CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Trong hoạt động dạy v{ học của nh{ trường, vấn đề tìm tòi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều cơ hội s|ng tạo, đó cũng chính l{ đổi mới phương ph|p dạy học . L{ gi|o viên giảng dạy ở bộ môn to|n trung học phổ thông, chúng tôi đ~ gặp nhiều trắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ thông trung học. Vì mỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch giải thể hiện kh|i niệm to|n học của nó. Trong c|c c|ch giải kh|c nhau đó, có c|ch giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có c|ch giải thể hiện tính s|ng tạo của to|n học. Những va ́n đe ̀ lie n quan đe ́n tam giác luo n là va ́n đe ̀hay và khó ở pho ̉tho ng đo ́ i với cả người dạy và người học. Vìcác he ̣ thức trong tam giác rát nhièu, phong phú và đa dạng. Trong lua ̣n va n này chúng to i xin đưa ra mo ̣t so ́ cách pha n loại các he ̣ thức, cách tìm ra các he ̣ thức trong tam giác đẻngười học tháy ván đèbản cha ́t hơn. Lua ̣n va n đượ c chia làm ba chương: Chương 1: KIe ́n thức chuâ ̉n bị Chương này he ̣tho ́ng lại các định li, ́ co ng thức và mo ̣t so ́ đa ̉ng thức, ba ́t đa ̉ng thức cơ bản nha ́t của tam giác như định líhàm so ́ sin, hàm sócos,…, các co ng thức tính die ̣n tích, đường cao bán kính… Pha ̀n 1.9 he ̣ tho ́ng lại những đa ̉ng thức ve ̀ ye ́u to ́ góc cơ bản trong tam giác Pha ̀n 1.10 ne u lại mo ̣t so ́ ba ́t đa ̉ng thức cơ bản dùng trong lua ̣n va n đe ̉ chứng minh các bài toán ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác. Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác Trong chương này đưa ra hai cách đe ̉tìm đượ c các he ̣ thức trong tam giác.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN H TRỌNG HU CC BT ĐNG THC, ĐNG THC TRONG TAM GIC V NG DNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ TRỌNG HU CC BT ĐNG THC, ĐNG THC TRONG TAM GIC VÀ NG DNG :      : 604640 TÓM TẮT LUN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NG DN KHOA HC: TS.      i   Mc Lc      3      5          6    6  7         7 1.1   : 7 1.2       : 7 1.3       : 7           : 7 1.5         : 7 1.6     : 8 1.7     : 8 1.8     : 8 1.9            8  10  10   10 2.1.1        10 2.1.2 Nhng biu dic (2.1.4) thng bt  12 2.1.3. Nhng min con cng vi nh 13 u thc ca nh p,x,y 15  gia nhng trong m 17 2.2          22 2.2.1            22  23 NG MINH BNG TH 23 ng minh bng thc d c  23 3.2  dng bng th chng th 23  dng bng th chng th 23 3.4                  25 KT LUN 30 liutham k h  o 32                                  .  , phong .       ,      .  : 1:       -    ,       ,            , ,,   ,   -   1.9              -   1.10                  . 2:      .           .       = + +  2 = 4(+ + ) + +  = 8 2  3   2 +  2 +  2  + 2(+ + ) (+ + ) 2          .         ,   ,   , , .    . 2.2       ,   R, r, p. Ta   (,  ,   )         . 3       ,     , ,      ,       Chebyshev         .       , .            , Ts.  .      , ,     .          !                . ,    ,  ,   .  ,   .            . .  , 10\05\2013          A, B, C :  a, b, c : , B, C   ,  ,   :   , B, C :    :      ,   ,   :   A, B,   :   :   1:       1.1    sin:   =   =   = 2. 1.2   cos:  2 =  2 +  2 2.   2 =  2 +  2 2.   2 =  2 + 2.  1.3   tan:  +  =   2  + 2  +  =   2  + 2  +  =   2  + 2 1.4  :   = 1 2   = 1 2   = 1 2   = 1 2 . = 1 2 . = 1 2 .  =  4 = = ()  = ()  = ()  =  ()()() ( -ron). 1.5  :    =  2 =  2 =  2 =  4    = ()  2 = ()  2 = ()  2 =     :   =   2 =     =   2 =     =   2 =   . 1.6      :   2 =  2 +  2 2   2 4   2 =  2 +  2 2   2 4   2 =  2 +  2 2   2 4 . 1.7  :   = 2 +    2   = 2 +    2   = 2 +    2 1.8    : = . + . = (  2 +   2 ) = . + . = (  2 +   2 ) = . + . = (  2 +   2 ). 1.9      1.9.4     , y,        sau 1.9.4.1 + + (+ + ) = 4 +  2  +  2  +  2 . 1.9.4.2+ + + (+ + ) = 4 +  2  +  2  +  2 . 1.9.4.3+ + (+ + ) =  (+ )(+ )(+ )    (+ + ) . 1.9.4.4 + + cot  + +   = (+ )(+ )(+ )    (+ + ) . :Thay{ , , }   1.9.4   {, , }; {(2+ 1), (2+ 1), (2+ 1)}; {2, 2, 2}; {(2+ 1)  2 , (2+ 1)  2 , (2+ 1)  2 }  , ,       1.9.1; 1.9.2; 1.9.3. [...]... THỨCTRONGTAMGIÁC 3.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựâ vào miền giá trị củâ hàm số cos và sin Trong mục này, ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác dựa vào 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 và sin 𝑥 ≤ 1 3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh các bất đẳng thức trong tâm giác 3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh các bất đẳng thức trong tâm giác. .. G tƣơng ứng với vô hạn những tam giác, mà chúng đồng dạng với cùng một tam giác Những điểm của miền G xác định tất cả những tam giác với những lớp đồng dạng 2.1.3 Những miền con củâ G, tương ứng với những tâm giác tù, tâm giác nhọn và tâm giác vuông Ta ký hiệu 𝐶 là góc lớn nhất của tam giác, ta có 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑐 2 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 2𝑎𝑏 Và suy ra tam giác tù , tam giác nhọn , tam giác vuông phụ thuộc vào... y vẻ đẹ p, sư kì diẹ u củ a tam giá c và cá c yé u tó trong tam giá c Cá c ̣ ̣ ̣ đả ng thưc và bá t đả ng thưc trong tam giá c chú ng khong lẻ tẻ, rơi rạ c, rieng rẽ mà ́ ́ ̀ có mọ t mó i quan hẹ “anh em” nà o đó Toi thạ t sư bị me hoạ c, cà ng nghien cưu ̣ ́ cà ng thá y bị cuó n hú t Xay dưng đả ng thưc,bá t đả ng thưc trong tam giá c ̣ ́ ́ cơbản đượcrấtnhiều... mớikhôngđơngiản.Trongbảnluậnvănn{yt|cgiảcũngđ~đạtđược mộtsốkếtquảsau: 1 Tá c giả đã hẹ thó ng lạ i đươc cá c cong thưc, tính chá t, định lí cơ bả n và cá c đả ng ̣ ́ thưc cơ bả n trong tam giá c ́ 2 Tá c giả đưa ra hai cá ch đẻ tìm cá c hẹ thưc trong tam giá c Cá ch thư nhá t là đưa ́ ́ và o thong só thích hơp cho tam giá c(x, y, p) Cá ch thư hai là chỉ ra cá c yé u tó ̣ ́ trong. .. nhận đƣợc những tam giác cân b=c trên cung parabol: Y QM: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , 1 3 ≤ 𝑥 < 1 M 1 1 3 9 P 5 Ta có 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 chỉ tại điểm Q( , ) Q O 0 1 X Kết luận, tất cả những tam giác cân tƣơng ứng với những điểm trên cung parabol OM Điểm Q tƣơng ứng với những tam giác đều Đặc biệt những tam giác nhọn đều tƣơng ứng nằm trong miền 3 − 2 2 < 𝑥 < 1, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , những tam giác tù đều tƣơng ứng nằm trong miền 0... đẩ ng thưc trong tâm giấ c nhơ bấ t đẩ ng ́ ́ ̀ thưc Jenxen ́ Trong mụ c nà y ta sư dụ ng tính chá t lò i lõ m củ ahà m só lương giá c đẻ chưng minh ̉ ̣ ́ mọ t só dạ ng bá t đả ng thưc trong tam giá c Cũ ng như sư dụ ng tính chá t lò i, lõ m ́ ̉ củ a hà m lương giá c và bá t đả ng thưc Jenxen đẻ xay dưng ra cá c bà i toá n bá t đả ng ̣ ́ ̣ thưc trong tam giá c... hệ giữa những đại lượng trong một tâm giác Qua những thông số ta đƣa vào có thể tìm ra hang loạt mối liên hệ giữa những đại lƣợng của một tam giác Hoặc dung các thông số để chứng minh hàng loạt các đẳng thức và bất đẳng thức giữa các đại lƣợng của một tam giác một cách giải tích Chú ý rằng khi sử dụng x và y chúng phải thỏa mãn (2.1.10) Hãy chứng minh rằng trong mọi tam giác đều thỏa mãn những... minh rằng với mọi tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 𝐵 𝐶 1 + 𝑡𝑎𝑛3 + 𝑡𝑎𝑛3 ≥ 2 2 2 3 Bài tập 3.4.21Chứng minh rằng với mọi tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝐴 + 2 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝐵 2 + 1 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝐶 ≥ 3 2 𝑛 (𝑛𝑙à 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔) 2 Bài tập 3.4.22Chứng minh rằng với mọi tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 𝜋 2 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 + 𝐶𝑐𝑜𝑠 ≤ 1+ 3 4 4 4 4 KẾTLUẬN Khi là m luạ n van vè cá c bá t đả ng thưc và đả ng thưc trong tam giá c toi mơi... yé u tó trong tâm giấ c Cá c yé u tó trong tam giá c có thẻ bié n đỏ i theo ba đạ i lương, có thẻ gọ i là ba đạ i ̣ lương cơ bả n củ a tam giá c đó là R, r, p Ta sẽ chỉ ra rà ng cá c yé u tó củ a tam giá c ̣ (cạ nh, đương cao, hà m só lương giá c củ a cá c gó c…) là nghiẹ m củ a phương trình ̀ ̣ bạ c ba mà hẹ só theo ba yé u tó cơ bả n củ a tam giá c... trong miền 3 − 2 2 < 𝑥 < 1, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , những tam giác tù đều tƣơng ứng nằm trong miền 0 < 𝑥 < 3 − 2 2, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , tam giác vuông đều tƣơng ứng tại điểm P 2.1.4 Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tam giác thông quâ thông số p,x,y 2.1.4.1.Diện tích S của tam giác theo công thức Heron 𝑝 𝑝− 𝑎 S= 𝑝 − 𝑏 (𝑝 − 𝑐) từ đây ta có 1 S = p2 𝛼 (2.1.14) Ở đây ta đặt α = (𝑦 − 𝑥)(1 − 𝑥) (2.1.15) . TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN H TRỌNG HU CC BT ĐNG THC, ĐNG THC TRONG TAM GIC V NG DNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2013 ĐẠI. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ TRỌNG HU CC BT ĐNG THC, ĐNG THC TRONG TAM GIC VÀ NG DNG :      : 604640 . nm trong min G, th hi mng parabol = 2  2 t- 2  2 , 8  2 - 11). 1. Nhc vi tt c nhm trong