Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6

Trong bài toán 2 ta nhân A với 3. Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử.Trở lại bài toán 2. mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số

DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬTBài toán 1 : Tính các tổng sau

c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 chia hết cho 3

d) Chứng minh rằng : 20092009 – 1 chia hết cho 2008

Bài toán 2 : Tính các tổng sau

1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

2) B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

Giải :

1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với

số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các

số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , rồi trừ cho A

ta được :

32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102

A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

32A – A = 3102 – 1 Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 Vậy A = ( 3102 – 1): 8

Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8

2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta được :

72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101

B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 Vậy B = ( 7101 – 7) : 48Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48

Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :

Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1 Nhân 2 vế của A với 3

lần khoảng cách này ta được :

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 1.2.(3 0) + 2.3.(4 1) + 3.4.(5 2) + 4.5.(6 3) + 5.6.(7 4) + 6.7.(8 5) + 7.8.(9 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)

= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11

= 9.10.11 = 990

A = 990/3 = 330

Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là

số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta có kết quả tổng quát sau :

C = A + 10.11 Tính giá trị của C

Giải :

Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3

Theo cách giải 2 của bài toán 2, ta lại có :

Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ Bài toán có một kết quả duy nhất,

không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n

Bài tập áp dụng : Tính giá trị của các biểu thức sau:

với 3 lần khoảng cách này ta được :

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95)

= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99

Trong bài toán 2 ta nhân A với 3 Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận

thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa

2 thừa số trong mỗi hạng tử.

Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

Lời giải :

Trở lại bài toán 2 mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảngcách giữa hai thừa số đó Học tập cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số Ta giải được bài toán như sau :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4

4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]

4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980

= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99

Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi

số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

⇒ A = 33.100.101 = 333 300

2) Một số dãy số dễ dàng tính được

1 + 2 + 3 + … + n

a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k là hằng số

II) Khai thác bài toán 1

Trong bài toán 1 Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau

1 đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2

= 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = 1 + 4998 + 161651

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán

Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n

Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có:

Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng sốhạng tổng quát theo quy luật của dãy

*Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:

I > PHƯƠNG PHÁP DỰ ĐOÁN VÀ QUY NẠP :

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

Sn = a1 + a2 + an (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã chobiết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minhđược

Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng

n

2, 12 + 2 2 + + n 2 =

6

) 1 2 )(

1 (n+ n+

II > Phương pháp khử liên tiếp :

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai sốhạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

S =

100 99

1

13 12

1 12 11

1 11

1 11

1 12 11

1 = − ,

100

1 99

1 100 99

1 10

1 100

1 99

1

12

1 11

1 11

1 2 1

1

+ + + +

n

n ( n > 1 )

= 1-

1 1

Ví dụ 3 : tính tổng

Sn = ( 11)( 2)

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2

1

1

+ + + + +

+

n n n

1 (

1 )

1 (

1 2

1

4 3

1 3 2

1 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn =  − + − + + + −( + 1 )( + 2 ) 

1 )

1 (

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn =

) 2 )(

1 ( 4

) 3 ( )

2 )(

1 (

1 2

1

1 2

1

+ +

−

n n

n n n

= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1

Ví dụ 5 : tính tổng

) 1 (

1 2

) 3 2 (

5 )

+ +

n n n

1 1

) 1 (

1 2

2 2

+

+

i i i

3

1 2

1 ) 2

1

n n

= 1- 2 ( 1 ) 2

) 2 ( ) 1 (

III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

p

P n

n

P n P

P

p n

1 1

) 1 (

1 1

) 1 (

n

i

n i

n

i i i

i

i b a b a

) (

1 1

=

i

n i

n i

n i

i i

i i i

i

1

2 2

1

) ( ) 1 (

Vì :

6

) 1 2 )(

1 (

2

) 1 (

3 2 1

1

2

1

+ +

=

+

= + + + +

n

i

n n n i

cho nên : Sn =

3

) 2 )(

1 ( 6

) 1 2 )(

1 ( 2

) 1 (n+ +n n+ n+ = n n+ n+

n i

i i i

i

3 ( ) 1 3 (

i i

1 1

) 1 2 )(

1 (

n n n

n n

) 2 2 ( ) 1 2

Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 sốđơn vị , ta dùng công thức:

Tổng = ( số đầu – số cuối ) ( số số hạng ) :2

Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1).

3

) 1 ( ) 2 (k+ − k−

=

3

) 1 )(

1 ( 3

) 2 )(

1 (k+ k+ −k k+ k−

( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

1 (k+ k+ k+ − k− k k+ k+

k

áp dụng : 1.2.3 =

4

3 2 1 0 4

4 3 2 1

−

2.3.4 =

4

4 3 2 1 4

5 4 3

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

1 (n+ n+ n+ − n− n n+ n+

n

Cộng vế với vế ta được S =

4

) 3 n )(

2 n )(

1 n (

1

4 3

1 3 2

1 2

4

9 7

4 7

.

5

4

+ + +

7, A =

66 61

5

26 21

5 21 16

5 16

3

1 3

1 3

1 + + + +

9, Sn = ( 11)( 2)

4 3 2

1

n n n

10, Sn =

100 99 98

2

4 3 2

2 3

1 4 3

n n n n

2

10

1 6

1 3

1

= + + + + +

x x

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 là luỹ thừa của 2

b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60  3 ; 7; 15

c, C = 3 + 33 +35 + + 31991  13 ; 41

d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1  5