PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n N ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0 Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k 0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 . Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có đẳng thức : anbn =(ab)(an1 +an2b +…..+ bn1) Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp . Khi n=2 ta có a2 b2=(ab)(a+b) là đúng Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : akbk =(ab)(ak1 +ak2b +…..+ bk1) Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 . Tức là Cm ak+1bk+1 =(ab)(ak +ak1b +…..+ bk) . Thật vậy ta có : VT = ak+1 bk+1 = ak+1 akb + akb bk+1 = ak(ab)+ b(ak bk) = ak(ab) + b(ab)(ak1 +ak2b +…..+ bk1) = (ab) ak + b(ak1 +ak2b +…..+ bk1) = (ab)(ak +ak1b +…..+ bk) = VP Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với mọi n 2
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n∈ N ta thử trực tiếp với số tự nhiên tập hợp số tự nhiên vơ hạn Song ta tiến hành bước kiểm tra sau Bước : Trước hết ta kiểm tra mệnh đề với n=0 Bước : Rồi ta chứng : Từ giải thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k ≥0 suy với n=k+1 Ví dụ : Chứng minh với số tự nhiên n ≥2 ta có đẳng thức : an-bn =(a-b)(an-1 +an-2b +… + bn-1) Chứng minh Ta chứng minh phương pháp qui nạp * Khi n=2 ta có a2 -b2=(a-b)(a+b) * Giả sử đẳng thức n=k Tức ta có : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1) Ta cần chứng minh với n=k+1 Tức C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk) Thật ta có : VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1) = (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +… + bk) = VP Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức với n ≥ n(n + 1) Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n = n(n + 1)(2n + 1) Bài 2: Chứng minh với n ∈ N* ta có : 12 +22 +32 + 42 +52 +……+n2 = n Bài 3: Chứng minh với n ∈ N biểu thức Un=13 -1 chia hết Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có 2n > 2n+1 2n + + 32n − 36M 64 Bài 5: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 4.3 Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ≥1 ta ln có: (n+1)(n+2)…(2n) M1.3.5…(2n-1) Bài : Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: n3+2n M3 n 225 Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: 16 − 15n − 1M TÍNH CHIA HẾT A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b (b ≠ 0) Tồn cặp số nguyên 0≤r< b (q, r) cho a = bq + r với * Nếu r = a chia hết cho b: a Mb ⇔ a = kb a, b, k ∈ ¥ * Nếu r ≠ phép chia a cho b có dư Tính chất qua hệ chia hết: a Ma a Mb b Ma a = b a Mb b Mc a Mc a Mm ka Mm ak Mm a Mm, b Mm a ± b Mm a ± b Mm mà a Mm b Mm a Mm, b Mn ab Mnm a Mm an Mmn an Mm, m nguyên tố a Mm a Mm, a Mn mà (n, m) = a Mmn a Mm, a Mn, a Mk; n, m, k ngun tố sánh đơi a Mmnk a Mm, b Mm a ± b Mm * Trong n số nguyên liên tiếp (n∈N*) có số chia hết cho n * Trong n+1 số ngun (n∈N*) chia cho n có hai số chia cho n có số dư * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho số nguyên tố p ta xét trường hợp số dư n chia cho p * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đơi ngun tố chứng tỏ A(n) chia hết cho thừa số * Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phân tích f(x) thành nhân tử xét số dư chia x cho m PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia hết cho => A(n) chia hết cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q khơng ngun tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n 4/ Phương pháp : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn a – b ( a ≠ b) n an – bn a – b ( a ≠ - b) n chẵn an + bn a + b ( a ≠ - b) n lẻ 5/ Chứng minh quy nạp toán học : Bài Chứng minh : a) n5 - 5n3 + 4n 120 ; với ∀ n ∈ Z b) n3-3n2-n+3 48 ; với ∀ n lẻ c) n + 4n -4n -16n 384 với ∀ n chẵn Bài CMR: a) n − n M12 b) n(n + 2)(25n − 1) M24 c) Chữ số tận số tự nhiên n n5 giống 3 6 d) (a + b)M ⇔ (a + b ) M 2n + + 2n + M g) 24 e) Cho n > (n, 6) = CMR n − 1M 2n + 6n + + M 11 f) B, CHIA HẾT ĐA THỨC : Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a Từ ta có hệ : Đa thức f(x) ( x – a) < = > f(a) = tức a nghiệm đa thức Từ suy : Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ f(x) ( x + 1) 2.Đa thức bậc trở lên : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có nhân tử chi hết cho đa thức chia Cách : Xét giá trị riêng 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x) g(x) f(x) - g(x) g(x) Cách : Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia BÀI TẬP Bài Xác định số a ; b cho: a) 4x - 6x + a (x-3) b) 2x2 + x + a (x+3) c) x3 + ax2 - (x2 + 4x + 4) d) 10x2 - 7x + a (2x - 3) e) 2x2 + ax + chia cho x - dư g) ax5 + 5x4 - (x-1) Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x - dư -5 Bài Tìm n ∈ Z để : a/ n2 + 2n – 11 –1 b/ 2n + n + 7n +1 2n c/ n3 – – n d/ n3 - 3n2 + 3n - +n + n e/n – 2n + 2n – 2n + – n 99 55 11 Bài 4: Tìm số dư phép chia x + x + x +x + cho x + Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + x20 + x10 + b/ x2 - x9 – x1945 x2 - x + c/ x10 - 10x + (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 + (x – 1)2 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: Phương trình bậc a Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên) * Cách giải: - Tách cá hệ số tổng số chia hết cho a b (Số có GTTĐ lớn hơn) - Sử dụng dấu hiệu tính chất chia hết tổng để tìm ẩn Thay nghiệm vừa tìm vào phương trình ban đầu tìm nghiệm cịn lại - Kết luận nghiệmBài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x + 3y = 11 Giải: Cách 1: 2x + 3y = 11 ⇒ x = −y + + 1− y 2 x nguyên − y M hay y = 2t + t ∈ ¢ ⇒ x = – 3t Vậy nghiệm nguyên phương trình: x = – 3t y = 2t + t∈Z Cách 2: 2x + 3y = 11 d = (a, b) = (2, 3) = nghiệm riêng: (x0, y0) = (4, 1) a a = d b = b d nghiệm tổng x = x − b1t quát y = y0 + a1t Vậy nghiệm phương trình là: x = – 3t y = 2t + Ví dụ Giải phương trình: 11x + 18 y = 120 Hướng dẫn giải 11x + 18 y = 120 11x + 22y – 4y = 121 – 11(x + 2y -11 ) = 4y – 1 4y – M11 => 12y – M11 y – M11 => y = 11t + (t ∈ Z ) x = – 18 t x = − 18t Vậy nghiệm pt là: y = 11t + (t ∈ Z ) Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 12x + 7y = 45 (1) Hướng dẫn giải x = 7t − 12 Theo cách giải ta tìm nghiệm nguyên phương trình (1) y = 27 − 12t x = 7t − 12 > Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có: y = 27 − 12t > => t = x = Vậy nghiệm nguyên phương trình y = b Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d ngun) Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 6x + 15y + 10 z = (1) Hướng dẫn giải (1) 3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M => z = 3t (t ∈ Z ) Thay vào phương trình ta có: 2x + 5y + 10t = (t ∈ Z ) Giải phương trình với hai ẩn x; y (t tham số) ta được: Nghiệm phương trình: (5t – 5k – 2; – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = (a, b, c, d, e, f số nguyên) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Hướng dẫn giải x + 11 x+5 = 2+ 2x + Cách 1: Rút y theo x: y = x + (Do x nguyên nên 2x + khác 0) Vì y nguyên => x + M2x + => … M2x + Lập bảng ta có: cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2); (2; 3); (-5; 2) Thử lại giá trị Cách Đưa phương trình ước số: Cách 3: Coi phương trình bậc hai ẩn x, y số biết Đặt ĐK để có x ngun Ví dụ Tìm nghiẹm nguyên phương trình x + 2y2 +3xy –x – y + =0 (1) Hướng dẫn giải Sử dụng cách thứ ví dụ Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Hướng dẫn giải Phương trình (1) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ≥ −2 (*) Ta có: a2 – = y2 GiảI phương trình cách đưa phương trình ước số: => nghiệm phương trình (1) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 - y3 = xy + (1) Hướng dẫn giải x − y x + xy + y = Ta có: Ta có x khác y x = y => x2 + = Vô lý x + xy + y ≤ xy + x − y ≥1 ≤ xy + Vì x; y nguyên => => => x2 + xy + y2 (2) ≤ Nếu xy + < 0=> (2) (x + y) -8 Vô nghiệm 2 ≤ N ếu xy +8 > => (2) x + y ∈ { 0;1; 4} => x2 , y2 Từ tìm Hai nghiệm nguyên (1) là: (0; - 2); (2; 0) Dạng 4: Phương trình dạng phân thức 1 1 + + = Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x y xy (1) Hướng dẫn giải Đặt điều kiên sau đưa phương trình ước số Tìm hai nghiệm (43; 7); (7; 43) x − 17 x − bình phương phân số Ví dụ Tìm x ngun cho Hướng dẫn giải x − 17 a ÷ Giả sử x − = b Với a, b nguyên, b khác (a, b) = Nếu a = => x = 17 Nếu a khác Ta có (a2, b2) = => x – 17 = a2.k; x – = b2.k (k nguyên) Từ ta có: = (a + b).(b – a).k Lập bảng tìm nghiệm phương trình x =17; 18; Dạng 5: Phương trình dạng mũ Ví dụ Tìm số tự nhiên x, y cho: 2x + = y2 (1) Hướng dẫn giải Nếu x = => y2 = => y = y = -2 Nếu x = => y2 = Vô nghiệm nguyên Nếu x ≥ => 2x M4 Do vế tráI chia cho dư mà y lẻ (Do 1) => y2 chia dư => Vô lý Vậy nghiệm nguyên (1) là: (0; 2); (0; -2) II BÀI TẬP: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) 2x + 3y = 11 b) 3x + 5y = 10 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: 4x + 5y = 65 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên số chia hết cho 7, số chia hết cho 11 Tìm số nguyên dương bé chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11 Có 37 táo có số nhau, 17 hỏng, số lại chia cho 79 người Hỏi có quả? BẤT ĐẲNG THỨC I a) b) c) Tính chất BĐT: a < b, b < c ⇒ a < c a < b ⇔ a +c < b+ c a< b ⇔ a.c < b.c (với c > 0) a< b ⇔ a.c > b.c (với c < 0) d) a < b c < d ⇒ a+c < b + d e) < a < b < c < d ⇒ a.c < b.d a < b ⇔ a n +1 < b n +1 ( n ∈ ¢ + ) f) a < b ⇔ a 2n < b2n ( n ∈ ¢ + ) 0< a < b ⇔ n +1 a < n +1 b ( n ∈ ¢ + ) g) < a < b ⇔ 2n a < 2n b ( n ∈ ¢ + ) ab ≤ a+b ∀a,b ≥ II BĐT Cauchy: (Cô–si) a+b ab = xảy a = b Đẳng thức a+b+c abc ≤ ∀a, b, c ≥ a+ ≥2 ∀a > III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a Hệ quả: , a) |x| ≥ 0, |x| ≥ x, |x| ≥ -x b) |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a ( với a > 0) |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a x ≥ a c) |a|-|b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b| II BĐT Bunhinacôpxki Cho a, b, x, y số thực, ta có: (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2 a b = x y Đẳng thức xảy khi: Tổng quát: Cho 2n số thực: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn Ta có: | a1b1 + a2b2 + + anbn | ≤ 2 (a12 + a2 + + an )(b12 + b22 + + bn ) a a1 a2 = = = n bn Dấu “=” xảy khi: b1 b2 III.BĐT Becnuli Cho a > -1, n ∈ N* : (1+ + a)n ≥ + na Đẳng thức xảy a = n = Bất đẳng thức Cô-si mở rộng: Cho n số không âm: a1; a2; …; an Ta có: a1 + a2 + + an ≥ n a a1a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an Bài 1: 1 + Cho hai số dương a b Chứng minh : (a+b)( a b ) ≥ Giải: Vì a, b l hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: (a+b) ≥ ab 1 + ≥2 a b ab 1 1 (a+b) + ÷ ≥ ab =4 ab a b Dấu “=” xảy v khi:a= b Bài 2: Với a, b,x,y, thuộc ¡ Chứng minh rằng: Áp dụng : | ax + by |≤ (a + b2 ) ( x2 + y ) ≤ x+y ≤ 2 Cho x+2y = , chứng minh x + y ≥ Bài Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 ( a + b + c) + + ≥ ÷ a b c ab+bc+ca a, b, c ≥ C/m: ≥ abc Bài 4: Cho ab bc ca + + ≥ a+b+c a b Bài 5: Cho a,b,c >0 C/m: c Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1 Chứng minh rằng: + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 64 a b c Bài 7: CMR với số a, b, x, y ta có: (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào? Cho x2 + y2 =1 , chứng minh - Bài 8: Cho a, b, c, d > Cm: ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) Bài 9: CM bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) + ( b + d ) Bài 10: Cho a, b, c số dương cm BĐT a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 11: CM với n nguyên dương thì: 1 1 + + + > n +1 n + 2n Bài 12: Cho a3 + b3 = Cmr: a + b ≤ Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) − ;0 CMR số a, b, c thuộc đoạn Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = CMR: 2a2 + 3b2 ≥ Bài 15: Cho a, b hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1 2 ≥ CM: a + 4b Dấu “=” xảy nào? 2− 2+ 2+ 2+ < 2− 2+ 2+ Bài 16: CM: Bài 17: Chứng minh: 2 2 a) (a + b )( x + y ) ≥ (ax + by)2 b) < x − + − x ≤ Bài 18: Cho a, b, c > Cm: a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1 S =1+ + + + 100 Bài 19: Cho CMR: S không số tự nhiên 1 + ≥ Bài 20: a) Cho x, y dương CMR: x y x + y Dấu xảy nào? a+b+c P= b) Tam giác ABC có chu vi 1 1 1 + + ≥ 2 + + p−a p−b p −c a b c Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? x ≥2 Bài 21: a) CM x > ta có: x − a2 b2 + b −1 a −1 b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của: Bài 22: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 23: CMR a, b, c > a + b + c = P= 1 1 + + ≥9 a b c Bài 24: CMR a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < Bài 26: Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b ≤ 10 Bài 27: Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab ≤ a2 + b2 ≤ CMR: Dấu xảy nào? 1 + + ≥3 Bài 28: CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: a b a + b Bài 29: CMR nếu: a) ≤ a ≤ a − + − a ≤ 10 b) a + b ≥ 0; b + ≥ 0; a + b = Bài 30: Cho biểu thức P= − − 3 x − x + x −1 x + x − x −1 − x − x + x − x2 + x −1 32 0 ( c + a ) < ab + bc − 2ac Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện: Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln ln có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 − x = 3 mãn: x1 − x = 35 Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = ln có nghiệm Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 2b c ≥ +4 Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2 x1 - x2 = Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - = Tính theo c giá trị 1 + 3 biểu thức: S = x1 x Bài 12: Cho phương trình : x2 - x + = Có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: x12 + x1 x + x 3 A = x1 x + x1 x Bài 13: Cho pt: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1) 1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm GTNN M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 + = a b CMR hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = x2 + bx + a = Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1) a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1) a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1) 1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 ≥ 10 3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương CMR: a2 + b2 hợp số PT BẬC CAO, PT CHỨA ẨN Ở MẪU, PT VÔ TỈ Giải phương trình: x3 + 2x2 + 2 x + 2 (x + 1)4 = 2(x4 + 1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + = Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + = x−8 + x −9 =1 Bài 10: 2x 7x − =1 Bài 11: x − x + 3x + x + Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: 4x Bài 12: ( x + 2) = 12 x + 2 x2 − x −2 x + 2 =0 − 5 + 48 x −1 x −1 Bài 13:20 x + Bài 14: Bài 15: 3x 7x + = −4 a) x − x + x + x + x − 10 x + 15 4x = 2 b) x − x + 15 x − 12 x + 15 x − 3x + x − x + − =− c) x − x + x − x + 81x = 40 a) x2 + ( x + 9) x2 Bài 16: ( x + 1) = 15 b) x + 2 40 x −1 x −1 + = a) x x − 2 x2 − x + 2 x −2 =0 + − x2 −1 b) x + x − 8− x 8− x x− = 15 x −1 c) x x − Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: x −1 x2 + x = 8( Đề thi HSG V1 2004) x − − x − = 3x − x +1 + − x = x + x −1 + x − x −1 = 2 3x2 + 21x + 18 + x +7 x + = a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + = (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + = b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = x 48 x 4 + − 10 − = x 3 x a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x + ( Đề thi HSG 1998) x − 14 x−5 − =3 3+ x −5 Bài 33: x4 - x -5 = ( Đề thi HSG 2000) x4 + − 5x = x2 − ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) Bài 34: a) x2 + 4x + = 2 x + Bài 30: Bài 31: Bài 32: b) x + = 2x2 - 6x + 4 2− x + =2 2− x +3 c) Bài 37: nghiệm Bài 38: Bài 39: Bài 40: Bài 41: Bài 42: x +1 + x + + x + = Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có Bài 35: Bài 36: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - = Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = x2 + 9x + 20 = 3x + 10 x2 + 3x + = (x + 3) x +1 x2 + x + 2006 =2006 BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab a −b P = a +b Tính giá trị biểu thức: Bài 2: Cho x > y > 2x2 +2y2 = 5xy x−y Tính giá trị biểu thức E = x + y Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: yz xz xy + + x2 y2 z M= Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: a b c 1 + 1 + 1 + b c a P= Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3 b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 x3 y3 xy x y + = −2 + =1 a3 b3 ab a b Bài 8: Cho Tính Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức P= 1 + 2 + 2 2 b + c −a a +c − b a +b − c 2 x4 y4 + = b a + b ; x2 + y2 = Chứng minh rằng: Bài 10: Cho a a) bx2 = ay2; x 2008 y 2008 + 1004 = 1004 a b ( a + b) 1004 b) Bài 11: Chứng minh xyz = thì: 1 + + + x + xy + y + yz + z + xz = Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đơi khác Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 + + P = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − b)(c − a ) Bài 14: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác cho tam giác Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: b−c c−b a−b 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p 1 1 abc + + − = Chứng minh rằng: p − a p − b p − c p p ( p − a )( p − b)( p − c) Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : a b 2( ab − 2) + = 2 b −1 a −1 a b + a b c x y z + + =0 + + =1 x y z a b c Bài 18: Cho x2 y z + + 2 b c Tính giá trị biểu thức A = a a b c + + =0 Bài 19: Cho a, b, c đôi khác b − c c − a a − b a b c + + 2 (c − a ) (a − c) Tính giá trị P = (b − c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) khác Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh: c = d Bài 23: Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 x− y Tính giá trị biểu thức: A = x + y Bài 24: Cho x, y số khác khác cho 3x2 – y2 = 2xy xy − x + xy + y Tính giá trị phân thức A = Bài 25: Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007 ax + by + cz 2 2 Tính giá trị biểu thức: P = bc ( y − z ) + ac( x − z ) + ab( x − y ) Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức: x3 y3 z3 + + P = ( x − y )( x − z ) ( y − x)( y − z ) ( z − y )( z − x) x + y + z = 2 x + y + z = x3 + y + z = Bài 27:Cho Tính giá trị biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 Bài 28: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức: a − (b + c) (a + b − c ) 2 P = (a + b + c ) (a − c) − b [ [ 2 ] 2 ] 2 Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b c Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác P < Bài 30: Cho số dương x, y ,z thỏa mãn: xy + y + z = yz + y + z = zx + x + z = 15 Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z Bài 31: Cho số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: x2 + y + z = x + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = x− y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x + y Biết x2 – 2y2 = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2 a) So sánh a b + c b) So sánh a3 b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 2) Tính A = 20 + 14 + 20 − 14 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) CỰC TRỊ Bài1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x + y Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN − ÷1 − ÷ P = x y ( x + x + 1) x2 + Bài 3) Cho P = Tìm GTNN, GTLN P giá trị tương ứng x Bài 4) Tìm GTLN GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y ≥ 0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ Bài 6) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = Bài 7) Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 − x + P = x + x +1 Bài 8) Tìm GTLN A = x + − x x y z + + Bài 9) Tìm GTLN P = y z x với x, y, z > Bài 10) Tìm GTLN P= ( x − 1990) + ( x − 1991) Bài 11) Cho M = a + − a − + a + 15 − a − a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z Tìm GTNN P = x.y.z + Bài 13) Tìm GTNN P = − x x Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + 2y Bài 15) Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức 2 P = x + y + xy + 4xy x2 + x + Bài 17) Tìm GTLN GTNN của: P = x + Bài 18) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức + 2 xy A= x +y 2 1 1 x+ ÷ + y+ ÷ x y Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy + ÷1 + ÷ y Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = x Bài 22) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = Tìm GTNN biểu thức 2 1 1 x+ ÷ + y+ ÷ y x P= Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: 2 1 1 1 a + ÷ + b + ÷ + c + ÷ a b c E= Bài 24) Cho a, b hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a + b3 Bài 25) Cho a, b hai số dương thỏa a + b = 1 + Tìm GTNN P = a + b + x2 + y Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P = x − y Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) + xy Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức S=x+y+1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + y = Bài 30) Tìm GTNN biểu thức x − x + 2008 P= x2 ……………………………………………………………… ... 199 4 ≡ ( mod 3) N ≡ ( mod 3) HD: a) Vì nên S(N)= 199 4 b) 199 5 chia hết cho 3, 199 5 không chia hết tổng chữ số số phương khơng thể 199 5 14 Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng phương. .. + 97 phương HD: Nếu n ≥ n! +97 có tận nên khơng phương Nếu n = 24 +97 = 121= n2 Nếu ≤ n ≤ khơng thoả mãn 12 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp thêm số phương 13 Tổng chữ số số phương 199 4 199 5... vừa số phương vừa lập phương Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y ∈ N Vì y = x nên y số phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 99 99 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 y phương