Hàm số phân thức khóa luyện thi đảm bảo hocmai.vn

De_bai-Tiep_tuyen_phan_thuc.doc Dap_an-Tiep_tuyen_ham_phan_thuc.doc De_bai-Cuc_tri_phan_thuc.doc ap-Cuc_tri_phan_thuc.do c De_bai-Tuong_giao_phan_thuc.doc Dap_an-Tuong_giao_phan_thuc.doc De_bai_bai-Tiem_can_phan_thuc.doc Dap_an-Tiem_can_phan_thuc.doc CHUYEN DE II: HAM SO PHAN THUC Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. Câu II: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại   m M C  cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm   0 0 M x , y    3 C . Tiếp tuyến của   3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. ………………….Hết………………… Nguồn: hocmai.vn Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 HDG CÁC BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x     (C) I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C) I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận. I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm   M C  , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân. Giải: Tập xác định: 1 \ 2         D R . Ta có:   2 3 ' 0, 2 1       y x D x Bài 1: Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng:   2 3 y k x    tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:     2 1 2 3 2 1 3 2 1 x k x x k x                 có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:     2 2 1 3 2 3 7 4 4 0 2 1 2 1 x x x x x x             : Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C) Bài 2: Hàm số có: TCĐ: 1 2 x   ; TCN: 1 2 y   1 1 ; 2 2 I          Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 5 Vì đường thẳng 1 2 x   không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua 1 1 ; 2 2 I         có hệ số góc k có dạng: 1 1 2 2 y k x          tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:   2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 x k x x k x                      có nghiệm Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:     2 1 3 1 1 3 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 x x x x x x                    :Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C) Bài 3: Gọi   0 0 1 3 1 ; 2 4 2 M x C x          . Tiếp tuyến tại M có dạng:   0 2 2 0 0 0 0 3 3 1 3 3 1 : 4 4 2 4 2 2 d y x x x x x x x          Giả sử Ox; A d B d Oy    suy ra:   0 0 0 0 2 3 3 ;0 ; 0; 3 x x x A B x              OAB vuông tạo O   2 0 1 2 . 3 1 2 3 OAB S OAOB x       0 0 6 6 6 3 2 2 x x        Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: 3 4 6 20 40 12 6 y x      hay 3 4 6 20 40 12 6 y x      Bài 4: Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 5 Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 k   . Gọi     0 0 ; M x y C  là tiếp điểm - Nếu   0 0 2 0 3 1 3 1 1 2 1 3 2 2 1 k x x x                Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y         tiếp tuyến là: 1 3 y x    Với 0 0 1 3 1 3 2 2 x y         tiếp tuyến là: 1 3 y x    - Nếu     2 0 2 0 3 1 1 2 1 3 2 1 k x x           : Vô nghiệm Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: 1 3 y x    và 1 3 y x    Câu II: Cho hàm số   1 m x m y x m       m C II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. II.2. Tiếp tuyến tại   m M C  cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB II.3. Cho điểm   0 0 M x , y    3 C . Tiếp tuyến của   3 C tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận. Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. Giải: Bài 1: Gọi   0 0 ;M x y là điểm cố định của hàm số   0 0 0 1 ; m x m y m x m           0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1 0 0 0 1 m x y x x y m x y x x x y y                        Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 5 Với   0; 1 M  , tiếp tuyến tại M là:   ' 0 1 1y y x x     Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định 1y x   tại   0; 1 M  . Bài 2: Ta có: 2 1 m y m x m      TCĐ: x m và TCN: 1 y m   Gọi   2 ; 1 , 0 m m M a m m C a a            . Tiếp tuyến tại M có dạng:      2 2 2 2 : ' 1 1 m m m d y y a m x a m m x a m m a a a               Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:   2 2 2 ; 1 ; ; 1 m A a m m B m m a           Nhận thấy 2 2 A B M A B M x x x y y y         M là trung điểm của AB (đpcm) Bài 3: Điểm   3 9 9 : 2 3 ;2 3 M C y M x                Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: 2 2 9 18 27 : 2y x          Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:   18 2 3;2 ; 3;2A B a          Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên   3;2 I + IAB vuông tại I nên: 1 1 18 . . . 2 . 18 2 2 IAB S IA IB       (đvdt) + Chu vi tam giác IAB là: Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 5 2 2 18 18 2 4p IA IB AB                  2 2 18 18 2 2 2 4 12 2.2.18 12 6 2                  Dấu = xảy ra 18 2 3           6;5 M hoặc   0; 1 M  ………………….Hết………………… Nguồn: hocmai.vn Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC Cho hàm số 2 2 2 1 3x mx m y x m      . Tìm tham số m để hàm số có: Câu 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. Câu 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O. Câu 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng. Câu 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng 10 m . Câu 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX. Câu 6. Cực trị và thỏa mãn: 2 3 CD CT y y  . ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 HDG CÁC BTVN CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC Cho hàm số 2 2 2 1 3x mx m y x m      . Tìm tham số m để hàm số có: Câu 1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. Câu 2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O. Câu 3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng. Câu 4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng 10 m . Câu 5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX. Câu 6. Cực trị và thỏa mãn: 2 3 CD CT y y  . Giải: Tập xác định:   \ D R m  Ta có:     2 2 2 2 1 1 2 1 3 ' 1 x xm m y x m y x m x m x m              Câu 1: Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung  y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu 2 2 ( ) 2 1 g x x xm m      có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m 2 1 0 1 1 ( ) 0 m m g m            Vậy   1;1 m  Câu 2: Có: 1 2 1 ' 0 1 x x m y x x m            Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại 1 2 ;x x . Ta có:     1 1 2 2 4 2; 4 2 y y x m y y x m       Gọi 2 điểm cực trị là     1;4 2 ; 1;4 2 A m m B m m     Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 OAB vuông tại O . 0 OA OB OA OB             2 1 1 4 2 4 2 0 85 17 5 0 17 m m m m m m              Vậy 85 17 m   là giá trị cần tìm. Câu 3:. Ta có:     1;4 2 ; 1;4MA m m MB m m        A, M, B thẳng hàng      || 4 1 1 4 2 MA MB m m m m         1 6 2 3 m m     Đáp số: 1 3 m  Câu 4: Ta có: 2 10 4 4 10 2 AB m m m      Câu 5: Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị. Vì   1 lim 3 lim 0 3 x x y x m y x m x m              là TCX của hàm số. Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:     1 4 2 3 1 2 2 m m m h       Câu 6: Ta có: 3 4 2 3 8 2 3 3 4 CD CT m y my m               [...]...Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải  Đáp số: m   ;    3  3  ;  s   4   4    ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Hocmai.vn Page 3 of 3 Bài 3: Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC Câu 1: Cho hàm số y  x 1 (C) 2x 1 Tìm m để (C)... 3: Cho hàm số y   m  1 x  m  C  m xm Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a 2x  3  1  log 2 m x 3 b 2x  3  2m  1  0 x3 ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Hocmai.vn Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải HDG CÁC BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC Câu 1: Cho hàm số y  x... nghiệm phân biệt 2 ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Hocmai.vn Page 5 of 5 Bài 4: Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải BTVN TIỆM CẬN HÀM PHÂN THỨC  x 2  3x  3 Câu 1: Cho hàm số y  (1) 2  x  1 a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min b Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ Câu 2: Cho hàm số y... cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN c Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Hocmai.vn Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải HDG CÁC BTVN TIỆM CẬN HÀM PHÂN THỨC Câu 1: Cho hàm số y   x 2  3x  3 (1) 2  x  1 a Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB... x1  2   3 ; B x2 ; m  x2  2   3 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 3 of 5 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải Điểm M  2;3  d là trung điểm của AB  x1  x2  4   Vậy Câu 3: Cho hàm số y  m 3 1  2m  7 4m 2m  1 2 7 2  m  1 x  m  C  m xm Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình: a 2x  3  1...   1;  4    thì Vậy A   4  1; 4   5 2 5 2 2  4 5 2 5 2 2     b Hàm số có TCX:  : y  ABmin  2  2 5 1 x 1 2 Gọi A    Ox  A  2;0  ; B    Oy  B  0;1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải Nên S OAB  Câu 2: Cho hàm số 1 OA.OB  1 (đvdt) 2 x 1 (C) 2x 1 y a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng... trình vô nghiệm 2 1  m   ; 2 phương trình có nghiệm duy nhất 2  1  m   ; 2    2;   phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2  Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 4 of 5 và Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải b) Vẽ đồ thị hàm số  C '  : y  2x  3 như sau: x3   - Giữ nguyên nhánh phải của  C3  - kí hiệu là C p ' - Lấy  C p  đối xứng nhánh...  2m  0 ; với 2  x  1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò x 1 Page 2 of 5 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt  f  x   0 có 2 3      2m  3  2  4  3  2m   0 m  2   nghiệm phân biệt khác 1   (*) m   1  f 1  0    2 x1; x2 Với điều kiện (*), gọi là nghiệm của f  x  ... của đồ thị  f  x   0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 mà x1   1  x2 2 m  0 3  1  1  mf     m   m    0   2  2  4  m  6 b Hệ số góc của tiếp tuyến tại A B lần lượt là: k A  y '  xA   3  2 xA  1 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt ; k B  y '  xB   3  2 xB  1 2 1 Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải  k A k B  3 2... khi x0   4 x0 4 x0 2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3 Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải  3 1 3 1    3 1  3 1  Kết luận: M  hoặc M  là các điểm cần tìm  2 ; 2    2 ; 2       1 3 1 1 3 1   c Gọi A  a  ;   thuộc nhánh trái, B  b  ;   thuộc nhánh phải 2 4a 2  2 4b 2    của đồ thị hàm số (C), với a  0  b Ta . THUC Bài 1: Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x . Tiếp tuyến hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 HDG CÁC BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC Câu I: Cho hàm số 1 2 1 x y x . Bài 2: Cực trị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC Cho hàm số 2 2 2 1 3x mx m y x