:PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC pdf

Tiết: 37 PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định. 2.Kỹ năng: - Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí. 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - Nghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học. III. Phương pháp: - Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. III. Tiến trình: HĐ1: Phương pháp qui nạp toán học. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp - Phát phiếu học tập số 1 Xét hai mệnh đề chứa biến. P (n) : “ 3 100 n n  ” và Q (n) : “2 n > n” với * n N  a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P (n) , Q (n) đúng hay sai? n 3 n n + 100 P (n) ? n 2 n Q (n) ? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 b. Với mọi * n N  thì P (n) , Q (n) đúng hay sai? - H1: Phép thử một vài TH có phải là c/m cho KL trong TH TQ không ? - H2: Trở lại MĐ Q (n) , thử kiểm tra tiếp với một giá trị 6 n  ? Có thể khẳng định Q (n) đúng với - Tiếp nhận vấn đề. - Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình bày kết quả câu a). - Các nhóm thảo luận câu b) và nêu ý kiến của nhóm mình. - HS lần lượt trả lời các câu hỏi mọi * n N  chưa ? - H3: Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải làm thế nào? Muốn chứng tỏ kết luận sai, ta phải làm thế nào? HĐTP2: Phương pháp qui nạp. -GV giới thiệu phương pháp qui nạp - H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1 ghĩa là gì ? - Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp toán học - HS giải thích điều mình hiểu HĐ2: Ví dụ áp dụng. Chứng minh rằng với mọi * n N  thì: 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) = n 2 (1). - Hướng dẫn: B 1 ) n = 1: (1) đúng ? B 2 ) Đặt S n = 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) - Giả sử (1) đúng với 1 n k   , nghĩa là có giả thiết gì ? Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh điều gì ? Hãy c/m điều đó ? ( chú ý đến giả thiết qui nạp) - Hoàn thành B 1 , B 2 ta kết luận ? VT = 1 , VP = 1 2 = 1  (1) đúng. S k = 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) = k 2 C/m: S k+1 = 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) +   2( 1) 1 k     2 1 k  Ta có: S k+1 = S k +   2( 1) 1 k   = 2 2 1 k k     2 1 k  Vậy (1) đúng với mọi * n N  HĐ3: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm) Chứng minh với mọi * n N  thì ( 1) 1 2 3 2 n n n       - Yêu cầu hs làm theo nhóm - GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết - Gọi bất 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa chữa * GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên n p  thì ta thực hiện ntn ? - Làm việc theo nhóm - HS trình bày bài giải * Chú ý: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên n p  thì: - B 1 ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p. - B 2 ta giả thiết MĐ đúng với số tự nhiên bất kì n k p   và phải chứng mỉnhằng nó cũng đúng với n = k + 1. HĐ4: Luyện tập ( Phát phiếu học tập số 2) Cho hai số 3 n và 8n với * n N  a) SS 3 n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 HD: Điền vào bảng sau n 3 n ? 8n 1 2 3 4 5 b) Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng phương pháp qui nạp HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa ra dự đoán - Phát biểu lại bài toán và chứng minh + Cho hs làm theo nhóm + GV quan sát và hd khi cần thiết + Gọi đại diện của một nhóm trình bày, cho các nhóm khác nhận xét và bổ sung ( nếu cần) + Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3 là số nhỏ nhất sao cho 3 n > 8n . a) n 3 n ? 8n 1 2 3 4 5 3 9 27 81 243 < < > > > 8 16 24 32 40 b) “ Chứng minh rằng 3 n > 8n với mọi n  3 ” - HS chứng minh bằng phương pháp qui nạp Củng cố và hướng dẫn học tập : - Nêu các bước của phương pháp chứng minh qui nạpvà chỉ rõ thực chất của bước 2 là gì ? - Xem lại các bài đã gải và ví dụ 2 trang 81 - Làm các bài tập 1 – 5 sgk. Tiết: 38 BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Củng cố kiến thức cơ bản về phương pháp qui nạp toán học. 2.Kỹ năng: - Rèn luyện kỹ năng chứng minh một mệnh đề có chứa số tự nhiên n bằng phương pháp qui nạp. 3. Tư duy: - Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng. 4. Thái độ: - Nghiêm túc, hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: Phiếu học tập. - HS: Kiến thức phương pháp qui nạp và bài tập 1 – 5 (sgk). III. Phương pháp: - Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. III. Tiến trình: HĐ1: Bài cũ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1) Nêu cách chứng minh MĐ có chứa số tự nhiên * n Î ¥ bằng phương pháp qui nạp? Em hiểu mệnh đề đúng với n = k và n = k + 1 có nghĩa như thế nào ? - Gọi học sinh TB trả lời 2) Chứng minh * n Î ¥ , ta có đẳng thức 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n n n n        - Gọi học sinh khá làm bài tập 1) HS trả lời câu hỏi kiểm tra bài cũ 2) B1: n = 1 : VT = 1 2 = 1, VP = 1.2.3 1 6  Vậy đẳng thức đúng với n = 1. B2: Giả thiết đẳng thức đúng với một số tự nhiên bất kỳ 1 n k   , tức là: 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 k k k k        Ta chứng minh : 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1)( 2)(2 3) = 6 k k k k k          HĐ2: Bài tập 2 (82) (Chia lớp thành 4 nhóm ) Giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm Nhóm 1 và 3: Bài 2a) Nhóm 2 và 4: Bài 2b) - GV: Quan sát và hướng dẫn khi cần - Các nhóm tìm hiểu và tiến luận để hoàn thành nhiệm vụ nhiệm vụ Nhóm 1 và 3: C/m * n" Î ¥ , ta có 3 2 3 5 n n n + + chia hết cho 3 - Gọi đại diện của nhóm trình bày - Cho các nhóm khác nêu nhận xét và bổ sung - GV: khẳng định lại kết quả Bài 2a) Đặt 3 2 3 5 n u n n n = + + + n = 1: 1 9 3 u = M + GS ( ) 3 2 1, ã 3 5 3 k k ta c u k k k³ = + + M Ta c/m 1 3 k u + M ( ) 2 1 3 3 3 3 k k u u k k + é ù = + + + ê ú ë û M Vậy 3 n u M với mọi * n Î ¥ Bài 2b) Đặt 4 15 1 n n u n = + - + 11 1 : 18 9 n u= = M + GS: ( ) 1, 4 15 1 9 k k k u k³ = + - M Ta c/m 1 9 k u + M ( ) 1 4 9 5 2 9 k k u u k + é ù = - - ê ú ë û M Vậy 9 n u M với mọi * n Î ¥ Nhóm 2 và 4: C/m * n" Î ¥ , ta có 4 15 1 n n + - chia hết cho 9 HĐ3: Bài tập 3 (82) (Chia lớp thành 4 nhóm ) Giao nhiệm vụ cho mỗi nhóm Nhóm 1 và 3: Bài 3a) - Các nhóm tìm hiểu và tiến luận để hoàn thành nhiệm vụ nhiệm vụ Nhóm 2 và 4: Bài 2b) - GV: Quan sát và hướng dẫn khi cần - Gọi đại diện của nhóm trình bày - Cho các nhóm khác nêu nhận xét và bổ sung - GV: khẳng định lại kết quả Bài 3a) + n = 2: VT = 9, VP = 7 ® bất đẳng thức đúng + GS 2, ã 3 3 1 (*) k k tac k³ > + Ta c/m 1 3 3( 1) 1 k k + > + + 1 1 (*) 3 9 3 3 3 4 6 1 k k k k k + + Û > + Û > + + - Vì 6k -1 >0 nên 1 3 3( 1) 1 k k + > + + Bài 3b) Tương tự HĐ4: Bài tập 4 (83) a) Gọi HS tính 1 2 3 , µ S S v S ? 1 2 3 1 1 ) 1.2 2 1 1 1 2 1.2 1.2 2.3 3 1 1 1 3 1.2 2.3 3.4 4 a S S S = = = + = = + + = b) (1) 1 n n S n = + b) Từ câu a), hãy dự đoán CT tổng quát n S ? Chứng minh Ct đó bằng PP qui nạp + n = 1 1 ? S ® + GS (1) đúng vứi n = k ³ 1, tức là ta có điều gì ? C/m (1) đúng với n = k +1, tức là chứng minh điều gì ? Gọi HS lên chứng minh + n = 1 1 1 1 2 1 1 S = = + . Vậy (1) đúng + GS 1 1, ã 1 k k tac S k ³ = + Ta C/m 1 1 2 k k S k + + = + 1 1 ( 1)( 2) 1 1 1 ( 1)( 2) 2 k k S S k k k k k k k k + = + + + + = + = + + + + Vậy (1) được chứng minh * Củng cố: - Ôn lại kiến thức về phương pháp qui nạp - Làm các bài tập còn lai - Xem bài davx số [...]... hiu bi toỏn lun theo gi ý sau: - Hóy tỡm qui tc thnh l dóy s tng ng vi s cỏc ht thúc trờn bn c - Qui tc: Cỏc s hng, t s hng th hai tr i u gp ụi s hng ng ngay - Suy ra s ht thúc sỏu ụ u ? trc nú HTP2: nh ngha cp s nhõn - S ht thúc sỏu ụ u: 1, 2, 4, 8, 16, 32 - T bi toỏn trờn, hóy khỏi quỏt qui tc trờn thnh thnh lp dóy s GV: Ta cú cú th thnh lp dóy s theo qui tc trờn - HS suy ngh, tr li bng phộp... III Tin trỡnh: H1: nh ngha cp s cng Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh HTP1: ễn tp dóy s I nh ngha: Bit bn s hng u ca mt dóy s l -1, 3, 7, 11 - Cỏc nhúm tin hnh tho lun Hóy ch ra qui lut ri vit tip 5 s hng ca dóy s theo qui lut ú ? - HS trỡnh kt qu - Chia lp thnh 4 nhúm tho lun - GV quan sỏt v hng dn khi cn: Hóy xột hiu hai s hng liờn tip t trỏi sang phi, - Cho i din cỏc nhúm trỡnh by HTP2: nh ngha... 7 cho n ụ th 11 C2) Vit s ht thúc sỏu ụ di dng: 1, 2, 22, 2 3, 24 , 25 ri nhn xột qui lut v suy ra s ht thúc ụ th sỏu HTP2: Ct tỡm s hng tng quỏt - T bi toỏn trờn, hóy d oỏn CT tỡm s hng TQ u n = u1 q n - 1 v ớ i n 2 (1) ca mt CSN nu bit s hng u u1 v cụng b q ? - GV khng nh li CT v yờu cu HS v nh c/m bng phng phỏp qui np HTP3: Cng c Cho cp s nhõn (un) vi u1 = 3, q = - 1 2 6 ổ 1ử a) Tớnh u7 b) Hi... tỡm s hng tng quỏt, xột tớnh tng, gim v b chn ca dóy s 3 T duy: - Tớch cc hot ng, phỏt trin t duy tru tng 4 Thỏi : - Nghiờm tỳc, hng thỳ trong hc tp II Chun b: - GV: Phiu hc tp - HS: Kin thc phng phỏp qui np III Phng phỏp: - Nờu vn , vn ỏp v an xen hot ng nhúm III Tin trỡnh: H1: nh ngha dóy s Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh HTP1: ễn li v hm s I nh ngha Cho hm s f (n ) = 1 , n ẻ Ơ * Tớnh f(1),... Bi2 (92) Cho dóy s (un), bit u 1 = - 1, u n + 1 = u n + 3 , 2 5 , 3 10 Bi2 vớ i n 1 a) Vit nm s hng u ca dóy s a) -1, 2, 5, 8, 11 , 4 17 , 5 26 - Gi HS TB gii, cho lp NX b) b) Chng minh bng phng phỏp qui np: +) n =1: u1 = 3.1 4 = -1 ( ỳng) un = 3n 4 +) GS cú uk= 3k 4, k 1 - Cho cỏc nhúm tho lun Ta cú: uk+1 = uk + 3 = 3(k + 1) 4 - GV quan sỏt, hng dn khi cn Vy CT c c/m - Cho nhúm hon thnh sm nht... 3; u n + 1 = Bi 3 a) 3, 10, 11, 12, 13 2 1 + un , n 1 a) Vit nm s hng u ca dóy s b) 3 = 9= 1+ 8 10 = 11 = 4+ 8 13 = b) D doỏn CT s hng TQ un v chng minh CT 3+ 8 12 = - Gi HS TB gii 2+ 8 5+ 8 oa bng PP qui np - Cho cỏc nhúm tho lun, NX v nm s hng u ca dóy s, t ú d oỏn CT s hng TQ un TQ: u n = - Yờu cu HS v nh c/m tng t bi 2b) Tit: 40 I Mc tiờu: DY S n + 8, n ẻ Ơ * 1 Kin thc: - Bit khỏi nim dóy s, cỏch . Tiết: 37 PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định. 2.Kỹ năng: . nào? HĐTP2: Phương pháp qui nạp. -GV giới thiệu phương pháp qui nạp - H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1 ghĩa là gì ? - Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp toán học - HS giải thích. – 5 sgk. Tiết: 38 BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Củng cố kiến thức cơ bản về phương pháp qui nạp toán học. 2.Kỹ năng: - Rèn luyện kỹ năng chứng