3 2 0 0 8 1

2 2

1

a

a a

a a

a a

2003

c b

(

4 ab bc  ca

Bài 9: Chứng minh rằng nếu :

d

b b

a

 thì

d

a d b

b a





 2 2

2 2

Bài 10: Cho

1 9 9 8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

a c b a

b a

Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu :

d

b b

a

 thì

d

a d b

b a





 2 2

2 2

Bài 13: Cho

d c

d c b a

b a

b a





 2 2

2 2

b a b a cd

ab d c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

u

thì

3 2

v u



Bài 16: CMR: Nếu a 2 bc thì

a c

a c b a

b a

y x a c b

x z c b a

z y

d c b a

b a



Bài 19: Cho

d

c b

a

 Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb 0 và zc  td  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa

u

thì

3 2

v u

c b a

3 3 3

Bài 22: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì

:

) ( ) ( )

y x a c b

x z c b

a

z y

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết : a' b' 1;b' c' 1

a  b  b  c  CMR: abc + a’b’c’ = 0

Bài 25: Cho

d

c b

a

 Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa  yb 0 và zc  td  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa

c b a

3 3 3

Bài 27: Cho

1 1 2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nếu x-a  0=> |x-a = a-x |

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai

số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau

b a b

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai

số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a  b  ab và a  b  ab a b 0

2 Các dạng toán :

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: A(x) k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

k x A k x A

) (

) ( )

(

Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) 2x 5  4 b)

4

1 2 4

5 3

1 2

1 2

3

4

7 4

3 5

4 2

5 2

1 4

3 5 ,

1 4 : 2

3 4

3 : 5 , 2 4

b a b

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x A

Bài 2.1: Tìm x, biết:

a) 5x 4  x 2 b) 2x 3  3x 2  0 c) 2  3x  4x 3 d) 7x 1  5x 6  0a) 5x 4  x 2

5 2

7 4

4 3

2 5

5 8

3 Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) ( ) ( )

( ) (

x B x A

x B x A x

B x

A ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a 0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x)  B(x) (1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở

vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

Giải Xét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét) Xét khoảng 1  x  3 ta có:

Xét khoảng x > 3 ta có: (1)  (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1

 - 4 = -1 ( Vô lí)

Kết luận: Vậy x = 3

2 VD2 : Tìm x

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

c) x x x 4x

2

1 5

101

3 101

2 101

1

4 3

1 3

2

1 2

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

3 1 2

3 2 2

3 2 2

11 5 , 1 4

3 2

1 3

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) xy 2  2y 1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) xy 7  xy 10  0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không

âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương

2

1 2 1 3

7 5

4 2008

2007 2

a) x5  3x 8 b) x2 x5 3 c) 3x 5  3x 1  6

d) 2x 3  2x 5  11 e) x 1  2x 3  3x 2 f) x 3  5 x  2x 4  2

Bài 8.2: Tìm x, biết:

a) x 4  x 6  2 b) x 1  x 5  4 c) 3x 7  3 2 x  13d) 5x 1  3  2x  4  3x e) x 2  3x 1  x 1  3 f) x 2  x 7  4

1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối

5 -

1

2 |2x-1 = | 3

10

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

m

B

A   (1)

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0  B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) x 2007  x 2008  0 b) xy 2  y 3  0 c) x y2  2y 1  0

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

B

A

(2)

Từ (1) và (2)  0  A B m từ đó giải bài toán A B k như dạng 1 với 0 k  m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

Đánh giá: A(y)  0 A(x).B(x)  0 nxm tìm được giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) x 2x 3 0 b) 2x 12x 5 0 c) 3  2xx 2 0 d) 3x 15  2x 0

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

m A B A

Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

2 3

12 1

c)

2 6 2

10 5

6 3

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a)

 5 2 2

8 1

2 2

16 1

x x

c)

 3 2

12 5

2 4

10 5

1 2

x

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

c)

2 2008

6 3

30 5

x

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x 4 , 1

a)

5

4 5

3 7

3 7

1 5

1 7

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A 0 , 5  x 3 , 5 b) B  1 , 4 x  2 c)

5 4

2 3

3 2

e) E 5 , 5  2x 1 , 5 f) F   10 , 2  3x  14 g) G 4  5x 2  3y 12h)

8 , 5 5

,

2

8 ,

12 2

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A 1 , 7  3 , 4 x b) B  x 2 , 8  3 , 5 c) C 3 , 7  4 , 3 x

d) D  x3  8 , 4  14 , 2 e) E  4x 3  5y 7 , 5  17 , 5 f) F  2 , 5 x  5 , 8

g) G 4 , 9 x  2 , 8 h)

7

3 5

4

15 5

21 3

20 5

C

d)

6 1 2 3 2 2

24 6

 3  5 5 14

21 3

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a)

4 5

7

11 5

13 7 2

32 1 15

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

24 7 5

4

8 5

14 5

28 12

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a)

5 6 4

3

33 6 4

14 5 6

68 7 15

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ?

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho A 1  7  13  19  25  31 

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

) 12 ( ) 7 ( )

3 3

3 3

Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3

b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với

A 4  2 3  2 4  2 5   2 2003  2 2004

Hướng dẫn:

Bài 11:

a) Cho 2 3 60

2

2 2



A

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

1 (

2

10

1 6

1 3

Hướng dẫn:

Bài 19:

a) Tính: 2 2 2 2

1.33.55.7 99.101

b) Cho *

) 3 (

3 10

7

3 7 4

3 4 1

3

N n n

1 154

1 88

1 40

1 10

2

15

1 10

1 6

1 3

1

4 3 2

1 3 2 1

2

1 2

1 2

1 3 97

1

95 5

1 97 3

1 99 1 1

99

1 97

1

5

1 3

1 1

3

97 2

98 1 99

100

1

4

1 3

1 2 1

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

4

1 3

1 2

198

197

3 198

2 199

; 24

1 1

; 15

1 1

1 18 17

1

6 5

1 4 3

1 2

1

13

1 12

1 11

1

12 2

1 11 1

1 110

10

1

102 2

1 101

x x

x

x x x x

x  0 ;  ;  

y x y

x

y x y

3 2

1

1

7 4

1 4 1

4

1 1

4

1 1 3

1 1 2

4 3

49

2 1 ( 2 2  2 x  

* Dạng 2: Tìm x biết

1)

5

3 3

1 1 5

3 2 3

1

2 x  9) ( 2x 5 )2  9 10) x2  4 11)

4

1 ) 7 3 (  x 2 

5 2 2

1 ( ) 1 (x 2 y 2 z 2 5) 1  2x  2  3y  3  4y  0 6) x 1  (x 1 )(x 1 )  0

*Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5 Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất:

Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân

0,(12)

Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị

a)

75 , 6

25 , 2 ).

19 , 8 81 , 11



A b)

31 , 2 125 , 0 4

4 ).

25 , 6 : 5 6 , 4 (

) 6 ( 1 , 0 ) 3 ( , 0 5 , 0

) 3 ( , 0 ) 6 ( 1 , 0

3 ( 0 , 0

13

3 ) 384615 (

, 0 ) 3 ( , 0





c) 0 , ( 37 )  0 , ( 62 )x 10 d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)

e) x:0,(3)=0,(12)

Bài toán 9:

6 ) 2 )(

1 (

5 2

3 2

3

N m m

m m

m m m

b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

Bài toán 11: Tìm x biết

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;  2

Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài toán 16: thực hiện phép tính

5 : 7

1 2 : 7 : 25 , 5 4 , 2 : 2 2

2 2

2 2

2 7

4 2 64

7 7

1 49

1 49

1 1

2 2

25 21

2

5 196

5 1

7 7

6 8 3

1 12 : 4

49 3

2 8 225 : 3

1/ GTTĐ của một số thì không âm / x /  x

2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x

3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / /x / /y/

Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y//x/ - /y/

a x

Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?

Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/

b/ a  0, b  0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn

đúng.Vậy : a  0, b  0 thỏa mãn bài toán

c/ C = x2

+ 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 <=> x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 <=> x  0

Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức :

e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 <=> x = 1/2

f/ F =

3 / 2 /

x

2 lớn nhất <=> x nhỏ nhất tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 <=> x= 3

BÀI 14: Tìm x sao cho :

II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC

HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1/Phương pháp chung :

Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối

(giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc

khoảng đang xét) khoảng đang xét)

* Xét khoảng x <2 Ta được -2x = 4 <=> x= -2 (loại)

 Xét khoảng-2 x 5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét Vậy -2 x 5

 Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = 5 ( loại)

Kết luận: -2 x 5

c/ x 3  2x x 4

x -3 4

x+3 - 0 + / +

x- 4 - / - 0 +

*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 <=> x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)

*Xét khoảng -3 x 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn

* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét Kết luận : vậy x = -3,55

 Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5

Ta có các giá trị : 3<x<5 (4)

Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5

2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt Trong những dạng nầy;

để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải

5 3

4 5

12

; 2 7 5 3

4 5

x

x x

2

) 1 ( / ( 4 5

2 1

5 2 1

khongtmdk x

mdk t x x

x

x x

) 1 ( ( 1 5

3 7 9

3 5 7 9

tmdk x

tmdk x

x x

x x