C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC.
PHẦN HèNH HỌC
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC.
PHẦN I: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC, CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC:
I-HAI GểC ĐỐI ĐỈNH, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC:
1-Kiến thức cơ bản:
a. Hai gúc đối đỉnh:
b. Hai đường thẳng vuụng gúc
2-Vớ dụ:
Vĩ dụ 1: Cho hai đường thẳng x,y và xy, cắt nhau tại O (Hỡnh 1) biết ∠xOx’ = 600 a. Tớnh cỏc gúc ∠xOy; ∠yOy,; ∠x,oy,
b. Vẽ tia phõn giỏc Om của ∠xOx’ và tia phõn giỏc On của ∠ yOy’. Hai tia Om và On cú phải là hai tia đối nhau khụng ?
x’ y’ m n x y (Hỡnh 1) Giải:
a. Vỡ ∠xOx’ và ∠ yOy’ là hai gúc đối đỉnh mà ∠xOx’ = 600 nờn ∠yOy’ = 600 (H1) ∠ xOx’ và ∠ x’Oy’ là hai gúc kề bự nờn ∠xOx’ + ∠x’Oy’ =1800 do đú ∠x’Oy’ = 1800 - 600 = 1200. ∠x’Oy’ là gúc đối đỉnh với gúc
∠xOy nờn ∠x’Oy’ = ∠xOy = 1200.
b. Om; On thứ tự là cỏc tia phõn giỏc của hai gúc ∠xOx’ và ∠yOy’ nờn
∠xOm = ∠mOx’ = 1/2∠xOx’và ∠nOy = ∠nOy’ = 1/2∠yOy’ mà ∠xOx’ = ∠yOy’ do đú ∠xOm = ∠mOx’ = ∠nOy = ∠nOy’ = 1/2∠yOy, ta cú
∠nOm = ∠nOy’ + ∠y’Ox’ + ∠x’Om = ∠yOx + ∠xOm + ∠mOx’ =
∠yOx + ∠xOx’ = 1800. Gúc ∠mOn là gúc bẹt vỡ vậy hai tia Om; On là hai tia đối nhau.
Vớ dụ 2: Cho gúc tự AOB. Trong gúc này vẽ hai tia OC và OD lần lượt vuụng gúc
với OA và OB.
a.So sỏnh ∠AOD và ∠BOC
b.Vẽ tia OM là tia phõn giỏc của gúc ∠COD. Tia OM cú phải là tia phõn giỏc của gúc ∠AOB khụng ?
A D M
C B Hỡnh 2
Giải:
a. OD và OC lần lượt vuụng gúc với OB và OA mà ∠BOD = ∠AOC = 900
Ta cú ∠DOC + ∠AOD = ∠AOC = 900 (1) ∠COD + ∠BOC = ∠BOD = 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠AOD = ∠BOC
b. ∠AOM = ∠AOD + ∠DOM (3); ∠BOM = ∠BOC + ∠COM (4) vỡ OM là tia phõn giỏc của ∠COD nờn ∠MOD = ∠MOC cũn ∠DOA = ∠BOC (theo cõu a). Vỡ vậy từ (3) và (4) suy ra ∠MOA = ∠MOB mà OM nằm trong ∠AOB do đú OM là tia phõn giỏc ∠AOB
II-CÁC GểC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG: 1-Kiến thức cơ bản:
a.Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong cỏc gúc tạo thành cú một cặp gúc so le trong bằng nhau thỡ....
+ Hai gúc so le trong cũn lại bằng nhau +Hai gúc đồng vị bằng nhau
b.Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khụng cú điểm chung: +Hai đường thẳng phõn biệt thỡ họăc cắt nhau hoặc song song
+Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong cỏc gúc tạo thành cú một cặp gúc so le trong bằng nhau(hoặc một cặp gúc đồng vị bằng nhau) thỡ a và b song song với nhau, kớ hiệu a // b
2-Vớ dụ: x (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vĩ dụ 1: Cho ∠xMy = 400. Trờn tia đối của tia Mx A lấy điểm N kẻ Nz sao cho tia My nằm trong gúc xNz.
a.Tớnh ∠xNz để Nz // My
b.Kẻ MA, NB lần lượt là tia phõn giỏc của M y cỏc gúc xMy và xNz. Chứng tỏ rằng MA // NB B N z Hỡnh 3 Giải:
a. Hai gúc ∠xNz và ∠xMy là hai gúc đồng vị. Nếu ∠xNz = 400 thỡ ∠xMy =
b. MA, NB lần lượt là tia phõn giỏc của ∠xMy và ∠xNz nờn ∠xMA = 1/2∠xMy = 200; ∠xNB = 1/2∠xNz = 200. Suy ra ∠xMA = ∠xNB hai gúc này ở vị trớ đồng vị của hai đường thẳng MA và NB cắt Nx do đú MA//NB. III-TIấN ĐỀ ƠCLIT VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TỪ VUễNG GểC ĐẾN SONG SONG.
1.Kiến thức cơ bản:
a.Tiờn đề ơclit về đường thẳng song song b. Từ vuụng gúc đến song song
2.Vớ dụ: Cho tam giỏc ABC. Trờn nữa mặt phẳng bờ AC khụng chứa điểm B, vẽ
tia Ax sao cho ∠CAx = ∠ACB, trờn nữa mặt phẳng bờ AB khụng chứa điểm C vẽ tia Ay sao cho ∠BAy = ∠ABC.
a.Chứng minh hai tia Ax và Ay nằm trờn một đường thẳng
b.Qua C kẻ đường thẳng d vuụng gúc với BC. Đường thẳng d cú vuụng gúc với đường thẳng xy khụng ? Vỡ sao ? Giải: d y A I x B C Hỡnh 4
a. ∠xAC và ∠ACB là hai gúc ở vị trớ so le trong mà ∠xAC = ∠ACB nờn Ax//BC.
Hai gúc ∠yAB và ∠ABC là hia gúc ở vị trớ so le trong mà ∠yAB = ∠ABC nờn Ay//BC
Theo tiờn đề ơclit, qua điểm A chỉ cú một đường thẳng song song với BC nờn đường thẳng chứa cỏc tia Ax; Ay trựng nhau do đú hai tia Ax và Ay nằm trờn cựng một đường thẳng.
b. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng xy. Vỡ xy//BC nờn
∠xIC = ∠BCI (hai gúc so le trong) do đú đường thẳng d vuụng gúc với đường thẳng BC tại C nờn ∠BCI = 900 suy ra ∠xIC = 900 chứng tỏ d ⊥ xy. IV-CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC:
1-Kiến thức cơ bản:
a.Trường hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh. b.Trường hợp 2: Cạnh - gúc - cạnh. c.Trường hợp 3: Gúc - cạnh - gúc.
d.Trường hợp đặc biệt: Tam giỏc vuụng.
2-Cỏc vớ dụ:
Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC cú AB = AC. Gọi D là một điểm nằm trong tam giỏc
sao cho DB = DC; E là trung điểm của BC. Chứng minh: a)AD là tia phõn giỏc của gúc BAC.
c)DE là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Giải: A D B E C Hỡnh 5
a.Hai tam giỏc ∆ADB và ∆ADC ú AB = AC (gt) AD chung. DB = DC (gt). Vậy ∆ADB = ∆ADC (C.C.C) suy ra ∠DAB = ∠DAC do đú AD là tia phõn giỏc của ∠BAC.
b.Hai tam giỏc ∆AEB và ∆AEC cú AB = AC (gt) cú AE chung; EB = EC (gt). Vậy ∆AEB = ∆AEC (C.C.C) suy ra ∠EAB = ∠EAC do đú AE là tia phõn giỏc của ∠BAC vỡ AD, AE là tia phõn giỏc của ∠BAC nờn AD, AE trựng nhau hay 3 điểm A, D, E thẳng hàng.
c.Theo cõu b thỡ ∆AEB = ∆AEC (C.C.C) nờn ∠AEB = ∠AEC mà ∠AEB +
∠AEC = 1800 nờn ∠AEB = ∠AEC = 900. Suy ra AE ⊥ BC.
Mặt khỏc 3 điểm A, D, E thẳng hàng nờn DE ⊥ BC ta cú E trung điểm của BC. Vậy DE là đường trung trực của BC.
Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC cú ∠B <900. Trờn nữa mặt phẳng cú chứa A bờ BC, vẽ tia By vuụng gúc với BC, trờn tia đú lấy điểm D sao cho BD = BC. Trờn nữa mặt phẳng cú chứa C bờ AB, vẽ tia Bx vuụng gúc với BA. Trờn tia đú lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh rằng: y
a.DA = EC D b.DA ⊥ EC A H B / C K E x Giải: a.∆ABD và ∆EBC cú AB = BE (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∠ABD = ∠EBC (cựng bằng 900 - ∠ABC), BD = BC do đú ∆ABD = ∆EBC (C.G.C). Suy ra DA = EC.
b.Gọi giao điểm của DA với BC và EC theo thứ tự là H và K ta cú ∆ABD =
∆EBC (cõu a). Suy ra ∠ADB = ∠ECB do đú ∠BDH = ∠KCH .Xột ∆DBH và
∆CKH cú: ∠BDH = ∠KCH; ∠DHB = ∠CHK(đ đ) nờn ∠DBH = ∠CKH do
Vớ dụ 3: Cho tam giỏc ABC cú ∠A < 900; AB = AC, kẻ CE vuụng gúc với AB(E
∈ AB) và BDvuụng gúc với AC (D ∈ AC). Gọi F là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng:
a. BD = CE
b. FE = FD và FB = FC
c. FA là tia phõn giỏc của gúc BAC
Giải: A E D F B C Hỡnh 7
a) BD và CE lần lượt vuụng gúc với AC và AB, do đú ∠ADB = ∠AEC = 900. Xột hai tam giỏc vuụng ADB và AEC cú AB = AC (gt) ∠BAC chung nờn suy ra
∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - gúc nhọn ) Suy ra BD = CE.
b) Theo cõua ta cú ∆ADB = ∆AEC nờn ∠ABD = ∠ACE (Hai gúc tương ứng) AE = AD (cạnh tương ứng) mà AE + EB = AB; AD + DC = AC do AB = AC (gt) nờn EB = DC.
Xột tam giỏc vuụng EFB và DFC cú BE = CD, cú ∠EBF = ∠DCF. Vậy ∆EFB = ∆DFC (Cạnh gúc vuụng-gúc nhọn). Suy ra FE = FD và FB = FC.
c) Xột ∆FEA và ∆FDA cú EA = DA ( ∆ADB = ∆AEC)
∠AEF = ∠ADF = 900, FE = FD ( cõu b). Vậy ∆AEF = ∆ADF (C.G.C). Suy ra
∠FAE = ∠FAD do đú AF là tia phõn giỏc của ∠BAC.