1.Một tập hợp có thể có một ,có nhiều phần tử, có vô số phần tử,cũng có thể không có phần tử nào.2.Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kí hiệu là : Ø.3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu là A B hay B A.Nếu A B và B A thì ta nói hai tập hợp bằng nhau,kí hiệu A=B.
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) Chuyên đề 1: S phn t ca mt hợp.Tập hợp 1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng khơng có phần tử 2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A Nếu A ⊂ B B ⊃ A ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B Ví dụ Cho hai tập hợp A = { 3,4,5}; B = { 5,6,7,8,9,10}; a) Mỗi tập hợp có phần tử? b) Viết tập hợp khác tập hợp rỗng vừa tập hợp tập hợp A vừa tập hợp tập hợp B c) Dùng kí hiệu ⊂ để thực hiên mối quan hệ tập hợp A,B tập hợp nói câu b) Dung hình vẽ minh họa tập hợp Giải a) Tập hợp A có phần tử , tập hợp B có phần tử b) Vì số phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.vì có tập hợp C vừa tập hợp tập hợp A ,vừa tập hợp tập hợp B: C = {5} c) C ⊂ A C ⊂ B biểu diễn hình vẽ: Bài tập: Cho hai tập hợp M = {0,2,4,… ,96,98,100}; Q = { x ∈ N* | x số chẵn ,x chia 48 cho a dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dông thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Ví dụ.2 Tìm hai số tự nhiên cố tổng 432 ƯCLN cua chúng 36 Giải Gọi hai số tự nhiên phải tìm a b ƯCLN(a,b) = 36 , nên a = 36c b = 36d , (c,d) = theo đề tổng hai số 432 nên: a + b = 432 hay 36(c + d) = 432,do c + d = 12 ta phải tìm cặp số c,d có tổng 12 (c,d) = cặp số 11 ; 7.các số tự nhiên cần tìm a = 36 , b = 396 a = 180 , b = 252 ngược lại CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) Bài tập: Viết tập hợp : a) ƯC(8,12,24); ƯC(5,15,35); b) BC(8,12,24); BC(5,15,35); Tìm giao hai tập hợp : A = { n ∈ N : n ước 18} B = { m ∈ N : m ước 36} Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a dư 24 , cịn chia363 cho a dư 43 Có 100 90 bút bi Cô giáo chủ nhiểm muốn chia số bút thành số phần thưởng gôm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như cịn lại 18 bút bi khơng thể chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng? Gọi G tập hợp số bội ; H tập hợp số bội 18 tìm G ∩ H Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 vừa hết ,thàng chồng 12 thừa cuốn, thành chồng 18 thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách Bài tập cđng cè Tìm ƯCLN ác số có chữ số viết chữ số , 2, ,4, ,6 ,7 ,8 ,9 số chữ số khác Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 66 , ƯCLN chúng 12 Tìm số tự nhiên ,biết tích chúng 864 ƯCLN chúng Một lớp học có 28 nam 24 nữ.có cách chia số học sinh lớp thành tổ cho số nam nữ chia cho tổ Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chì, tập giấy? Biết 3n + 5n + ( n ∈ N) số không nguyên tố tìm ƯCLN số Bội chung nhỏ Tiết 18 1.BCNN hai hay nhiều số số nhỏ khác o tập hợp bội chung số Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số , ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng Bước 3: Lập tích thừa số , thừa số lấy với số mũ lớn nó.tích BCNN phải tìm Chú ý: Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số Trong số cho số lơn bội số cịn lại BCNN số cho số lơn 3.Muốn tìm bơi chung hai hay nhiều số , ta tìm bội BCNN số Ví dụ: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho khơng cịn dư a) Tìm số nhỏ có tính chất b) Tìm dạng chung số có tính chất CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) Giải a) Gọi x số phải tìm x – ( ,3 ,4, , 6) nên x – bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – nhận giá trị: 60 ,120,180,240,300,… x nhân giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong số trên, số nhỏ chia hết cho số 301 b) Vì x – bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n ∈ N*) x ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n ,do để x phải có 4(n + 2) hay n + 7 dặt n + = 7k n = 7k – (k ∈ N*) x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k giá trị : k = 1, 2, 3, … Bài tập Tìm BCNN ba số sau : số nhỏ có hai chữ số ,số lớn có ba chữ số số nhỏ có bốn chữ số Có thể dung chữ số để lập số có dạng : 2, 22, 22,222, cho số đó: a) bội không? b) Là bội khơng? Tìm BCNN(30 , 45) ƯCLN(30 ,45) thử lại tích BCNN (30 , 45) ƯCLN(30 , 45) tích hai số 30 45 Ba em An , Bảo , Ngọc học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, Ngọc trực nhật lần.lần đầu ba em trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại trực nhật vào ngày? Đến ngày em trực nhật lần? Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số số chia hết cho bớt số chia hết cho ,nếu bớt 10 số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Cộng hai số nguyên dấu Muốn cộng hai số nguyên dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối chúng đặt trước kết dấu chúng Ví dụ tính tổng số nguyên x biết: a) - 10 ≤ x ≤ - ; b) < x < 15 Giải a) - 10 ≤ x ≤ - nên x = { - 10 , - , - , - , - , - , - , - , - , - 1} Vậy tổng phải tìm : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1) = - ( 10 + + + + + + + + + 1) = - 55 b) < x < 15 nên x = { ,7,8,9,10,11,12,13,14} tổng phải tìm B = + + + + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90 Bài tập: So sánh : a) │3 + 5│ │3│ + │5│; b) │(- 3) +(- 5)│ │- 3│ + │- 5│; Từ rút nhận xét │a + b│ │a│ + │b│ với a , b ∈ Z Điền dấu < , > vào ô trống cách thích hợp: a) + │- 23│ 15 + │- 33│ b)│- 11│ + │- 8│ + │- 2│ c) │- 21│+│- 6│ -7 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) ∈ Z biết : Tìm x a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│ b) │- 3│ + │- 7│ = x + c) +│x│ = │- 8│+ 11; d) │x│ + 15 = - Tìm cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│= 5 Cho số ngun tổng số số nguyên dương Chứng tỏ tổng 31 số số nguyên dương? Cộng hai số nguyên khác dấu Hai số nguyên đối có tổng Muốn cộng hai số nguyên khác dấu khơng đối ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối chúng (số lớn trừ số nhỏ) đặt trước kết tìm dấu số có giá trị tuyệt đối lớn Với số nguyên a ta có a + = + a = a Ví dụ Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) dấu * dấu “ + “ dấu “ –“ xác định dấu số hạng để tổng bằng: a) 22 ; b) – 22 ; c) ; d) - Giải Trong câu a b , giá trị tổng tổng giá trị tuyệt đối hai số hạng nên phép cộng hai số nguyên dấu dấu tổng dấu chung hai số hạng đó, ta có : a) (+ 15) + (+7) = 22; b) (- 15) + (- 7) = - 22 Trong câu c d , giá trị tuyệt đối tổng hiệu hai giá trị tuyệt đối hai số hạng nên phép cộng hai số nguyên khác dấu dấu tổng dấu số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có: c) (+ 15) + (- 7) = 8; d) (- 15) + (+ 7) = - Bài tập Tính tổng │a│ + b , biết: a) a = - 117 , b = 23; b) a = -375 , b = - 725; c) a = - 425 , b = - 425 Tìm x ∈ Z , biết : a) x + 15 = 105 + ( - 5); b) x – 73 = (- 35) + │- 55│; c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│ thay dấu * chữ số thích hợp : a) ( - *15) + ( - 35) = - 150; b) 375 + ( - 5*3) = - 288; c) 155 + ( - 1**) = Tính tổng hai số nguyên: a) Liền tiếp liền sau số + 15; b) Liền trước liền sau số - 37; c) Liền trước liền sau số 0; d) Liền trước liền sau số a 5.a) Viết số - thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 10 b) Viết số - 15 thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 20 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN (2) Tính chất phép cộng số nguyên Tính chất giao hoán : với a , b ∈ Z : a + b = b + a Tính chất kết hợp: với a , b ∈ Z : a + ( b + c) = (a + b) + c Cộng với số : với a ∈ Z : a + = + a = a Cộng với số đối : tổng hai số nguyên đối luôn 0: : với a ∈ Z : a + ( - a) = Nếu tổng hai số nguyên o chúng hai số đối : : với a , b ∈ Z : a + b = a = - b bà b = - a ví dụ: Tính tổng số nguyên x , biết: a) - 10 < x < 10 ; b) - 10 < x ≤ 10 Giải a) Các số nguyên x thỏa mãn - 10 < x < 10 x = - , - , -7 ,… , , ,9 Tổng số nguyên là: S = (- 9) + (- 8) + (- 7) + …+ + + = [ (- 9) + 9] + [ (- 8) + 8] + [(- 7) + 7] …= b) Tương tự a) , tổng 10 Bài tập Tính : a) A = + (-3) + + ( - 7) +….+ 17 + ( -19); b) B = (- 2) + + (-6) + + …+ ( - 18) + 20; c) C = + (-2) + + (-4) + ….+ 1999 + ( - 2000) + 2001; Tính tổng số nguyên x , biết: a) – 50 < x ≤ 50; b) - 100 ≤ x < 100 Hãy điền số : , - , 2, - , ,- , 6, , 10 vào ô bảng 3.3 = ô vuông ( số ô) cho tổng ba số hàng ngang , hàng dọc , đường chéo Cho số : - , -4 , - , - , 7, , 11 xếp số cho có số đặt tâm vịng trịn , số cịn lại nằm đường trịn ba số bất kí số nằm đường thẳng mà tổng chúng Viết tất số ngun có giá trị tuyệt đối khơng vượt q 50 theo thứ tự tùy ý Sau dod số cộng với số thứ tự để tổng tính tổng tất tổng tìm Quy tắc dấu ngoặc Quy tắc dấu ngoặc : bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất số hạng dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ dấu “ - “ thành dấu “ + “ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước dấu số hạng ngoặc giữ nguyên Tổng đại số: tổng đại số ta : - Thay đổi tùy ý số hạng kèm theo dấu chúng; - Đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý với ý đằng trước dấu ngoặc dấu “ – “ phải đổi dấu tất số hạng ngoặc Ví dụ Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 Giải áp dụng quy tắc dấu ngoặc tính chất tổng đại số ta có: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51 = - (3752 – 3632) – ( 29 + 51) A = - 120 – 80 = - 200 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN (2) Bài tập Tính nhanh: a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440) Tìm số nguyến x , biết : a) – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415); c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746 Tính giá trị biểu thức a – b – c , biết: a) a = 45 , b = 175 , c = - 130; b) a = - 350, b = - 285, c = 85; c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250 Cho n số nguyên : a1, a2 ,…,an chứng tỏ S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+….+│an-1 + an│+│an – a1│ số chẵn Cho 15 số tự nhiên khác khác , số khơng lớn 28 Chứng tỏ 15 số dã cho tìm nhóm gồm số mà số tổng hai số lại nhóm gồm số mà số gấp đơi số cịn lại Quy tắc chuyển vế Tính chất đẳng thức : biến đổi đẳng thức ta thường áp dụng tính chất sau: Nếu a = b a + c = b + c; Nếu a + c = b + c a = b; Nếu a = b b = a Quy tắc chuyển vế : chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ dấu “ – “ thành dấu “ + “ Ví dụ: Tìm x ∈ Z , biết : a) – x = (- 21) – ( - 9) , hay – x = -21 + hay – x = - 12 , x = + 12 = 15 b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16 Bài tập: Tìm y ∈ Z , biết : a) y + 25 = - 63 – ( - 17); b) y + 20 = 95 _ 75; c) 2y – 15 = -11 – ( - 16); d) - _ 2y = - 37 – ( - 26) Cho ba số - 25; 15; x (x ∈ Z) tìm x , biết : a) Tổng ba số 50; b) Tổng ba số - 35; c) Tổng ba số – 10 Cho x , y ∈ Z Hãy chứng minh rằng: a) x – y > x > y ; b) x > y x – y > Cho a ∈ Z tìm số nguyên x biết: a) a + x = 11 ; b) a – x = 27 Trong trường hợp cho biết với giá trị a x số nguyên dương, số nguyên am , số 0? Cho a ∈ Z tìm x ∈ Z biết CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) a) │x│= a ; b) │x + a│ = a bội ước số nguyên Bội ước số nguyên : cho a , b ∈ Z b≠ có số nguyên q cho a = bq ta nói a chia hết cho b ta cịn nói a bội b va b ước a Chú ý : • Nếu a = bq ta cịn nói a chia cho b q viết a : b = q • Số bội số nguyên khác • Số khơng phải ước số nguyên • Các số – ước số ngun Tính chất: • Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c : a b b c ⇒ a c • Nếu a chia hết cho b bội a chia hết cho b : ∀ m ∈ Z ta có a b ⇒ a = am b • Nếu hai số a ,b chai hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c a c b c ⇒ ( a + b ) c ( a – b ) c Ví dụ Tìm số nguyên n , cho: (n - 6) ( n – ) Giải (n - 6) ( n – ) hay [ ( n – ) – 5] ( n – ) suy ( - 5) ( n – ) hay (n – 1) ước ( - 5) Do đó: • Nếu n – = -1 n = 0; • Nếu n – = n = 2; • Nếu n – = - n = -4; • Nếu n -1 = n = Thử lại: • Với n = n – = - , n- = -1 (– 6) ( - 1); • Với n = n – = - , n- = (– 4) 1; • Với n = -4 n – = - 10 , n- = -5 (– 10) ( - 5); • Với n = n – = , n- = 5; n = - , , ,6 Bài tập CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) Chứng tỏ : a) Tổng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; b) Tổng năm số nguyên liên tiếp chia hết cho Có hay khơng hình vuông mà số đo độ dài cạnh số nguyên số đo diện tihcs 111…11 ; ( 2001 chữ số 1)? Tìm số nguyên n cho: a) (3n + 2) ( n – ) b) (3n + 24) ( n – ) c) (n2 + 5) ( n + ) Cho x, y số nguyên chứng tỏ 6x + 11y chia hết cho 31 x + 7y chia hết cho 31 điều ngược lại có đứng khơng? Chứng tỏ với số nguyên n : a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9; b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49; Phân số Hai phân số a c gọi : a b = c d b d Ví dụ Lập cặp phân số từ bốn năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48 Giải Từ năm số cho , có ba đẳng thức sau: 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24 Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập cặp phân số 12 = (1) Để lập cặp phân số khác 24 ta làm sau: • Tráo đổi vị trí số 24 (1), ta cặp phân số 24 12 = • Tráo đổi vị trí số 12 (1), ta cặp phân số = 12 24 • Tráo đổi vị trí số 24 , 12 (1), ta cặp phân số 24 = 12 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN (2) Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập cặp phân số Cách làm tương tự với hai đẳng thức lại , ta cặp phân số Vậy có tất 12 cặp phân số nhau: 12 24 12 24 = ; = ; = ; = ; 24 12 24 12 3 48 48 24 48 = ; = ; = ; = ; 24 24 48 24 24 48 24 12 48 12 = ; = ; = ; = ; 12 48 12 24 48 24 Ví dụ Tìm cặp số nguyên x, y biết : Giải Từ x = y −3 y = , suy xy = - x −3 Để tìm cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cách phân tích số -6 dước dangjtichs hai số nguyên: ( - 6) = ( - 1).6 = ( -1) = ( -2) = ( - 3) Vì vai trị x , y nên có cặp số nguyên thỏa mãn đề : x -1 -6 -3 -2 y -1 -6 -3 -2 Bài tập 1.Viết phân số sau dạng phân số co mẫu dương: − 22 − 11 − 51 ; ; ; ; − 37 − 19 − 39 − 57 2.Tìm số nguyên x,y biết: a) x x x −3 = ; b) = ; c) = y y y − − 19 11 Tìm số nguyên x , y ,z ,t biết : 12 x −y z −t = = = = −6 − 17 − CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) − 24 x z3 4.Tìm số nguyên x, y , z biết : = = = −6 y −2 Lập cặp phân số từ bốn sáu số sau : - ; - ; - ; ; 10 ; 15 Tìm số tự nhiên a , b , biết a ,b số nguyên tố a + 7b 29 = a + 5b 28 Rút gọn phân số Muốn rút gọn phân số ta chia tử mẫu phân số cho số ước chung ( khác – 1) chúng để phân số đơn gian Phân số tối giản phân số rút gọn phân số a tối b giản │a│và│b│ hai số nguyên tố Ví dụ Chứng tỏ phân số 5n + phân số tối giản với ∀ n ∈ N 3n + Vì n ∈ N , nên 5n + ∈ N* 3n + ∈ N* để chứng minh phân số N at phải chứng minh 5n + 3n + hai số nguyên tố 5n + phân số tối giản với ∀ n ∈ 3n + Gọi ƯCLN 5n + 3n + d ( d ∈ N d≥ 1) , ta có 5n + d 3n + d , 3(5n + 3) d 5(3n 5n + + 2) d suy 5(3n + 2) - 3(5n + 3) hay 15n + 10 – 15n – d , hay d , d = phân số 3n + phân số tối giản với ∀ n ∈ N Vì dụ tìm phân số phân số Giải ta có: − 188887 , biết tổng tử mẫu phân số 211109 − 188887 − 17 − 17 k = Các phân số pahir tìm có dạng (k ∈ Z , k ≠ 0) 211109 19 19k Vì tổng tử mẫu phân số nên – 17k + 19k = suy k = Vậy phân số phải tìm : Bài tập − 17.3 − 51 = 19.3 57 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) 3.3 (−2) 33.5 5.7.8 Rút gọn phân số sau: a) 2 b) 3.2 4.5 3.14 Rút gọn phân số sau: a) 2.611.16 + 2.12 6.15 25 28 + 25 24 + + 25 + ; b) 2.612.10 − 812.960 25 30 + 25 28 + + 25 + Chứng tỏ với số nguyên n , phân số sau phân số tối giản: a) 15n + 30n + b) n + 2n n + 3n + Tìm tất số nguyên để phân số a) Cho phân số 18n + phân số tối giản 21n + 13 Phải them vào tử mẫu phân số , số tự nhiên để phân số phân số ? b) Cho phân số 19 Phải thêm vào tử mẫu phân số , số tự nhiên để phân số phân số 44 22 ? 47 Dung chín chữ số từ đến để ghép thành phân số mà phân số : ,3, 4, 5,6 ,7 , 8, Tìm phân số tối giản a , biết: b a) Cộng tử với mẫu với 10 phân số phân số cho; b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu phân sô gấp lần phân số cho Tìm phân số , biết : a) Phân số phân số BCNN tử mẫu 360; 20 b) Phân số phân số 20 ƯCLN tử mẫu 36 39 Tìm phân số a , biết phân số phân số 6a ab CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) n n 5n + 10 Chứng tỏ phân số số tự nhiên với n ∈ N cá phân số phân số tối giản Quy đồng mẫu nhiều phân số Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm sau: Bước : Tìm bội chung mẫu ( thường BCNN) để làm mẫu chung Bươc 2: Tìm thừa số phụ mẫu ( cách chia mẫu chung cho mẫu) Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Ví dụ Rút gọn quy đồng mẫu số phân số sau: 4.5 + 4.11 − 15.8 + 10.7 4.5 2.7 ; 8.7 − 4.3 5.6 + 20.3 5.7 2.11 Giải rút gọn phân số: 4(5 + 11) 4.16 16 4.5 + 4.11 = = = ; 4(2.7 − 3) 4.11 11 + − 5(3.8 − 2.7) − 5.10 − 10 − − 15.8 + 10.7 = = = = ; 5(6 + 4.3) 5.6 + 20.3 5.18 18 2.5 10 4.5 2.7 2.2 3.5.5.7 = = = 2 5.7 11 5.7.7.11 7.11 77 Quy đồng mẫu ba phân số : 16 − 10 ; ; 11 77 Mẫu chung : 7.9.11 = 693 Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 Vậy : 16 16.63 1008 − − 5.77 − 385 10 10.9 90 = = ; = = ; = = 11 11.63 693 9.77 693 77 77.9 693 Bài tập: CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) Tìm mẫu chung phân số sau : a) 13 3.5 2 11 − 19 − 23 ; b) 2 5.7 7.11 3.7 2.13 Tìm tất cá phân số mà tử mẫu số tự nhiên khác có chữ số , tủ mẫu đơn vị có a) BC tử 210; b) BC mẫu 210; c) BC tử mẫu 210; Tìm chữ số a , b ,c để: a) Phân số 36 = a + b; ab b) Phân số 1000 = abc a+b+c Cho ba phân số: − − 5.3 6.9 + 9.120 2929 − 101 ; 12 ; 2.1919 + 404 + − 611 Rút gọn quy đồng mẫu phân số Tìm phân số có mẫu 11 , biết cộng tử với – 18, nhân mẫu với phân số phân số ban đầu a) Tìm phân số phân số , có tích tử mẫu 324; 18 b)Tìm phân số biết tích tử mẫu 550 mẫu phân số chứa số nguyên tố So sánh phân số Với hai phân số mẫu dương , ta có : a) Nếu a < c b > a c < b b b) Nếu a > c b > a c > b b Muốn so sánh hai phân số không mẫu , ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương so sánh tử với Phân số có tử lớn phân số lơn CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN (2) Ví dụ: Hãy tìm phân số , thỏa mãn điều kiện sau: a) Có mẫu 30 , lớn nhỏ 17 17 b) Có mẫu , lớn nhỏ −3 −6 Trong trường hợp xếp phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn Giải a) Gọi phân số cần tìm a , a ∈ Z., ta có: 30 a 150 17a 180 < < , quy đồng mẫu chung ba phân số ta : < < ; suy 150 < 17a < 180 , 17 30 17 510 510 510 10 < a < 11 , mà a ∈ Z nên a = ,10 có hai phân số thỏa mãn đề : = ; = 30 10 30 Sắp xếp phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : < < < 17 10 17 b) Cách làm tươn tự : ta tim ba phân số thỏa mãn đề : Sắp xếp phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : − − −1 < < < < −3 5 −6 Bài tập : Điền số thích hợp vào chỗ co dấu … a) − 10 − < < < < < ; 23 23 23 23 23 23 b) − − < < < 30 15 10 Hãy tìm phân số , cho : a) Có mẫu 20 , lớn − − −1 ; ; 5 5 nhỏ ; 13 13 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) 5 b) Lớn nhỏ cộng thêm vào tử mẫu phân số phân số tìm lớn hay nhỏ a) Cho phân số ? b) Cho phân số cộng thêm vào tử mẫu phân số phân số tìm lớn hay nhỏ ? 4 Cho hai phân số tìm : a) Năm phân số có tử mẫu số dương , cho phân sơ lớn nhỏ ; b) hai mươi phân số có tử mẫu số dương , cho phân sơ lớn nhỏ ; c) Có nhận xét số phân số có tử mẫu số dương , cho phân số lớn nhỏ ; Hãy viết ba phân số có mẫu khác , xen hai phân số : −1 −1 Tính chất phép cộng phân số Tính chất giao hốn : đổi chỗ phân số trơng tổng tổng không đổi Với phân số a c a c c a ta có : + = + b d b d d b Tính chất kết hợp : muốn cộng tổng hai phân số với phân số thứ ba , ta cố thể cộng phân số thứ với tổng hai phân số lại CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) Với phân số a c p , , b d q ta có : ( p p a c a c + )+ = + ( + ) q q b d b d Tổng phân số với phân số : Với phân số a a a a , ta có +0= +0= b b b b Ví dụ : Tính nhanh tổng sau: a) A = −3 −5 + + + + + 7 b) B = − − − − − −1 + + + + + + + + + + + + Giải.a) Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng phân số , gộp phân số có mẫu vào nhóm, ta có : A=( −3 −5 1 + + )+( + )+ = 7 8 3 b)Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng phân số , gộp phân số có tổng vào nhóm, ta có : B=( −1 −2 −3 −4 −5 −6 + )+( + )+( + )+( + )+( + )+( + )+ 2 3 4 5 6 7 B = Bài tập: 1.Thực phép tính cách hợp lí , tính tổng sau: A= −2 −3 1 −1 + + + + + + 15 57 36 B= −1 − − 1 + + + + + + 35 41 C== −1 −1 −7 + + + + + + 127 18 35 Tìm số nguyên x biết : a) − −1 − 3 −1 + + + ≤ x< + + + + 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN (2) − − 20 12 − 11 −3 b) + + + +