Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1 Cho biểu thức f( x ,y,...)a Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) M ( M hằng số) (1)Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2)
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Suối Ngô, Ngày 17, 18, 19, 21, 24/09/2013 Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) ≤ M ( M hằng số) (1) - Tồn tại x o ,y o sao cho: f( x o ,y o ) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : - Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y ) ≥ m ( m hằng số) (1’) - Tồn tại x o ,y o sao cho: f( x o ,y o ) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1) 2 + ( x – 3) 2 . Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x 2 – 2x + 1 + x 2 – 6x + 9 = 2( x 2 – 4x + 5) = 2(x – 2) 2 + 2 ≥ 2 A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 〉 0. Tìm GTLN của P nếu a 〈 0 Giải : P = ax 2 + bx +c = a( x 2 + a b x ) + c = a( x + a b 2 ) 2 + c - 2 2 4 b a Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 1 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Đặt c - a b 4 2 =k . Do ( x + a b 2 ) 2 ≥ 0 nên : - Nếu a 〉 0 thì a( x + a b 2 ) 2 ≥ 0 , do đó P ≥ k. MinP = k khi và chỉ khi x = - a b 2 -Nếu a 〈 0 thì a( x + a b 2 ) 2 `≤ 0 do đó P `≤ k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - a b 2 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x 2 - 7x)( x 2 – 7x + 12) Đặt x 2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y 2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x 2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x 1 = 1, x 2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2 956 2 xx −− . Giải : A = 2 956 2 xx −− . = 569 2 2 +− − xx = 4)13( 2 2 +− − x . Ta thấy (3x – 1) 2 ≥ 0 nên (3x – 1) 2 +4 ≥ 4 do đó 2 1 (3 1) 4x − + ≤ 4 1 theo tính chất a ≥ b thì a 1 ≤ b 1 với a, b cùng dấu). Do đó 4)13( 2 2 +− − x ≥ 4 2− ⇒ A ≥ - 2 1 minA = - 2 1 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 3 1 . Bài tập áp dụng: 1. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 4x 9 = − + HD giải: ( ) 2 2 1 1 1 1 A . max A= x 2 x 4x 9 5 5 x 2 5 = = ≤ ⇔ = − + − + . Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 2 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 6x 17 = − + HD Giải: ( ) 2 2 1 1 1 1 A . max A= x 3 x 6x 17 8 8 x 3 8 = = ≤ ⇔ = − + − + 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 A 2 x 2x 7 = + − + + b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = 12 683 2 2 +− +− xx xx . Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 4 2 1 x x x x x x − + + − + − + = 2 + 2 2 )1( )2( − − x x ≥ 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 y y y y y y y y y y y y y + − + + + + − − + − + = = + + − − + + − + + = 3 - y 2 + 2 1 y = ( y 1 -1) 2 + 2 minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 1 P 1 x x x + = − + 2, (36/210) Tìm GTNN của bt : 2 2 2 2006 B x x x − + = 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 C 5 7 x x x = − + 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, 2 2 2 2 D 2 3 x x x x + + = + + b, 2 2 2 1 E 2 4 9 x x x x + − = + + c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 1 43 2 + − x x Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 3 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 A = 1 144 2 22 + −−+− x xxx = 1 )2( 2 2 + − x x - 1 ≥ -1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = 1 14444 2 22 + −−−+ x xxx = 4 - 1 )12( 2 2 + + x x ≤ 4 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, 2 A 2 x x = + b, ( ) 2 3 2 B 2 x x = + 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 4 4 C x x x + + = Với x > 0; b, 5 3 2 D x x + = Với x > 0 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 3 2 E x x = + với x > 0; b, 3 2 1 F + = x x Với x > 0 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: ( ) 2 2 17 2 1 x x Q x + + = + Với x > 0 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 6 34 R 3 x x x + + = + Với x > 0 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 3 2000 S x x + = Với x > 0 III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x 3 + y 3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x 2 –xy +y 2 ) + xy = x 2 – xy - y 2 + xy = x 2 + y 2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 ⇒ x 2 + 2xy + y 2 = 1 (1) Mà (x – y) 2 ≥ 0 Hay: x 2 - 2xy + y 2 ≥ 0 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 2 1 Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 4 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x 2 + (1 – x) 2 = 2(x 2 – x) +1 = 2(x 2 - 2 1 ) 2 + 2 1 ≥ 2 1 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới Đặt x = 2 1 + a thì y = 2 1 - a . Biểu thị x 2 + y 2 ta được : x 2 + y 2 = ( 2 1 + a) 2 + ( 2 1 - a) 2 = 2 1 +2 a 2 ≥ 2 1 => MinA = 2 1 ⇔ a = 0 ⇔ x=y = 2 1 Bài tập 1: Tìm Min A = 2 2 3 3 2014a ab b a b+ + − − + Cách 1 Ta có: A= 2 2 2 1 2 1 1 2011a a b b ab a b− + + − + + − − + + 2 2 = a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 a 1 2 1 2011 2 4 4 b b b a − − − = − + − + + + ( ) 2 2 3 1 1 = a 1 + 2011 2 4 b b − − − + + ÷ Min A = 2011 khi 1 a 1 0 1 2 1 0 b a b b − − + = ⇔ = = − = Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022 = a 1 1 2 4022 = + + − − + − + + − + + + + − + + + − + − + + − + a ab b a b a b b ab b a b b a b Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 5 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Min 2A = 4022 khi a 1 0 1 0 1 2 0 b a b a b − = − = ⇔ = = + − = => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 2 2 3 3 3a ab b a b+ + − − + Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: 2 2 2 4 2 8 6 15 0x y z x y z + + − + − + = Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 VT 2 1 4 8 4 6 9 1= x-1 2 2 3 1 1= − + + + + + − + + + + + − + ≥x x y y z z y z Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + + + + + = 2) 2 2 2 x 4 9 2 12 12 1994y z x y z+ + − − − + Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1 = x+2 2 1 4 1 1 x x y y z z y z = + + + + + + + + + + + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986 = 1 2 3 3 2 1986 1986 x y y z z x y z − + + − + + − + + − + − + − + ≥ Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = 2 2 4 5 10 22 28m mp p m p− + + − + Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 A = 4 4 2 1 10 20 27 = 2 2.5 2 25 1 2 = 2 5 1 2 2 m mp p p p m p m p m p p m p p − + + − + + − + − + − + + − + − + + − + ≥ Bài 5: CMR: Max B = 4 Với 2 2 B 5 2 4 10 6a b a ab b= − − − + + − Hướng dẫn Ta có: Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 6 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 2 2 B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 4 - 4 4 6 9 2 2 1 − + + − + + − + a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 = 4 - 2 2 2 1 3 − + − + + − a b a b b ( ) ( ) 2 2 = 4 - 2 1 3 4 − + + − ≤ a b b Bài 6: Tìm GTNN của a) 2 2 A=a 5 4 2 5b ab b+ − − + ( Gợi ý ( ) ( ) 2 2 A = a - 2b 1 4b+ − + ) b) 2 2 B = x 3 3 2029y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B = x-y 3 3 2011y x+ − + − + ) c) 2 2 2 C 4 9 4 12 24 30x y z x y z= + + − + − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 C = x+2 2 3 3 4 1y z+ + + + + ) d) 2 2 D= 20x 18 24 4 12 2016y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 D= 4x-3y 2 1 3 2 2011x y+ − + − + ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : ( ) 2 2 2 2 a b c d a b c d+ + + = + + (*) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 0 4 4 4 4 4 4 0 2 2 2 0 a b c d ab a b c a b c d a b c d a b c d ab ac ad a b c d ab ac ad a ab b a ac c a ad d a a b a c a d a + + + = + + ⇔ + + + − + + = ⇔ + + + − − − = ⇔ + + + − − − = ⇔ − + + − + + − + + = ⇔ − + − + − + = Dấu “=” sảy ra khi : 2 2 2 0 0a b c d a b c d= = = = ⇔ = = = = BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : ( ) 2 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e+ + + + = + + + Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 2 2 1a b ab a b+ + = + + Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 2 2 4 4 4 4 4 4 0a b ab a b+ + − + + = Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 4 2 8 6 14x y z x y z+ + = − + − Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : 2 2 5 4 10 22 25m p mp m p+ = − + + Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 7 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1) 2 + ( x – 3) 2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1) 2 + (y – 1) 2 =2y 2 +2 ≥ 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒ x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất 1 B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0 Ví dụ : Tìm GTLN của 4 2 2 1 ( 1) x A x + = + (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi 1 A nhỏ nhất và ngược lại) Ta có : 1 A = 2 2 4 2 2 4 4 4 ( 1) 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x + + + = = + + + + .Vậy 1 A ≥ 1 min 1 A = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì a n > b n BĐT Cô si: a + b ≥ 2 ab ; a 2 + b 2 ≥ 2ab ; (a + b) 2 ≥ 4ab ; 2( a 2 + b 2 ) ≥ ( a+ b) 2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd) 2 Ví dụ Cho x 2 + y 2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y ) 2 ≤ ( 2 2 +3 2 ).52 ⇒ ( 2x + 3y ) 2 ≤ 13.13.4 ⇒ 2x + 3y ≤ 26. Vậy maxA = 26 ⇔ 2 3 2 3 0 x y x y = + ≥ Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 8 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Thay y = 3 2 x vào x 2 + y 2 = 52 ta được 4x 2 + 9x 2 = 52.4 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0 Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N∈ thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y) 2 – (x – y) 2 = 2005 2 - (x – y) 2 xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk 1 1 1 2x y + = Tìm GTNN của bt: A = x y+ Do x > 0, y > 0 nên 1 1 0, 0 yx > > áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 1 1 , x y ta có: 1 1 1 1 1 . 2 x y x y + ≥ ÷ Hay 1 1 4 xy ≥ => 4xy ≥ Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => 0, 0x y≥ ≥ . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 2 4 4x y xy+ ≥ ≥ = Vậy: Min A = 4 khi : 4 1 1 1 2 x y x y x y = ⇔ = = + = VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 2 2 A x x 1 x x 1= − + + + + Ta có: 2 2 1 3 3 x x 1 x x R 2 4 4 − + = − + ≥ ∀ ∈ ÷ Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 9 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 2 1 3 3 x x 1 x x R 2 4 4 + + = + + ≥ ∀ ∈ ÷ Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số 2 2 x x 1, x x 1− + + + ta có : 2 2 2 2 4 24 x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 x x 1 2 − + + + + ≥ − + + + = + + ≥ Max A = 2 khi 4 2 2 2 x x 1 1 x 0 x x 1 x x 1 + + = ⇔ = − + = + + VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y z A y z x = + + với x, y, z > 0. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 3 x y z x y z A 3 . . 3 y z x y z x = + + ≥ = Do đó x y z x y z min 3 x y z y z x y z x + + = ⇔ = = ⇔ = = ÷ Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y y z x y x z x x + + = + + + − ÷ ÷ . Ta đã có x y 2 y x + ≥ (do x, y > 0) nên để chứng minh x y z 3 y z x + + ≥ ta chỉ cần chứng minh : y z y 1 z x x + − ≥ (1) (1) ⇔ xy + z 2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z 2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z y z x + + . VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 10 [...]... A= 1 3+ 5 HD: A = = + 1 1 5+ 7 + + 1 7+ 9 1 5+ 7 3+ 5 1 ( 5− 3+ 7− 5+ 2 + + .+ 1 7+ 1 97 + 99 + .+ 9 9 − 7 + .+ 1 97 + 99 99 − 97 ) = 1 ( 99 − 3 ) 2 a+ b a + b a + b + 2ab + *Bài 39: Cho biểu thức D = : 1 + 1 − ab 1 + ab 1 − ab a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 30 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 b) Tính giá trị của D với a = 2 c) Tìm... b)So sánh A với Gv:Lê Mỹ Hạnh 1 A Trường THCS Suối Ngơ 24 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 ( x − 9) ≥ 0 ⇒ A ≥ 1 1 b)XÐt hiƯu: A = = A A 6 x ( x + 9) 2 x +9 HD: a) A = 6 x Bài 4: x−3 x 9 x x −3 x −2 − 1÷: + − Cho A= ÷ x 9 ÷ x+ x −6 x −2 x +3÷ a)Tìm x để biểu thức A xác định b)Rút gọn A c)với giá trị nào của x thì A < 1 d)Tìm x ∈ Z để 3 HD a) x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠... Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 19 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9 b, y = x2 + 4x + 4 + x2 − 6x + 9 Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 − 8 x + 16 b, y = 25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2 − 30 x + 9 Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2 x −1 + x + 2 x −1 Suối Ngơ, Ngày 25,26,28/ 09/ 2012-01,02/10/2012 CHUN ĐỀ... THCS Suối Ngơ 35 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 A 20 GT KL B 12 H C µ ∆ABH; H = 90 0 ; AB = 20cm 5 BH = 12cm; AC = AH 3 · BAC = ? Gi¶i: AB 20 5 AC = = = BH 12 3 AH AB BH = ⇒ AC AH XÐt ∆ABH vµ ∆ CAH cã : 0 · · AHB = CHA = 90 Ta cã AB BH (chøng minh trªn) = AC AH · ⇒ ∆ABH P ∆CAH (CH c¹nh gv) ⇒ CAH = · ABH 0 nªn · 0 · · L¹i cã BAH + · ABH = 90 BAH + CAH = 90 Do ®ã : BAC = 90 0 Bµi 2: Cho... , Tìm GTNN của Q = Gv:Lê Mỹ Hạnh 12 16 + x y x 3 + 2000 x x 2 + 2 x + 17 2( x + 1) Trường THCS Suối Ngơ 15 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M = Năm Học: 2013- 2014 x + 6 x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của Q = x 2 + 1, 2 xy + y 2 x− y Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B = x 2 y 3 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành... 5 2x x-4 x x 2 − 3x + 4 x (Bồi dưỡng HSG tốn đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 1 3x + ( với x > -1 ) x+1 2 Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: B = 2 x + ( với x > 1 ) x-1 2 Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: C = 5 x 1 + ( với x > ) 2x-1 3 2 Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 16 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: D = Năm Học: 2013- 2014 x 5 + ( với 0 < x < 1... Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 13 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Bài 7:Tìm GTLN của : A = Năm Học: 2013- 2014 x − 1 + y − 2 biết x + y = 4 Bài 8 Tìm GTNN của : A = -x 2 + 4 x + 21 − -x 2 + 3 x + 10 Bài 9( 76/ 29) Tìm GTNN của : A = x y z + + với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A = x − 4 + y − 3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một... x −1 − 3 x −1 Bài 29: Cho biểu thức: G= 10) a) Rút gọn F b) CMR: F < 3 x+2 x 1 x −1 : ( x ≥ 0; x ≠ + − x x −1 x + x +1 1− x 2 Bài 30 : Cho biểu thức: H= 9) a) Rút gọn H b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 28 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 ( x ≥ 0; x ≠ 9) + − x + 2 x − 3 1− x x...GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) 3 2 Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 ≥ 9 A ⇒ A ≤ ÷ 9 3 3 1 2 max A = ÷ khi và chỉ khi x = y = z = 3 9 VD 5: Tìm GTNN của A = xy yz zx + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1 z x y... các cạnh thỏa mãn: a ≤ b ≤ c CMR: ( a + b + c ) 2 ≤ 9bc Giải: Từ giả thiết bài ra ta có: Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngơ 22 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TỐN 9 Năm Học: 2013- 2014 2b ≥ b + a > c ⇒ 4b − c > 0 ⇒ (b − c).(4b − c) ≤ 0 ⇒ 4b 2 + c 2 ≤ 5bc ⇒ ( 2b + c ) ≤ 9bc(1) Mà: (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2 ≤ 9bc Ta có đpcm Bài 13: Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) . Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 7 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ :. Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô 19 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, 2 2 4 4 1 4 12 9y x x x x= − + + − + b, 2 2 4 4 6 9y x x x x= + + + − + Bài 2: Tìm. Hạnh Trường THCS Suối Ngô 6 GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014 2 2 2 B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 4 - 4 4 6 9 2 2 1 − + + − + + − +