BÀI TẬP LỚN HỆ CHUYÊN GIA Đề Tài: Bài toán điều khiển máy bơm nước sử dụng các luật mờ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Khoa Công Nghệ Thông Tin BÀI TẬP LỚN HỆ CHUYÊN GIA Đề Tài: Bài toán điều khiển máy bơm nước sử dụng các luật mờ Giáo Viên Hướng Dẫn: Th.s Trần Hùng Cường Lớp: HTTT1 – K6 Nhóm Sinh Viên Thực Hiện: Nhóm 15 1. Trần Văn Hằng 0641260026 2. La Thị Dương Liễu 0641260003 3. Ngô Thị Hà 0641260043 4. Đỗ Thị Thanh Huyền 0641260039 5. Vương Sỹ Tuấn 0641260005 Hà nội tháng 6 năm 2014 Lời nói đầu Con người giao tiếp bằng ngôn ngữ tự nhiên, mà bản chất của ngôn ngữ tự nhiên là mơ hồ và không chính xác. Tuy vậy, trong hầu hết tình huống, con người vẫn hiểu những điều mà người khác muốn nói với mình. Khả năng hiểu và sử dụng đúng ngôn ngữ tự nhiên, thực chất là hiểu và xử lý đúng thông tin không chính xác chứa trong đó, có thể coi là thước đo mức độ hiểu biết, thông minh của con người. Con người cũng luôn mơ ước máy tính, người bạn, người giúp việc đắc lực của mình, ngày càng thông minh và hiểu biết hơn. Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính hiểu và xử lý được những thông tin không chính xác, xấp xỉ, áng chừng là một nhu cầu bức thiết. Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựng các hệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác. Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ điều khiển có tính linh động rất cao. Chúng có thể hoạt động tốt ngay trong điều kiện có nhiều nhiễu hoặc những tình huống chưa được học trước. Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ chuyên gia có khả năng suy luận như những chuyên gia hàng đầu và có khả năng tự hoàn thiện thông qua việc thu nhận tri thức mới. Ngày nay logic mờ có phạm vi ứng dụng rộng rãi trên thế giới, từ những hệ thống cao cấp phức tạp như những hệ dự báo, nhận dạng, robos, vệ tinh, du thuyền, máy bay,… đến những đồ dùng hằng ngày như máy giặt, máy điều hoà không khí, máy chụp hình tự động. Ở Việt Nam, việc nghiên cứu về lý thuyết cũng như ứng dụng của logic mờ đã có lịch sử gần hai thập kỷ và đã thu được những thành tựu to lớn. Tuy vậy vẫn cần thiết phải phát triển hơn nữa cả về chiều sâu lẫn chiều rộng. Bài thu hoạch này của nhóm là kết quả tìm hiểu về logic mờ, phương pháp xây dựng một hệ điều khiển mờ điển hình và minh hoạ lý thuyết bằng một hệ mờ đơn giản để điều khiển máy bơm nước.

Khoa Công Nghệ Thông Tin

BÀI TẬP LỚN

HỆ CHUYÊN GIA

Đề Tài: Bài toán điều khiển máy bơm nước sử dụng các luật mờ

Giáo Viên Hướng Dẫn: Th.s Trần Hùng Cường

Hà nội tháng 6 năm 2014

Lời nói đầu

Con người giao tiếp bằng ngôn ngữ tự nhiên, mà bản chất của ngôn ngữ tựnhiên là mơ hồ và không chính xác Tuy vậy, trong hầu hết tình huống, con người vẫnhiểu những điều mà người khác muốn nói với mình Khả năng hiểu và sử dụng đúngngôn ngữ tự nhiên, thực chất là hiểu và xử lý đúng thông tin không chính xác chứatrong đó, có thể coi là thước đo mức độ hiểu biết, thông minh của con người Conngười cũng luôn mơ ước máy tính, người bạn, người giúp việc đắc lực của mình,ngày càng thông minh và hiểu biết hơn Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính hiểu và xử

lý được những thông tin không chính xác, xấp xỉ, áng chừng là một nhu cầu bức thiết

Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựngcác hệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác Nhờ có logic mờ mà conngười xây dựng được những hệ điều khiển có tính linh động rất cao Chúng có thểhoạt động tốt ngay trong điều kiện có nhiều nhiễu hoặc những tình huống chưa đượchọc trước Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ chuyên gia cókhả năng suy luận như những chuyên gia hàng đầu và có khả năng tự hoàn thiệnthông qua việc thu nhận tri thức mới

Ngày nay logic mờ có phạm vi ứng dụng rộng rãi trên thế giới, từ những hệthống cao cấp phức tạp như những hệ dự báo, nhận dạng, robos, vệ tinh, du thuyền,máy bay,… đến những đồ dùng hằng ngày như máy giặt, máy điều hoà không khí,máy chụp hình tự động Ở Việt Nam, việc nghiên cứu về lý thuyết cũng như ứngdụng của logic mờ đã có lịch sử gần hai thập kỷ và đã thu được những thành tựu tolớn Tuy vậy vẫn cần thiết phải phát triển hơn nữa cả về chiều sâu lẫn chiều rộng

Bài thu hoạch này của nhóm là kết quả tìm hiểu về logic mờ, phương pháp xây dựng một hệ điều khiển mờ điển hình và minh hoạ lý thuyết bằng một hệ mờ đơn giản

để điều khiển máy bơm nước

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

Lời nói đầu 2

Phần 1 LOGIC MỜ 5

I Tập mờ 5

1 Tập mờ và khái niệm tập mờ 5

2 Các dạng hàm thuộc tiêu biểu 6

3 Các khái niệm liên quan 7

4 Các phép toán trên tập mờ 8

5 Các phép toán mở rộng 9

II Số mờ 14

1 Định nghĩa về số mờ 14

2 Các phép toán 14

3 Nguyên lý suy rộng của Zadeh 14

III Logic mờ 15

1 Biến ngôn ngữ 15

2 Mệnh đề mờ 17

4 Luật modus-ponens tổng quát 19

Phần 2: HỆ MỜ 22

I Kiến trúc của hệ mờ tổng quát 22

II Cơ sở luật mờ 23

III Bộ suy diễn mờ 24

1 Trường hợp một đầu vào và một luật 24

2 Trường hợp hai đầu vào và một luật 25

3 Trường hợp nhiều đầu vào và nhiều luật 26

IV Bộ mờ hóa 26

1 Mờ hóa đơn trị 26

2 Mờ hóa Gaus 27

4 Mờ hoá tam giác 27

V Bộ giải mờ 27

1 Phương pháp lấy max 27

2 Phương pháp lấy trọng tâm 28

3 Phương pháp lấy trung bình tâm 28

VI Hệ mờ là một hệ xấp xỉ vạn năng 28

VII So sánh hệ mờ với mạng nơron 29

Phần 3 THIẾT KẾ HỆ ĐIỀU KHIỂN MỜ TỪ TẬP DỮ LIỆU VÀO VÀ RA 30

I Thiết kế hệ điều khiển mờ bằng dữ liệu vào 30

Phần 4 HỆ ĐIỀU KHIỂN MÁY BƠM NƯỚC TỰ ĐỘNG 33

I Giới thiệu bài toán 33

II Giải quyết bài toán 33

Thuật ngữ 42

Ta xét tập hợp những người trẻ Ta thấy rằng người dưới 26 tuổi thì rõ ràng làtrẻ và người trên 60 tuổi thì rõ ràng là không trẻ Nhưng những người có tuổi từ 26đến 60 thì có thuộc tập hợp những người trẻ hay không? Nếu áp dụng khái niệm tậphợp cổ điển thì ta phải định ra một ranh giới rõ ràng và mang tính chất áp đặt chẳnghạn là 45 để xác định tập hợp những người trẻ Và trong thực tế thì có một ranh giới

mờ để ngăn cách những người trẻ và những người không trẻ đó là những người trungniên Như vậy, những người trung niên là những người có một “độ trẻ” nào đó Nếucoi “độ trẻ” của người dưới 26 tuổi là hoàn toàn đúng tức là có giá trị là 1 và coi “độtrẻ” của người trên 60 tuổi là hoàn toàn sai tức là có giá trị là 0, thì “độ trẻ” của ngườitrung niên sẽ có giá trị p nào đó thoả 0 < p < 1

Như vậy nhu cầu mở rộng khái niệm tập hợp và lý thuyết tập hợp là hoàn toàn

tự nhiên Các công trình nghiên cứu về lý thuyết tập mờ và logic mờ đã được L.Zadehcông bố đầu tiên năm 1965, và sau đó liên tục phát triển mạnh mẽ

Định nghĩa: Cho không gian nền U, tập A ¿ U được gọi là tập mờ nếu A được xác định bởi hàm μ A :X->[0,1] μ A được gọi là hàm thuộc, hàm liên thuộc hay hàm thành viên (membership function)

Với x ¿ X thì μ A (x) được gọi là mức độ thuộc của x vào A.

Như vậy ta có thể coi tập rõ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ, trong đó hàm thuộc chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1

Ký hiệu tập mờ, ta có các dạng ký hiệu sau:

 Liệt kê phần tử: giả sử U={a,b,c,d} ta co thể xác định một tập mờ A=

thuộc μ nhanh như đồ thị

Như vậy tốc độ dưới 20km/h được coi là không nhanh Tốc độ càng cao thì độthuộc của nó vào tập F càng cao Khi tốc độ là 100km/h trở lên thì độ thuộc là 1

3 Các khái niệm liên quan

Giả sử A là tập mờ trên vũ trụ U, có hàm thuộc μ A thì ta có các khái niệm sau:

 Giá đỡ của A, ký hiệu supp(A) là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x

 Tập mờ A được gọi là tập mờ chuẩn tắc (normal fuzzy set) nếu

height(A)=1 Tức là tập mờ chuẩn tắc có nhân khác rỗng

Theo lý thuyết thì hàm thuộc có thể là một hàm bất kỳ thoả μ A :X->[0,1] Nhưng trong thực tế thì có các dạng hàm thuộc sau đây là quan trọng và có tính ứng dụng cao hơn cả

4 Các phép toán trên tập mờ

Giả sử A và B là các tập mờ trên vũ trụ U thì ta có các định nghĩa sau:

Quan hệ bao hàm

A được gọi là bằng B khi và chỉ khi ∀ x ¿ U, μ A (x) = μ B (x)

A được gọi là tập con của B, ký hiệu A ¿ B khi và chỉ khi ∀ x ¿ U, μ A (x) ¿

μ B (x)

Phần bù

Phần bù mờ của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc được xác định bởi:

Giả sử A là tập mờ trên không gian tích U1 ¿ A2 Hình chiếu của A trên

U1 là tập mờ A1 với hàm thuộc được xác định bởi:

μ A

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho trường hợp không gian tích n chiều

Mở rộng hình trụ

Giả sử A1 là tập mờ trên vũ trụ U1 Mở rộng hình trụ của A1 trên không gian tích U1 ¿ A2 là tập mờ A với hàm thuộc được xác định bởi:

Giả sử xét hàm C:[0,1] -> [0,1] cho bởi công thức C(a) = 1 – a, ∀ a ¿ [0,1]

Khi đó hàm thuộc của phần bù chuẩn trở thành μ A (x) = C( μ A (x)) Nếu tổng quát hoá tính chất của hàm C thì ta sẽ có tổng quát hoá định nghĩa của phần bù mờ Từ đó

ta có định nghĩa: Phần bù mờ của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc được xác

định bởi μ A (x) = C( μ A (x)), trong đó C là một hàm số thoả các điều kiện sau:

i Tiên đề C1 (điều kiện biên): C(0) = 1, C(1) = 0

ii Tiên đề C2 (đơn điệu giảm): ∀ a, b ¿ [0,1] Nếu a < b thì C(a) ¿ C(b)

Hàm C thoả các điều kiện trên được gọi là hàm phần bù.

Ta thấy rằng hàm thuộc của phần bù chuẩn là một hàm đặc biệt trong họ các hàm phần bù

Ví dụ:

Hàm phần bù Sugeno C(a) =

1−a 1+ λaa trong đó λa là tham số thoả λa > -1 Hàm bù chuẩn là trường hợp đặc biệt của hàm Sugeno khi λa = 0

Hàm phần bù Yager C(a) = (1−a w)

1

w

trong đó w là tham số thoả w > 0 Hàm bù chuẩn là trường hợp đặc biệt của hàm Yager khi w = 1

i Tiên đề S1 (điều kiện biên): S(0,a) = a, ∀ a ¿ [0,1]

ii Tiên đề S2 (giao hoán): S(a,b) = S(b,a), ∀ a,b ¿ [0,1]

iii Tiên đề S3 (kết hợp): S(S(a,b),c) = S(a,S(b,c)), ∀ a,b,c ¿ [0,1]

iv Tiên đề S4 (đơn điệu tăng): Nếu a ¿ b và c ¿ d thì S(a,c) ¿ S(b,d), ∀

a,b,c,d ¿ [0,1]

S-norm còn được gọi là co-norm hoặc T-đối chuẩn

Hợp của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A ¿ B với hàm thuộc được xác định bởi:

μ A∪ B (x) = S( μ A (x), μ B (x))trong đó S là một S-norm

Ngoài hàm max, ta có một số hàm S-norm quan trọng sau đây:

Tw( a,b)=1−min [ 1,((1−a)w+(1−b)w)

1

w]

Trong đó w là tham số thoả w > 0

Giao mờ – các phép toán T-norm

Ta có định nghĩa hàm T-norm là tổng quát hoá của hàm min:

Một hàm số T: [0,1]x[0,1] -> [0,1] được gọi là một T-norm nếu thoả các điều kiện:

i Tiên đề T1 (điều kiện biên): T(1,a) = a, ∀ a ¿ [0,1]

ii Tiên đề T2 (giao hoán): T(a,b) = T(b,a), ∀ a,b ¿ [0,1]

iii Tiên đề T3 (kết hợp): T(T(a,b),c) = T(a,T(b,c)), ∀ a,b,c ¿ [0,1]

iv Tiên đề T4 (đơn điệu tăng): Nếu a ¿ b và c ¿ d thì T(a,c) ¿ T(b,d), ∀

a,b,c,d ¿ [0,1]

T-norm còn được gọi là T-chuẩn hoặc chuẩn tam giác

Giao của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A ¿ B với hàm thuộc được xác định như sau:

μ A∩ B (x) = T( μ A (x), μ B (x))Trong đó T là một T-norm

Ngoài hàm min, ta có một số hàm T-norm quan trọng sau đây:

 Phép giao Yager:

Tw( a,b)=1−min [ 1,((1−a)w+( 1−b)w)

1

w]

Trong đó w là tham số thoả w>0

Định lý: Với mọi T-norm bất kỳ T và S-norm bất kỳ S ta có:

a ¿ b ¿ T(a,b) ¿ min(a,b) ¿ max(a,b) ¿ S(a,b) ¿ a ¿ b

Tích đề-các mờ

Tích đề-các của tập mờ A1 , A2 , …, A1 trên các vũ trụ U1 , A2 , …, A1

tương ứng là tập mờ A = A1 ¿ A2 ¿ … ¿ A1 trên không gian tích U1

¿ A2 ¿ … ¿ A1 với hàm thuộc được xác định như sau:

hệ mờ theo cách tính hàm thuộc cho tích đề-các mờ

Khi U = V ta nói R là quan hệ trên U

Tổng quát một quan hệ mờ R giữa các tập U1 , A2 , …, A1 là tập mờ A

= A1 ¿ A2 ¿ … ¿ A1 trên không gian tích U1 ¿ A2 ¿ … ¿ A1

Trong đó A i ¿ U i , i = 1 n

μ RoS (u,w) = maxv ∈V { min( μ R (u,v), μ Z (v,w)) }

 Hàm hợp max-tích (hay max-prod):

μ RoS (u,w) = maxv ∈V { μ R (u,v) μ Z (v,w) }

II Số mờ

1 Định nghĩa về số mờ

Tập mờ M trên đương thẳng thực R là tập số mờ nếu:

a) M là chuẩn hoá, tức là có điểm x sao cho μ M(x) = 1

b) Ứng với mỗi a α ¿ R, tập mức {x: M(x) ¿ α } là đoạn đóng

Người ta thường dùng các số mờ tam giác, hình thang và dạng Gauss

2 Các phép toán

a) Cộng: [a,b] + [d,e] = [a+d, b+e]

b) Trừ: [a,b] - [d,e] = [a-e, b-d]

c) Nhân: [a,b] * [d,e] = [min(ad,ae, bd, be), max(ad,ae, bd, be)]

d) Chia: [a,b] / [d,e] = [min(a/d,a/e, b/d, b/e), max(a/d,a/e, b/d, b/e)]

3 Nguyên lý suy rộng của Zadeh

Để làm việc với các hệ thống có nhiều biến vào, nguyên lý suy rộng của Zadeh

là rất quan trọng

Định nghĩa: Cho Ai là tập mờ với các hàm thuộc μ Ai trên không gian nền Xi,(i=1 n) Khi đó tích A1xA2x An là tập mờ trên X=X1xX2x Xn với hàm thuộc:

μ A(x)=min{ μ Ai(xi); i=1 n} Trong đó x=(x1,x2, xn)

Giả sử mỗi biến đầu vào xi lấy giá trị là Ai(i=1 n) Hàm f:X->Y chuyển cácgiá trị đầu vào là Ai thành giá trị đầu ra B Khi đó B là tập mờ trên Y với hàm thuộcxác định bởi:

μ B(x)=max{min( μ Ai(xi)); i=1 n : x ¿ f −1 (y)} nếu f −1 (y) ¿ φ

μ B(x)=0 nếu f −1 (y) = φ

Trong đó f −1 (y) = {x ¿ X : f(x)=y}

Ta có thể áp dụng nguyên lý suy rộng cho định nghĩa suy rộng của phép cộngnhư một hàm 2 biến mờ Tương tự cho các phép toán trừ, nhân, chia

Từ các phép toán cơ bản người ta xây dựng nên số học mờ Có nhiều cách xâydựng một số học mờ Sau đây là số học mờ dựa trên khái niêm α -cuts (lát cắtalpha) α -cuts của số mờ là khoảng đóng thực với mọi 0< α <=1

Các tính chất số học mờ dựa trên khoảng đóng:

Gọi A=[a1,a2], B=[b1,b2], C=[c1, c2], O=[0,0], 1=[1,1] ta có:

1 A+B=B+A; A.B=B.A

2 (A+B)+C=A+(B+C); (A.B).C=A.(B.C)

3 A=O+A=A+O; A=1.A=A.1

4 A.(B+C) ¿ A.B+A.C

là lời khuyên đầu thì có ích hơn bởi vì nếu nhận được lời khuyên sau thì ta dễ bị ngộ nhận là có thể chạm tay vào vật có nhiệt độ là 79 ∘ C trong khi đó vật có nhiệt độ 80

∘

C trở lên thì không Nhưng vấn đề đặt ra là nếu nghe theo lời khuyên đầu thì ta có thể xác định rõ là nhiệt độ bằng bao nhiêu thì có thể chạm tay vào? Câu trả lời là tuỳ vào ý kiến của từng người Với nhiệt độ là 60 ∘ C thì có người cho là cao trong khi người khác thì không Tuy các ý kiến là khác nhau nhưng có một điều chắc chắn là khi giá trị của biến nhiệt độ càng tăng thì càng dễ dàng được chấp nhận là “cao” Như

vậy nếu xét hàm μ cao nhận biến nhiệt độ và trả về tỷ lệ ý kiến đồng ý là “cao” thì

μ cao sẽ là hàm thuộc của tập mờ “nhiệt độ cao” trên vũ trụ “nhiệt độ”

Biến nhiệt độ có thể nhận giá trị “cao” là một giá trị của ngôn ngữ tự nhiên nên

nó được gọi là một biến ngôn ngữ (linguistic variable)

Khái niệm biến ngôn ngữ đã được Zadeh đưa ra năm 1973 như sau:

 Một biến ngôn ngữ được xác định bởi bộ (x, T, U, M) trong đó:

 x là tên biến Ví dụ “nhiệt độ”, “tốc độ”, “độ ẩm”,…

 T là tập các từ là các giá trị ngôn ngữ tự nhiên mà x có thể nhận Ví dụ x

là “tốc độ” thì T có thể là {“chậm”, “trung bình”, “nhanh”}

 U là miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận Ví dụ x là “tốc độ” thì U cóthể là {0km/h,1km/h, …150km/h}

 M là luật ngữ nghĩa, ứng mỗi từ trong T với một tập mờ At trong U

Từ định nghĩa trên chúng ta có thể nói rằng biến ngôn ngữ là biến có thể nhận giá trị là các tập mờ trên một vũ trụ nào đó

2 Mệnh đề mờ

Trong logic cổ điển (logic vị từ cấp một), một mệnh đề phân tử P(x) là mộtphát biểu có dạng “x là P” trong đó x là một đối tượng trong một vũ trụ U nào đóthoả tính chất P Ví dụ “x là số chẵn” thì U là tập các số nguyên và P là tính chất chia

hết cho 2 Như vậy ta có thể đồng nhất một mệnh đề phân tử “x là P” với một tập (rõ)

A = { x ¿ U | P(x) }

Từ đó ta có: P(x) = λa (x)

Trong đó λa là hàm đặc trưng của tập A ( x ¿ A  λa (x) = 1) Giá trị chân

lý của P(x) chỉ nhận một trong hai giá trị 1 và 0 (true và false) tương ứng với sự kiện

x thuộc A hoặc không

Trong trường hợp P là một tính chất mờ chẳng hạn như “số lớn” thì ta sẽ cómột mệnh đề logic mờ phân tử Khi đó tập hợp các phần tử trong vũ trụ U thoả P làmột tập mờ B có hàm thuộc μ B sao cho: P(x) = μ B (x)

Lúc này P(x) có thể nhận các giá trị tuỳ ý trong [0,1] Và ta thấy có thể đồngnhất các hàm thuộc với các mệnh đề logic mờ

Các phép toán mệnh đề mờ

Trong logic cổ điển, từ các mệnh đề phân tử và các phép toán ¿ (AND), ¿

(OR), ¬ ¿ ¿ (NOT) ta có thể lập nên các mệnh đề phức Ta có:

¬ ¿ ¿ P(x) = 1 – P(x)

P(x) ¿ Q(y) = min(P(x), Q(y))

P(x) ¿ Q(y)=max(P(x), Q(y))

P(x)=>Q(y) = ¬ ¿ ¿ P(x) ¿ Q(y) = max(1-P(x), Q(y))

P(x)=>Q(y) = ¬ ¿ ¿ P(x) ¿ (P(x) ¿ Q(y)) = max(1-P(x), min(P(x), Q(y)))

Như vậy, ta sẽ có mở rộng một cách tự nhiên từ logic cổ điển sang logic mờvới quy tắc tổng quát hoá dùng hàm bù mờ cho phép phủ định, hàm T-norm cho phépgiao và S-norm cho phép hợp Sự mở rộng này dựa trên sự tương quan giữa mệnh đềlogic mờ với hàm mờ và các phép toán trên tập mờ Ta có:

¬ ¿ ¿ μ A (x) = C( μ A (x))

S-Phép toán kéo theo mờ – luật if-then mờ thông dụng

Các phép toán kéo theo có vai trò quan trọng trong logic mờ Chúng tạo nêncác luật mờ để thực hiện các phép suy diễn trong tất cả các hệ mờ Do một mệnh đề

mờ tương ứng với một tập mờ nên ta có thể dùng hàm thuộc thay cho các mệnh đề.Sau đây là một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi:

Phép kéo theo Dienes – Rescher

Nếu áp dụng công thức (1) với S-norm max và C là hàm bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Dienes – Rescher

μ A (x) => μ B (y) = max(1- μ A (x), μ B (y))

Phép kéo theo Lukasiewicz

Nếu áp dụng công thức (1) với S-norm là hàm hợp Yager với w=1 và C là hàm bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Lukasiewicz:

μ A (x) => μ B (y) = min(1, 1- μ A (x)+ μ B (y))

Phép kéo theo Zadeh

Nếu áp dụng công thức (2) với S-norm là max, T-norm min hoặc tích và C là hàm

bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Zadeh:

μ A (x) => μ B (y) = max( 1- μ A (x), min( μ A (x), μ B (y))) (a)

μ A (x) => μ B (y) = max( 1- μ A (x), μ A (x) μ B (y)) (b)

Kéo theo Mamdani

Ta có thể coi mệnh đề μ A (x) => μ B (y) xác định một quan hệ 2 ngôi R ¿UxV Trong đó U là không gian nền của x (vũ trụ chứa x), V là không gian nền của y (vũ trụ chứa y) Khi đó giá trị chân lý của mệnh đề μ A (x) => μ B (y) là giá trị hàm thuộc của cặp (x,y) vào R Theo công thức xác định hàm thuộc của quan hệ mờ ta có

4 Luật modus-ponens tổng quát

Tương tự logic cổ điển, trong logic mờ cũng có luật modus-ponens như sau:GT1 (luật) : if “x là A” then “y là B”

GT2 (sự kiện) : “x là A’”

Trong đó A, B, A’, B’ là các biến ngôn ngữ (có nghĩa là các tập mờ)

Công thức tính kết luận của luật modus-ponens như sau:

μ B ' (y) = sup

Trong đó T là một hàm T-norm và R là quan hệ hai ngôi xác định bởi phép kéo theo Cách tính μ R (x,y), chính là cách tính giá trị chân lý của phép kéo theo trình bày ở phần trước Như vậy tuỳ theo cách chọn cách tính luật kéo theo khác nhau mà

ta có cách tính kết quả của luật modus-ponens khác nhau

Ví dụ: Giả sử quan hệ giữa nhiệt độ và áp suất cho bởi luật sau:

Nếu nhiệt độ là cao thì áp suất là lớn.

Nhiệt độ nhận các giá trị trong U = {30, 35, 40, 45}

Ap suất nhận các giá trị trong V = {50,55,60,65}

Ta có các tập mờ xác định bởi các biến ngôn ngữ nhiệt độ và áp suất như sau:

Áp dụng luật kéo theo Mamdani tích ta có quan hệ mờ sau (giá trị dòng i, cột j là giá trị hàm thuộc của cặp nhiệt độ i và áp suất j vào quan hệ)

50 55 60 65

Bây giờ, giả sử ta biết sự kiện “nhiệt độ là trung bình” và

A’ = “nhiệt độ trung bình” =