MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Lời mở đầu: Nội dung các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thông thường được nêu dưới dạng tổng quát sau đây: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = f(x i ) và các giá trị x i tương ứng với i= n;1 và các x i thuộc những miền xác định nào đó, hoặc thỏa mãn một hệ ràng buộc g k (x i ) = a k (k= k;1 ) Nguyên tắc chung để giải bài toán: Với các điều kiện x i cho trước, dùng các phép biến đổi toán học để đưa về dạng bất đẳng thức M 1 2 MA ≤≤ với i x∀ , trong đó M 1 và M 2 là các hằng số, sau đó tìm giá trị tương ứng của các x i để A = M 1 ; A = M 2 . Khi đó M 1 là giá trị nhỏ nhất, M 2 là giá trị lớn nhất của A. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một số bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max) và nhỏ nhất (Min) thường gặp trong chương trình toán THCS. Ở đây sự phân chia các dạng toán chỉ là tạm thời chưa bao trùm hết các kiểu bài toán tìm Min, Max phức tạp khác. Dạng thứ nhất Những bài toán tìm Min, Max không có điều kiện ràng buộc cho các biến. Trong loại này thông thường có các kiểu bài toán sau đây: *1 Biểu thức cần tìm cực trị là một biểu thức nguyên Cách giải thường dùng là viết biểu thức dưới dạng tổng các bình phương với một hằng: f(x) = [ ] Kxg +± 2 )( VD1 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x 2 – x + 1 HD giải: f(x) = x 2 – x + 1 = (x – 4 3 4 3 ) 2 1 2 ≥+ (do (x – 0) 2 1 2 ≥ ) Vậy GTNN của f(x) là 4 3 khi x = 2 1 VD2 Tìm GTLN của f(x) = – x 2 + 6x + 1 HD giải: f(x) = – x 2 + 6x + 1 = – (x – 3) 2 + 10 10 ≤ (do – (x – 3) 2 0 ≤ ) Vậy GTLN của f(x) là 10 khi x = 3 VD3 Tìm GTNN của f(x; y) = 2x 2 – 2xy + 5y 2 + 2x + 2y HD giải: f(x; y)= 11)13( 2 1 )12( 2 1 22 −≥−+++− yyx Do (2x – y + 1) 2 0≥ ; (3y + 1) 2 0≥ nên GTNN của f(x; y) bằng –1 khi − = − = 3 1 3 2 y x VD4 Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) = – x 2 – y 2 + xy + 2x + 2y HD giải: – 2f(x; y) = 2x 2 + 2y 2 – 2xy – 4x – 4y = (x – y) 2 + (x – 2) 2 + (y – 2) 2 – 8 f(x; y)= [ ] 44)2()2()( 2 1 222 ≤+−+−+− − yxyx Vậy f(x; y) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = y = 2 Bài tập áp dụng 1-1 Tìm GTNN của f(x) = x 5 – x 2 – 3x + 5 với x 0 ≥ 1-2 Tìm GTNN của f(x; y; z) = x 4 + y 4 + z 4 – 1 – 2x 2 y 2 + 2x 2 – 2xz 1-3 Tìm GTNN của : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3) 1-4 Tìm GTNN của : f(x) = x 100 – 10x 10 + 10 1-5 Tìm GTNN của : f(x; y) = x 2 – 4xy + 5y 2 + 10x – 22y + 28 1-6 Tìm GTLN của f(x) = 2 + x – x 2 *2. Biểu thức cần tìm cực trị có chứa dấu giá trị tuyệt đối VD Tìm GTNN của f(x) = x – 3 5x+ − HD giải: Cách 1: Ta có /x – 3/ = <− ≥− )3(3 )3(3 xx xx /x – 5/ = <− ≥− )5(5 )5(5 xx xx • Nếu x < 3 thì f(x) = 8 – 2x > 2 • Nếu 3 5≤≤ x thì f(x) = 2 • Nếu x > 5 thì f(x) = 2x – 8 > 2 Giá trị nhỏ nhất của f(x) = 2 khi 53 ≤≤ x Cách 2: f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/ 253 =−+−≥ xx Vậy GTNN của f(x) là 2 <==> (x – 3)(5 – x) 530 ≤≤⇔≥ x Bài tập áp dụng 2-1 Với mọi giá trị nguyên của x, tìm GTNN của f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/ 2-2 Tìm GTNN của f(x) = /x 2 – 1/ + /x 2 – 4/ + /x + 1/ + /x + 2/ 2-3 Tìm GTNN của : f(x) = 4444 −−+−+ xxxx 2-4 Tìm GTNN của : f(x) = 22 )1994()1993( −+− xx 2-5 Tìm GTLN, GTNN của : f(x) = 11 ++− xx *3. Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN là một biểu thức hữu tỉ chứa một biến. VD1: Tìm GTLN, GTNN của : y = 1 1 2 2 +− + xx x HD giải: Cách 1: y = 2 4 3 ) 2 1 ( )1( 2 1 12 1 )12(2 2 2 2 2 2 2 ≤ +− − −= +− +− − +− +− x x xx xx xx xx GTLN của y là 2 khi x = 1 y = )1(3 )1(3 1 1 2 2 2 2 +− + = +− + xx x xx x = 3 2 4 9 ) 2 1 (3 )1( 3 2 )1(3 )12()1(2 2 2 2 22 ≥ +− + += +− ++++− x x xx xxxx Vậy GTNN của y là 3 2 khi x = – 1 Cách 2: Do x 2 – x + 1 > 0 với mọi x nên ta có thể viết: y(x 2 – x + 1) = x 2 + 1 <==> (y – 1)x 2 – yx + y – 1 = 0 (*) Nếu y = 1 thì x = 0 Nếu y 1≠ thì phương trình (*) phải có nghiệm 0483)1(4 222 ≥−+−=−−=∆ yyyy 2 3 2 9 4 ) 3 4 ( 2 ≤≤⇔≤−⇔ yy Vậy GTNN của y là 3 2 khi x = – 1 GTLN của y là 2 khi x = 1 VD2 Tìm GTLN, GTNN của y = 22 4 )1( 1 x x + + với x 0≥ HD giải: y = 22 2 22 2 22 24 )1( 2 1 )1( 2 )1( 12 x x x x x xx + −= + − + ++ 1≤ GTLN của y là 1 khi x = 0 Để tìm GTNN có hai cách sau: Cách 1: Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: Biến đổi thành (y – 1)x 4 + 2yx 2 + y – 1 = 0 Khi y = 1 thì x = 0, nếu y ≠ 1 thì phương trình phải có nghiệm 012' ≥−=∆ y <==> y 2 1 ≥ , GTNN của y là 2 1 khi x = 1 Cách 2: Biến đổi y = 2 1 1 1 2 1 2 2 2 ≥ + − + x x Bài tập áp dụng 3-1 Tìm GTNN, GTLN của : y = 32 2 2 2 +− −+ xx xx 3-2 Tìm GTNN, GTLN của : y = 2 32 2 2 + ++ x xx 3-3 Tìm giá trị lớn nhất của : y = 2 )1993( +x x 3-4 Tìm GTLN, GTNN của : y = 1 )1(2 2 2 + ++ x xx 3-5 Tìm GTLN của y = 4 2 1 x x + 3-6 Tìm GTNN của y = x xx 8)(2( ++ Với mọi x > 0 3-7 Tìm GTLN của y = 22 742 2 2 +− +− xx xx 3-8 Tìm GTLN của y = xx −+12 3-9 Tìm GTLN và GTNN của : y = x + 2 2 x− 3-10 Xác định a và b để biểu thức A = 1 2 2 + ++ x baxx có GTNN bằng – 1 Dạng thứ hai: Những bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc giữa các biến. Xin giới thiệu một số bổ đề có liên quan: BĐ1 Tổng hai số dương là một hằng số thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. BĐ2 Tích hai số dương là một hằng số thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. BĐ3 Với mọi x > 0 ta có: 2 1 ≥+ x x dấu bằng xảy ra khi x = 1 BĐT Cauchy n n i i n i ii xnxx ∏ ∑ = = ≥≥∀ 1 1 ;0 Dấu bằng xảy ra khi x 1 = x 2 …= x n BĐT Bunhiacopxki: (x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) 2 )( byax +≥ Dấu bằng xảy ra khi ax = by Với nhiều số hạng: 2 11 2 1 2 ≥ ∑∑∑ === n i ii n i i n i i baba Dấu bằng xảy ra khi: n n b a b a b a === 2 2 1 1 * 4. Những bài toán áp dụng BĐ 1, 2 VD1 Cho a + b = 1, tìm GTNN của A = a 2 + b 2 ; B = a 4 + b 4 ; C = a 8 + b 8 HD giải: A = a 2 + b 2 = (a + b) 2 – 2ab = 1 – 2ab Theo BĐ 1 thì ab lớn nhất bằng 4 1 khi a = b = 2 1 Vậy A nhỏ nhất bằng 2 1 khi a = b = 2 1 Do a 2 + b 2 2 1 ≥ ==> a 4 + a 2 b 2 + b 4 4 1 ≥ và a 4 – 2a 2 b 2 + b 4 0≥ nên 2(a 4 + b 4 ) 4 1 ≥ GTNN của B = 8 1 khi a = b = 2 1 Tương tự ta cũng tìm được GTNN của C là 64 1 khi a = b = 2 1 Bài tập áp dụng 4-1 Cho a + b = 1, tìm GTNN của a 3 + b 3 + ab 4-2 Tìm GTLN của f(x; y) = (a – x)(b – y)(cx – dy) Với a, b, c, d là các số dương, a > x, b > y, cx + dy > 0 4-3 Tìm GTLN của A = xy với 3x + 5y = 12 4-4 Với a > 0, b > 0, ab = 1, tìm GTNN của : (a + 1 )(b + 1) 4-5 Tìm GTLN của : f(x) = (2x 2 + 1)(5 – x 2 ) với x 2 ≤ 5 4-6 Tìm GTNN của y = 1 2 2 − + x x với x > 1 *5. Những bài toán áp dụng các BĐT VD1 Tìm GTNN của : f(x; y) = 10)(8)(3 2 2 2 2 ++−+ x y y x x y y x HD giải: đặt t = 0442 22 ≥−⇔≥⇔≥⇔+ ttt x y y x Khi đó: f(x; y) = f(t) = t 2 – 4 + 2(t – 2) 2 0 ≥ f(t) = 0 khi t = 2 1±==⇒ yx Vậy GTNN của f(x; y) = 0 khi x = y = 1± VD2 Tìm GTNN của f(x; y) = x 2 + y 2 với ax + by = k (a, b, k là hằng số) HD giải: (ax + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Hay x 2 + y 2 22 2 ba k + ≥ dấu bằng xảy ra khi y b x a = từ đó suy ra GTNN của f(x; y) VD3 Tìm GTLN, GTNN của x biết rằng =+++ =+++ 13 7 2222 cbax cbax HD giải: Ta chứng minh được: 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 Hay: 3(13 – x 2 ) ≥ (7 – x) 2 4x 2 – 14x + 10 0 ≤ 2x 2 –7x + 5 0 ≤ 2(x – 1)(x – 0) 2 5 ≤ 1 ≤≤ x 2 5 -GTNN của x là 2 5 khi a = b = c = 2 3 - GTLN của x là 1 khi a = b =c = 2 VD4 Cho hệ ≥+ =+ =+ )3(12 )2(16 )1(9 22 22 yzxt ty zx Với mọi x, y, z, t là số thực dương Tìm GTLN của x + y HD giải: Nhân (1) với (2) vế theo vế: x 2 y 2 + x 2 t 2 + z 2 y 2 + z 2 t 2 = 144 (4) Bình phương hai vế của (3) : x 2 t 2 + 2xyzt + y 2 z 2 144≥ (5) Từ (4) và (5): x 2 y 2 + z 2 t 2 – 2xyzt = 0 Suy ra xy = zt (6) Cộng (1) và (2) ta có: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 25 (7) Từ (6) và (7) ta có: x 2 + y 2 + 2xy + z 2 + t 2 – 2zt = 25 Hay: (x + y) 2 + (z – t) 2 = 25 Để x + y lớn nhất thì z – t = 0 Vây x + y = 5, z = t = 2,4 Tính được (x, y, z, t) = (1,8; 3,2; 2,4; 2,4) Bài tập áp dụng 5-1 Với x, y 0≠ , tìm GTNN của : f(x;y) = )()()( 2 2 2 2 4 4 4 4 x y y x x y y x x y y x +++−+ 5-2 Tìm GTLN của M = xy + yz + xz khi x + y + z = 1 và z, y, z là các số không âm. 5-3 Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTNN của zyx 111 ++ 5-4 Cho x + y + z = 1, tìm GTNN của x 2 + y 2 + z 2 5-5 Với p > 1, tìm GTNN của A = 4 2 1 2 2 2 −+ x x p với x 0≠ 5-6 Với: ≥+ =+ =+ 6 9 4 22 22 yzxt tz yx (x; y; z; t > 0) Tìm giá trị lớn nhất của x + y 5-7 Cho các số tự nhiên x; y; z; t. Tìm GTNN của M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 với =++ =+− 10143 21 222 222 zyx tyx 5-8 Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 Tìm GTNN, GTLN của a + b + c 5-9 Với a + b + c ≥ 3. Tìm GTNN của : M = a 2 + b 2 + c 2 5-10 Với a, b, c 0 ≥ và ab + bc + ac = 1. Tìm GTNN của a + b + c 5-11 Cho ntzyx ≤≤≤≤≤1 Tìm GTNN của : A = t z y x + *6. Những bài toán dùng ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai hoặc dùng bất đẳng thức VD1 Tìm GTLN, GTNN của: f(x; y) = 2x – 3y với 3x 2 – xy + 2y 2 = 5 (*) Giải: Đặt t = 2x – 3y ==> y = 3 2 tx − thay vào (*) 29x 2 – 5tx + 2t 2 – 45 = 0, bài toán có cực trị khi phương trình có nghiệm: 05220207 2 ≥+−=∆ t hay 23 580 23 580 ≤≤− t Từ đó suy ra GTLN, GTNN của f(x; y) VD2 Tìm GTLN của A = ab khi a + 2b = 1 HD giải: A = ab = b(1 – 2b) ==> – 2b 2 + b – A = 0 8 1 081 ≤⇒≥−=∆ AA , suy ra GTLN của A bằng 8 1 khi a = 4 1 ; 2 1 =b Bài tập áp dụng 6-1 Tìm GTNN, GTLN của A = 2x 2 – xy – y 2 với x 2 + 2xy + 3y 2 = 4 6-2 Cho x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0 Tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1 6-3 Cho (x 2 – y 2 + 1) 2 + 4x 2 y 2 – x 2 – y 2 =0 Tìm GTNN, GTLN của S = x 2 + y 2 6-4 Cho hệ: =++ =++ 8 5 zxyzxy zyx Tìm GTLN, GTNN của x 6-5 Tìm GTNN của S = x + y với x, y > 0 Và a yx 111 22 =+ (trong đó a là hằng số dương) 6-6 Cho x 2 + 3y 2 + z 2 = 2. Tìm GTLN của : A = 2x + y – z 6-7 Tìm GTNN của : f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) *7. Những bài toán cực trị liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai VD1 Cho phương trình bậc hai: x 2 – mx – 0 1 2 = m , có hai nghiệm x 1 , x 2 Tìm GTNN của x 1 4 + x 2 4 HD giải: Tính được x 1 4 + x 2 4 = 4 2 4 4 ++ m m x 1 4 + x 2 4 422 +≥ GTNN bằng 224 + khi m = 8 2± Bài tập áp dụng 7-1 Cho phương trình bậc hai: x 2 – ax + a – 1 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tìm GTLN, GTNN của: M = )1(2 32 21 2 2 2 1 21 xxxx xx +++ + 7-2 Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 : x 2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 Tìm GTNN của x 1 2 + x 2 2 7-3 Cho phương trình bậc hai : (m 2 + m + 1)x 2 – (m 2 + 8m + 3)x – 1 = 0 Tìm GTLN, GTNN của x 1 + x 2 7-4 Cho phương trình bậc hai : x 2 + 2(m – 2)x – 3m + 10 = 0 Tìm GTNN của x 1 2 + x 2 2 *8. Một số bài toán cực trị hình học được giải bằng phương pháp đại số VD1 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích tam giác CEF đạt GTNN và tính GTNN đó theo a. E và F là hình chiếu của M trên AB và AD. HD giải: E A B F M D E’ C Kẻ ME’ vuông góc với CD, khi đó MFDE’ là cũng là hình vuông. Đặt ME’ = x ==> ME = a – x = AF, A * = S(CEF) = S(MEF) + S(MEC) + S(FMC) = S(AFB) + S(FMC) = [ ] )( 2 1 2 1 )( 2 1 22 xaxaxxaa −−=+− A* đạt GTNN khi x(a – x) đạt GTLN, do x + (a – x) = a nên tích x(a – x) lớn nhất khi x = a – x = 2 a ==> x = a/2 ==> ME’ = a/2 ==> MD = 2 2a Vậy M chính là giao điểm của hai đường chéo AC và BD và khi đó S(CEF) = 3a 2 /8 VD2 Cho điểm M nằm trong tam giác ABC ( AB = c, BC = a, CA = b). Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh AB, BC , CA là z, x, y. Hãy xác định vị trí của M để biểu thức: P = z c y b x a ++ đạt GTNN HD giải: A M B C Ta có 2S = ax + by + cz (S là diện tích tam giác ABC) (ax + by + cz)( SP z c y b x a 2) =++ 2SP = a 2 + b 2 + c 2 + ab( )()() x z z x ca y z z y bc x y y x +++++ Do 2≥+ x y y x , nên 2SP ≥ (a + b + c) 2 Vậy P đạt GTNN bằng (a + b + c) 2 /2S khi x = y = z tức là khi điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (giao điểm ba đường phân giác) VD3 Chứng minh rằng trong các tam giác vuông có chu vi không đổi thì tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất là tam giác vuông cân. HD giải: Chuyển bài toán hình học sang đại số: > =+ =++ 0,,, 222 kcba cba kcba Tìm GTNN của c a 2 + b 2 = c 2 = (k – a – b) 2 <==> k 2 – 2ka – 2kb + 2ab = 0 <==> ab + k 2 – ka – kb = k 2 /2 <==> (k – a)(k – b) = k 2 /2 (hằng số), vậy k – a + k – b nhỏ nhất khi k – a = k – b hay a = b khi đó a + b lớn nhất nên c nhỏ nhất. Tam giác vuông cân. Bài tập áp dụng 8-1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, xét các hình thang có bốn đỉnh ở trên bốn cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích ấy. 8-2 Cho đoạn thẳng AB = m và đường thẳng d song song với AB. M là một điểm không thuộc AB và M nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đường thẳng d. Gọi C và D là giao điểm của MA, MB với d, tìm những vị trí của M để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. 8-3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo, quay hình vuông ABCD đến MNPQ tâm quay là O, góc quay là α . Xác định góc quay α để chu vi phần chung của hai hình vuông ABCD và MNPQ là nhỏ nhất. 8-4 Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ đó đến các cạnh của tam giác có giá trị lớn nhất. 8-5 Cho hình vuông ABCD, một hình vuông MNPQ có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông ABCD, xác định vị trí của MNPQ để diện tích MNPQ nhỏ nhất. . MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Lời mở đầu: Nội dung các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thông thường được nêu dưới dạng tổng quát sau đây: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. tìm giá trị tương ứng của các x i để A = M 1 ; A = M 2 . Khi đó M 1 là giá trị nhỏ nhất, M 2 là giá trị lớn nhất của A. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một số bài toán tìm giá trị lớn. 1 2 2 + ++ x baxx có GTNN bằng – 1 Dạng thứ hai: Những bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc giữa các biến. Xin giới thiệu một số bổ đề có liên quan: BĐ1 Tổng hai số dương là một hằng số thì