các vấn đề cực trị trong dòng điện xoay chiều

Lý do chọn đề tài - Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.. -

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này

- Với đề thi trắc nghiệm đại học,cao đẳng như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp và máy móc kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng toán này

- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều” nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác dạy học

II Đ ối t ượng nghiên c ứu

- Đề tài gồm bốn phần: khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc ω

III Nhiệm v ụ nghiên c ứu

- Vận dụng được các phương trình toán học (như bất đẳng thức cô si, phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác…) để ứng dụng trong việc khảo sát các dạng toán cực trị điện xoay chiều

- Hướng dẫn và đưa ra phương pháp giải một số dạng toán đặc trưng

- Các ví dụ minh họa và hướng dẫn giải

IV Phương pháp nghiên c ứu

- Phương pháp điều tra giáo dục

- Phương pháp quan sát sư phạm

- Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh

- Phương pháp mô tả

V Khảo sát thực tế giảng dạy.

- Qua quá trình giảng dạy nhiều thế hệ Học sinh trước và khảo sát trực tiếp năm học 2011-2012, bằng cách thăm dò, quan sát và thông qua công tác kiểm tra đánh giá thì việc ứng dụng phương pháp cực trị trong việc giải bài tập vật lí 12 đạt những kết quả sau:

+ Đa số Học sinh đều dễ dàng tiếp cận nắm vững được phương pháp giải và từ đó thấy

tự tin và yêu thích môn học hơn

+ Khắc sâu kiến thức cho Học sinh từ đó Học sinh nhớ kiến thức lâu hơn và rất thuận tiện trong việc giảng dạy Vật lí 12

VI Quy trình thực hiện.

1.Giới thiệu phương pháp, thứ tự các bước giải

2.Cho Học sinh vận dụng tập dượt một số bài tập minh hoạ cụ thể để rèn luyện kỹ năng

3.Kiểm tra đánh giá kết quả vận dụng của Học sinh thông qua các hình thức ( kiểm tra miệng, kiểm tra 15’, kiểm tra 1 tiết…)

B.NỘI DUNG

*MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

I Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1 Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

b Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại

2 Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

II Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.

1 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng

2 Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax

3 Có hai giá trị L1 và L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2

4 Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax

III Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

1 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

2 Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax

3 Có hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2

4 Giá trị ZC để hiệu điện thế UCRrmax

IV Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1 Giá trị ω làm cho Pmax

2 Giá trị ω làm cho hiệu điện thế ULmax

3 Giá trị ω làm cho hiệu điện thế Ucmax

**HƯỚNG DẪN PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ

công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )

Lưu ý:

• Bất đẳng thức Côsi : Cho hai số không âm a, b khi đó

2 2

a b

Dấu bằng xảy ra khi a = b

• Hàm số bậc hai y=ax 2 +bx+c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

2 min

; y

b

x

I Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

1 Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

2

td

td

R

R

+

2 2

td

td

U

R

R

A=

− + , áp dụng bất đẳng thức Côsi

cho A

2 2

2

td

td

td

U

R

R

R

− +

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ = ” xảy ra Vậy: R td = Z L−Z C

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

max

P

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất

b Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là ( ) ( ) ( ) ( )

2

R

- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :

( ) (2 )2 2 ( )2

0

2

R

- Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho A ta được:

2

- Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ = ” phải xảy ra, khi đó:

2

o

- Công suất cực đại của biến trở R là:

2

2

U P

=

c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.

- Ta có :

P =R I U =I L +R U =IZ

0

U I

=

- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng

Imax khi giá trị của biến trở R = 0

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được,điện áp hai đầu mạch là:

4

1, 25

−

Tìm R để :

a Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ hiệu dụng trong mạch khi đó

b Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax

*Hướng dẫn giải

Ta có: Z L = 200 , Ω Z C = 125 , ΩU = 150V

a Công suất của mạch tiêu thụ chính là công suất tỏa nhiệt trên điện trở R:

25

150

75

R R

= Ω

= Ω



0

U

Z

Độ lệch pha của u va i thỏa mãn

R

Biểu thức cường độ dòng điện là 2 1 1

3 5

 ÷

 

0

Z

Độ lệch pha của u va i thỏa mãn

Biểu thức cường độ dòng điện là 6 1( )

os(100 t-tan 3 ) 5

b

2

2

R

R

−

y R

R

−

= +

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:

min

Dấu bằng xảy ra khi ( L C)2 75

L C

R

−

Khi đó công suất cực đại của mạch

ax min

150

150W

m

L C

p

−

Vậy khiR= Ω 75 thì p max = 150W

2 Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

2 2

td td

td L C

U I

=

+ − ; với Rtd = +R R0

- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có:

L C td td

td L C

=

0

Bảng biến thiên :

Đồ thị của P theo R td :

II Mạch điện xoay chiều RLC có L thay đổi

1 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z L

- Ta có công suất toàn mạch là:

2

P R

( L C)

U

=

+ − , với R, C là các hằng số, nên công

suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL

- Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

2

C L

L C

−

-Bảng biến thiên

- Đồ thị của công suất theo ZL :

Rtđ=

P

Pmax

P

P max

P 0

ZL=ZC

- Nhận xét đồ thị:

+ Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

+ Công suất của mạch cực đại khi L1 L2

2

+

= = , với ZL1,ZL2 là hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZL Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZL trong một số bài toán

2 Giá trị Z L để hiệu điện thế U Lmax

-

Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : L L L ( )2

2

R Z – Z

U

+ , trong đó R;

ZC và U là các hằng số không đổi Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có : sin(U L ) sinU

- Vì

2

+ , suy ra

L

U

c

-Do cos β và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế

ULmax khi sin( ) 1

2

π

- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: 2

RC L C

U =U U , từ đó suy ra 2 2

Z Z =R +Z

- Tóm lại:

· Khi

C L

C

Z

Z

+

ax

C Lm

R

+

=

· Khi U Lmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn u RC một góc 90 0

3 Có hai giá trị L 1 và L 2 cho cùng giá trị U L , giá trị L để U Lmax tính theo L 1 và L 2

- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:

- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại

Z Z =R +Z với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax Thay vào biểu thức trên:

L C L L C L C L L C

- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:

2 2

(Z L −Z L )Z L = 2Z Z L L (Z L −Z L )

- Đơn giản biểu thức trên ta thu được: 1 2 1 2

L

L L

4 Giá trị Z L để hiệu điện thế U LRrmax

- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

L

L

+

+

- Đặt

( L C)

L

M

=

+ , ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL để tìm giá trị của ZL sao cho Mmin khi đó giá trị của ULrmax Đạo hàm của M theo biến số ZL ta thu được :

'

( )

L

L

M Z

=

+

- Cho M’(ZL) = 0 ta có : Z Z C L2 −Z Z C2 L−Z R C 2 = 0 Nghiệm của phương trình bậc hai này

là:

2 2 1

2 2 4

4 2

L

Z C R Z C

ZL

Z R Z

Z

− +

=

=









Lập bảng biến thiên ta có:

L

1 4 2

L

Z R Z

= + ∞

' ( L)

0 +

( L)

2

4 2

C C

R

- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng mẫu thức đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất Ta thu được kết quả sau:

Khi 1 4 2 2

2

L

2 4

RLm

C C

UR U

=

Bài toán tổng quát:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được Tìm giá trị của L để:

a Cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại

b Công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax

c Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại

* Hướng dẫn giải

a Cường độ hiệu dụng

1 0

Vậy: 2

1

L

C

ω

= thì Imax và giá trị I max U

R

=

b Công suất tỏa nhiệt trên mạch 2

P RI= Do R không đổi nên

1 0

C

ω

Giá trị: 2 2

U

R

c Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là

ax min

( )

1

Với

2 2

Z R

y

1

L

Z

Do hệ số 2 2

0

C

a R= +Z > hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi:

L

b

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là:

4

y

min

C

R

+

Vậy :

ax

C

U

+

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ Trong đó 100 3 , 10 4

2

π

−

= Ω = Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là

u = 200cos(100πt) (V) Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau:

a Hệ số công suất của mạch cosφ = 1

b Hệ số công suất của mạch cosφ = 3

2

c Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại

* Hướng dẫn giải

Ta có Z C 1 200

C

ω

a Hệ số công suất

4 2

2

10 (100 )

2

L C

R

ϕ

π

−

H

R

Z

3 300

3

L L

L H Z

L H

R

π

=

= Ω

= Ω =







c Theo chứng minh trên ta được khi

350

C

L

C

cực đại Giá trị cực đại: 2 2 2 2

max

(100 3) 200

3

100 3

U

R

Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là

170 2 os(100 )

u= c πT V Các giá trị 80 , 10 4

2

π

−

a Mạch có công suất cực đại Tính Pmax

b Mạch có công suất P = 80W

c Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

* Hướng dẫn giải

Ta có R= Ω 80 ,Z C = 200 Ω

a Công suất của mạch P = I2.R Do R không đổi nên:

2

π

170 W 80

b

350 2

50

170 80

L L

Z Z L

U

= Ω

= Ω



Từ đó ta tìm được hai giá trị của L thỏa mãn đề bài là:

3,5 1 2

L H

L H

π π

=

=







c Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi

232

C

L

C

max

170

80

U

R

III Mạch điện xoay chiều RLC có C thay đổi

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu

ổn định : u U c= 0 os( ω ϕt+ u)R là điện trở L là một

cuộn dây thuần cảm không đổi và C có giá trị thay đổi

Nhậnxét: Vì trong công thức tổng trở Z =R2 + (Z L−Z C) 2 =R2 + (Z C−Z L) 2 do đó ta thấy

rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:

1 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

- Bảng biến thiên:

C

Z 0 Z L =Z C + ∞

' ( C)

P Z + 0 _

( C)

P Z

2 ax

m

U P

R

=

2

P=R

L

U

- Đồ thị của công suất theo giá trị của ZC :

2 Giá trị Z C để hiệu điện thế U Cmax

- Khi

L C

L

Z

Z

+

= thì:

· max 2 L2

C

U

R

+

max

U =U +U +U

· uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch

3 Có hai giá trị C 1 và C 2 cho cùng giá trị U C ,giá trị Z C để U Cmax tính theo C 1 và C 2

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho

C

+

4 Giá trị Z C để hiệu điện thế U RCmax

2

C

2 4

C

L L

UR U

=

+ − ( Với điện trở R và tụ điện mắc gần

nhau)

Ví dụ 4: Cho mạch điện RLC có R 100 ,L 1

π

= Ω = , C thay đổi Điện áp hai đầu đoạn

mạchu= 100 2 os(100 )c πt V Tìm C để:

a Mạch tiêu thụ công suất P = 50W

b Mạch tiêu thụ công suất cực đại Tính Pmax

c UC max

* Hướng dẫn giải

Ta có: R= 100 , Ω Z L = 100 Ω

a

0 2

200

100 100

C C

Z Z C

U

=

= Ω



Nhận nghiệm ZC = 200Ω ta được 10 4

2

π

−

=

b Công suất của mạch P = I2.R Do R không đổi nên:

4

10

π

−

100

=100W 100

c Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực đại khi:

200

L

C

L

−

max

100

100

U

R

Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L

và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả Vậy nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L

L

U

+

C

U

+

IV Mạch điện xoay chiều RLC có tần số f hay ω thay đổi

Bài toán tổng quát:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được Tìm ω để :

a Cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

b Công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

c Điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại

* Hướng dẫn giải

a Cường độ hiệu dụng:

0

ω

Vậy: khi 1

LC

ω = thì cường độ hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại và giá trị

ax

m

U

I

R

b Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I2.R

0

Giá trị: 2 2

U

R

c Điện áp hiệu dụng đạt cực đại

• UR đạt cực đại

1

LC

ω

Khi đó: (U R m) ax =I maxR U=

• UL đạt cực đại

2

.

ω ω

Với: 2 2

1

R

y

Do hệ số

2

2 2 2

min

2 2

2 2

2

0

2

R

L C

2 2

LC R C

LC R C

ω ω

−

−

Vậy UL đạt cực đại khi: 2 2 2

2LC R C

ω =

−

• UC đạt cực đại

C

ω

Với : y R= 2 ω 2C2 + ( ω 2LC− 1) 2

Đặt: ω = ⇒ = 2 x y R C x2 2 2 + (xLC− 1) 2 =L C x2 2 2 + (R C2 2 − 2LC x) + 1

0

Vậy UC đạt cực đại khi tần số góc 2 2 2

2

L R C

L C

Nhận xét:

- Do vai trò của f và ω là như nhau nên nếu f thay đổi thì bằng phép thay ω =2 fπ ta sẽ

giải quyết được lớp bài toán mà có f thay đổi

- Do việc tính toán để tìm các giá trị ULmax hay UCmax là tương đối phức tạp nên những bài toán dạng này chỉ dừng lại ở việc tìm giá trị ω ( hay f ) để cho điện áp hiệu dụng đạt cực đại

Ví dụ 5: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây thuần

cảm có độ tự cảmL 1 H

π

= , tụ điện có điện dung 10 4

2

π

−

= , mắc nối tiếp Mắc hai đầu

M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thờiu MN= 120 2 os(2c π ft V) , tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được

a Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tiêu thụ

P1 trên đoạn mạch điện MN Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó

b Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1 Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó Tính

hệ số công suất

* Hướng dẫn giải

200

C

Z

= Ω

Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là:

120 1, 2

( )

U

Z

Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện là:

1

1, 2

2

Độ lêch pha của u và i trong mạch:

100

L C

u i i

R

Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là:

1, 2cos(100 )

4

b Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144W

Ta có:

2

2 2

1

U R

C

ω ω

ω

Đây là trường hợp xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta tìm được:

4

2

LC

π

π

−

Hệ số công suất khi đó: cos R 1

Z

ϕ = =